Düzxətli bərabərsürətli və dəyişənsürətli hərəkət

div class="hero">Mexanika · Mövzu 1 / 27

Düzxətli bərabərsürətli və dəyişənsürətli hərəkət

Bu dərsi bir avtomobilin bir günü ilə keçəcəyik: səhər svetoforda yerindən tərpənir, axşam yağışın altında prospektlə qayıdır, sonra yaş yolda sarı işığa tormozlayır. Hər hadisəni əvvəl animasiyada görəcək, sonra düsturla hesablayacaq və DİM tapşırıqlarında tətbiq edəcəyik.

≈ 50 dəqiqə6 fəsil4 DİM tapşırığı10-cu sinif materialı

Bu dərsdən sonra bacaracaqsan

• yolu yerdəyişmədən ayırmağı və hərəkəti hesablama sisteminə görə təsvir etməyi;
• bərabərsürətli və bərabərtəcilli hərəkətin tənliklərini yazıb məsələ həll etməyi;
• sürətləri toplamağı və nisbi sürəti tapmağı;
• x(t), υ(t), a(t) qrafiklərini oxumağı: meyldən sürəti və təcili, sahədən yerdəyişməni tapmağı.

Başlamazdan əvvəl xatırla

• Pifaqor teoremi: a² + b² = c².
• Xətti funksiya y = kx + b: k — bucaq əmsalı (meyl).
• 1 km = 1000 m, 1 saat = 3600 san, deməli 1 m/san = 3,6 km/saat.
• Düzbucaqlının, üçbucağın və trapesiyanın sahəsi.

Mündəricat

1. GirişSituasiya: yaşıl işıq yandıhekayə və təxmin
2. Fəsil 1Mexaniki hərəkət, yol və yerdəyişməhesablama sistemi, maddi nöqtə
3. Fəsil 2Bərabərsürətli düzxətli hərəkətx = x₀ + υₓt · DİM 07.06.2026
4. Fəsil 3Hərəkətin nisbiliyi. Sürətlərin toplanmasıyağış və avtomobil · DİM 13.07.2025
5. Fəsil 4Təcil. Bərabərtəcilli hərəkəthaqlama məsələsi · laboratoriya
6. Fəsil 5Kinematik qrafiklər: meyl nəyi göstərirx(t), υ(t), a(t) · DİM 12.07.2026
7. Fəsil 6Qrafik altındakı sahə: yerdəyişməsarı işıq · DİM 01.06.2025
8. YekunYadda saxlaqısa xülasə və tipik səhvlər
9. YekunMüstəqil iş6 tapşırıq, asandan çətinə

Giriş

Situasiya: yaşıl işıq yandı

Hekayə

Səhər, şəhərin geniş prospekti. Svetoforda qırmızı yanır, avtomobil stop xəttinin qarşısında dayanıb. Yaşıl yanan anda sürücü qazı basır və avtomobil yerindən 3 m/san² təcillə tərpənir.

Elə həmin an avtomobilin yanından, velosiped zolağı ilə, velosipedçi 6 m/san sabit sürətlə keçir. Əvvəlcə velosipedçi irəli düşür, amma avtomobil getdikcə sürətlənir və onu haqlayır.

Sual: avtomobil velosipedçini haqlayanda onun sürəti velosipedçinin sürətindən neçə dəfə çox olacaq?

Hər ikisi stop xəttindən eyni anda başlayır: avtomobil sükunətdən təcillə, velosipedçi sabit sürətlə.Əvvəlcə təxmin et

Sənin fikrincə, haqlama anında avtomobilin sürəti velosipedçinin sürətindən neçə dəfə çoxdur? Cavabı 4-cü fəsildə hesablayacağıq.

Bu suala cavab vermək üçün hərəkəti təsvir edən dil lazımdır: koordinat, yol və yerdəyişmə, sürət, təcil və qrafiklər. Bu dərsdə onları eyni avtomobilin bir günü boyunca addım-addım quracağıq.

Fəsil 1

Mexaniki hərəkət, yol və yerdəyişmə

“Avtomobil hərəkət edir” — bu cümlə nəyə nəzərən doğrudur? Sürücüyə nəzərən avtomobil sükunətdədir, yolun kənarındakı ağaca nəzərən isə hərəkət edir. Deməli, hərəkəti həmişə nəyəsə nəzərən təsvir edirik.

Təriflər

Mexaniki hərəkət — cismin fəzadakı vəziyyətinin zaman keçdikcə başqa cisimlərə nəzərən dəyişməsidir. Hərəkətə nəzərən baxdığımız cisim hesablama cismidir; hesablama cismi, onunla bağlı koordinat sistemi və saat birlikdə hesablama sistemi yaradır. Ölçüləri baxılan məsələdə nəzərə alınmayan cisim maddi nöqtə adlanır.

Eyni avtomobil bir məsələdə maddi nöqtədir, digərində yox. Bakıdan Gəncəyə yolun vaxtını hesablayanda avtomobilin 4 metrlik uzunluğu yüzlərlə kilometrin yanında heç nədir — onu nöqtə sayırıq. Avtomobili qaraja salanda isə ölçüləri əsas məsələdir.

