Прямолинейное равномерное и неравномерное движение

Механика · Тема 1 / 27

Прямолинейное равномерное и неравномерное движение

Этот урок пройдём вместе с одним автомобилем и его днём: утром он трогается на светофоре, вечером возвращается по проспекту под дождём, а потом на мокрой дороге тормозит на жёлтый. Каждое явление сначала увидим в анимации, затем рассчитаем по формулам и применим в заданиях ГЭЦ.

≈ 50 минутГлав: 6Заданий ГЭЦ: 4материал 10 класса

После урока ты сможешь

• отличать путь от перемещения и описывать движение относительно системы отсчёта;
• записывать уравнения равномерного и равноускоренного движения и решать задачи;
• складывать скорости и находить относительную скорость;
• читать графики x(t), υ(t), a(t): по наклону находить скорость и ускорение, по площади — перемещение.

Перед началом вспомни

• Теорема Пифагора: a² + b² = c².
• Линейная функция y = kx + b: k — угловой коэффициент (наклон).
• 1 км = 1000 м, 1 ч = 3600 с, значит 1 м/с = 3,6 км/ч.
• Площади прямоугольника, треугольника и трапеции.

Содержание

1. ВведениеСитуация: загорелся зелёныйистория и предположение
2. Глава 1Механическое движение, путь и перемещениесистема отсчёта, материальная точка
3. Глава 2Равномерное прямолинейное движениеx = x₀ + υₓt · ГЭЦ 07.06.2026
4. Глава 3Относительность движения. Сложение скоростейдождь и автомобиль · ГЭЦ 13.07.2025
5. Глава 4Ускорение. Равноускоренное движениезадача о встрече · лаборатория
6. Глава 5Кинематические графики: что показывает наклонx(t), υ(t), a(t) · ГЭЦ 12.07.2026
7. Глава 6Площадь под графиком: перемещениежёлтый сигнал · ГЭЦ 01.06.2025
8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: загорелся зелёный

История

Утро, широкий городской проспект. На светофоре горит красный, автомобиль стоит перед стоп-линией. Как только загорается зелёный, водитель нажимает на газ, и автомобиль трогается с ускорением 3 м/с².

В тот же момент рядом с автомобилем по велодорожке проезжает велосипедист с постоянной скоростью 6 м/с. Сначала велосипедист уходит вперёд, но автомобиль всё время разгоняется и догоняет его.

Вопрос: во сколько раз скорость автомобиля в момент, когда он догонит велосипедиста, будет больше скорости велосипедиста?

Оба стартуют от стоп-линии в один момент: автомобиль — из покоя с ускорением, велосипедист — с постоянной скоростью.Сначала предположи

Как ты думаешь, во сколько раз в момент встречи скорость автомобиля больше скорости велосипедиста? Ответ рассчитаем в 4-й главе.

Чтобы ответить на этот вопрос, нужен язык описания движения: координата, путь и перемещение, скорость, ускорение и графики. В этом уроке мы построим его шаг за шагом — на примере одного дня из жизни того же автомобиля.

Глава 1

Механическое движение, путь и перемещение

«Автомобиль движется» — относительно чего это верно? Относительно водителя автомобиль покоится, а относительно дерева у дороги — движется. Значит, движение всегда описывают относительно чего-то.

Определения

Механическое движение — изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Тело, относительно которого рассматривают движение, — тело отсчёта; тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы образуют систему отсчёта. Тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь, называют материальной точкой.

Один и тот же автомобиль в одной задаче — материальная точка, в другой — нет. Когда считаем время поездки из Баку в Гянджу, 4 метра длины автомобиля ничтожны рядом с сотнями километров — считаем его точкой. А когда ставим автомобиль в гараж, размеры — главное.

Траектория, путь, перемещение

Линия, которую описывает материальная точка при движении, — траектория. Длина траектории — путь (s, скалярная величина). Направленный отрезок, проведённый из начального положения в конечное, — перемещение (Δr→, векторная величина).

Путь не бывает отрицательным и растёт даже при движении назад; перемещение же зависит только от начальной и конечной точек. Поэтому всегда s ≥ |Δr→|; равенство — только при движении по прямой в одном направлении. В анимации автомобиль едет сначала на восток, затем на север: золотая линия (путь) всегда длиннее синей стрелки (перемещения).

