Hərəkət və oxşarlıq

Planimetriya · Mövzu 41 / 46

Hərəkət və oxşarlıq

Bu dərsi bir tamaşa hekayəsi ilə keçəcəyik: məktəb bayram tamaşasına hazırlaşır. Sinifdəki proyektor, səhnədə daşınan dekor və arxa divara düşən kölgə bizi hərəkətlərə və oxşarlığa aparacaq: simmetriya, paralel köçürmə, oxşarlıq əlamətləri, paralel xətlərin ayırdığı üçbucaqlar, perimetr və sahə nisbətləri.

≈ 50 dəqiqə5 fəsil11 DİM tapşırığı8–9-cu sinif materialı

Bu dərsdən sonra bacaracaqsan

• simmetriya, paralel köçürmə və dönmədə nöqtənin obrazının koordinatlarını tapmağı;
• üçbucaqların oxşarlığını BB, TBT, TTT əlamətləri ilə isbat etməyi və uyğun tərəfləri düzgün seçməyi;
• paralel düz xəttin ayırdığı oxşar üçbucaqlarla parçaları hesablamağı;
• perimetrlər nisbətini (k) və sahələr nisbətini (k²) tətbiq etməyi.

Başlamazdan əvvəl xatırla

• Üçbucağın bucaqlarının cəmi 180°-dir; qarşılıqlı bucaqlar bərabərdir.
• Paralel düz xətlərdə uyğun və çarpaz bucaqlar bərabərdir.
• Tənasübün əsas xassəsi: a/b = c/d ⇒ ad = bc.

Mündəricat

1. GirişSituasiya: proyektoru geri çəkəndəhekayə və təxmin
2. Fəsil 1Hərəkətlər: simmetriya, paralel köçürmə, dönməhərəkət · x′ = x + a · DİM 09.03.2025
3. Fəsil 2Oxşar üçbucaqlar və oxşarlıq əlamətlərik · BB, TBT, TTT · DİM 24.05.2026, 13.07.2025
4. Fəsil 3Paralel düz xətt və oxşar üçbucaqlarMN ∥ AC · kölgə · DİM 09.03.2026
5. Fəsil 4Oxşar fiqurların perimetrləri və sahələriP → k, S → k² · DİM 01.06.2025
6. Fəsil 5Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuza çəkilmiş hündürlükCD² = AD·DB · DİM 12.07.2026
7. Məşqİmtahan tapşırıqları ilə məşq5 DİM tapşırığı: cavab və rəsmi izah
8. YekunYadda saxlaqısa xülasə və tipik səhvlər
9. YekunMüstəqil iş6 tapşırıq, asandan çətinə

Giriş

Situasiya: proyektoru geri çəkəndə

Hekayə

Məktəbdə bayram tamaşası hazırlanır. Dərsdən sonra sinifdə şagirdlər slaydları yoxlayır: partanın üstündəki proyektor ekrana üçbucaq şəkli salır. Proyektor ekrandan 2 m aralıdır, şəklin eni 1,2 m-dir.

Tamaşa böyük zalda olacaq, orada proyektor ekrandan iki dəfə uzaqda — 4 m məsafədə duracaq. Şəklin eni iki dəfə artacaq. Bəs şəklin sahəsi neçə dəfə artacaq? İşıq daha böyük sahəyə yayılacaq — şəkil nə qədər solğunlaşacaq?

Proyektor 2 m məsafədən eni 1,2 m olan şəkil verir. 4 m-dən necə olacaq?Əvvəlcə təxmin et

Sənin fikrincə, şəklin sahəsi neçə dəfə artacaq? Təxminini seç: 4-cü fəsildə birlikdə yoxlayacağıq.

Fəsil 1

Hərəkətlər: simmetriya, paralel köçürmə, dönmə

Hekayə

Ertəsi gün məşq səhnədə keçir. Rejissor səhnə döşəməsinin ortasına ağ xətlərlə iki ox çəkdirib, döşəməni 1 m-lik kvadratlara bölüb. İndi o, istənilən dekorun yerini koordinatlarla deyə bilir.

Dekor ağac A(−2; 1) nöqtəsində durur. Rejissor deyir: “Ağacı 3 m sağa və 2 m geriyə aparın.” Ağacın yeni yerinin koordinatları nədir və ağac daşınanda onun ölçüləri dəyişirmi?