Trayektoriya, yol, yerdəyişmə

Maddi nöqtənin hərəkət zamanı cızdığı xətt trayektoriyadır. Trayektoriyanın uzunluğu yoldur (s, skalyar kəmiyyət). Başlanğıc vəziyyətdən son vəziyyətə çəkilmiş yönəlmiş parça yerdəyişmədir (Δr→, vektor kəmiyyət).

Yol mənfi ola bilməz və geri qayıdanda da artır; yerdəyişmə isə yalnız başlanğıc və son nöqtədən asılıdır. Ona görə həmişə s ≥ |Δr→|; bərabərlik yalnız düz xətt üzrə bir istiqamətdə hərəkətdə olur. Animasiyada avtomobil əvvəl şərqə, sonra şimala gedir: qızılı xətt (yol) göy oxdan (yerdəyişmə) həmişə uzundur.

Animasiya · yol və yerdəyişməAnimasiya 10 dəfə sürətləndirilib: avtomobil 10 m/san sürətlə 70 san hərəkət edir. Xəritədə yuxarı — şimal, sağ — şərq.Nümunə 1

Avtomobil svetofordan şərqə 300 m, sonra şimala 400 m gedir. Gedilən yolu və yerdəyişmənin modulunu tapın.

1. Yol — trayektoriyanın uzunluğu: s = 300 + 400 = 700 m.Niyə belədir?

   Yol gedilən bütün hissələrin uzunluqlarının cəmidir; istiqamət onu dəyişmir.

2. Yerdəyişmə başlanğıcı sonla birləşdirir. Şərq və şimal istiqamətləri perpendikulyardır, ona görə Pifaqor teoremi: |Δr→| = √(300² + 400²) = 500 m.Niyə belədir?

   300 və 400 — 3, 4, 5 üçlüyünün 100 mislidir, hipotenuz 500-dür.

3. Müqayisə: 700 m > 500 m — trayektoriya düz xətt deyil.
4. Cavab: s = 700 m, |Δr| = 500 m.

Özün yoxla

İdmançı stadionun 400 metrlik qaçış zolağında bir tam dövrə vurub başladığı yerə qayıtdı. Yerdəyişmənin modulu neçə metrdir?

Başlanğıc və son nöqtə eynidir; yol isə 400 m-dir.

Fəsil 2

Bərabərsürətli düzxətli hərəkət

Stop xəttindən keçən velosipedçi hər saniyədə eyni məsafəni — 6 m — gedir. Belə hərəkət ən sadə hərəkətdir, bütün kinematika ondan başlayır.

Tərif

Cisim istənilən bərabər zaman fasilələrində eyni yerdəyişmələr edirsə, onun hərəkəti bərabərsürətli düzxətli hərəkətdir. Sürət — yerdəyişmənin bu yerdəyişməyə sərf olunan zamana nisbətidir: υ→ = Δr→/t. Vahidi: 1 m/san.

Hərəkət tənliyi

x oxu boyunca hərəkətdə koordinat zamandan xətti asılıdır. x₀ — başlanğıc koordinat, υₓ — sürətin x oxu üzrə proyeksiyasıdır: cisim oxun istiqamətində gedirsə υₓ > 0, əksinə gedirsə υₓ < 0.

x = x₀ + υₓt

Deməli, x(t) qrafiki düz xətdir və onun meyli (bucaq əmsalı) sürətin proyeksiyasıdır: υₓ = Δx/Δt. υₓ(t) qrafiki isə t oxuna paralel düz xətdir; onun altındakı düzbucaqlının sahəsi yerdəyişmənin proyeksiyasına bərabərdir: Δx = υₓt. Gündəlik həyatda sürət km/saat ilə verilir: 1 m/san = 3,6 km/saat, məsələn 54 km/saat = 54 : 3,6 = 15 m/san.

Animasiya · iki cisim bir düz xətt üzrə1-ci cisim 0 nöqtəsindən 3 m/san, 2-ci cisim 60 m nöqtəsindən əks istiqamətdə 3 m/san sürətlə gedir. x(t) qrafikləri düz xətlərdir; onların kəsişməsi görüş anıdır (t = 10 san, x = 30 m). Bu, aşağıdakı DİM tapşırığının modelidir.Nümunə 2

Velosipedçinin hərəkət tənliyi x = 6t (m). a) 4 san sonra onun koordinatı nə qədərdir? b) Stop xəttindən 90 m uzaqlaşmaq üçün nə qədər vaxt lazımdır?

1. Tənliyi x = x₀ + υₓt ilə müqayisə edirik: x₀ = 0, υₓ = 6 m/san.Niyə belədir?

   t-nin əmsalı sürətin proyeksiyası, sərbəst hədd isə başlanğıc koordinatdır.