Анимация · путь и перемещениеАнимация ускорена в 10 раз: автомобиль движется со скоростью 10 м/с в течение 70 с. На карте вверх — север, вправо — восток.Пример 1

Автомобиль проезжает от светофора 300 м на восток, затем 400 м на север. Найдите пройденный путь и модуль перемещения.

1. Путь — длина траектории: s = 300 + 400 = 700 м.Почему так?

   Путь — сумма длин всех пройденных участков; направление на него не влияет.

2. Перемещение соединяет начало с концом. Направления на восток и на север перпендикулярны, поэтому по теореме Пифагора: |Δr→| = √(300² + 400²) = 500 м.Почему так?

   300 и 400 — тройка 3, 4, 5, увеличенная в 100 раз; гипотенуза равна 500.

3. Сравнение: 700 м > 500 м — траектория не прямая.
4. Ответ: s = 700 м, |Δr| = 500 м.

Проверь себя

Спортсмен пробежал один полный круг по 400-метровой дорожке стадиона и вернулся на старт. Чему равен модуль перемещения (в метрах)?

Начальная и конечная точки совпадают; путь же равен 400 м.

Глава 2

Равномерное прямолинейное движение

Велосипедист, проехавший стоп-линию, каждую секунду проезжает одно и то же расстояние — 6 м. Это простейшее движение, с него начинается вся кинематика.

Определение

Если тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения, его движение — равномерное прямолинейное. Скорость — отношение перемещения ко времени, за которое оно совершено: υ→ = Δr→/t. Единица — 1 м/с.

Уравнение движения

При движении вдоль оси x координата линейно зависит от времени. x₀ — начальная координата, υₓ — проекция скорости на ось x: если тело движется по направлению оси, υₓ > 0, если против — υₓ < 0.

x = x₀ + υₓt

Значит, график x(t) — прямая, и её наклон (угловой коэффициент) — проекция скорости: υₓ = Δx/Δt. График υₓ(t) — прямая, параллельная оси t; площадь прямоугольника под ним равна проекции перемещения: Δx = υₓt. В жизни скорость дают в км/ч: 1 м/с = 3,6 км/ч, например 54 км/ч = 54 : 3,6 = 15 м/с.

Анимация · два тела на одной прямой1-е тело движется из точки 0 со скоростью 3 м/с, 2-е — из точки 60 м навстречу со скоростью 3 м/с. Графики x(t) — прямые; точка их пересечения — момент встречи (t = 10 с, x = 30 м). Это модель задания ГЭЦ ниже.Пример 2

Уравнение движения велосипедиста x = 6t (м). а) Какова его координата через 4 с? б) Сколько времени нужно, чтобы удалиться от стоп-линии на 90 м?

1. Сравниваем уравнение с x = x₀ + υₓt: x₀ = 0, υₓ = 6 м/с.Почему так?

   Коэффициент при t — проекция скорости, свободный член — начальная координата.

2. а) x(4) = 6·4 = 24 м.
3. б) 90 = 6t, откуда t = 15 с.
4. Ответ: 24 м; 15 с.

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 07.06.2026

Даны графики зависимости координаты от времени для двух материальных точек, движущихся по одной прямой. Вычислите расстояние между материальными точками в конце 4-й секунды после начала наблюдения.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 36 мB) 42 мC) 24 мD) 40 мE) 20 м

1. По графику 1-я точка: x₀₁ = 0, за 10 с x = 30 м, значит υ₁ = 30/10 = 3 м/с.Почему так?

   Наклон графика x(t) — проекция скорости: делим изменение координаты на время.

2. 2-я точка: x₀₂ = 60 м, за 10 с координата уменьшается до 30 м: υ₂ₓ = (30 − 60)/10 = −3 м/с.Почему так?

   Координата убывает — тело движется против оси, проекция отрицательна. В пояснении ГЭЦ записан модуль (3 м/с), а знак учтён в формуле «x₀ − υt».

3. t = 4 с: x₁ = 3·4 = 12 м, x₂ = 60 − 3·4 = 48 м.
4. Расстояние между ними: x₂ − x₁ = 48 − 12 = 36 м.
5. Ответ: 36 м (вариант A).

Это же задание было и на экзамене 07.06.2026, IV группа специальностей (A73).

