Koordinatlar üsulu

Planimetriya · Mövzu 40 / 46

Koordinatlar üsulu

Bu dərsi bir təcrübə hekayəsi ilə keçəcəyik: şagird şəhərin planlaşdırma şöbəsində işləyir. Xəritədəki iki sancaq, parkdakı çiləyici və çay sahilindəki iki yol bizi koordinatlar üsulunun əsas düsturlarına aparacaq: məsafə, orta nöqtə, çevrənin və düz xəttin tənliyi, fəzada koordinatlar.

≈ 45 dəqiqə5 fəsil8 DİM tapşırığı8–10-cu sinif materialı

Bu dərsdən sonra bacaracaqsan

• nöqtənin rübünü, oxlara məsafəsini və simmetrik nöqtələri tapmağı;
• iki nöqtə arasındakı məsafəni və parçanın orta nöqtəsini hesablamağı (müstəvidə və fəzada);
• çevrənin tənliyindən mərkəzi və radiusu tapmağı (tam kvadrat ayırmaqla);
• düz xətlərin kəsişmə nöqtələrini və onların əmələ gətirdiyi üçbucağın sahəsini tapmağı.

Başlamazdan əvvəl xatırla

• Pifaqor teoremi: a² + b² = c².
• Qısa vurma düsturu: (x − a)² = x² − 2ax + a².
• Xətti tənliklər və iki məchullu tənliklər sistemi.
• Ədədin modulu: |−3| = 3.

Mündəricat

1. GirişSituasiya: xəritədə iki sancaqhekayə və təxmin
2. Fəsil 1Koordinat müstəvisi: rüblər, oxlara məsafə, simmetriyarüblər · |x|, |y| · simmetriya · DİM 15.03.2026
3. Fəsil 2İki nöqtə arasındakı məsafə və parçanın orta nöqtəsiAB = √(Δx² + Δy²) · orta nöqtə · DİM 19.04.2026
4. Fəsil 3Çevrənin tənliyi(x − a)² + (y − b)² = R² · tam kvadrat · DİM 05.07.2026
5. Fəsil 4Düz xətlər: kəsişmə nöqtələri və üçbucağın sahəsiy = kx + b · kəsişmə · sahə · DİM 12.07.2026
6. Fəsil 5Fəzada koordinatlarüç koordinat · fəzada məsafə · DİM 06.07.2025
7. Məşqİmtahan tapşırıqları ilə məşq3 DİM tapşırığı: cavab və rəsmi izah
8. YekunYadda saxlaqısa xülasə və tipik səhvlər
9. YekunMüstəqil iş6 tapşırıq, asandan çətinə

Giriş

Situasiya: xəritədə iki sancaq

Hekayə

Bu yay şagird şəhərin planlaşdırma şöbəsində təcrübə keçir. Stolun üstündə şəhərin böyük xəritəsi açılıb. Xəritənin üzərində koordinat şəbəkəsi çəkilib: başlanğıc O — şəhərin mərkəzi meydanıdır, bir xana 1 km-dir.

Memar iki sancaq taxır: məktəb A(1; 2) nöqtəsində, yeni stadion isə B(7; 10) nöqtəsindədir. Küçələr şəbəkə xətləri boyunca gedir, ona görə piyada yol 6 + 8 = 14 km-dir. Memar soruşur: “Bəs məktəblə stadion arasında düz xətlə məsafə nə qədərdir? Velosiped yolunu məhz belə çəkəcəyik.”

Xəritədə məktəb A(1; 2) və stadion B(7; 10). Küçələrlə yol 14 km-dir, düz xətlə isə?Əvvəlcə təxmin et

Sənin fikrincə, məktəblə stadion arasında düz xətlə məsafə neçə kilometrdir? Təxminini seç: 2-ci fəsildə birlikdə hesablayacağıq.

Fəsil 1

Koordinat müstəvisi: rüblər, oxlara məsafə, simmetriya

Xəritədəki şəbəkə — düzbucaqlı koordinat sistemidir: iki perpendikulyar ox — absis oxu Ox (üfüqi) və ordinat oxu Oy (şaquli) — O nöqtəsində, koordinat başlanğıcında kəsişir. Hər nöqtənin yeri iki ədədlə verilir: A(x; y); birinci ədəd absis, ikinci ədəd ordinatdır.

