Сила упругости. Сила трения

Механика · Тема 6 / 27

Сила упругости. Сила трения

Этот урок пройдём вместе с семьёй в зимней поездке: торможение на снежной дороге, санки на ровном снегу и спуск с горки. Каждое явление сначала увидим в анимации, затем рассчитаем по закону Гука, формуле силы трения и законам Ньютона и применим в заданиях ГЭЦ.

≈ 50 минутГлав: 4Заданий ГЭЦ: 4материал 7–10 классов

После урока ты сможешь

• вычислять силу упругости, жёсткость и жёсткость соединения пружин по закону Гука;
• различать трение покоя и скольжения, находить коэффициент трения;
• решать задачи на движение с трением и находить тормозной путь;
• раскладывать силы на наклонной плоскости, находить условие скольжения и ускорение.

Перед началом вспомни

• I и II законы Ньютона: F = ma, равнодействующая сил.
• Равноускоренное движение: υ² − υ₀² = 2as.
• sin α, cos α, tg α в прямоугольном треугольнике.
• Сила тяжести mg, g = 10 м/с².

Содержание

1. ВведениеСитуация: торможение на снегуистория и предположение
2. Глава 1Деформация. Сила упругости. Закон ГукаF = kx, жёсткость
3. Глава 2Сила трения: покой и скольжениеF = μN · ГЭЦ 07.06.2026, 12.07.2026
4. Глава 3Движение с трением. Тормозной путьs = υ₀²/2μg · ГЭЦ 01.06.2025, 13.07.2025
5. Глава 4Движение по наклонной плоскостиa = g(sin α ∓ μ cos α) · лаборатория
6. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
7. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: торможение на снегу

История

На зимних каникулах семья едет на автомобиле на горный курорт. Ночью выпал снег, дорога скользкая. Отец едет со скоростью 54 км/ч; увидев впереди оленя, переходящего дорогу, он жмёт на тормоз. Колёса скользят по снегу, и автомобиль останавливается, пройдя очень длинный путь.

Школьник читал, что коэффициент трения шин о заснеженную дорогу около 0,2, а о сухой асфальт — 0,6. Вопрос: во сколько раз при торможении с той же скорости тормозной путь на снегу длиннее, чем на сухом асфальте?

Автомобиль тормозит на снегу со скорости 54 км/ч; следи за красными стоп-сигналами.Сначала предположи

Как ты думаешь, во сколько раз тормозной путь на снегу длиннее, чем на сухом асфальте? Ответ рассчитаем в 3-й главе.

Силы, которые останавливают автомобиль, замедляют санки, удерживают растянутую пружину, возникают между соприкасающимися телами. В этом уроке изучим две из них — силу упругости и силу трения, а затем рассчитаем тормозной путь и движение по наклонной плоскости.

Глава 1

Деформация. Сила упругости. Закон Гука

Когда идёт снег, ветки деревьев сгибаются, верёвка санок натягивается, рессоры автомобиля сжимаются. Изменение формы или размеров тела — деформация: растяжение, сжатие, изгиб, кручение, сдвиг. Если после снятия силы тело полностью восстанавливает форму, деформация упругая, если нет (пластилин, свинец) — пластическая.

Сила упругости

Сила, возникающая в теле при упругой деформации и стремящаяся вернуть ему прежнюю форму, — сила упругости. Её причина — электромагнитное взаимодействие частиц вещества. Сила упругости направлена против деформации; сила реакции опоры N и сила натяжения нити T — тоже силы упругости.

Закон Гука

При малых упругих деформациях модуль силы упругости прямо пропорционален удлинению (абсолютной деформации); k — жёсткость тела (единица Н/м), она зависит от материала, формы и размеров тела.

Fупр = k·|x|

Анимация · закон Гука: груз и удлинениеКаждый новый груз дополнительно растягивает пружину на 2 см: при увеличении силы в 2 раза удлинение тоже растёт в 2 раза. В равновесии сила упругости (красная) равна силе тяжести груза (фиолетовая). График F(x) — прямая через начало координат, её наклон — k.Пример 1

Пружина динамометра растягивается на 4 см под действием силы 8 Н. Найдите жёсткость пружины. На сколько её растянет сила 12 Н?