Официальное пояснение ГЭЦ (07.06.2026)

Чтобы вычислить координату каждого тела в конце 4-й секунды, нужно воспользоваться формулой x=x₀+υt. Для этого нужно вычислить скорости тел:υ₁= 30 м/10 с = 3 м/с и υ₂= (60 − 30)/10 = 3 м/сКоордината 1-го тела в конце 4-й секундыx₁= υt= 3·4 = 12 м2-го тела — x₂ = x₀ − υt = 60 − 3·4 = 60 − 12 = 48 м.Тогда расстояние между I и II телами в конце 4-й секунды S = x₂ − x₁ = 48 − 12 = 36 м.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Выразите скорость 72 км/ч в м/с.

Разделите на 3,6.

Глава 3

Относительность движения. Сложение скоростей

История

Вечером тот же автомобиль возвращается по проспекту со скоростью 54 км/ч, то есть 15 м/с. Пошёл дождь, но ветра нет: капли падают относительно земли вертикально со скоростью 8 м/с.

Школьник на заднем сиденье смотрит на боковое стекло: следы капель не вертикальные, а наклонные, будто дождь летит навстречу машине. Но ветра нет! Вопрос: с какой скоростью капля движется относительно автомобиля и почему следы наклонные?

Анимация замедлена в 4 раза. Для наблюдателя на земле дождь идёт вертикально, для пассажира в автомобиле — наклонно.

В разных системах отсчёта скорость, траектория и перемещение тела могут быть разными. Это называют относительностью движения. В классической механике время и длина во всех системах одинаковы, поэтому скорости просто складываются как векторы.

Закон сложения скоростей

Скорость тела относительно неподвижной системы равна векторной сумме его скорости относительно движущейся системы и скорости самой движущейся системы:

υ→ = υ′→ + u→

Отсюда относительная скорость: υ′→ = υ→ − u→. Модуль относительной скорости тел, движущихся по одной прямой в одном направлении, равен |υ₁ − υ₂|, в противоположных — υ₁ + υ₂.

Пример 3

По проспекту едет автобус со скоростью 36 км/ч, за ним — автомобиль со скоростью 54 км/ч. Какова скорость автомобиля относительно автобуса? А относительно встречного автобуса с той же скоростью?

1. Переводим единицы: 36 км/ч = 10 м/с, 54 км/ч = 15 м/с.
2. В одном направлении: υ′ = 15 − 10 = 5 м/с — пассажир автобуса видит, как автомобиль медленно его обгоняет.Почему так?

   В системе автобуса дорога «убегает» назад со скоростью 10 м/с, поэтому скорость автомобиля уменьшается на 10 м/с.

3. Навстречу: υ′ = 15 + 10 = 25 м/с.
4. Ответ: 5 м/с; 25 м/с.

Анимация · дождь в двух системах отсчётаАнимация замедлена в 8 раз. Слева система земли: капля падает вертикально, автомобиль едет вправо. Справа система автомобиля: дорога «убегает» влево, а капля летит наклонно со скоростью 17 м/с. Треугольник в углу: υ′→ = υ→ + (−u→).История

Вернёмся к дождю. В системе автомобиля скорость капли υ′→ = υ→ − u→: к скорости капли относительно земли (8 м/с вниз) добавляем скорость автомобиля с обратным знаком (15 м/с назад). Эти векторы перпендикулярны, поэтому υ′ = √(8² + 15²) = √289 = 17 м/с.

Следы отклоняются от вертикали назад — против движения автомобиля; для угла отклонения tg α = 15/8, то есть α ≈ 62°. Даже без ветра дождь кажется пассажиру косым — это относительность движения.

При движении по плоскости вектор скорости задают двумя проекциями. Проекции перпендикулярны, поэтому модуль находят по теореме Пифагора: υ = √(υₓ² + υy²). Проверим это на задании ГЭЦ.

Анимация · точка на плоскости XOYx = 8 + 3t и y = 6 − 4t: обе координаты линейно зависят от времени, значит проекции скорости постоянны и точка движется по прямой.Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 13.07.2025

Координаты материальной точки, движущейся по прямой в плоскости XOY, изменяются со временем по закону x = 8 + 3t (м) и y = 6 − 4t (м). Чему равен модуль скорости материальной точки (м/с)?

1. Сравниваем уравнение для x с x = x₀ + υₓt: υₓ = 3 м/с.Почему так?

   Коэффициент при t — проекция скорости на эту ось.