Oxlar müstəvini dörd rübə bölür. Rüblər saat əqrəbinin əksinə nömrələnir və hər rübdə koordinatların işarələri müəyyəndir: I — (+; +), II — (−; +), III — (−; −), IV — (+; −). Oxların üzərindəki nöqtələr heç bir rübə aid deyil: Ox üzərində y = 0, Oy üzərində x = 0.

Nöqtədən oxlara məsafə

A(x; y) nöqtəsindən Ox oxuna qədər məsafə |y|, Oy oxuna qədər məsafə isə |x|-dir. Diqqət: Ox oxuna məsafəni ordinat, Oy oxuna məsafəni absis verir.

Ox-a nəzərən simmetriyada ordinatın, Oy-a nəzərən absisin, O-ya nəzərən hər iki koordinatın işarəsi dəyişir.Simmetrik nöqtələr

(x; y) nöqtəsinə simmetrik nöqtə: Ox oxuna nəzərən (x; −y), Oy oxuna nəzərən (−x; y), koordinat başlanğıcına nəzərən (−x; −y). Sonuncu halda O nöqtəsi simmetrik nöqtələri birləşdirən parçanın ortasıdır.

Nümunə 1

K(−3; 5) nöqtəsi hansı rübdədir? Ondan oxlara qədər məsafələri və ona Oy oxuna nəzərən simmetrik nöqtəni tapın.

1. Absis mənfi, ordinat müsbətdir: işarələr (−; +), deməli K nöqtəsi II rübdədir.Niyə belədir?

   II rüb Oy oxundan solda və Ox oxundan yuxarıdadır.

2. Ox oxuna məsafə |5| = 5, Oy oxuna məsafə |−3| = 3.Niyə belədir?

   Ox oxuna perpendikulyar şaquli düşür, onun uzunluğu nöqtənin “hündürlüyü”, yəni |y|-dir.

3. Oy oxuna nəzərən simmetriyada absisin işarəsi dəyişir: K′(3; 5).
4. Cavab: II rüb; 5 və 3; K′(3; 5).

İmtahanda belə soruşulurDİM · 15.03.2026

IV rübdə yerləşən A nöqtəsindən absis oxuna qədər olan məsafə 4-ə, ordinat oxuna qədər olan məsafə isə 6-ya bərabərdir. A nöqtəsinin koordinatlarını tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) (–4; 6)B) (2; 3)C) (6; –4)D) (4; 6)E) (3; 2)

1. IV rübdə x > 0, y < 0.Niyə belədir?

   Rübün işarələrini əvvəlcədən yazmaq modulları açmağa kömək edir.

2. Ox oxuna məsafə |y| = 4, deməli y = −4.Niyə belədir?

   Ox oxuna məsafəni absis yox, ordinat verir — tapşırığın tələsi buradadır.

3. Oy oxuna məsafə |x| = 6, deməli x = 6.
4. Cavab: A(6; −4) (C variantı).

DİM-in rəsmi izahı (15.03.2026)

IV rübdə yerləşən A nöqtəsindən absis oxuna qədər olan məsafənin 4-ə bərabər olması həmin nöqtənin ordinatının –4, ordinat oxuna qədər olan məsafənin 6-ya bərabər olması isə onun absisinin 6 olması deməkdir. Deməli, A nöqtəsinin koordinatları (6; –4) olacaqdır.Mənbə: DİM izahı — 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

Özün yoxla

III rübdə yerləşən nöqtədən Ox oxuna qədər məsafə 2, Oy oxuna qədər məsafə 5-dir. Bu nöqtənin absisi ilə ordinatının cəmini tapın.

III rübdə hər iki koordinat mənfidir: nöqtə (−5; −2).

Fəsil 2

İki nöqtə arasındakı məsafə və parçanın orta nöqtəsi

Xəritəyə qayıdaq. A və B nöqtələrindən oxlara paralel xətlər çəksək, düzbucaqlı üçbucaq alınır: AB onun hipotenuzu, katetləri isə koordinatların fərqləridir. Qalanını Pifaqor teoremi edir.

