Основы статики. Простые механизмы

Механика · Тема 4 / 27

Основы статики. Простые механизмы

Этот урок пройдём вместе с семьёй, проводящей день на даче: качели-доска во дворе, мешок цемента, поднимаемый блоком для ремонта крыши, и сундук, который вечером втаскивают по доске в грузовик. Условия равновесия и работу простых механизмов сначала увидим в анимации, затем рассчитаем и применим в заданиях ГЭЦ.

≈ 45 минутГлав: 5Заданий ГЭЦ: 4материал 7 класса (на уровне ГЭЦ)

После урока ты сможешь

• находить плечо и момент силы M = F·d;
• применять два условия равновесия и правило моментов (рычаг, стержень, опоры);
• находить центр тяжести и различать виды равновесия;
• рассчитывать силу и путь для блоков, рычага и наклонной плоскости, применять «золотое правило».

Перед началом вспомни

• Сила тяжести и вес: P = mg, g = 10 Н/кг.
• Равнодействующая; I закон: при компенсации сил тело покоится или движется равномерно.
• Механическая работа: A = F·s (Дж).

Содержание

1. ВведениеСитуация: отец и дочь на качеляхистория и предположение
2. Глава 1Условия равновесия. Момент силыM = F·d · ГЭЦ 07.06.2026
3. Глава 2Правило моментов. Рычагкачели · лаборатория
4. Глава 3Центр тяжести. Виды равновесияцентр тяжести · ГЭЦ 12.07.2026
5. Глава 4Блокимешок цемента · ГЭЦ 13.07.2025, 01.06.2025
6. Глава 5Наклонная плоскость. «Золотое правило» механикисундук и грузовик · «золотое правило»
7. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
8. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: отец и дочь на качелях

История

В воскресенье семья на даче. Во дворе — длинная доска-качели, опирающаяся серединой на подставку. Дочь (20 кг) садится на один конец доски — в 2 м от опоры.

Как только отец (80 кг) садится с другой стороны, доска наклоняется к нему, и дочь повисает в воздухе. Отец начинает придвигаться к опоре. Вопрос: на каком расстоянии от опоры должен сесть отец, чтобы доска осталась в горизонтальном равновесии?

Массой доски пренебрегаем; опора — посередине.Сначала предположи

Как ты думаешь, на каком расстоянии (в метрах) от опоры должен сесть отец? Ответ рассчитаем во 2-й главе.

Качели — простейший механизм, рычаг. В этом уроке мы изучим условия равновесия тел, момент силы, центр тяжести и простые механизмы — рычаг, блоки, наклонную плоскость — на делах одного дня на даче.

Глава 1

Условия равновесия. Момент силы

Статика — раздел механики, изучающий условия равновесия тел под действием сил. Если тело в равновесии, оно не движется поступательно и не вращается. Поэтому у равновесия два условия.

Плечо и момент силы

Кратчайшее (перпендикулярное) расстояние от оси вращения до линии действия силы называют плечом силыd. Произведение модуля силы на её плечо — момент силы: M = F·d. Единица — 1 Н·м.

Анимация · закручиваем гайку ключомСила остаётся той же (50 Н), меняется её направление. Когда давим перпендикулярно ключу, плечо наибольшее (0,3 м) и момент 15 Н·м; когда сила направлена вдоль ключа, плечо стремится к нулю — гайка не поворачивается.Условия равновесия

1) Равнодействующая сил, действующих на тело, равна нулю: F→₁ + F→₂ + … = 0. 2) Относительно любой оси сумма моментов сил, вращающих тело по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вращающих против часовой (алгебраическая сумма моментов равна нулю).

Пример 1

Ручка двери в 0,8 м от петель. Толкаем дверь за ручку перпендикулярно с силой 10 Н. Каков момент? Какая сила нужна, чтобы получить тот же момент, толкая в 0,2 м от петель?

1. M = F·d = 10·0,8 = 8 Н·м.
2. F′ = M/d′ = 8/0,2 = 40 Н.Почему так?

   Плечо короче в 4 раза — силу нужно увеличить в 4 раза. Поэтому ручку ставят подальше от петель.

3. Ответ: 8 Н·м; 40 Н.

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 07.06.2026

Точка A невесомого рычага относительно точки опоры O:

Рисунок меняется вместе с шагами.A) вращается по часовой стрелкеB) движется от нас в плоскость рисункаC) вращается против часовой стрелкиD) остаётся в равновесииE) движется из плоскости рисунка к нам

1. Левая сила вращает рычаг вокруг O против часовой стрелки: M₁ = F₁d₁ = 9·2 = 18 Н·м.Почему так?