Səhnə döşəməsində koordinat şəbəkəsi: ağac A(−2; 1) nöqtəsindən 3 m sağa və 2 m geriyə daşınır.

Fiqurun nöqtələrini müəyyən qaydaya görə yeni nöqtələrə keçirən çevirmə hərəkət adlanır, əgər o, nöqtələr arasındakı məsafələri saxlayırsa. Hərəkətdə parça bərabər parçaya, bucaq bərabər bucağa, fiqur ona bərabər fiqura keçir. Məktəb kursunda dörd hərəkət öyrənilir.

Mavi bayraq — ilkin fiqur, qırmızı bayraq — onun obrazı. Ölçülər heç birində dəyişmir.Dörd hərəkət

Oxa nəzərən simmetriya: nöqtə oxa perpendikulyar üzrə o biri tərəfə, eyni məsafəyə keçir. Ox-a nəzərən (x; y) → (x; −y), Oy-a nəzərən (x; y) → (−x; y).Mərkəzi simmetriya (O-ya nəzərən): (x; y) → (−x; −y); O nöqtəsi nöqtə ilə obrazını birləşdirən parçanın ortasıdır.Paralel köçürmə (a; b) vektoru ilə: x′ = x + a, y′ = y + b — bütün nöqtələr eyni istiqamətdə eyni məsafəyə sürüşür.Dönmə O nöqtəsi ətrafında 90° (saat əqrəbinin əksinə): (x; y) → (−y; x); 180°-li dönmə mərkəzi simmetriyanın özüdür.

Hekayə

Rejissorun əmri (3; 2) vektoru ilə paralel köçürmədir: x′ = −2 + 3 = 1, y′ = 1 + 2 = 3, ağacın yeni yeri A′(1; 3). Ağac sadəcə sürüşdü — hündürlüyü də, budaqları da dəyişmədi, çünki paralel köçürmə hərəkətdir.

Nümunə 1

K(2; −5) nöqtəsinin Oy oxuna nəzərən simmetrik nöqtəsini, O-ya nəzərən simmetrik nöqtəsini və O ətrafında 90° dönmədən alınan obrazını tapın.

1. Oy-a nəzərən absisin işarəsi dəyişir: K₁(−2; −5).Niyə belədir?

   Oy oxu x = 0 xəttidir; nöqtə ondan |x| = 2 məsafədədir, obraz da o biri tərəfdə eyni məsafədə olur.

2. O-ya nəzərən hər iki koordinatın işarəsi dəyişir: K₂(−2; 5).
3. 90° dönmə: (x; y) → (−y; x) = (5; 2).Niyə belədir?

   Yoxlama: OK = √(4 + 25) = √29 və O-dan (5; 2)-yə məsafə də √29-dur — dönmə məsafəni saxlayır.

4. Cavab: (−2; −5), (−2; 5), (5; 2).

İmtahanda belə soruşulurDİM · 09.03.2025

x′ = x + 4 və y′ = y + 1 düsturları ilə verilən paralel köçürmədə A(−3; 2) nöqtəsi hansı nöqtəyə çevrilər?

A) (−1; −3)B) (1; 3)C) (2; 3)D) (−3; 2)E) (−1; 3)

1. Düsturlar a = 4, b = 1 vektoru ilə paralel köçürməni verir: absisə 4, ordinata 1 əlavə olunur.Niyə belədir?

   x′ və y′ — yeni nöqtənin, x və y — köhnə nöqtənin koordinatlarıdır.

2. x′ = −3 + 4 = 1, y′ = 2 + 1 = 3.
3. Cavab: (1; 3) (B variantı).

DİM-in rəsmi izahı (09.03.2025)

{ x → x′ = x + 4 ; y → y′ = y + 1 }A(−3; 2) → A′(−3 + 4; 2 + 1) = A′(1; 3)Mənbə: DİM izahı — 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

Özün yoxla

Paralel köçürmə A(1; −2) nöqtəsini A′(4; 3) nöqtəsinə keçirir. Bu köçürmədə B(−2; 0) nöqtəsi hansı nöqtəyə keçər? Obrazın ordinatını yazın.

Köçürmə vektoru (3; 5): hər nöqtə eyni qədər sürüşür.