Katetlər koordinatların fərqləridir, orta nöqtə isə koordinatların ədədi ortasıdır.İki nöqtə arasındakı məsafə

A(x₁; y₁) və B(x₂; y₂) nöqtələri arasındakı məsafə:

AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Hekayə

Memarın sualı: katetlər 7 − 1 = 6 və 10 − 2 = 8, deməli AB = √(6² + 8²) = √100 = 10. Velosiped yolu 10 km olacaq — küçələrlə gedilən 14 km-dən 4 km qısa. Bu, 3, 4, 5 üçlüyünün iki misli olan 6, 8, 10 üçbucağıdır.

Parçanın orta nöqtəsi

AB parçasının orta nöqtəsinin koordinatları uc nöqtələrin koordinatlarının ədədi ortasıdır:

M((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2)

Memar velosiped yolunun ortasında istirahət məntəqəsi qoymaq istəyir: M((1 + 7)/2; (2 + 10)/2) = M(4; 6). Laboratoriyada nöqtələri özün hərəkət etdir: düymə ilə A və ya B-ni seç, slayderlərlə onun koordinatlarını dəyiş və məsafənin, orta nöqtənin necə dəyişdiyinə bax.

Laboratoriya · iki nöqtə: məsafə və orta nöqtəabsis x4ordinat y7Nümunə 2

A(−3; 4) və B(2; −8) nöqtələri verilib. AB parçasının uzunluğunu və orta nöqtəsini tapın.

1. Fərqlər: x₂ − x₁ = 2 − (−3) = 5, y₂ − y₁ = −8 − 4 = −12.Niyə belədir?

   Mənfi ədəddən çıxanda mötərizə yaz: 2 − (−3) = 5. Fərqin işarəsi məsafəyə təsir etmir, çünki kvadrata yüksəldilir.

2. AB = √(5² + 12²) = √169 = 13.
3. Orta nöqtə: M((−3 + 2)/2; (4 − 8)/2) = M(−0,5; −2).
4. Cavab: AB = 13, M(−0,5; −2).

Düsturdan tərsinə də istifadə olunur: orta nöqtə M və bir uc A məlumdursa, ikinci uc B(2x_M − x_A; 2y_M − y_A)-dir (“A-dan M-ə qədər olan addımı bir də at”).

İmtahanda belə soruşulurDİM · 19.04.2026

Mərkəzləri O(2;5) nöqtəsində olan iki çevrədən birinin diametri AB, digərinin diametri CD-dir. A(m; n+1), B(n; 2m) və C(m; n) olarsa, D nöqtəsinin koordinatlarını tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.

1. Çevrənin mərkəzi istənilən diametrinin ortasıdır, deməli O(2; 5) həm AB-nin, həm də CD-nin orta nöqtəsidir.Niyə belədir?

   Diametr mərkəzdən keçən vətərdir; mərkəz onu iki radiusa bölür.

2. AB üçün: (m + n)/2 = 2, (n + 1 + 2m)/2 = 5, yəni m + n = 4, 2m + n = 9.
3. İkinci tənlikdən birincini çıxırıq: m = 5, onda n = −1. Deməli, C(5; −1).Niyə belədir?

   Yoxlama: A(5; 0), B(−1; 10), ortası ((5 − 1)/2; (0 + 10)/2) = (2; 5).

4. CD üçün ikinci ucun düsturu: D(2·2 − 5; 2·5 − (−1)) = D(−1; 11).
5. Cavab: D(−1; 11).

DİM-in rəsmi izahı (19.04.2026)

Hər iki çevrənin mərkəzinin O(2;5) nöqtəsində olduğu məlumdur. Deməli, bu nöqtə diametrlərin orta nöqtəsidir. Buna əsasən aşağıdakı tənliklər sistemi qurulur. { (m + n)/2 = 2; (2m + n + 1)/2 = 5 } ⇒ { m + n = 4; 2m + n = 9 } ⇒ { m = 5; n = −1 }; { (5 + x)/2 = 2; (−1 + y)/2 = 5 } ⇒ { x = −1; y = 11 }Mənbə: DİM izahı — 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF)

Özün yoxla

P(−1; 3) və Q(5; −5) nöqtələri arasındakı məsafəni tapın.