2. a) x(4) = 6·4 = 24 m.
3. b) 90 = 6t, buradan t = 15 san.
4. Cavab: 24 m; 15 san.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 07.06.2026

Bir düz xətt üzrə hərəkət edən iki maddi nöqtənin koordinatının zamandan asılılıq qrafikləri verilmişdir. Müşahidəyə başlayandan sonrakı 4-cü saniyənin sonunda maddi nöqtələr arasındakı məsafəni hesablayın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 36 mB) 42 mC) 24 mD) 40 mE) 20 m

1. Qrafikdən 1-ci nöqtə: x₀₁ = 0, 10 san-də x = 30 m, deməli υ₁ = 30/10 = 3 m/san.Niyə belədir?

   x(t) qrafikinin meyli sürətin proyeksiyasıdır: koordinatın dəyişməsini zamana bölürük.

2. 2-ci nöqtə: x₀₂ = 60 m, 10 san-də 30 m-ə enir: υ₂ₓ = (30 − 60)/10 = −3 m/san.Niyə belədir?

   Koordinat azalır — cisim oxun əksinə gedir, proyeksiya mənfidir. DİM izahında modul (3 m/san) yazılıb, işarə isə “x₀ − υt” düsturunda nəzərə alınıb.

3. t = 4 san: x₁ = 3·4 = 12 m, x₂ = 60 − 3·4 = 48 m.
4. Aradakı məsafə: x₂ − x₁ = 48 − 12 = 36 m.
5. Cavab: 36 m (A variantı).

Eyni tapşırıq 07.06.2026, IV ixtisas qrupu imtahanında da verilib (A73).

DİM-in rəsmi izahı (07.06.2026)

4-cü saniyənin sonunda hər bir cismin koordinatını hesablamaq üçün x=x₀+vt düsturundan istifadə edilməlidir. Bunun üçün hər bir cismin sürətlərini hesablamaq lazımdır: υ₁= 30m/10san = 3 m/san və υ₂= (60 − 30)/10 = 3 m/san 1-ci cismin 4-cü saniyənin sonunda koordinatı x₁= υt= 3·4 =12m 2-ci cisim isə x₂ = x₀ -vt = 60 − 3·4 = 60 − 12 = 48m -dir. Onda 4-cü saniyənin sonunda I və II cisimlər arasındakı məsafə S=x₂-x₁=48-12=36m olur.Mənbə: DİM izahı — 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

72 km/saat sürəti m/san ilə ifadə edin.

3,6-ya bölün.

Fəsil 3

Hərəkətin nisbiliyi. Sürətlərin toplanması

Hekayə

Axşam həmin avtomobil eyni prospektlə 54 km/saat sürətlə — yəni 15 m/san — evə qayıdır. Yağış başlayıb, amma külək yoxdur: damcılar yerə nəzərən şaquli istiqamətdə 8 m/san sürətlə düşür.

Arxa oturacaqdakı şagird yan şüşəyə baxır: damcıların izləri şaquli deyil, çəpdir, sanki yağış maşına qarşı əsir. Amma külək yoxdur! Sual: damcı avtomobilə nəzərən hansı sürətlə hərəkət edir və izlər niyə çəpdir?

Animasiya 4 dəfə yavaşladılıb. Yerdəki müşahidəçi üçün yağış şaquli yağır, avtomobildəki sərnişin üçün — çəp.

Hər hesablama sistemində cismin sürəti, trayektoriyası və yerdəyişməsi fərqli ola bilər. Buna hərəkətin nisbiliyi deyilir. Klassik mexanikada zaman və uzunluq bütün sistemlərdə eynidir, ona görə sürətlər sadəcə vektor kimi toplanır.

Sürətlərin toplanması qaydası

Cismin hərəkətsiz sistemə nəzərən sürəti onun hərəkət edən sistemə nəzərən sürəti ilə hərəkət edən sistemin sürətinin vektor cəminə bərabərdir:

υ→ = υ′→ + u→

Buradan nisbi sürət: υ′→ = υ→ − u→. Bir düz xətt üzrə eyni istiqamətdə gedən cisimlərin nisbi sürətinin modulu |υ₁ − υ₂|, əks istiqamətdə gedənlərinki υ₁ + υ₂-dir.

Nümunə 3

Prospektdə avtobus 36 km/saat, onun arxasınca avtomobil 54 km/saat sürətlə gedir. Avtomobilin avtobusa nəzərən sürəti nə qədərdir? Qarşıdan gələn eyni sürətli avtobusa nəzərən necə?

1. Vahidləri çeviririk: 36 km/saat = 10 m/san, 54 km/saat = 15 m/san.
2. Eyni istiqamətdə: υ′ = 15 − 10 = 5 m/san — avtobusun sərnişini avtomobilin yavaş-yavaş ötdüyünü görür.Niyə belədir?

   Avtobusun sistemində yol geriyə 10 m/san sürətlə “qaçır”, ona görə avtomobilin sürəti 10 m/san azalır.

3. Əks istiqamətdə: υ′ = 15 + 10 = 25 m/san.
4. Cavab: 5 m/san; 25 m/san.