1. k = F/x = 8 Н / 0,04 м = 200 Н/м.Почему так?

   Удлинение обязательно записываем в метрах: 4 см = 0,04 м.

2. x = F/k = 12/200 = 0,06 м = 6 см.
3. Ответ: 200 Н/м; 6 см.

При соединении нескольких пружин общая жёсткость меняется. При последовательном соединении на обе пружины действует одна и та же сила, а удлинения складываются: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂. При параллельном удлинение одинаково, а силы складываются: k = k₁ + k₂. Если разрезать пружину пополам, жёсткость каждой половины вырастет в 2 раза.

При последовательном соединении система «мягче», при параллельном — «жёстче».Пример 2

Две пружины жёсткостью 200 Н/м и 300 Н/м соединяют сначала последовательно, затем параллельно. Найдите жёсткость системы в каждом случае.

1. Последовательно: k = k₁k₂/(k₁ + k₂) = 200·300/500 = 120 Н/м.Почему так?

   Жёсткость последовательного соединения меньше жёсткости самой «мягкой» пружины.

2. Параллельно: k = 200 + 300 = 500 Н/м.
3. Ответ: 120 Н/м; 500 Н/м.

Проверь себя

Пружина жёсткостью 400 Н/м растянута на 5 см. Чему равна сила упругости (в ньютонах)?

F = kx = 400 · 0,05.

Глава 2

Сила трения: покой и скольжение

История

На курорте отец катает ребёнка на санках. К верёвке санок прикреплён пружинный динамометр жёсткостью 1500 Н/м. Когда отец равномерно тянет санки по ровному снегу, пружина растягивается на 5 см.

Масса санок вместе с ребёнком 30 кг. Школьник спрашивает: каков коэффициент трения санок о снег? Верёвку держат параллельно поверхности снега.

Санки движутся с постоянной скоростью — значит, действующие на них силы уравновешены.Сила трения

Когда одно тело движется или пытается двигаться по поверхности другого, на поверхности соприкосновения возникает препятствующая движению сила трения. Если тело скользит, это трение скольжения: Fтр = μN, где N — сила реакции опоры, μ — коэффициент трения (безразмерный, зависит от материалов и обработки поверхностей). Трение скольжения направлено против скорости тела.

Пока тело не сдвинулось, на него действует трение покоя. Его значение не постоянно: оно равно приложенной силе и «гасит» её, но не может превысить максимального значения: Fтр ≤ μN. При скольжении по горизонтальной поверхности (если других вертикальных сил нет) N = mg, поэтому трение скольжения Fтр = μmg. Сила трения почти не зависит от площади соприкосновения.

Анимация · трение покоя и скольженияСила тяги растёт на 2 Н каждую секунду. Первые 3 секунды ящик стоит: трение покоя растёт вместе с тягой. При 6 Н (μmg) ящик сдвигается, трение скольжения остаётся постоянным, и ящик всё быстрее разгоняется.Пример 3

Задача из истории: жёсткость динамометра k = 1500 Н/м, удлинение x = 5 см, масса санок с ребёнком 30 кг, движение равномерное. Найдите коэффициент трения (g = 10 м/с²).

1. Сила тяги — сила упругости динамометра: F = kx = 1500 · 0,05 = 75 Н.Почему так?

   Динамометр измеряет силу по удлинению пружины — закон Гука.

2. Движение равномерное, значит равнодействующая равна нулю: Fтр = F = 75 Н.Почему так?

   I закон Ньютона: постоянная скорость — силы уравновешены.

3. N = mg = 300 Н, μ = Fтр/N = 75/300 = 0,25.
4. Ответ: μ = 0,25.

История

Школьник считает: μ = 0,25. Это число пригодится ему позже — после обеда ребёнок будет кататься на санках со склона (4-я глава).

Так же коэффициент трения измеряют и в лаборатории: тело равномерно тянут динамометром, а чтобы менять N, кладут сверху грузы. Отношение Fтр/N в таблице должно оставаться постоянным.