2. Так же для y: υy = −4 м/с (точка движется против оси y).Почему так?

   Для модуля знак не важен: при возведении в квадрат минус исчезает.

3. Проекции перпендикулярны: υ = √(3² + (−4)²) = √25 = 5 м/с.
4. Ответ: 5 м/с.

Это же задание было и на экзамене 13.07.2025, IV группа специальностей (A84).

Официальное пояснение ГЭЦ (13.07.2025)

Из уравнений координат следует, чтопроекция скорости тела на ось x υₓ=3 м/с, на ось yυ_y=−4 м/с. Модуль скорости материальной точки, движущейся по прямой в плоскостиXOY,υ = √(υₓ² + υ_y²) = √((3 м/с)² + (−4 м/с)²) = 5 м/с.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Два поезда идут навстречу друг другу по параллельным путям со скоростями 72 км/ч и 54 км/ч. Чему равен модуль скорости первого поезда относительно второго (в м/с)?

Сначала переведите в м/с (20 и 15); при движении навстречу скорости складываются.

Глава 4

Ускорение. Равноускоренное движение

Скорость автомобиля, тронувшегося от светофора, каждую секунду растёт на 3 м/с: 0, 3, 6, 9 … м/с. Величина, показывающая, как быстро меняется скорость, — ускорение.

Определение

Ускорение — отношение изменения скорости ко времени, за которое оно произошло: a→ = (υ→ − υ→₀)/t. Единица — 1 м/с². Если ускорение постоянно, движение называют равноускоренным.

Формулы равноускоренного движения

При равноускоренном движении вдоль оси x (υ₀ₓ — проекция начальной скорости, aₓ — ускорения):

υₓ = υ₀ₓ + aₓt

x = x₀ + υ₀ₓt + aₓt²/2

υₓ² − υ₀ₓ² = 2aₓ(x − x₀)

Внимание: знак ускорения сам по себе не означает «разгон» или «торможение». Движение ускоренное, если скорость и ускорение направлены одинаково (υₓ и aₓ одного знака), и замедленное, если противоположно. Например, при υₓ = −5 м/с и aₓ = −2 м/с² тело разгоняется.

Пример 4

Задача из истории: на зелёный автомобиль трогается из покоя с ускорением a = 3 м/с², а велосипедист стартует от той же линии с постоянной скоростью 6 м/с. Когда и где автомобиль догонит велосипедиста? Какой будет скорость автомобиля в этот момент?

1. Начало координат — на стоп-линии, отсчёт времени — с момента, когда загорелся зелёный: автомобиль xа = at²/2 = 1,5t², велосипедист xв = 6t.Почему так?

   Оба в момент t = 0 находятся в точке x = 0; у автомобиля υ₀ = 0, у велосипедиста a = 0.

2. В момент встречи координаты равны: 1,5t² = 6t, откуда t = 4 с (t = 0 — момент старта).
3. Место встречи: x = 6·4 = 24 м. Скорость автомобиля: υ = at = 3·4 = 12 м/с.Почему так?

   12 = 2·6 — не случайность: за 4 с автомобиль проехал столько же, сколько велосипедист, значит его средняя скорость была 6 м/с. При равноускоренном движении из покоя средняя скорость равна (0 + υ)/2, поэтому υ = 2·6 = 12 м/с. Этот результат не зависит от a!

4. Ответ: через 4 с, в 24 м от стоп-линии; скорость автомобиля 12 м/с — в 2 раза больше скорости велосипедиста.

Анимация · встреча: графики координаты и скоростиНа графике x(t) парабола пересекает прямую при t = 4 с — это момент встречи. А на графике υ(t) линии пересекаются при t = 2 с: когда скорости равны, расстояние между ними наибольшее (6 м), а встречи ещё нет!История

Итак, в 24 м от светофора автомобиль догоняет велосипедиста, и его скорость в этот момент 12 м/с — в 2 раза больше скорости велосипедиста. Многие думают, что «при встрече скорости равны», но когда скорости равны (t = 2 с), велосипедист ещё впереди на 6 м.

Теперь попробуй сам: меняй начальную скорость и ускорение и смотри, как движется тело и как меняются графики. Особенно обрати внимание на случай, когда υ₀ и a разных знаков.