Fəsil 2

Oxşar üçbucaqlar və oxşarlıq əlamətləri

Hərəkət fiquru dəyişmir, proyektor isə şəkli böyüdür: forma eyni qalır, ölçülər isə eyni sayda dəfə dəyişir. Belə fiqurlar oxşar fiqurlardır.

Tərif

Bucaqları uyğun olaraq bərabər, uyğun tərəfləri mütənasib olan üçbucaqlar oxşar üçbucaqlar adlanır: △A₁B₁C₁ ~ △ABC, A₁B₁/AB = B₁C₁/BC = A₁C₁/AC = k. k ədədi oxşarlıq əmsalıdır. Uyğun tərəflər bərabər bucaqların qarşısındakı tərəflərdir.

Eyni sayda qövs — bərabər bucaqlar; bərabər bucaqların qarşısında uyğun tərəflər durur.Üçbucaqların oxşarlıq əlamətləri

BB (iki bucağa görə): bir üçbucağın iki bucağı digərinin iki bucağına bərabərdirsə, üçbucaqlar oxşardır.TBT (iki tərəf və aralarındakı bucağa görə): iki tərəf mütənasib, aralarındakı bucaqlar bərabərdirsə.TTT (üç tərəfə görə): üç tərəf mütənasibdirsə.

Nümunə 2

Tərəfləri 3, 4, 6 və 4,5; 6; 9 olan üçbucaqlar oxşardırmı? Oxşarlıq əmsalını tapın.

1. Tərəfləri artan sıra ilə düzüb nisbətləri tuturuq: 4,5/3 = 1,5; 6/4 = 1,5; 9/6 = 1,5.Niyə belədir?

   Kiçik tərəf kiçik tərəflə, böyük tərəf böyük tərəflə müqayisə olunur — onlar bərabər bucaqların qarşısındadır.

2. Hər üç nisbət bərabərdir: TTT əlamətinə görə üçbucaqlar oxşardır.
3. Cavab: oxşardır, k = 1,5.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 24.05.2026

ABC üçbucağında AB = BD, AC = BC, AD = 3, DC = 9 olarsa, ABC üçbucağının perimetrini tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 24B) 30C) 32D) 19E) 20

1. AB = BD olduğundan ABD bərabəryanlıdır: ∠BAD = ∠BDA. AC = BC olduğundan ABC bərabəryanlıdır: ∠BAC = ∠ABC.Niyə belədir?

   Bərabəryanlı üçbucaqda oturacaq bucaqları bərabərdir.

2. ABD və ACB üçbucaqlarında A bucağı ortaqdır, ∠ADB = ∠BAD = ∠ABC. BB əlamətinə görə △ABD ~ △ACB.Niyə belədir?

   Uyğunluq: A ↔ A, B ↔ C, D ↔ B. Hər iki üçbucaq oturacaq bucağı A olan bərabəryanlı üçbucaqdır.

3. Uyğun tərəflər: AB/AC = AD/AB, AB² = AD·AC = 3·12 = 36, AB = 6.
4. BC = AC = 12, perimetr P = 6 + 12 + 12 = 30.
5. Cavab: 30 (B variantı).

DİM-in rəsmi izahı (24.05.2026)

AB=BD olduğundan △ABD-də ∠BAD = ∠BDA. Eyni ilə AC=BC şərtindən △ABC-də ∠BAC = ∠CBA. İki bucağın bərabərliyindən △ABD ~ △ACB. Oxşarlıqdan AB/AC = AD/AB, AB/(3+9) = 3/AB, AB² = 36, AB = 6. Onda P△ABC = 12 + 12 + 6 = 30Mənbə: DİM izahı — 24.05.2026, II ixtisas qrupu (PDF)

İmtahanda belə soruşulurDİM · 13.07.2025

AB və CD parçaları E nöqtəsində kəsişir. AE = 2√5, AC = 4, DE = 3EC və BE = 6√5 olarsa, BD parçasının uzunluğunu tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 3√5B) 15√5C) 12D) 12√5E) 18

1. AEC və BED bucaqları qarşılıqlı bucaqlardır, ona görə bərabərdir.Niyə belədir?

   İki düz xəttin kəsişməsində qarşı-qarşıya duran bucaqlar bərabərdir.