Fərqlər 6 və −8.

Özün yoxla

AB parçasının orta nöqtəsi M(1; −2), A(4; 3)-dir. B nöqtəsinin ordinatını tapın.

y_B = 2·(−2) − 3.

Fəsil 3

Çevrənin tənliyi

Hekayə

Ertəsi gün şagird yeni parka gedir. Burada iki cığır düz bucaq altında kəsişir; mühəndislər cığırları koordinat oxları kimi götürüb, hər metri işarələyiblər. Çəmənə fırlanan çiləyici qoyulub, o, dairəvi sahəni suvarır.

Lövhədə suvarılan sahənin sərhədinin tənliyi yazılıb: x² + y² − 6x − 8y = 0. Sual: çiləyici harada durur, su neçə metrə çatır və nə qədər çəmən suvarılır?

Cığırlar — koordinat oxları; çiləyicinin suvardığı dairənin sərhədi x² + y² − 6x − 8y = 0 tənliyi ilə verilib.

Çevrə — mərkəzdən eyni R məsafəsində olan nöqtələr çoxluğudur. Mərkəz C(a; b), çevrənin istənilən nöqtəsi M(x; y) olsun. Məsafə düsturu CM = R verir; hər iki tərəfi kvadrata yüksəldirik.

Çevrənin tənliyi — mərkəzdən məsafə düsturunun özüdür.Çevrənin tənliyi

Mərkəzi C(a; b) nöqtəsində, radiusu R olan çevrənin tənliyi:

(x − a)² + (y − b)² = R²

Tənlikdə mötərizələrin içində mənfi işarə durur. Ona görə (x + 3)² + (y − 1)² = 20 çevrəsinin mərkəzi (−3; 1)-dir, çünki x + 3 = x − (−3); radiusu isə √20 = 2√5-dur, 20 yox.

Tənlik açılmış şəkildə (x² + y² + Dx + Ey + F = 0) verilərsə, tam kvadrat ayırırıq: x-li hədləri bir yerə, y-li hədləri bir yerə yığır və x² − 2ax + a² = (x − a)² düsturunu tamamlayırıq.

Nümunə 3

Lövhədəki x² + y² − 6x − 8y = 0 çevrəsinin mərkəzini və radiusunu tapın.

1. Hədləri qruplaşdırırıq: (x² − 6x) + (y² − 8y) = 0.Niyə belədir?

   −6x = −2·3·x, ona görə x-ə 3² lazımdır; −8y = −2·4·y, ona görə y-ə 4² lazımdır.

2. Hər iki tərəfə 9 + 16 əlavə edirik: (x − 3)² + (y − 4)² = 25.Niyə belədir?

   Tənliyin bir tərəfinə nə əlavə etsək, o biri tərəfə də əlavə etməliyik.

3. Mərkəz (3; 4), radius R = √25 = 5. Maraqlıdır: 3² + 4² = 25, yəni çevrə O nöqtəsindən — cığırların küncündən keçir.
4. Cavab: mərkəz (3; 4), R = 5.

Hekayə

Çiləyici (3; 4) nöqtəsində — cığırlardan 3 m və 4 m aralıda durur və suyu 5 m məsafəyə atır. Suvarılan sahə S = πR² = 25π ≈ 78,5 m². Su cığırların küncünə də düz çatır: künc çevrənin üzərindədir.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 05.07.2026

Çevrəsinin tənliyi x² + y² − 3y = 0 olan dairənin sahəsini tapın (π = 3).

1. x-li hədd yalnız x²-dir, onu dəyişmirik. y-li hədləri tam kvadrata tamamlayırıq: 3y = 2·1,5·y, buna görə 1,5² = 2,25 əlavə edirik.Niyə belədir?

   Tənlikdə x-in birinci dərəcəsi yoxdur, deməli mərkəzin absisi 0-dır.