Лаборатория · меняй начальную скорость и ускорениеАнимация · равноускоренное движениеначальная скорость υ₀4 м/сускорение a-1 м/с²Например, при υ₀ = 4 м/с и a = −1 м/с² тело 4 с тормозит, останавливается и поворачивает назад: вершина параболы x(t) — момент поворота, в этот момент график υ(t) пересекает ось t.Проверь себя

На сколько метров максимально велосипедист опережает автомобиль в нашей истории?

Расстояние максимально, когда скорости равны: 3t = 6, t = 2 с; 6·2 − 1,5·2² = 12 − 6.

Глава 5

Кинематические графики: что показывает наклон

График — не траектория! У тела, движущегося по прямой, график x(t) может быть кривым. График показывает, как величина меняется со временем. Сравним графики двух основных видов движения:

Вверху — равномерное, внизу — равноускоренное движение. В каждой строке слева направо: x(t), υ(t), a(t).Как читать графики

Наклон графика x(t) → υₓ; наклон графика υₓ(t) → aₓ; площадь под графиком υₓ(t) → Δx; площадь под графиком aₓ(t) → Δυₓ.

Скорость меняет направление, когда график υₓ(t) пересекает ось t: знак проекции меняется, и в этот момент у графика x(t) вершина. Ускорение же меняет направление, когда меняется знак наклона графика υₓ(t) — в его «впадине» или «вершине». В анимации три графика рисуются одновременно:

Анимация · три графика одновременноТело стартует из точки 0 со скоростью 6 м/с; ускорение сначала −3 м/с², после 4-й секунды +3 м/с². Зелёная стрелка — скорость, оранжевая — ускорение. Скорость меняет направление 2 раза (в моменты a и c), ускорение — 1 раз (в момент b). Это числовая модель задания ГЭЦ ниже.Пример 5

График υₓ(t): на промежутке 0–4 с скорость равномерно растёт от 2 м/с до 10 м/с. Найдите ускорение и перемещение за это время.

1. Наклон: aₓ = (10 − 2)/4 = 2 м/с².Почему так?

   Наклон графика υₓ(t) — отношение изменения скорости ко времени, то есть ускорение.

2. Перемещение: Δx = υ₀t + at²/2 = 2·4 + 2·16/2 = 24 м.Почему так?

   В следующей главе увидим, что это площадь трапеции под графиком: (2 + 10)/2 · 4 = 24.

3. Ответ: 2 м/с²; 24 м.

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 12.07.2026

Дан график зависимости проекции скорости от времени для тела, движущегося прямолинейно вдоль оси x. Сколько раз за промежуток времени 0 – t₁ изменилось направление векторов скорости и ускорения тела?

В вариантах первое число — сколько раз менялось направление скорости, второе — ускорения (Скорость | Ускорение). Буквы a, b, c на рисунке взяты из пояснения ГЭЦ.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 1 | 3B) 3 | 1C) 2 | 1D) 2 | 2E) 1 | 2

1. Направление скорости меняется, когда υₓ меняет знак, то есть когда график пересекает ось t: это точки a и c — 2 раза.Почему так?

   В a проекция υₓ переходит с плюса на минус, в c — с минуса на плюс. Если бы график лишь касался оси t, направление не изменилось бы.

2. Ускорение aₓ — наклон графика. На участке 0–b график убывает (aₓ < 0), на участке b–t₁ возрастает (aₓ > 0).Почему так?

   Каждый участок — отрезок прямой, значит внутри него ускорение постоянно; знак меняется только в b.

3. Направление ускорения изменилось 1 раз (в момент b): скорость — 2, ускорение — 1.
4. Ответ: скорость — 2 раза, ускорение — 1 раз (вариант C).

Это же задание было и на экзамене 12.07.2026, IV группа специальностей (A68).

Официальное пояснение ГЭЦ (12.07.2026)

При изменении направления вектора скорости и вектора ускорения тела меняется знак их проекций на ось x. Для проекции скорости это произошло на графике 2 раза: в момент времени, соответствующий точке a, знак проекции скорости изменился с плюса на минус, а в момент, соответствующий точке c, — с минуса на плюс. При равноускоренном движении проекция скорости выражается формулой υ_x = υ₀ₓ + a_x t. По свойствам линейной функции на первом участке графика (0-b) проекция ускорения отрицательна, а на втором (b-t₁) — положительна. Значит, вектор ускорения изменил направление 1 раз (в момент, соответствующий точке b).Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

График x(t) — прямая, проходящая через точки (0 с; 10 м) и (5 с; −15 м). Чему равна проекция скорости (в м/с)?