Animasiya · yağış iki sistemdəAnimasiya 8 dəfə yavaşladılıb. Solda yer sistemi: damcı şaquli düşür, avtomobil sağa gedir. Sağda avtomobil sistemi: yol sola “qaçır”, damcı isə çəp, 17 m/san sürətlə gəlir. Küncdəki üçbucaq: υ′→ = υ→ + (−u→).Hekayə

Yağış sualına qayıdaq. Avtomobilin sistemində damcının sürəti υ′→ = υ→ − u→: damcının yerə nəzərən sürətinə (8 m/san, aşağı) avtomobilin sürətinin əksini (15 m/san, geriyə) əlavə edirik. Bu iki vektor perpendikulyardır, ona görə υ′ = √(8² + 15²) = √289 = 17 m/san.

İzlər şaquldan geriyə — avtomobilin hərəkətinin əksinə — əyilir; əyilmə bucağı üçün tg α = 15/8, yəni α ≈ 62°. Külək olmadan da yağış sərnişinə çəp görünür: bu, hərəkətin nisbiliyidir.

Müstəvi üzrə hərəkətdə sürət vektorunu iki proyeksiyası ilə verirlər. Proyeksiyalar perpendikulyar olduğundan modul Pifaqor teoremi ilə tapılır: υ = √(υₓ² + υy²). Bunu DİM tapşırığında yoxlayaq.

Animasiya · nöqtə XOY müstəvisindəx = 8 + 3t və y = 6 − 4t: hər iki koordinat zamandan xətti asılıdır, deməli sürətin proyeksiyaları sabitdir və nöqtə düz xətt üzrə gedir.İmtahanda belə soruşulurDİM · 13.07.2025

XOY müstəvisində düz xətt üzrə hərəkət edən maddi nöqtənin koordinatları zamana görə x = 8 + 3t (m) və y = 6 − 4t (m) qanunu ilə dəyişir. Maddi nöqtənin sürətinin modulu (m/san) nəyə bərabərdir?

1. x-in tənliyini x = x₀ + υₓt ilə müqayisə edirik: υₓ = 3 m/san.Niyə belədir?

   t-nin əmsalı sürətin həmin ox üzrə proyeksiyasıdır.

2. Eyni qayda ilə y üçün: υy = −4 m/san (nöqtə y oxunun əksinə gedir).Niyə belədir?

   Modulu tapanda işarə vacib deyil: kvadrata yüksəldəndə mənfi itir.

3. Proyeksiyalar perpendikulyardır: υ = √(3² + (−4)²) = √25 = 5 m/san.
4. Cavab: 5 m/san.

Eyni tapşırıq 13.07.2025, IV ixtisas qrupu imtahanında da verilib (A84).

DİM-in rəsmi izahı (13.07.2025)

Koordinatların tənliyindən müəyyən olunur ki, cismin sürətinin x oxu üzrə proyeksiyası υₓ=3 m/san, y oxu üzrə proyeksiyası υ_y=-4 m/san-dir. XOY müstəvisində düz xətt üzrə hərəkət edən maddi nöqtənin sürətinin modulu υ = √(υₓ² + υ_y²) = √((3 m/san)² + (−4 m/san)²) = 5 m/san alınır.Mənbə: DİM izahı — 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

İki qatar paralel yollarla qarşı-qarşıya 72 km/saat və 54 km/saat sürətlə gedir. Birinci qatarın ikinciyə nəzərən sürətinin modulu neçə m/san-dir?

Əvvəl m/san-ə çevirin (20 və 15), əks istiqamətdə sürətlər toplanır.

Fəsil 4

Təcil. Bərabərtəcilli hərəkət

Svetofordan tərpənən avtomobilin sürəti hər saniyə 3 m/san artır: 0, 3, 6, 9 … m/san. Sürətin nə qədər tez dəyişdiyini göstərən kəmiyyət təcildir.

Tərif

Təcil — sürətin dəyişməsinin bu dəyişməyə sərf olunan zamana nisbətidir: a→ = (υ→ − υ→₀)/t. Vahidi: 1 m/san². Təcil sabitdirsə, hərəkət bərabərtəcilli adlanır.

Bərabərtəcilli hərəkətin düsturları

x oxu boyunca bərabərtəcilli hərəkətdə (υ₀ₓ — başlanğıc sürətin, aₓ — təcilin proyeksiyası):

υₓ = υ₀ₓ + aₓt

x = x₀ + υ₀ₓt + aₓt²/2

υₓ² − υ₀ₓ² = 2aₓ(x − x₀)

Diqqət: təcilin işarəsi özü-özlüyündə “yeyinləşmə” və ya “yavaşıma” demək deyil. Hərəkət yeyinləşəndir, əgər sürət və təcil eyni istiqamətdədir (υₓ və aₓ eyni işarəlidir); yavaşıyandır, əgər əks istiqamətdədir. Məsələn, υₓ = −5 m/san və aₓ = −2 m/san² olduqda cisim yeyinləşir.

Nümunə 4

Hekayədəki məsələ: yaşıl yananda avtomobil sükunətdən a = 3 m/san² təcillə, velosipedçi isə eyni xətdən 6 m/san sabit sürətlə hərəkətə başlayır. Avtomobil velosipedçini nə vaxt və harada haqlayar? Bu anda avtomobilin sürəti nə qədər olar?