2. Alırıq: x² + (y − 1,5)² = 2,25. Mərkəz (0; 1,5), R² = 2,25.
3. Dairənin sahəsi: S = πR² = 3·2,25 = 6,75.Niyə belədir?

   Sahə üçün R-in özü yox, R² lazımdır — kök almağa ehtiyac yoxdur.

4. Cavab: 6,75.

DİM-in rəsmi izahı (05.07.2026)

Verilən tənliyi (x − a)² + (y − b)² = r² şəklinə gətirək: x² + y² − 3y = 0 x² + y² − 2·1,5y + 1,5² = 1,5² x² + (y − 1,5)² = 1,5² buradan r² = 2,25 və uyğun dairənin sahəsi isə S = π·r² = 3·2,25 = 6,75.Mənbə: DİM izahı — 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

x² + y² + 4x − 10y + 20 = 0 çevrəsinin radiusunu tapın.

(x + 2)² + (y − 5)² = 4 + 25 − 20.

Fəsil 4

Düz xətlər: kəsişmə nöqtələri və üçbucağın sahəsi

Hekayə

Təcrübənin son həftəsində şöbə çay sahilində yeni park layihəsi üzərində işləyir. Sahil xətti düz olduğu üçün onu Ox oxu kimi götürürlər, vahid 1 km-dir. Sahildən iki yeni yol çəkiləcək: d₁: y = x + 2 və d₂: y = −2x + 8.

Yollarla sahil arasında qalan üçbucaq formalı sahədə park salınacaq. Şagirdə tapşırıq verilir: parkın sahəsini hesabla.

Sahil — Ox oxu; d₁ və d₂ yolları ilə sahil arasında üçbucaq formalı park sahəsi.

y = kx + b tənliyi düz xətti verir: k — bucaq əmsalı (k > 0 olduqda xətt artandır, k < 0 olduqda azalandır), b isə xəttin Oy oxunu kəsdiyi nöqtənin ordinatıdır. Nöqtə xəttin üzərindədirsə, onun koordinatları tənliyi ödəyir.

Kəsişmə nöqtələri

Ox oxu ilə kəsişmə: y = 0 qoyub x-i tap. Oy oxu ilə kəsişmə: x = 0 qoy. İki xəttin kəsişməsi: sağ tərəfləri bərabərləşdir, k₁x + b₁ = k₂x + b₂, x-i tap, sonra y-i istənilən tənlikdən hesabla.

Üçbucağın iki təpəsi Ox oxu üzərindədirsə, sahəni hesablamaq çox asandır: oturacaq — həmin təpələrin absisləri fərqinin modulu, hündürlük — üçüncü təpənin ordinatının modulu: S = ½·|x_C − x_A|·|y_B|.

Nümunə 4

Parkın sahəsini tapın: yollar d₁: y = x + 2, d₂: y = −2x + 8, sahil — Ox oxu (vahid 1 km).

1. Ox ilə kəsişmələr: x + 2 = 0 → x = −2, A(−2; 0); −2x + 8 = 0 → x = 4, C(4; 0).
2. Yolların kəsişməsi: x + 2 = −2x + 8 → x = 2, y = 4, B(2; 4).Niyə belədir?

   Yoxlama: 4 = −2·2 + 8 — B hər iki xəttin üzərindədir.

3. Oturacaq AC = 4 − (−2) = 6, hündürlük 4, sahə S = ½·6·4 = 12.
4. Cavab: 12 km².

Hekayə

Şagird hesabını memara göstərir: park 12 km² sahəni tutacaq. Memar gülümsəyir: “Gördün? Xəritədə yer seçmək üçün bir dənə də ölçü aparmadıq — hər şeyi koordinatlar dedi.”

İmtahanda belə soruşulurDİM · 12.07.2026

d₁ və d₂ düz xətlərinin tənlikləri uyğun olaraq y = 2x + 6 və y = −x + 12 olarsa, ABC üçbucağının sahəsini tapın.