   Силы перпендикулярны рычагу, поэтому плечо — расстояние от O до точки приложения.

2. Правая сила вращает по часовой стрелке: M₂ = F₂d₂ = 3·6 = 18 Н·м.
3. M₁ = M₂: моменты уравновешены, рычаг (и его конец A) не поворачивается — остаётся в равновесии.Почему так?

   Силы различаются в 3 раза, но и плечи — в 3 раза в обратную сторону.

4. Ответ: остаётся в равновесии (вариант D).

Это же задание было и на экзамене 07.06.2026, IV группа специальностей (A71).

Официальное пояснение ГЭЦ (07.06.2026)

По правилу моментов F₁d₁ = 9·2 = 18 Нм иF₂d₂ = 3·6 = 18 Нм, то есть F₁d₁=F₂d₂. Отсюда следует, что рычаг и его конец — точка A — относительно точки O останутся в равновесии.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

К концу ключа длиной 0,25 м перпендикулярно ключу приложена сила 40 Н. Найдите момент силы (Н·м).

M = F·d.

Глава 2

Правило моментов. Рычаг

Рычаг и правило моментов

Рычаг — твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной опоры (оси). Условие равновесия рычага под действием двух сил — правило моментов: F₁d₁ = F₂d₂, то есть F₁/F₂ = d₂/d₁. Во сколько раз плечи различаются, во столько раз рычаг даёт выигрыш в силе.

F₁d₁ = F₂d₂

Пример 2

Задача из истории: дочь (20 кг) сидит в 2 м от опоры. На каком расстоянии от опоры должен сесть отец (80 кг), чтобы качели были в равновесии? g = 10 м/с².

1. Силы — веса: F₁ = 200 Н (дочь), F₂ = 800 Н (отец).
2. Правило моментов: 200·2 = 800·d.Почему так?

   Вес дочери поворачивает доску в одну сторону, вес отца — в другую.

3. d = 400/800 = 0,5 м.
4. Ответ: 0,5 м.

История

Когда отец сел в 0,5 м от опоры, качели пришли в равновесие: он в 4 раза тяжелее дочери, поэтому его плечо должно быть в 4 раза короче. Теперь, чуть сдвигаясь вперёд или назад, они могут наклонять качели в любую сторону.

Рычаг даёт выигрыш в силе, но у этого есть «цена»: поднимая ломом тяжёлый камень, рука проходит путь во много раз больший, чем камень.

Анимация · поднимаем камень ломомПлечи 0,5 м и 2 м — выигрыш в силе в 4 раза: 150 Н уравновешивают камень весом 600 Н. Зато рука проходит путь в 4 раза больший: выигрыш в силе оплачивается проигрышем в пути.

Теперь проверь сам: меняй массу правого груза и место подвеса и смотри, когда рычаг остаётся в равновесии.

Лаборатория · меняй груз и плечоАнимация · равновесие рычагамасса правого груза4 кгместо подвеса (деление)3Для равновесия произведение массы груза на номер деления должно быть 12: 4 кг · 3, 6 кг · 2, 12 кг · 1, 2 кг · 6, 3 кг · 4. Каждые 5 секунд рычаг отпускают заново.Проверь себя

Ломом поднимают камень весом 1200 Н. Опора в 0,3 м от камня и в 1,8 м от руки. Какая наименьшая сила (Н) нужна?

F₁ = F₂d₂/d₁ = 1200·0,3/1,8.

Глава 3

Центр тяжести. Виды равновесия

До сих пор мы не учитывали массу рычага и доски. На каждую часть реального стержня действует сила тяжести, но все эти силы можно заменить одной равнодействующей.

Центр тяжести

Точку приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на части тела, называют центром тяжести. Центр тяжести однородного симметричного тела — в его геометрическом центре: у однородного стержня — посередине, сила тяжести mg приложена там.

Виды равновесия

Равновесие устойчивое, если после малого отклонения тело возвращается в положение равновесия (центр тяжести в самом низком положении); неустойчивое, если удаляется от него ещё дальше (центр тяжести в самом высоком положении); безразличное, если и в новом положении тело остаётся в равновесии (высота центра тяжести не меняется).

Анимация · три шара — три равновесияШар на вогнутой поверхности колеблется и возвращается на дно, шар на вершине всё быстрее скатывается и падает, шар на ровной поверхности тормозится трением и останавливается на новом месте.Пример 3

Однородная доска длиной 4 м и массой 20 кг лежит концами на двух опорах. Мастер массой 60 кг стоит в 1 м от левого конца. Найдите силы реакции опор (g = 10 Н/кг).