1. Koordinat başlanğıcını stop xəttində, saatı yaşıl yanan anda götürürük: avtomobil xa = at²/2 = 1,5t², velosipedçi xv = 6t.Niyə belədir?

   Hər ikisi t = 0 anında x = 0 nöqtəsindədir; avtomobil üçün υ₀ = 0, velosipedçi üçün a = 0.

2. Haqlama anında koordinatlar bərabərdir: 1,5t² = 6t, buradan t = 4 san (t = 0 isə başlanğıc anıdır).
3. Haqlama yeri: x = 6·4 = 24 m. Avtomobilin sürəti: υ = at = 3·4 = 12 m/san.Niyə belədir?

   12 = 2·6 təsadüf deyil: 4 san-də avtomobil velosipedçi qədər yol getdi, deməli orta sürəti 6 m/san idi. Bərabərtəcilli hərəkətdə sükunətdən başlayanda orta sürət (0 + υ)/2-dir, ona görə υ = 2·6 = 12 m/san. Bu nəticə a-dan asılı deyil!

4. Cavab: 4 san sonra, stop xəttindən 24 m aralıda; avtomobilin sürəti 12 m/san — velosipedçinin sürətindən 2 dəfə çox.

Animasiya · haqlama: koordinat və sürət qrafiklərix(t) qrafikində parabola düz xətti t = 4 san-də kəsir — bu, haqlama anıdır. υ(t) qrafikində isə xətlər t = 2 san-də kəsişir: sürətlər bərabər olanda aradakı məsafə ən böyükdür (6 m), haqlama isə hələ yoxdur!Hekayə

Beləliklə, svetofordan 24 m aralıda avtomobil velosipedçini haqlayır və bu anda onun sürəti 12 m/san — velosipedçinin sürətindən 2 dəfə çox olur. Çoxları “haqlayanda sürətlər bərabərdir” deyə düşünür, amma sürətlər bərabər olanda (t = 2 san) velosipedçi hələ 6 m qabaqdadır.

İndi özün sına: başlanğıc sürəti və təcili dəyiş, cismin necə hərəkət etdiyinə və qrafiklərin necə dəyişdiyinə bax. Xüsusilə υ₀ və a əks işarəli olanda nə baş verdiyinə diqqət et.

Laboratoriya · başlanğıc sürəti və təcili dəyişAnimasiya · bərabərtəcilli hərəkətbaşlanğıc sürət υ₀4 m/santəcil a-1 m/san²Məsələn, υ₀ = 4 m/san, a = −1 m/san² seçəndə cisim 4 san yavaşıyır, dayanır və geri dönür: x(t) parabolasının təpəsi dönmə anıdır, həmin anda υ(t) qrafiki t oxunu kəsir.Özün yoxla

Hekayədə velosipedçi avtomobildən ən çox neçə metr qabağa düşür?

Məsafə sürətlər bərabər olanda ən böyükdür: 3t = 6, t = 2 san; 6·2 − 1,5·2² = 12 − 6.

Fəsil 5

Kinematik qrafiklər: meyl nəyi göstərir

Qrafik trayektoriya deyil! Düz xətt üzrə hərəkət edən cismin x(t) qrafiki əyri ola bilər. Qrafik bir kəmiyyətin zamandan necə dəyişdiyini göstərir. İki əsas hərəkət növünün qrafiklərini yan-yana qoyaq:

Yuxarıda bərabərsürətli, aşağıda bərabərtəcilli hərəkət. Hər sətirdə soldan sağa: x(t), υ(t), a(t).Qrafikləri oxumaq qaydası

x(t) qrafikinin meyli → υₓ; υₓ(t) qrafikinin meyli → aₓ; υₓ(t) qrafikinin altındakı sahə → Δx; aₓ(t) qrafikinin altındakı sahə → Δυₓ.

Sürətin istiqaməti υₓ(t) qrafiki t oxunu kəsən anda dəyişir: proyeksiyanın işarəsi dəyişir, bu anda x(t) qrafikinin təpəsi olur. Təcilin istiqaməti isə υₓ(t) qrafikinin meyli işarəsini dəyişəndə — qrafikin “dibində” və ya “zirvəsində” — dəyişir. Animasiyada üç qrafik eyni anda çəkilir:

Animasiya · üç qrafik eyni andaCisim 0 nöqtəsindən 6 m/san sürətlə başlayır; təcil əvvəl −3 m/san², 4-cü saniyədən sonra +3 m/san². Yaşıl ox — sürət, narıncı ox — təcil. Sürət 2 dəfə (a və c anlarında), təcil 1 dəfə (b anında) istiqamətini dəyişir. Bu, aşağıdakı DİM tapşırığının ədədi modelidir.Nümunə 5

υₓ(t) qrafiki: 0–4 san aralığında sürət 2 m/san-dən 10 m/san-ə qədər bərabər artır. Təcili və bu müddətdəki yerdəyişməni tapın.

1. Meyl: aₓ = (10 − 2)/4 = 2 m/san².Niyə belədir?

   υₓ(t) qrafikinin meyli sürətin dəyişməsinin zamana nisbətidir, yəni təcildir.