Şəkildə d₁ və d₂ Ox oxunu A və C nöqtələrində kəsir, özləri isə I rübdə B nöqtəsində kəsişir.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 64B) 92C) 80D) 75E) 96

1. A və C nöqtələri Ox üzərindədir, onların ordinatı 0-dır: 2x + 6 = 0 → A(−3; 0); −x + 12 = 0 → C(12; 0).Niyə belədir?

   Şəkildə d₁ Ox-u mənfi hissədə, d₂ isə müsbət hissədə kəsir — tapılan nöqtələr buna uyğundur.

2. B — xətlərin kəsişməsi: 2x + 6 = −x + 12 → x = 2, y = 2·2 + 6 = 10.
3. Oturacaq AC = 12 − (−3) = 15, hündürlük BH = 10; S = ½·15·10 = 75.Niyə belədir?

   Hündürlük B-dən Ox-a perpendikulyardır, uzunluğu B-nin ordinatıdır.

4. Cavab: 75 (D variantı).

DİM-in rəsmi izahı (12.07.2026)

Əvvəlcə A, B və C nöqtələrinin koordinatlarını tapaq. A və C nöqtələri absis oxu üzərində olduğundan onların ordinatları sıfra bərabərdir: 2x_A + 6 = y_A = 0; −x_C + 12 = y_C = 0. Buradan x_A = −3; x_C = 12. d₁ və d₂ düz xətləri B nöqtəsində kəsişdiyindən 2x_B + 6 = −x_B + 12 ⇒ x_B = 2 Beləliklə, y_B = 2·x_B + 6 = 2·2 + 6 = 10. ABC üçbucağının B təpə nöqtəsindən BH hündürlüyünü endirək. Onda S△ABC = ½·AC·BH = ½|x_C − x_A|·|y_B| = ½·|12 − (−3)|·10 = 75.Mənbə: DİM izahı — 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

y = 3x − 3 və y = −x + 5 düz xətləri və Ox oxu ilə hüdudlanan üçbucağın sahəsini tapın.

Ox ilə kəsişmələr x = 1 və x = 5; xətlər (2; 3) nöqtəsində kəsişir.

Fəsil 5

Fəzada koordinatlar

Xəritə müstəvidir, amma şəhərin üstündə uçan dronun yerini bilmək üçün üçüncü koordinat — hündürlük lazımdır. Fəzada üç qarşılıqlı perpendikulyar ox götürülür: Ox, Oy, Oz. Nöqtə üç ədədlə verilir: P(x; y; z).

Fəzada məsafə düsturu Pifaqor teoremini iki dəfə tətbiq etməklə alınır: əvvəl döşəmədə, sonra şaquli istiqamətdə.Fəzada məsafə

A(x₁; y₁; z₁) və B(x₂; y₂; z₂) nöqtələri arasındakı məsafə:

AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)

Orta nöqtə də müstəvidəki kimi tapılır — üç koordinatın hər biri ayrıca ortalanır. Oxlar üzərindəki nöqtələrin forması: Ox üzərində (x; 0; 0), Oy üzərində (0; y; 0), Oz üzərində (0; 0; z).

Nümunə 5

A(1; −2; 3) və B(3; 2; −1) nöqtələri arasındakı məsafəni tapın.

1. Fərqlər: 3 − 1 = 2, 2 − (−2) = 4, −1 − 3 = −4.
2. AB = √(4 + 16 + 16) = √36 = 6.Niyə belədir?

   Kvadratlar həmişə müsbətdir, ona görə (−4)² = 16.

3. Cavab: 6.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 06.07.2025

Ox koordinat oxu üzərində yerləşən və A(–2; 1; 3) və B(3; 4; –1) nöqtələrindən bərabər uzaqlıqda olan nöqtənin koordinatları cəmini tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 1,2B) 0,6C) 0,8D) 2,2E) 1,6

1. Axtarılan nöqtə Ox üzərindədir: C(x; 0; 0).Niyə belədir?

   Ox oxunun bütün nöqtələrində y = 0 və z = 0-dır; bir naməlum qalır.

2. Şərt CA = CB; kökdən qurtarmaq üçün kvadratları bərabərləşdiririk: (x + 2)² + 1 + 9 = (x − 3)² + 16 + 1.Niyə belədir?