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 07.06.2026

На лабораторном занятии ученики составили таблицу для определения коэффициента трения. Какое значение силы реакции опоры (N) нужно записать в пустую клетку таблицы (F_тр — сила трения)?

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 10B) 6C) 5D) 3E) 7

1. В каждом столбце μ = Fтр/N: 0,4/2 = 0,2 и 0,8/4 = 0,2.Почему так?

   Поверхности не меняются, поэтому μ во всех измерениях одинаков.

2. Пустая клетка: N = Fтр/μ = 1,2/0,2 = 6.Почему так?

   В записи «F_тр = 0,2N» в пояснении ГЭЦ N — сила реакции опоры (а не единица ньютон): F_тр = 0,2·N.

3. Ответ: 6 (вариант B).

Это же задание было и на экзамене 07.06.2026, IV группа специальностей (A67).

Официальное пояснение ГЭЦ (07.06.2026)

Так как сила трения выражается формулой F_тр = μN, μ = F_тр/N = 0,4/2 = 0,8/4 = 0,2. Тогдапри F_тр = 0,2N получаем N = F_тр/μ = 1,2/0,2 = 6.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 12.07.2026

Тела с начальными скоростями v₀₁ = 3v и v₀₂ = v и массами m₁ = m и m₂ = 2m движутся по горизонтальной плоскости только под действием постоянной силы трения скольжения. Какое соотношение между действующими на тела силами трения скольжения (F_s) и полученными ими ускорениями (a) верно (коэффициенты трения одинаковы)?

Рисунок меняется вместе с шагами.A) F_s1 = F_s2, a₁ = 3a₂B) F_s1 = F_s2, a₁ = a₂C) F_s2 = 2F_s1, a₁ = 2a₂D) F_s1 = F_s2, a₂ = 2a₁E) F_s2 = 2F_s1, a₁ = a₂

1. Трение скольжения Fs = μmg — пропорционально массе и не зависит от скорости: Fs2 = μ·2m·g = 2Fs1.Почему так?

   Начальные скорости (3υ и υ) — ловушка: на силу трения они не влияют.

2. Ускорение: a = Fs/m = μmg/m = μg — не зависит и от массы, значит a₁ = a₂.Почему так?

   На вдвое большую массу действует вдвое большая сила — ускорение то же (как при свободном падении).

3. Ответ: Fs2 = 2Fs1, a₁ = a₂ (вариант E).

Это же задание было и на экзамене 12.07.2026, IV группа специальностей (A67).

Официальное пояснение ГЭЦ (12.07.2026)

Сила трения скольжения, действующая на тело, скользящее по горизонтальной поверхности, выражается формулой F_s = μN = μmg.Так как μ₁ = μ₂, m₁ = m и m₂ = 2m, получаем F_s2 = 2F_s1. Ускорение тела, движущегося по горизонтальной поверхности только под действием силы трения скольжения,a = F_s/m = μmg/m = μg. Так как коэффициенты трения равны, a₁ = a₂.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Какая горизонтальная сила (Н) нужна, чтобы равномерно тянуть ящик массой 5 кг по горизонтальному полу? μ = 0,4, g = 10 м/с².

При равномерном движении F = μmg.

Глава 3

Движение с трением. Тормозной путь

Трение — не всегда «враг»: автомобиль трогается и останавливается именно благодаря трению покоя между шинами и дорогой. Добавим трение во II закон Ньютона.

Тормозной путь

Для тела, движущегося по горизонтальной поверхности под действием силы тяги F: ma = F − μmg. Если действует только трение (торможение), a = μg, и от скорости υ₀ до остановки тело проходит

s = υ₀²/(2μg),   t = υ₀/(μg)

Тормозной путь прямо пропорционален квадрату скорости, обратно пропорционален коэффициенту трения и не зависит от массы автомобиля.

Анимация · торможение на асфальте и на снегуОба автомобиля тормозят со скорости 15 м/с. На снегу ускорение в 3 раза меньше: и время остановки, и площадь треугольника под υ(t) — тормозной путь — в 3 раза больше.Пример 4

Задача из истории: υ₀ = 54 км/ч, на снегу μ = 0,2, на сухом асфальте μ = 0,6. Найдите тормозной путь в обоих случаях (g = 10 м/с²).