2. Bu bucağın tərəfləri: BE/AE = 6√5 / 2√5 = 3, DE/CE = 3.Niyə belədir?

   Diqqət: AE ilə BE, CE ilə DE uyğun tərəflərdir — hər cüt bir düz xətt üzərindədir.

3. İki tərəf mütənasib, aralarındakı bucaqlar bərabərdir: TBT əlamətinə görə △AEC ~ △BED, k = 3.
4. AC və BD uyğun tərəflərdir: BD = 3·AC = 3·4 = 12.
5. Cavab: 12 (C variantı).

DİM-in rəsmi izahı (13.07.2025)

AEC və DEB bucaqları qarşılıqlı bucaqlar olduqları üçün konqruyentdirlər. Həmçinin DE=3CE, BE=3AE olduğundan … AEC və BED üçbucaqları oxşardırlar və BD=3AC olur. Onda BD=12 olur.Mənbə: DİM izahı — 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

△ABC ~ △A₁B₁C₁, AB = 4, BC = 6, A₁B₁ = 10. B₁C₁-i tapın.

k = 10 : 4 = 2,5.

Fəsil 3

Paralel düz xətt və oxşar üçbucaqlar

Hekayə

Baş məşq. Səhnənin döşəməsinə projektor qoyulub, o, aktyoru aşağıdan işıqlandırır və arxa divara böyük kölgə salır. Rejissor kölgənin divara sığıb-sığmayacağını bilmək istəyir: divarın hündürlüyü 4,5 m-dir.

Aktyorun boyu 1,6 m, o, projektordan 2 m aralıda durur, arxa divar isə aktyordan daha 3 m aralıdır. Kölgənin hündürlüyü H nə qədərdir?

Aktyor və divar şaquli, yəni paraleldir; işıq şüası iki oxşar üçbucaq yaradır.Teorem

Üçbucağın bir tərəfinə paralel düz xətt digər iki tərəfi kəsirsə, verilən üçbucağa oxşar üçbucaq ayırır: ABC-də MN ∥ AC olarsa (M ∈ AB, N ∈ BC), △MBN ~ △ABC və BM/BA = BN/BC = MN/AC.

Səbəb BB əlamətidir: B bucağı ortaqdır, paralel düz xətlərdə uyğun bucaqlar isə bərabərdir (∠BMN = ∠BAC). Ən çox edilən səhv: tərəfin bütövü əvəzinə onun parçasını götürmək. Kiçik üçbucağın tərəfi BN-dir, böyüyünkü isə BC = BN + NC, NC yox.

Hekayə

Projektor, aktyorun ayaqları və başı bir üçbucaq yaradır, projektor, divarın dibi və kölgənin başı isə daha böyük üçbucaq. Aktyor divara paraleldir, deməli üçbucaqlar oxşardır: H/1,6 = (2 + 3)/2, buradan H = 1,6·2,5 = 4 m. Kölgə 4,5 m-lik divara sığır, amma divarın yuxarı kənarına cəmi 0,5 m qalır.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 09.03.2026

ABC üçbucağında MN∥AC, AC=20 sm, BN=8 sm və NC=17 sm olarsa, MN-i tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 6,4 smB) 6,8 smC) 10 smD) 8 smE) 5,2 sm

1. MN ∥ AC olduğundan △MBN ~ △ABC (B bucağı ortaq, M və A-dakı bucaqlar uyğun bucaqlardır).Niyə belədir?

   Paralel düz xətlər kəsənlə bərabər uyğun bucaqlar əmələ gətirir.

2. Böyük üçbucağın tərəfi: BC = BN + NC = 8 + 17 = 25.Niyə belədir?

   BN kiçik üçbucağın, BC böyük üçbucağın tərəfidir — NC heç birinin tərəfi deyil.

3. MN/AC = BN/BC = 8/25, MN = 20·8/25 = 6,4.
4. Cavab: 6,4 sm (A variantı).

DİM-in rəsmi izahı (09.03.2026)

MN∥AC, ΔMBN∼ΔABC olduğundan MN/AC = BN/BC, MN/20 = 8/25, MN=6,4.Mənbə: DİM izahı — 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

Özün yoxla

Hündürlüyü 6 m olan dirəyin kölgəsi 4 m-dir. Eyni anda boyu 1,5 m olan şagirdin kölgəsi neçə metrdir?