   Hər iki məsafə müsbətdir, ona görə onların bərabərliyi kvadratlarının bərabərliyi ilə eynigüclüdür.

3. x² ixtisar olunur: 4x + 14 = −6x + 26, buradan 10x = 12, x = 1,2.Niyə belədir?

   Yoxlama: CA² = 3,2² + 10 = 20,24; CB² = (−1,8)² + 17 = 20,24.

4. Koordinatların cəmi: 1,2 + 0 + 0 = 1,2.
5. Cavab: 1,2 (A variantı).

DİM-in rəsmi izahı (06.07.2025)

Aydındır ki, Ox koordinat oxu üzərində yerləşən nöqtənin koordinatları C(x; 0; 0) şəklindədir. Şərtə görə CA = CB. İki nöqtə arasındakı məsafənin düsturuna əsasən√((−2 − x)² + 1² + 3²) = √((3 − x)² + 4² + (−1)²)(−2 − x)² + 1² + 3² = (3 − x)² + 4² + (−1)²4 + 4x + x² + 1 + 9 = 9 − 6x + x² + 16 + 110x = 12x = 1,2olar. Deməli, C(x; 0; 0) nöqtəsinin koordinatları cəmi x + 0 + 0 = 1,2 -yə bərabərdir.Mənbə: DİM izahı — 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

Oz oxu üzərində elə nöqtə tapın ki, A(1; 0; 2) və B(0; 3; 1) nöqtələrindən bərabər uzaqlıqda olsun. Onun applikatını (z) yazın.

Nöqtə (0; 0; z): 1 + (z − 2)² = 9 + (z − 1)².

Məşq

İmtahan tapşırıqları ilə məşq

DİM · 25.05.2025

A(a; 3) və B(2; b) nöqtələri koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik olarsa, a və b-ni tapın.

A) a = −2, b = 3B) a = 2, b = 3C) a = 2, b = −3D) a = −2, b = −3E) a = 3, b = 2Cavab və DİM izahı

Cavab: a = −2, b = −3 (D variantı).

A(x₁; y₁) və B(x₂; y₂) nöqtələri koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik olarsa O(0;0) nöqtəsi AB parçasının orta nöqtəsi olar. Yəni,(x₁ + x₂)/2 = 0, (y₁ + y₂)/2 = 0 ⇒ (a + 2)/2 = 0, (b + 3)/2 = 0 ⇒⇒ a = −2, b = −3Mənbə: DİM izahı — 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 09.03.2026

A(k² − 4k; k²) və B(12 − 4k; 32 − 12k) nöqtələrini birləşdirən parçanın orta nöqtəsi absis oxunun mənfi hissəsi üzərində olarsa, k-nı tapın.

Orta nöqtə absis oxunun mənfi hissəsindədir: ordinatı 0, absisi mənfidir.

Açıq tapşırıq: cavabı özün yaz.

Cavab və DİM izahı

Cavab: 4.

AB parçasının orta nöqtəsinin koordinatları x = (k² − 4k + 12 − 4k)/2 = (k² − 8k + 12)/2, y = (k² + 32 − 12k)/2 = (k² − 12k + 32)/2 olur. Absis oxunun mənfi hissəsi üzərində olan nöqtənin absisinin işarəsi mənfi, ordinatı isə sıfıra bərabər olur. Onda k²–12k+32=0 tənliyinin kökləri k₁=4, k₂=8 alınır. Şərtə görə k²–8k+12<0 olmalıdır. I üsul: Tənliyin kökləri bərabərsizlikdə nəzərə alınarsa, yalnız k=4 olduqda orta nöqtənin absisi mənfi olur. … II üsul: k²–8k+12<0 bərabərsizliyinin həlli intervallar üsuluna əsasən (2;6) aralığı olur. (2;6) aralığına yalnız k=4 daxil olur.Mənbə: DİM izahı — 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

DİM · 01.06.2025

(x − 3)² + (y − 1)² = 15 və (x + 3)² + (y − 1)² = 20 çevrələrinin mərkəzləri arasındakı məsafəni tapın.

A) 6B) 2C) √6D) 4E) √3Cavab və DİM izahı

Cavab: 6 (A variantı).