2. Yerdəyişmə: Δx = υ₀t + at²/2 = 2·4 + 2·16/2 = 24 m.Niyə belədir?

   Növbəti fəsildə görəcəyik ki, bu, qrafik altındakı trapesiyanın sahəsidir: (2 + 10)/2 · 4 = 24.

3. Cavab: 2 m/san²; 24 m.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 12.07.2026

x oxu üzrə düzxətli hərəkət edən cismin sürətinin proyeksiyasının zamandan asılılıq qrafiki verilmişdir. Zamanın 0 – t₁ aralığında cismin sürət və təcil vektorlarının istiqaməti neçə dəfə dəyişmişdir?

Variantlarda birinci ədəd sürətin, ikinci ədəd təcilin istiqamətinin neçə dəfə dəyişdiyini göstərir (Sürət | Təcil). Şəkildəki a, b, c hərfləri DİM izahındandır.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 1 | 3B) 3 | 1C) 2 | 1D) 2 | 2E) 1 | 2

1. Sürətin istiqaməti υₓ işarəsini dəyişəndə dəyişir, yəni qrafik t oxunu kəsəndə: bu, a və c nöqtələrində olur — 2 dəfə.Niyə belədir?

   a-da υₓ müsbətdən mənfiyə, c-də mənfidən müsbətə keçir. Qrafik t oxuna sadəcə toxunsaydı, istiqamət dəyişməzdi.

2. Təcil aₓ — qrafikin meylidir. 0–b hissəsində qrafik enir (aₓ < 0), b–t₁ hissəsində qalxır (aₓ > 0).Niyə belədir?

   Hər hissə düz xətdir, deməli onun daxilində təcil sabitdir; işarə yalnız b-də dəyişir.

3. Təcilin istiqaməti 1 dəfə (b anında) dəyişib: sürət — 2, təcil — 1.
4. Cavab: sürət 2 dəfə, təcil 1 dəfə (C variantı).

Eyni tapşırıq 12.07.2026, IV ixtisas qrupu imtahanında da verilib (A68).

DİM-in rəsmi izahı (12.07.2026)

Cismin sürət vektorunun və təcil vektorunun istiqaməti dəyişdikdə onların x oxu üzrə proyeksiyasının işarəsi dəyişir. Sürətin proyeksiyası üçün bu hal qrafikdə 2 dəfə olmuşdur: a nöqtəsinə uyğun zaman anında sürətin proyeksiyasının işarəsi müsbətdən mənfiyə, c nöqtəsinə uyğun zaman anında isə mənfidən müsbətə dəyişmişdir. Bərabərtəcilli hərəkətdə sürətin proyeksiyası υ_x = υ₀ₓ + a_x t düsturu ilə ifadə olunur. Xətti funksiyanın xassələrinə əsasən qrafikin birinci hissəsində (0-b) təcilin proyeksiyası mənfidir, ikinci hissəsində (b-t₁) isə müsbətdir. Deməli, təcil vektoru istiqamətini 1 dəfə ( b nöqtəsinə uyğun zaman anında) dəyişmişdir.Mənbə: DİM izahı — 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

x(t) qrafiki (0 san; 10 m) və (5 san; −15 m) nöqtələrindən keçən düz xətdir. Sürətin proyeksiyası neçə m/san-dir?

υₓ = Δx/Δt = (−15 − 10)/5; işarəni unutma.

Fəsil 6

Qrafik altındakı sahə: yerdəyişmə

Hekayə

Yağış hələ dayanmayıb. Avtomobil 54 km/saat (15 m/san) sürətlə gedir və növbəti yol ayrıcına 40 m qalmış svetoforda sarı işıq yanır.

Sürücü tormozu dərhal yox, 0,5 san sonra basır — bu, insanın reaksiya müddətidir. Yaş asfaltda avtomobil 3 m/san² təcillə yavaşıya bilir. Sual: avtomobil stop xəttinə çatmamış dayana biləcəkmi?

Reaksiya müddətində avtomobil sabit sürətlə gedir, sonra bərabəryavaşıyan hərəkət başlayır.

υ(t) qrafiki altındakı sahə yerdəyişməni təkcə bərabərsürətli hərəkətdə vermir — istənilən hərəkətdə verir. Səbəb sadədir: çox kiçik zaman fasiləsində sürəti sabit saymaq olar, onda yerdəyişmə nazik düzbucaqlının sahəsidir; bu düzbucaqlıların cəmi qrafik altındakı fiqurun sahəsidir.

Sahə qaydası

υₓ(t) qrafiki ilə t oxu arasındakı fiqurun sahəsi yerdəyişmənin proyeksiyasına ədədi qiymətcə bərabərdir. t oxundan aşağıdakı sahə mənfi işarə ilə götürülür. Yol isə bütün sahələrin modullarının cəmidir.

Animasiya · dayanma yolu = sahəAnimasiya sürətin qrafikini və onun altındakı sahəni eyni vaxtda çəkir: dar düzbucaqlı — reaksiya müddətindəki yol, üçbucaq — tormoz yolu.Nümunə 6

Hekayədəki məsələ: υ₀ = 15 m/san, reaksiya müddəti 0,5 san, tormozlama təcili 3 m/san², stop xəttinə 40 m qalıb. Avtomobil stop xəttinə qədər dayanarmı?