1. υ₀ = 54 : 3,6 = 15 м/с.
2. Сухой асфальт: a = 0,6·10 = 6 м/с², s = 15²/(2·6) = 18,75 м.Почему так?

   При торможении колёса скользят или на грани скольжения — ускорение создаёт трение.

3. Снег: a = 2 м/с², s = 225/4 = 56,25 м; отношение 56,25 : 18,75 = 3.
4. Ответ: 18,75 м и 56,25 м — на снегу в 3 раза длиннее.

История

Отец затормозил вовремя, и олень благополучно перешёл дорогу. Но школьник теперь понимает: 56-метровый тормозной путь на снегу в 3 раза длиннее 19 метров на сухом асфальте. Если снизить скорость в 2 раза, тормозной путь сократится в 4 раза — поэтому зимой ездят медленно.

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 01.06.2025

Тележка массой 2 кг движется по горизонтальной поверхности с коэффициентом трения μ = 0,5 под действием силы тяги F = 25 Н. Какой график выражает зависимость проекции скорости тележки от времени (g = 10 м/с²)?

Рисунок меняется вместе с шагами.A)B)C)D)E)

1. Сила трения: Fтр = μmg = 0,5·2·10 = 10 Н. Она направлена против скорости (υ₀ — влево), то есть по оси OX (вправо).Почему так?

   Трение всегда направлено против скорости.

2. Равнодействующая F − Fтр = 25 − 10 = 15 Н направлена влево: aₓ = −15/2 = −7,5 м/с².Почему так?

   Внимание: в пояснении ГЭЦ сказано «направление движения совпадает с направлением равнодействующей». В общем случае равнодействующая задаёт направление ускорения, а не скорости; здесь υ₀ тоже направлена влево, поэтому вывод верен.

3. υₓ(0) < 0 и aₓ < 0: проекция отрицательна и равномерно растёт по модулю — график — прямая, начинающаяся с отрицательного значения и уходящая вниз.
4. Ответ: вариант D.

Это же задание было и на экзамене 01.06.2025, IV группа специальностей (A77).

Официальное пояснение ГЭЦ (01.06.2025)

Чтобы определить зависимость проекции скорости тележки отвремени, нужно найти направление еёдвижения. Направление движения тележки совпадаетс направлением действующей на неё равнодействующей силы.Численное значение равнодействующей равно разности силы тягии силы трения, и она направленав сторону большей по модулю силы.Численное значение силы тренияF_тр = μmg = 0,5 · 2 · 10 = 10 Н. Так как сила тягипо модулю больше силы трения,равнодействующая направлена по силе тяги, то есть против осиOX. Таким образом, тележка движется противоси OX равноускоренно.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

В задачах со связанными телами удобно рассматривать систему целиком: при равномерном движении сила тяги равна сумме сил трения, действующих на все тела. А когда нить рвётся, каждое тело движется само по себе.

Анимация · нить рвётсяАнимация замедлена в 2 раза. Как только нить рвётся, на 2-е тело действует только трение: оно тормозит с ускорением a = μg = 4 м/с² и, пройдя 2 м за 1 с, останавливается. На 1-е тело действуют тяга 60 Н и трение всего 20 Н — оно разгоняется.Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 13.07.2025

Тела, связанные друг с другом невесомой и нерастяжимой нитью, под действием силы F = 60 Н, направленной параллельно поверхности, движутся по горизонтальной поверхности прямолинейно и равномерно со скоростью v = 4 м/с. Какой путь (м) пройдёт второе тело до остановки, если нить оборвётся (коэффициенты трения одинаковы)?

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. При равномерном движении F = μ(m₁ + m₂)g, отсюда μg = 60/15 = 4 м/с².Почему так?

   Рассматриваем систему целиком: натяжение нити — внутренняя сила и сокращается.

2. После обрыва нити на 2-е тело действует только трение: a = μg = 4 м/с² (торможение).Почему так?

   Ускорение не зависит от массы, хотя масса 2-го тела 10 кг.