Günəş şüaları paraleldir: 6/4 = 1,5/x.

Fəsil 4

Oxşar fiqurların perimetrləri və sahələri

İndi girişdəki suala qayıdaq. Proyektor şəkli bir nöqtədən çıxan şüalarla böyüdür: lampadan iki dəfə uzaqda hər parça iki dəfə uzun olur. Bəs sahə?

Teorem

Oxşarlıq əmsalı k olan fiqurların perimetrləri nisbəti k-ya, sahələri nisbəti isə k²-na bərabərdir:

P₁ : P₂ = k,    S₁ : S₂ = k²

Tərəf 2 dəfə artanda kvadrat 4 kiçik kvadrata, 3 dəfə artanda 9 kiçik kvadrata bölünür.

Səbəb sadədir: sahə iki xətti ölçünün hasilidir (məsələn, ½·oturacaq·hündürlük), hər ölçü k dəfə artır, hasil isə k·k = k² dəfə. Laboratoriyada k slayderini dəyiş: şüalar kiçik üçbucağı “proyeksiya edir”, perimetr k dəfə, sahə k² dəfə artır.

Laboratoriya · proyektor: k dəfə böyütoxşarlıq əmsalı k2Hekayə

Böyük zalda k = 4 : 2 = 2: şəklin eni 1,2·2 = 2,4 m, sahəsi isə k² = 4 dəfə böyük olur. Proyektorun işığı 4 dəfə böyük sahəyə yayılır, ona görə şəkil təxminən 4 dəfə solğun görünəcək — şagirdlər zalda pərdələri bağlamağı qərara alırlar.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 01.06.2025

Perimetrləri nisbəti P₁ : P₂ = 2 : 1 olan iki oxşar üçbucağın S₁ : S₂ sahələri nisbətini tapın.

A) 4:1B) 3:2C) 3:1D) 5:2E) 2:1

1. Perimetrlər nisbəti oxşarlıq əmsalına bərabərdir: k = P₁ : P₂ = 2.Niyə belədir?

   Perimetr xətti ölçüdür — tərəflərin cəmidir, hər tərəf k dəfə dəyişir.

2. Sahələr nisbəti: S₁ : S₂ = k² = 4 : 1.
3. Cavab: 4:1 (A variantı).

DİM-in rəsmi izahı (01.06.2025)

Məlumdur ki, iki oxşar üçbucağın perimetrləri nisbəti oxşarlıq əmsalına, sahələri nisbəti isə oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir. P₁/P₂ = k ⇒ S₁/S₂ = k². P₁/P₂ = k = 2/1 ⇒ S₁/S₂ = (2/1)² = 4 : 1Mənbə: DİM izahı — 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Nümunə 3

İki oxşar üçbucağın sahələri 18 və 50-dir. Birincinin perimetri 12-dirsə, ikincinin perimetrini tapın.

1. k² = 50 : 18 = 25/9, buradan k = 5/3.Niyə belədir?

   Sahələr nisbətindən k tapmaq üçün kök alırıq.

2. P₂ = 12·5/3 = 20.
3. Cavab: 20.

Özün yoxla

Oxşar çoxbucaqlıların uyğun tərəfləri 4 və 6-dır. Kiçiyinin sahəsi 20-dirsə, böyüyünün sahəsini tapın.

k = 1,5; k² = 2,25.

Fəsil 5

Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuza çəkilmiş hündürlük

Oxşarlığın ən gözəl tətbiqlərindən biri düzbucaqlı üçbucaqdadır. Düz bucağın təpəsindən hipotenuza CD hündürlüyünü çəksək, üçbucaq iki hissəyə bölünür və hər üçü — böyük üçbucaq və iki kiçik üçbucaq — bir-birinə oxşar olur.

Hər kiçik üçbucağın bir iti bucağı böyük üçbucaqla ortaqdır, digər bucağı isə düzdür — BB əlaməti.Mütənasib parçalar

△ACD ~ △CBD ~ △ABC; buradan CD² = AD·DB, AC² = AD·AB, BC² = BD·AB.

Nümunə 4

Düzbucaqlı üçbucaqda hündürlük hipotenuzu 4 və 9 uzunluqlu parçalara bölür. Hündürlüyü və kiçik kateti tapın.