1. Reaksiya müddətində sürət sabitdir: s₁ = 15·0,5 = 7,5 m — düzbucaqlının sahəsi.Niyə belədir?

   Sürücü hələ tormozu basmayıb, avtomobil bərabərsürətli gedir.

2. Tormozlama müddəti t₂ = 15/3 = 5 san; tormoz yolu — üçbucağın sahəsi: s₂ = 15·5/2 = 37,5 m.Niyə belədir?

   Düsturla yoxlama: s₂ = υ₀²/(2a) = 225/6 = 37,5 m.

3. Dayanma yolu: s = 7,5 + 37,5 = 45 m > 40 m.
4. Cavab: dayana bilməz — stop xəttini 5 m keçər.

Hekayə

Avtomobil stop xəttini 5 m keçib dayandı; xoşbəxtlikdən keçiddə heç kim yox idi. Quru asfaltda tormoz təcili təxminən 6 m/san² olur; onda tormoz yolu 15²/(2·6) = 18,75 m, dayanma yolu isə 7,5 + 18,75 = 26,25 m olardı.

Yağışda sürücülərin sürəti azaltması buna görədir: 12 m/san sürətlə yaş yolda dayanma yolu 6 + 24 = 30 m olardı, yəni avtomobil stop xəttinə qədər rahat dayanardı.

Sahə qaydası iki cismin qarşılaşdırılmasında xüsusilə güclüdür: iki cisim eyni nöqtədən başlayırsa, aralarındakı məsafə onların υ(t) qrafikləri arasındakı sahəyə bərabərdir.

Animasiya · iki cismin sürət qrafikləriƏdədi model: t₁ = 2 san, t₂ = 4 san, t₃ = 6 san, t₄ = 10 san, t₅ = 12 san. Yaşıl sahə — 2-ci cismin qabaqlaması artır, qırmızı sahə — azalır. Məsafə t₄ anında, sürətlər bərabər olanda ən böyükdür (40 m).İmtahanda belə soruşulurDİM · 01.06.2025

Başlanğıc koordinatları eyni olan iki cismin sürətinin proyeksiyasının zamandan asılılıq qrafikləri verilmişdir. Hansı zaman anında cisimlər arasındakı məsafə ən böyük olar?

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) t₅B) t₃C) t₂D) t₄E) t₁

1. Başlanğıc koordinatlar eynidir, ona görə cisimlər arasındakı məsafə onların yerdəyişmələrinin fərqidir, yəni iki qrafik arasındakı fiqurun sahəsidir.Niyə belədir?

   Hər yerdəyişmə öz qrafiki altındakı sahədir; fərqləri qrafiklər arasındakı sahədir.

2. 0 – t₄ aralığında υ₂ > υ₁: 2-ci cisim hər an daha sürətli gedir, aradakı məsafə artır.
3. t₄-dən sonra υ₂ < υ₁: 1-ci cisim yaxınlaşır, məsafə azalır. Deməli məsafə t₄ anında — sürətlər bərabər olanda — ən böyükdür.Niyə belədir?

   Svetofor hekayəsində də belə idi: velosipedçi ən çox sürətlər bərabərləşəndə qabaqda idi.

4. Cavab: t₄ (D variantı).

Eyni tapşırıq 01.06.2025, IV ixtisas qrupu imtahanında da verilib (A80).

DİM-in rəsmi izahı (01.06.2025)

Cismin sürətinin proyeksiyasının zamandan asılılıq qrafiki ilə zaman oxu arasında qalan fiqurun sahəsi ədədi qiymətcə yerdəyişmənin proyeksiyasına bərabərdir. Verilmiş halda t₄ zaman anına qədər 2-ci cismin yerdəyişməsi 1-ci cismin yerdəyişməsinə nəzərən daha çox artır. t₄ zaman anından sonra cisimlər arasında məsafə azalmağa başlayır. Ona görə də t₄ zaman anında cisimlər arasında məsafə ən böyük olur.Mənbə: DİM izahı — 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

Cismin sürəti υₓ = 6 − 3t (m/san). İlk 4 san-də getdiyi yolu tapın (m).

t = 2 san-də cisim dayanıb geri dönür. Yol = t oxundan yuxarı və aşağıdakı üçbucaqların sahələrinin cəmi: 6 + 6 (yerdəyişmə isə 0-dır).

Yekun

Yadda saxla

• Hərəkət nisbidir: trayektoriya, sürət və yerdəyişmə hesablama sistemindən asılıdır; υ→ = υ′→ + u→.
• Yol s — trayektoriyanın uzunluğu (skalyar), yerdəyişmə — başlanğıcdan sona yönəlmiş parça (vektor); s ≥ |Δr→|.
• Bərabərsürətli hərəkət: x = x₀ + υₓt; x(t) — maili düz xətt, υ(t) — t oxuna paralel düz xətt.
• Bərabərtəcilli hərəkət: υₓ = υ₀ₓ + aₓt, x = x₀ + υ₀ₓt + aₓt²/2, υₓ² − υ₀ₓ² = 2aₓΔx.
• Yeyinləşmə — υ və a eyni istiqamətdə; yavaşıma — əks istiqamətdə. Təcilin işarəsi tək başına heç nə demir.
• Meyl: x(t)-nin meyli υₓ, υ(t)-nin meyli aₓ; sahə: υ(t) altındakı sahə Δx (t oxundan aşağıda — mənfi).
• İki cisim arasındakı məsafə sürətlər bərabər olan anda ən böyük (və ya ən kiçik) olur; haqlama anında isə koordinatlar bərabərdir.
• 1 m/san = 3,6 km/saat; müstəvidə υ = √(υₓ² + υy²).