3. Тормозной путь: s = υ₀²/(2a) = 4²/(2·4) = 2 м.
4. Ответ: 2.

Это же задание было и на экзамене 13.07.2025, IV группа специальностей (A85).

Официальное пояснение ГЭЦ (13.07.2025)

Эту задачу можно решить несколькими способами.I способ: так как движение прямолинейное и равномерное,сила трения, действующая на тела вместе, по модулюравна силе тяги: F_s = F ; F₁s + F₂s = F иF₁s/F₂s = μm₁g/(μm₂g) = 1/2 и F₁s = (1/2)F₂s = 0,5F₂s . Учитываяэто, F₂s + 0,5F₂s = F . ОтсюдаF₂s = F/1,5 = 60Н/1,5 = 40Н . Путь, пройденный вторым теломдо остановки после обрыва нити,s = υ₀²/(2a) = m₂υ₀²/(2F₂s) = (10кг · 16 м²/с²)/(2·40Н) = 2мII способ: F = F_s = (m₁ + m₂)μg . Отсюдаμg = F/(m₁ + m₂) = 4 м/с² .Сила трения, действующая на 2-е тело,F₂s = m₂μg = 40Н .Путь тела до остановкиs = υ₀²/(2a) = … (10кг · 16 м²/с²)/(2·40Н) = 2м.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Шайба начинает скользить по льду со скоростью 10 м/с, μ = 0,05. Сколько метров она пройдёт до остановки (g = 10 м/с²)?

s = υ₀²/(2μg) = 100/1.

Глава 4

Движение по наклонной плоскости

История

После обеда ребёнок хочет скатиться на санках с горки. Длина склона 18 м, на каждые 5 м пути он опускается на 3 м, то есть sin α = 0,6, cos α = 0,8. Коэффициент трения санок о снег — найденный утром μ = 0,25.

Отец отпускает санки на вершине склона. Вопрос: с какой скоростью и за какое время санки достигнут подножия? Сколько они проедут потом по ровному снегу?

На склоне санки движутся равноускоренно, на ровном снегу — равнозамедленно.

На наклонной плоскости силу тяжести удобно разложить на две составляющие: mg sin α вдоль плоскости «тянет» тело вниз, а mg cos α перпендикулярно плоскости прижимает тело к ней и уравновешивается силой реакции опоры.

Оси выбираем вдоль плоскости и перпендикулярно ей.Наклонная плоскость

N = mg cos α, Fтр = μmg cos α. Тело само не соскальзывает, если mg sin α ≤ μmg cos α, то есть tg α ≤ μ (тогда трение покоя равно mg sin α). Ускорение при соскальзывании и при движении вверх по инерции:

a↓ = g(sin α − μ cos α),   a↑ = g(sin α + μ cos α)

На гладкой плоскости (μ = 0) a = g sin α. Чтобы равномерно тянуть тело вверх вдоль плоскости, нужна сила F = mg(sin α + μ cos α).

Пример 5

Задача из истории: L = 18 м, sin α = 0,6, cos α = 0,8, μ = 0,25, санки отпускают из покоя. Найдите скорость у подножия, время спуска и путь по ровному снегу до остановки (μ тот же, g = 10 м/с²).

1. Сначала проверим: tg α = 0,75 > μ = 0,25 — санки поедут.Почему так?

   tg α = sin α / cos α = 0,6/0,8.

2. a = 10·(0,6 − 0,25·0,8) = 10·0,4 = 4 м/с².
3. t = √(2L/a) = √(36/4) = 3 с, υ = at = 12 м/с.
4. По ровному снегу: a = μg = 2,5 м/с², s = 12²/(2·2,5) = 28,8 м.Почему так?

   Здесь cos α = 1 — плоскость горизонтальна, трение равно μmg.

5. Ответ: 12 м/с, 3 с; по ровному ещё 28,8 м.

История

Санки спустились со склона за 3 секунды и проехали по ровному снегу ещё почти 29 метров. Ребёнок радостно карабкается обратно на горку, а отец думает: чтобы тянуть санки вверх, трение теперь нужно учитывать направленным не «вверх», а «вниз».