1. Вес доски 200 Н приложен посередине (2 м от левого конца), вес мастера 600 Н — в 1 м от левого конца.Почему так?

   Центр тяжести однородной доски — посередине.

2. Моменты относительно левой опоры: N₂·4 = 200·2 + 600·1 = 1000, N₂ = 250 Н.Почему так?

   Если ось провести через точку приложения неизвестной силы, её момент равен нулю — в уравнении остаётся одно неизвестное.

3. Сумма сил: N₁ + N₂ = 800, N₁ = 550 Н.
4. Ответ: 550 Н (левая), 250 Н (правая).

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 12.07.2026

Однородный стержень массой 3 кг находится в равновесии в горизонтальном положении. По данным рисунка вычислите модуль силы реакции опоры →N (деления равны, g = 10 Н/кг).

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 9 НB) 12 НC) 10 НD) 8 НE) 6 Н

1. На стержень действуют три силы и натяжение нити: реакция опоры N (левый конец, вверх), сила тяжести стержня 30 Н (середина — 3-е деление слева), вес груза 20 Н (правый конец).Почему так?

   Стержень однородный, поэтому сила тяжести приложена посередине.

2. Проводим ось через точку A, где привязана нить, — момент натяжения равен нулю. Плечи (в делениях): N — 5, сила тяжести — 2, груз — 1.Почему так?

   Это самая удобная ось: она «убирает» неизвестное натяжение из уравнения.

3. N и груз вращают вокруг A в одну сторону, вес стержня — в другую: N·5 + 20·1 = 30·2.
4. 5N = 40, N = 8 Н.
5. Ответ: 8 Н (вариант D).

Это же задание было и на экзамене 12.07.2026, IV группа специальностей (A78).

Официальное пояснение ГЭЦ (12.07.2026)

Определяются силы, стремящиеся повернуть стержень относительно оси, проходящей через точку A перпендикулярно плоскости рисунка. Применяя к этим силам правило моментов (относительно нити →N и m→g вращают стержень по часовой стрелке, а сила тяжести стержня — против часовой стрелки), получаем 5N + m g=2m_сg. Отсюда 5 · N =60 (Н) – 20 (Н) и N = 8 (Н).Примечание: задачу можно решить и, определив силы, стремящиеся повернуть стержень относительно опоры, применив правило моментов.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Однородная балка массой 10 кг и длиной 2 м лежит на земле. Какая наименьшая сила (Н) нужна, чтобы приподнять её за один конец, действуя вертикально вверх?

Ось — в конце, лежащем на земле: F·2 = 100·1.

Глава 4

Блоки

История

После обеда отец чинит крышу дачи. Мешок цемента массой 40 кг нужно поднять на крышу. Он привязывает верёвку к балке у края крыши, пропускает её под подвижным блоком, прикреплённым к мешку, затем перекидывает через неподвижный блок на балке и опускает вниз.

Вопрос: с какой силой отец должен тянуть верёвку и сколько метров верёвки нужно вытянуть, чтобы поднять мешок на 3 м?

Массы блоков и трение не учитываются. Красные метки показывают движение верёвки.Неподвижный и подвижный блок

Блок — колесо с жёлобом для верёвки, которое может вращаться вокруг оси. У неподвижного блока ось закреплена: он не даёт выигрыша в силе (F = P), а лишь меняет направление силы. Подвижный блок поднимается и опускается вместе с грузом: груз держат два участка верёвки, поэтому он даёт выигрыш в силе в 2 раза: F = P/2.

Анимация · неподвижный и подвижный блокВ обоих случаях груз поднимается на 1 м. С неподвижным блоком верёвку вытягивают на 1 м силой 400 Н, с подвижным — на 2 м силой 200 Н. Работа одинакова — 400 Дж.Пример 4

Задача из истории: масса мешка 40 кг. С какой силой должен тянуть отец? Сколько метров верёвки нужно вытянуть, чтобы поднять мешок на 3 м?

1. Вес мешка P = mg = 400 Н.
2. Подвижный блок: мешок держат два участка верёвки, 2T = 400, T = 200 Н. Неподвижный блок лишь меняет направление: отец тянет вниз с силой F = 200 Н.Почему так?

   Натяжение одной верёвки всюду одинаково (блок лёгкий, трения нет).

3. При подъёме мешка на 3 м оба участка верёвки у блока укорачиваются на 3 м: вытянуть нужно 2·3 = 6 м.Почему так?