1. CD² = 4·9 = 36, CD = 6.Niyə belədir?

   ACD ~ CBD üçbucaqlarından AD/CD = CD/DB.

2. Kiçik katet kiçik parçaya bitişikdir: AC² = AD·AB = 4·13 = 52, AC = 2√13.
3. Cavab: 6 və 2√13.

İsbat nümunəsiDİM · 12.07.2026

ABC üçbucağında ∠C = 90°, CD isə hipotenuza çəkilən hündürlükdür. İsbat edin ki, S△ACD/S△BCD = AC²/BC².

1. Hər iki üçbucağın hündürlüyü CD-dir: S△ACD = ½·AD·CD, S△BCD = ½·DB·CD.
2. Nisbət: S△ACD/S△BCD = AD/DB.Niyə belədir?

   Hündürlüyü ortaq olan üçbucaqların sahələri oturacaqlar kimi nisbətdədir.

3. Mütənasib parçalardan: AC² = AD·AB, BC² = BD·AB. Bölsək, AB ixtisar olunur: AC²/BC² = AD/DB.Niyə belədir?

   Qısa yol: ACD və CBD oxşardır, AC və BC uyğun hipotenuzlardır, k = AC/BC, sahələr nisbəti k².

4. Deməli, S△ACD/S△BCD = AC²/BC².
5. İsbat olundu.

DİM-in rəsmi izahı (12.07.2026)

İsbat: Məsələnin şərtlərinə uyğun şəkil çəkək. Burada CD ⊥ AB . I üsul: S△ACD = ½·AD·CD; S△BCD = ½·DB·CD. Düzbucaq təpəsindən çəkilmiş CD hündürlüyü düzbucaqlı ABC üçbucağını özünə oxşar iki üçbucağa ayırır. △ACD ~ △CBD ~ △ABC olduğundan AC² = AD·AB; BC² = BD·AB. Onda sahələrin yuxarıdakı ifadələrini nisbətdə yerinə yazsaq, alarıq S△ACD/S△BCD = (AD·CD)/(DB·CD) = AD/DB = (AD·AB)/(DB·AB) = AC²/BC². … Qeyd. Məsələnin hökmü əslində həm də: "Oxşar fiqurların sahələri nisbəti uyğun xətti ölçülərin, yaxud oxşarlıq əmsalının kvadratı nisbətinə bərabərdir" hökmünün xüsusi halıdır. Ona görə △ACD və △BCD -nin oxşar olmasını göstərib və S△ACD/S△BCD = k² = (AC/BC)² = AC²/BC² kimi isbatı da doğrudur.Mənbə: DİM izahı — 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

Düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu 8-dir, hündürlük ondan 2 uzunluqlu parça ayırır. Bu parçaya bitişik kateti tapın.

AC² = 2·8.

Məşq

İmtahan tapşırıqları ilə məşq

DİM · 19.04.2026

İki oxşar çoxbucaqlıdan birincinin bir tərəfi 6, ikincinin uyğun tərəfi isə 10-dur. Birinci çoxbucaqlının perimetri 42 olarsa, ikinci çoxbucaqlının perimetrini tapın.

A) 48B) 60C) 52,2D) 25,2E) 70Cavab və DİM izahı

Cavab: 70 (E variantı).

Oxşar fiqurların uyğun tərəfləri və perimetrləri haqqında məlumdur ki, a₁/a₂ = P₁/P₂ ⇒ 6/10 = 42/P₂ ⇒ P₂ = (42·5)/3 = 70Mənbə: DİM izahı — 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF)

DİM · 15.03.2026

Dənizin A və B məntəqələrində olan gəmilər AE və BD düz xətləri üzrə hərəkət edirlər. DE=12 km, BD=20 km və AD=9 km olarsa, trayektoriyaların C kəsişmə nöqtəsindən D məntəqəsinə qədər məsafəni tapın (D və E nöqtələri bir düz xətt üzərindədir).

Açıq tapşırıq: cavabı özün yaz.

Cavab və DİM izahı

Cavab: 7,2 km.