Так как трение всегда направлено против скорости, тело, толкнутое вверх, поднимается и спускается с разными ускорениями:

Анимация · тело, толкнутое вверхАнимация замедлена в 2 раза. При подъёме mg sin α и трение направлены в одну сторону (вниз): a = 8 м/с². После остановки трение поворачивается вверх: a = 4 м/с², поэтому спуск длится дольше подъёма (1,41 с > 1 с) и тело возвращается вниз с меньшей скоростью (≈ 5,7 м/с).

Теперь попробуй сам: меняй угол и коэффициент трения, найди условие, при котором тело начинает скользить.

Лаборатория · наклонная плоскость: α и μАнимация · тело на наклонной плоскостиугол наклона α37°коэффициент трения μ0.25Масса 2 кг. Медленно увеличивай угол: как только tg α станет больше μ, тело начнёт скользить. В покое сила трения равна mg sin α, а не μmg cos α!Проверь себя

Угол наклона гладкой (без трения) наклонной плоскости 30°. С каким ускорением соскальзывает тело (м/с², g = 10 м/с²)?

a = g sin 30° = 10 · 0,5.

Итоги

Запомни

• Закон Гука: F = k|x|; k — жёсткость, Н/м. Последовательно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂, параллельно: k = k₁ + k₂.
• Сила упругости направлена против деформации; N и натяжение нити — тоже силы упругости.
• Трение скольжения Fтр = μN, направлено против скорости; трение покоя равно приложенной силе и не больше μN.
• На горизонтальной поверхности N = mg; если действует только трение, a = μg — не зависит от массы.
• Тормозной путь s = υ₀²/(2μg): скорость в 2 раза — путь в 4 раза.
• Наклонная плоскость: N = mg cos α; условие скольжения tg α > μ; a = g(sin α ∓ μ cos α) (движение вниз / вверх).

Типичные ошибки

На покоящееся тело всегда действует сила трения μN

Трение покоя равно приложенной силе; μN — лишь его максимальное значение. На наклонной плоскости в покое F = mg sin α.

Тяжёлое тело с трением останавливается быстрее

Сила трения растёт пропорционально массе, а ускорение a = μg от массы не зависит; тормозной путь тоже.

В законе Гука x — длина пружины

x — удлинение (деформация): разность конечной и начальной длины, в метрах.

На наклонной плоскости N = mg

N = mg cos α, поэтому и трение равно μmg cos α.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Пружина жёсткостью 100 Н/м растянута на 3 см. Сила упругости:

F = 100 · 0,03 = 3.

2 · Уровень 1

От чего зависит сила трения скольжения?

F = μN: μ зависит от поверхностей, N — от сил.

3 · Уровень 2

Автомобиль тормозит со скорости 20 м/с на дороге с μ = 0,5. Тормозной путь (g = 10 м/с²):

s = 400/(2 · 5) = 40.

4 · Уровень 2

Две одинаковые пружины жёсткостью 200 Н/м соединены последовательно. Жёсткость системы:

k = 200·200/400 = 100.

5 · Уровень ГЭЦ

По наклонной плоскости с углом 30° тело равномерно соскальзывает вниз. Коэффициент трения:

Равномерно: mg sin α = μmg cos α, μ = tg 30° ≈ 0,58.

6 · Уровень ГЭЦ

Тело толкнули вверх по наклонной плоскости (sin α = 0,6, μ = 0,25) со скоростью 8 м/с. Сколько метров оно пройдёт до остановки (g = 10 м/с²)?

a = 10(0,6 + 0,2) = 8; s = 64/16 = 4.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ГЭЦ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 33; B-35, C-51, D-51
2. 01.06.2025, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 77; B-73, C-64, D-68
3. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 56; B-54, C-54, D-56
4. 13.07.2025, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 85; B-84, C-83, D-84
5. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 38; B-48, C-37, D-39
6. 07.06.2026, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 67; B-81, C-64, D-75
7. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 38; B-47, C-43, D-31
8. 12.07.2026, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 67; B-79, C-74, D-80

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ГЭЦ. Задания и пояснения ГЭЦ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.