   Выигрыш в силе в 2 раза — проигрыш в пути в 2 раза.

4. Ответ: 200 Н; 6 м.

История

Отец тянул силой всего 200 Н вместо 400 Н, но, чтобы поднять мешок на 3 м, ему пришлось вытянуть 6 м верёвки. Работа не изменилась: 200·6 = 400·3 = 1200 Дж.

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 13.07.2025

Если система находится в равновесии, вычислите массу тела x (массы блоков и трение не учитываются).

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 20 кгB) 6 кгC) 4 кгD) 2 кгE) 1 кг

1. Система состоит из одного подвижного и одного неподвижного блока; натяжение верёвки T всюду одинаково.Почему так?

   Блоки лёгкие, трения нет.

2. Подвижный блок держат два участка верёвки: 2T = (12 + 2)g, T = 7g.
3. Правые грузы держит один участок верёвки: T = (6 + mₓ)g.
4. 6 + mₓ = 7, mₓ = 1 кг.
5. Ответ: 1 кг (вариант E).

Это же задание было и на экзамене 13.07.2025, IV группа специальностей (A69).

Официальное пояснение ГЭЦ (13.07.2025)

Система состоит из 1 подвижного и 1 неподвижного блока.В этом случае сумма масс тел справа равна половине суммы масс тел слева,поэтому 6кг + mₓ = (12кг + 2кг)/2 . Отсюдаmₓ = 1кгИсточник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 01.06.2025

К системе из невесомого рычага и блока подвешен груз массой m₁. Определите место и массу второго тела, подвешенного к рычагу, чтобы рычаг оставался в равновесии в горизонтальном положении (масса блока не учитывается, деления равны, g = 10 м/с²).

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Нить, держащая рычаг, подвешена к оси подвижного блока. Блок тянут вверх два участка верёвки, в каждом 300 Н: натяжение нити рычага T = 2F = 600 Н.Почему так?

   Подвижный блок удваивает силу.

2. Если рычаг в равновесии, сумма сил равна нулю: m₁g + m₂g = 600 Н, 500 + 10m₂ = 600, m₂ = 10 кг.Почему так?

   Рычаг невесом; вверх его тянет только нить, вниз — два груза.

3. Правило моментов относительно O: m₁g·1 = m₂g·x, 500·1 = 100·x, x = 5 делений — 5 делений вправо от O, то есть точка S.Почему так?

   Вправо от O: K — 1, L — 2, M — 3, N — 4, S — 5 делений.

4. Ответ: m₂ = 10 кг; подвесить в точке S.

Официальное пояснение ГЭЦ (01.06.2025)

Невесомый рычаг подвешен к подвижному блоку.Поэтому сила натяжения нити, на которой подвешен рычаг,T=600 Н. Тогда веса подвешенных к рычагу грузовдолжны составлять 600 Н. m₁g + m₂g = 600 Н … Отсюдаполучаем m₂ = 10кг. Для равновесия рычага в горизонтальномположении по правилу моментовможно записать m₁g · 1 = m₂g · x. Отсюда x = 5. То естьвторое тело нужно подвесить в 5 делениях вправо от точки O — в точкеS.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

С помощью подвижного блока равномерно поднимают груз массой 30 кг. Какая сила (Н) приложена к верёвке? (блок лёгкий)

F = mg/2.

Глава 5

Наклонная плоскость. «Золотое правило» механики

История

Вечером семья возвращается в город. Старый сундук массой 60 кг нужно погрузить в грузовик, кузов на высоте 1 м от земли. Отец приставляет к кузову гладкую доску длиной 3 м и, обвязав сундук верёвкой, втаскивает его вверх по доске.

Вопрос: какая сила нужна, чтобы равномерно втаскивать сундук, если пренебречь трением? Что мы при этом выигрываем и что теряем?

Сундук движется с постоянной скоростью: равнодействующая сил, действующих на него, равна нулю.Наклонная плоскость

Чтобы равномерно поднимать груз весом P = mg по гладкой наклонной плоскости длиной l и высотой h, вдоль плоскости нужно прикладывать силу F = P·h/l. Наклонная плоскость даёт выигрыш в силе в l/h раз.

F·l = P·h

«Золотое правило» механики

Ни один простой механизм не даёт выигрыша в работе: во сколько раз выигрываем в силе, во столько раз проигрываем в пути. При трении полезная работа меньше затраченной; их отношение — коэффициент полезного действия (КПД): η = Aп/Aз · 100%.