BED düzbucaqlı üçbucağında Pifaqor teoreminə əsasən BE = √(BD² − DE²) = √(20² − 12²) = √256 = 16 (km). DC=x və BC=20 − x olduğu qəbul edilərsə, ADC və EBC üçbucaqlarının oxşarlığından (ΔADC ∼ ΔEBC) AD/EB = DC/BC ⇒ 9/16 = x/(20 − x) ⇒ x = 7,2Mənbə: DİM izahı — 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

DİM · 06.07.2025

ABC düzbucaqlı üçbucaq, ADE isə oturacağı AE olan bərabəryanlı üçbucaqdır. BF = 6, CF = 12 və EF = 20 olarsa, AB-ni tapın.

A) 30B) 25C) 40D) 28E) 36Cavab və DİM izahı

Cavab: 30 (A variantı).

△ADE bərabəryanlı olduğu üçün ∠DAE = ∠DEA = α işarə edək. BB əlamətinə görə △ACB ∼ △ECF yaza bilərik. Buradan:BC/AB = FC/EF18/AB = 12/20AB = 30Mənbə: DİM izahı — 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 05.07.2026

Verilmiş fiqurda AB = 16, BE = 7, CD = 9, CD ∥ AB və ED ∥ AC olarsa, CE parçasının uzunluğunu tapın.

A) 6B) 8C) 9D) 10E) 7Cavab və DİM izahı

Cavab: 9 (C variantı).

I üsul: E və D nöqtələrindən keçən düz xəttin AB tərəfi ilə kəsişdiyi nöqtəni K ilə işarə edək. Şərtə əsasən KE∥AC olar. Onda AKDC paraleloqram olduğu üçün AK = CD = 9. KB = AB − AK = 16 − 9 = 7 KBE üçbucağı ABC üçbucağına oxşardır. ΔKBE bərabəryanlı olduğundan, ΔABC də bərabəryanlı olar. Onda AB = BC = 16, EC = BC − BE = 16 − 7 = 9. II üsul: ED∥AC və BC kəsən olduğu üçün ∠DEC = ∠BCA = α , AB∥CD və BC kəsən olduğu üçün ∠ABC = ∠DCE = β kimi işarə edək. BB əlamətinə görə ΔABC ~ ΔDCE. Onda AB/DC = BC/CE = AC/DE; 16/9 = (7 + CE)/CE ⇒ CE = 9Mənbə: DİM izahı — 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 07.06.2026

Hündürlüyü 20 sm olan silindr formalı qab yarısına qədər maye ilə doldurulmuş və içərisinə uzunluğu silindrin hündürlüyünə bərabər olan nazik çubuq yerləşdirilmişdir. Çubuğun bir ucu alt oturacaq çevrəsi üzərində, digər ucu isə qabın yan divarı üzərində olmaqla üst oturacaqdan 4 sm məsafədə yerləşir. Çubuğun maye daxilində qalan hissəsinin uzunluğunu tapın.

Açıq tapşırıq: cavabı özün yaz.

Cavab və DİM izahı

Cavab: 12,5 sm.

Şərtə görə BM=10 sm , CD=4 sm, CM=6 sm CB=10+6=16 sm. AN=x, NC=20-x işarə edək. Məlumdur ki, iki paralel müstəvini üçüncü müstəvi ilə kəsdikdə alınan kəsişmə düz xətləri bir-birinə paralel olur. Silindrdəki mayenin səthindən keçən müstəvi və silindrin alt oturacağı paralel müstəvilərdir və CA və CB düz xətlərindən keçən müstəvi bu paralel müstəvilərlə kəsişdikdə alınan MN və AB düz xətləri paralel olur: MN// AB. Odur ki, △ABC ~ △NMC. Buradan CB/CM = AC/NC alınır, deməli 16/6 = 20/(20 − x) ⇒ 40 − 2x = 15, x = 12,5.Mənbə: DİM izahı — 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

Yekun

Yadda saxla

• Hərəkət məsafələri saxlayır: simmetriya, paralel köçürmə (x′ = x + a, y′ = y + b), dönmə (90°: (x; y) → (−y; x)).
• Oxşarlıq: bucaqlar bərabər, uyğun tərəflər mütənasib, a₁ : a = k.
• Əlamətlər: BB, TBT, TTT; uyğun tərəflər bərabər bucaqların qarşısındadır.
• MN ∥ AC → △MBN ~ △ABC, MN/AC = BN/BC (bütöv tərəf!).
• Perimetrlər nisbəti k, sahələr nisbəti k².
• Hipotenuza hündürlük: CD² = AD·DB, AC² = AD·AB.