υₓ = Δx/Δt = (−15 − 10)/5; не забудь про знак.

Глава 6

Площадь под графиком: перемещение

История

Дождь ещё идёт. Автомобиль едет со скоростью 54 км/ч (15 м/с), и за 40 м до следующего перекрёстка на светофоре загорается жёлтый.

Водитель нажимает на тормоз не сразу, а через 0,5 с — это время реакции человека. На мокром асфальте автомобиль может тормозить с ускорением 3 м/с². Вопрос: успеет ли автомобиль остановиться до стоп-линии?

За время реакции автомобиль едет с постоянной скоростью, затем начинается равнозамедленное движение.

Площадь под графиком υ(t) даёт перемещение не только при равномерном движении — при любом. Причина проста: за очень малый промежуток времени скорость можно считать постоянной, тогда перемещение — площадь узкого прямоугольника; сумма таких прямоугольников и есть площадь фигуры под графиком.

Правило площади

Площадь фигуры между графиком υₓ(t) и осью t численно равна проекции перемещения. Площадь под осью t берётся со знаком минус. Путь же равен сумме модулей всех площадей.

Анимация · тормозной путь = площадьАнимация одновременно рисует график скорости и площадь под ним: узкий прямоугольник — путь за время реакции, треугольник — тормозной путь.Пример 6

Задача из истории: υ₀ = 15 м/с, время реакции 0,5 с, ускорение при торможении 3 м/с², до стоп-линии 40 м. Остановится ли автомобиль до стоп-линии?

1. За время реакции скорость постоянна: s₁ = 15·0,5 = 7,5 м — площадь прямоугольника.Почему так?

   Водитель ещё не нажал на тормоз, автомобиль движется равномерно.

2. Время торможения t₂ = 15/3 = 5 с; тормозной путь — площадь треугольника: s₂ = 15·5/2 = 37,5 м.Почему так?

   Проверка по формуле: s₂ = υ₀²/(2a) = 225/6 = 37,5 м.

3. Остановочный путь: s = 7,5 + 37,5 = 45 м > 40 м.
4. Ответ: не успеет — проедет стоп-линию на 5 м.

История

Автомобиль остановился, проехав стоп-линию на 5 м; к счастью, на переходе никого не было. На сухом асфальте ускорение при торможении около 6 м/с²; тогда тормозной путь был бы 15²/(2·6) = 18,75 м, а остановочный — 7,5 + 18,75 = 26,25 м.

Вот почему в дождь водители снижают скорость: при 12 м/с на мокрой дороге остановочный путь был бы 6 + 24 = 30 м, и автомобиль спокойно остановился бы до стоп-линии.

Правило площади особенно сильно, когда сравнивают два тела: если они стартуют из одной точки, расстояние между ними равно площади между их графиками υ(t).

Анимация · графики скоростей двух телЧисловая модель: t₁ = 2 с, t₂ = 4 с, t₃ = 6 с, t₄ = 10 с, t₅ = 12 с. Зелёная площадь — отрыв 2-го тела растёт, красная — уменьшается. Расстояние наибольшее в момент t₄, когда скорости равны (40 м).Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 01.06.2025

Даны графики зависимости проекции скорости от времени для двух тел с одинаковыми начальными координатами. В какой момент времени расстояние между телами будет наибольшим?

Рисунок меняется вместе с шагами.A) t₅B) t₃C) t₂D) t₄E) t₁

1. Начальные координаты одинаковы, поэтому расстояние между телами — разность их перемещений, то есть площадь фигуры между двумя графиками.Почему так?

   Каждое перемещение — площадь под своим графиком; их разность — площадь между графиками.

2. На промежутке 0 – t₄ υ₂ > υ₁: 2-е тело всё время быстрее, расстояние растёт.
3. После t₄ υ₂ < υ₁: 1-е тело догоняет, расстояние уменьшается. Значит, расстояние наибольшее в момент t₄ — когда скорости равны.Почему так?

   Так было и в истории со светофором: велосипедист сильнее всего опережал автомобиль, когда скорости сравнялись.

4. Ответ: t₄ (вариант D).