Анимация · по вертикали и по наклоннойОбоими способами сундук поднимается на высоту 1 м. При вертикальном подъёме сила 600 Н действует на пути 1 м, по наклонной плоскости — сила 200 Н на пути 3 м. Работа в обоих случаях 600 Дж.Пример 5

Задача из истории: сундук 60 кг, длина доски 3 м, высота кузова 1 м. Какая сила нужна без трения? Сравните работу с прямым подъёмом.

1. Вес: P = mg = 600 Н.
2. F = P·h/l = 600·1/3 = 200 Н — выигрыш в силе в 3 раза.Почему так?

   Вдоль плоскости сундук тянет вниз составляющая силы тяжести mg·sin α = mg·h/l; при равномерном движении её уравновешивает F.

3. Работа: A = F·l = 200·3 = 600 Дж; при прямом подъёме: A = P·h = 600·1 = 600 Дж — одинакова.
4. Ответ: 200 Н; работа в обоих случаях 600 Дж — выигрыш в силе в 3 раза, проигрыш в пути в 3 раза.

История

Отец тянул сундук силой 200 Н вместо 600 Н, но тащить его пришлось не 1 м, а 3 м. На самом деле между доской и сундуком есть трение, и отец прикладывает, например, 250 Н: тогда КПД = 600/(250·3) = 80%.

Проверь себя

Какая сила (Н) нужна, чтобы равномерно поднимать груз массой 50 кг по гладкой наклонной плоскости длиной 5 м и высотой 1 м?

F = mg·h/l.

Итоги

Запомни

• Плечо — перпендикуляр от оси до линии действия силы; момент M = F·d (Н·м).
• Условия равновесия: равнодействующая равна нулю и алгебраическая сумма моментов относительно любой оси равна нулю.
• Правило моментов (рычаг): F₁d₁ = F₂d₂; выигрыш в силе d₂/d₁.
• Ось через точку приложения неизвестной силы упрощает уравнение.
• Центр тяжести однородного стержня — посередине. Равновесие: устойчивое (центр тяжести внизу), неустойчивое (вверху), безразличное.
• Неподвижный блок: F = P (меняет направление); подвижный: F = P/2, верёвку вытягивают вдвое больше.
• Наклонная плоскость: F = P·h/l. «Золотое правило»: выигрыша в работе нет; КПД η = Aп/Aз.

Типичные ошибки

Плечо — расстояние от оси до точки приложения силы

Плечо — перпендикуляр от оси к линии действия силы. При наклонной силе плечо меньше: d = l·sin α.

Неподвижный блок даёт выигрыш в силе в 2 раза

Неподвижный блок лишь меняет направление силы; выигрыш в 2 раза даёт подвижный блок.

Простой механизм даёт выигрыш в работе

Выигрыш в силе всегда оплачивается таким же проигрышем в пути; с трением работа даже больше.

Весом однородного стержня можно пренебречь

Только если в условии сказано «невесомый». Иначе mg приложена посередине стержня и входит в правило моментов.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Единица момента силы в СИ:

M = F·d: ньютон, умноженный на метр.

2 · Уровень 1

Неподвижный блок:

Ось закреплена, сила на обоих концах верёвки одинакова.

3 · Уровень 2

На короткое плечо рычага (0,5 м) действует сила 200 Н. Каким должно быть длинное плечо, чтобы его уравновесила сила 40 Н?

200·0,5 = 40·d, d = 2,5.

4 · Уровень 2

Сила для равномерного подъёма груза 40 кг по гладкой наклонной плоскости длиной 5 м и высотой 1 м:

F = mg·h/l = 400·1/5 = 80.

5 · Уровень ГЭЦ

Однородная балка весом 100 Н и длиной 2 м одним концом опирается на опору, а другим удерживается вертикальной нитью и горизонтальна. Сила натяжения нити:

Относительно опоры: T·2 = 100·1, T = 50 Н.

6 · Уровень ГЭЦ

Груз 60 кг подняли на высоту 1 м по наклонной плоскости длиной 3 м силой 250 Н. КПД:

Aп = 600 Дж, Aз = 250·3 = 750 Дж, η = 600/750 = 80%.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ГЭЦ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 59; B-59, C-59, D-59
2. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 37; B-40, C-47, D-46
3. 13.07.2025, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 69; B-69, C-65, D-68
4. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 52; B-34, C-31, D-51
5. 07.06.2026, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 71; B-78, C-69, D-69
6. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 52; B-34, C-51, D-48
7. 12.07.2026, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 78; B-71, C-81, D-82

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ГЭЦ. Задания и пояснения ГЭЦ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.