Tipik səhvlər

“Oxşar fiqurların sahələri nisbəti oxşarlıq əmsalına bərabərdir”

Perimetrlər nisbəti k-ya, sahələr nisbəti k²-na bərabərdir: tərəflər 2 dəfə artanda sahə 4 dəfə artır.

“MN/AC = BN/NC”

Oxşar üçbucaqların bütöv tərəfləri götürülür: MN/AC = BN/BC, burada BC = BN + NC.

“Uyğun tərəflər — hərfləri eyni yerdə duran tərəflərdir”

Uyğun tərəflər bərabər bucaqların qarşısındadır. △ABD ~ △ACB yazılışında D ↔ B olduğu üçün əvvəlcə bucaqları tutuşdur.

“Paralel köçürmədə fiqurun ölçüləri dəyişir”

Paralel köçürmə hərəkətdir: məsafələr və bucaqlar saxlanılır, yalnız yer dəyişir.

Yekun

Müstəqil iş

Tapşırıqlar asandan çətinə düzülüb. Əvvəl özün həll et, sonra variantı seç; izah cavabdan sonra açılır.

1 · 1-ci səviyyə

x′ = x − 2, y′ = y + 5 düsturları ilə verilən paralel köçürmədə P(3; −1) nöqtəsinin obrazı:

(3 − 2; −1 + 5) = (1; 4).

2 · 1-ci səviyyə

Oxşarlıq əmsalı 3 olan iki üçbucaqdan kiçiyinin sahəsi 5-dir. Böyüyünün sahəsi:

5·3² = 45.

3 · 2-ci səviyyə

A(4; −1) nöqtəsini O ətrafında saat əqrəbinin əksinə 90° döndərdikdə alınan nöqtə:

(x; y) → (−y; x) = (1; 4).

4 · 2-ci səviyyə

ABC üçbucağında MN ∥ AC, M ∈ AB, N ∈ BC, BM = 4, MA = 6, MN = 5. AC-ni tapın.

AC/MN = BA/BM = 10/4 → AC = 12,5.

5 · DİM səviyyəsi

Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuza çəkilmiş hündürlük onu 4 və 16 uzunluqlu parçalara bölür. Üçbucağın sahəsi:

CD = √(4·16) = 8; S = ½·20·8 = 80.

6 · DİM səviyyəsi

Trapesiyanın oturacaqları 6 və 15-dir. Diaqonalların kəsişmə nöqtəsi O-dur. Kiçik oturacaq və O ilə əmələ gələn üçbucağın sahəsi 8-dirsə, böyük oturacaq və O ilə əmələ gələn üçbucağın sahəsi:

Üçbucaqlar oxşardır, k = 15/6 = 2,5; S = 8·2,5² = 50.

İmtahan tapşırıqları və rəsmi izahlar — DİM:

1. 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF) — Paralel köçürmə (A variantı, 61; B-70, C-70, D-70)
2. 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Hərəkət və oxşarlıq (A variantı, 3; B-19, C-10, D-11)
3. 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — Oxşarlıq (A variantı, 6; B-1, C-4, D-17)
4. 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Hərəkət. Oxşarlıq (A variantı, 18; B-4, C-5, D-8)
5. 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — Oxşarlıq (A variantı, 62; B-64, C-61, D-68)
6. 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — Hərəkət və oxşarlıq (A variantı, 83; B-83, C-83, D-83)
7. 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF) — Oxşar fiqurların perimetrləri və sahələri nisbəti (A variantı, 62; B-65, C-69, D-71)
8. 24.05.2026, II ixtisas qrupu (PDF) — Hərəkət. Oxşarlıq (A variantı, 1; B-4, C-4, D-7)
9. 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Hərəkət.Oxşarlıq (A variantı, 28; B-28, C-28, D-28)
10. 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF) — Hərəkət.Oxşarlıq (A variantı, 20; B-19, C-17, D-14)
11. 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Hərəkət. Oxşarlıq (A variantı, 30; B-30, C-30, D-30)

Hekayə, səhnələr, nümunələr, “Özün yoxla” və “Müstəqil iş” tapşırıqları bizimdir, DİM-ə aid deyil. DİM tapşırıqları və izahları mənbədəki kimi verilib; “…” işarəsi buraxılmış hissəni göstərir.