Tipik səhvlər

Yol və yerdəyişmə eyni şeydir

Yol skalyardır və həmişə artır; yerdəyişmə yalnız başlanğıc və son nöqtədən asılıdır. Stadionda bir dövrədən sonra yol 400 m, yerdəyişmə 0 olur.

Haqlama anında sürətlər bərabər olur

Sürətlər bərabər olanda aradakı məsafə ən böyükdür. Svetofor məsələsində bu t = 2 san-dir; haqlama isə t = 4 san-də, avtomobilin sürəti 2 dəfə çox olanda baş verir.

Mənfi təcil həmişə yavaşıma deməkdir

Yavaşıma — sürət və təcilin əks istiqamətdə olmasıdır. υₓ < 0 və aₓ < 0 olduqda cisim yeyinləşir.

x(t) qrafiki cismin trayektoriyasıdır

Qrafik kəmiyyətin zamandan asılılığıdır. Düz xətt üzrə hərəkətdə də x(t) parabola ola bilər (bərabərtəcilli hərəkət).

Yekun

Müstəqil iş

Tapşırıqlar asandan çətinə düzülüb. Əvvəl özün həll et, sonra variantı seç; izah cavabdan sonra açılır.

1 · 1-ci səviyyə

Hansı halda avtomobili maddi nöqtə saymaq olar?

Yolun uzunluğu avtomobilin ölçülərindən minlərlə dəfə böyükdür.

2 · 1-ci səviyyə

36 km/saat neçə m/san-dir?

36 : 3,6 = 10.

3 · 2-ci səviyyə

Cisim sükunətdən 4 m/san² təcillə hərəkətə başlayır. 3 san-də getdiyi yol:

s = at²/2 = 4·9/2 = 18.

4 · 2-ci səviyyə

İdmançı 400 metrlik stadion zolağında 2 tam dövrə vurdu. Yol və yerdəyişmənin modulu:

Yol hər dövrədə 400 m artır, idmançı isə başlanğıc nöqtəsinə qayıdır.

5 · DİM səviyyəsi

Cismin sürəti υₓ = 10 − 2t (m/san). İlk 8 san-də getdiyi yol:

t = 5 san-də dönür: irəli 25 m, sonra geri x(5) − x(8) = 25 − 16 = 9 m; yol 25 + 9 = 34 m (yerdəyişmə 16 m).

6 · DİM səviyyəsi

Cisim sükunətdən bərabərtəcilli hərəkətə başlayır və birinci saniyədə 2 m gedir. Üçüncü saniyədə nə qədər yol gedər?

a/2 = 2, a = 4 m/san²; x(3) − x(2) = 18 − 8 = 10 m (ardıcıl saniyələrdə yollar 1 : 3 : 5 nisbətindədir).

İmtahan tapşırıqları və rəsmi izahlar — DİM:

1. 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Düzxətli bərabərsürətli və dəyişənsürətli hərəkət (A variantı, 41; B-40, C-31, D-45)
2. 01.06.2025, IV ixtisas qrupu (PDF) — Düzxətli bərabərsürətli və dəyişənsürətli hərəkət (A variantı, 80; B-70, C-70, D-74)
3. 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Düzxətli bərabərsürətli və dəyişənsürətli hərəkət (A variantı, 53; B-56, C-56, D-53)
4. 13.07.2025, IV ixtisas qrupu (PDF) — Düzxətli bərabərsürətli və dəyişənsürətli hərəkət (A variantı, 84; B-83, C-86, D-85)
5. 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Düzxətli bərabərsürətli və dəyişənsürətli hərəkət (A variantı, 47; B-44, C-45, D-33)
6. 07.06.2026, IV ixtisas qrupu (PDF) — Düzxətli bərabərsürətli və dəyişənsürətli hərəkət (A variantı, 73; B-68, C-74, D-67)
7. 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Düzxətli bərabərsürətli və dəyişənsürətli hərəkət (A variantı, 43; B-48, C-37, D-50)
8. 12.07.2026, IV ixtisas qrupu (PDF) — Düzxətli bərabərsürətli və dəyişənsürətli hərəkət (A variantı, 68; B-61, C-71, D-72)

Hekayə, səhnələr, nümunələr, “Özün yoxla” və “Müstəqil iş” tapşırıqları bizimdir, DİM-ə aid deyil. DİM tapşırıqları və izahları mənbədəki kimi verilib; “…” işarəsi buraxılmış hissəni göstərir.