Это же задание было и на экзамене 01.06.2025, IV группа специальностей (A80).

Официальное пояснение ГЭЦ (01.06.2025)

Площадь фигуры между графиком зависимости проекции скорости тела от времени и осью времени численно равна проекции перемещения.В данном случае до момента времени t₄ перемещение 2-го тела растёт сильнее, чем перемещение 1-го тела. После момента t₄ расстояние между телами начинает уменьшаться. Поэтому в момент времени t₄ расстояние между телами наибольшее.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Скорость тела υₓ = 6 − 3t (м/с). Найдите путь, пройденный за первые 4 с (в м).

При t = 2 с тело останавливается и поворачивает. Путь = сумма площадей треугольников над осью t и под ней: 6 + 6 (а перемещение равно 0).

Итоги

Запомни

• Движение относительно: траектория, скорость и перемещение зависят от системы отсчёта; υ→ = υ′→ + u→.
• Путь s — длина траектории (скаляр), перемещение — направленный отрезок из начала в конец (вектор); s ≥ |Δr→|.
• Равномерное движение: x = x₀ + υₓt; x(t) — наклонная прямая, υ(t) — прямая, параллельная оси t.
• Равноускоренное движение: υₓ = υ₀ₓ + aₓt, x = x₀ + υ₀ₓt + aₓt²/2, υₓ² − υ₀ₓ² = 2aₓΔx.
• Разгон — υ и a направлены одинаково; торможение — противоположно. Сам по себе знак ускорения ничего не говорит.
• Наклон: у x(t) — υₓ, у υ(t) — aₓ; площадь под υ(t) — Δx (под осью t — со знаком минус).
• Расстояние между двумя телами наибольшее (или наименьшее) в момент равенства скоростей; при встрече же равны координаты.
• 1 м/с = 3,6 км/ч; на плоскости υ = √(υₓ² + υy²).

Типичные ошибки

Путь и перемещение — одно и то же

Путь — скаляр и всегда растёт; перемещение зависит только от начальной и конечной точек. После круга по стадиону путь 400 м, перемещение 0.

В момент встречи скорости равны

При равных скоростях расстояние между телами наибольшее. В задаче со светофором это t = 2 с; встреча же происходит при t = 4 с, когда скорость автомобиля вдвое больше.

Отрицательное ускорение всегда означает торможение

Торможение — когда скорость и ускорение направлены противоположно. При υₓ < 0 и aₓ < 0 тело разгоняется.

График x(t) — это траектория тела

График — зависимость величины от времени. Даже при движении по прямой x(t) может быть параболой (равноускоренное движение).

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

В каком случае автомобиль можно считать материальной точкой?

Длина пути в тысячи раз больше размеров автомобиля.

2 · Уровень 1

Сколько м/с составляют 36 км/ч?

36 : 3,6 = 10.

3 · Уровень 2

Тело начинает двигаться из покоя с ускорением 4 м/с². Путь за 3 с:

s = at²/2 = 4·9/2 = 18.

4 · Уровень 2

Спортсмен пробежал 2 полных круга по 400-метровой дорожке. Путь и модуль перемещения:

Путь растёт на 400 м за каждый круг, а спортсмен возвращается на старт.

5 · Уровень ГЭЦ

Скорость тела υₓ = 10 − 2t (м/с). Путь за первые 8 с:

Поворот при t = 5 с: вперёд 25 м, затем назад x(5) − x(8) = 25 − 16 = 9 м; путь 25 + 9 = 34 м (перемещение 16 м).

6 · Уровень ГЭЦ

Тело начинает равноускоренное движение из покоя и за первую секунду проходит 2 м. Какой путь оно пройдёт за третью секунду?

a/2 = 2, a = 4 м/с²; x(3) − x(2) = 18 − 8 = 10 м (пути за последовательные секунды относятся как 1 : 3 : 5).

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ГЭЦ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 41; B-40, C-31, D-45
2. 01.06.2025, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 80; B-70, C-70, D-74
3. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 53; B-56, C-56, D-53
4. 13.07.2025, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 84; B-83, C-86, D-85
5. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 47; B-44, C-45, D-33
6. 07.06.2026, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 73; B-68, C-74, D-67
7. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 43; B-48, C-37, D-50
8. 12.07.2026, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 68; B-61, C-71, D-72

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ГЭЦ. Задания и пояснения ГЭЦ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.