Mərkəzi (a;b) nöqtəsində və radiusu R olan çevrənin tənliyi (x − a)² + (y − b)² = R² olduğundan (x − 3)² + (y − 1)² = 15 və (x + 3)² + (y − 1)² = 20 çevrələrinin mərkəzlərinin koordinatları uyğun olaraq M₁(3;1) və M₂(−3;1) olduğundan iki nöqtə arasındakı məsafə düsturuna görə onların mərkəzləri arasındakı məsafə M₁M₂ = √((−3 − 3)² + (1 − 1)²) = 6 olar.Mənbə: DİM izahı — 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Yekun

Yadda saxla

• Rüblərin işarələri: I (+; +), II (−; +), III (−; −), IV (+; −); Ox oxuna məsafə |y|, Oy oxuna |x|.
• Simmetriya: Ox-a nəzərən (x; −y), Oy-a nəzərən (−x; y), O-ya nəzərən (−x; −y).
• Məsafə: AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
• Orta nöqtə: M((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2); ikinci uc: B(2x_M − x_A; 2y_M − y_A).
• Çevrə: (x − a)² + (y − b)² = R²; açılmış tənlikdə tam kvadrat ayır.
• Kəsişmələr: Ox ilə y = 0, Oy ilə x = 0, iki xətt — sağ tərəfləri bərabərləşdir; iki təpəsi Ox üzərində olan üçbucaq: S = ½·|x_C − x_A|·|y_B|.
• Fəzada: AB = √(Δx² + Δy² + Δz²); Ox üzərində nöqtə (x; 0; 0).

Tipik səhvlər

“Nöqtədən Ox oxuna məsafə onun absisidir”

Ox oxuna məsafə ordinatın modulu |y|-dir, Oy oxuna məsafə isə |x|. IV rübdə Ox-a məsafə 4 olarsa, y = −4-dür.

“Orta nöqtə koordinatların fərqinin yarısıdır”

Orta nöqtənin koordinatları uc nöqtələrin koordinatları cəminin yarısıdır: (x₁ + x₂)/2. Fərq məsafə düsturunda işlənir.

“(x + 3)² + (y − 1)² = 20 çevrəsinin mərkəzi (3; 1), radiusu 20-dir”

Mötərizədə x − a yazılır: x + 3 = x − (−3), mərkəz (−3; 1). Sağ tərəf R²-dir: R = √20.

“x² + y² − 3y = 0 çevrəsinin radiusu √3-dür”

Əvvəl tam kvadrat ayır: x² + (y − 1,5)² = 2,25, R = 1,5. Sağ tərəfdəki 0 radius haqqında heç nə demir.

Yekun

Müstəqil iş

Tapşırıqlar asandan çətinə düzülüb. Əvvəl özün həll et, sonra variantı seç; izah cavabdan sonra açılır.

1 · 1-ci səviyyə

A(1; 2) və B(4; 6) nöqtələri arasındakı məsafə:

√(3² + 4²) = √25 = 5.

2 · 1-ci səviyyə

M(−3; 5) nöqtəsinə Ox oxuna nəzərən simmetrik nöqtə:

Ox-a nəzərən simmetriyada yalnız ordinatın işarəsi dəyişir.

3 · 2-ci səviyyə

x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0 çevrəsinin mərkəzi və radiusu:

(x − 2)² + (y + 3)² = 3 + 4 + 9 = 16.

4 · 2-ci səviyyə

AB parçasının orta nöqtəsi M(2; −1), A(5; 3)-dir. B nöqtəsi:

B(2·2 − 5; 2·(−1) − 3) = B(−1; −5).

5 · DİM səviyyəsi

y = 2x − 4, y = −x + 5 düz xətləri və Ox oxu ilə hüdudlanan üçbucağın sahəsi:

Ox ilə kəsişmələr x = 2 və x = 5; xətlər (3; 2) nöqtəsində kəsişir; S = ½·3·2 = 3.

6 · DİM səviyyəsi

Oy oxu üzərində A(2; 1; 0) və B(0; 3; 2) nöqtələrindən bərabər uzaqlıqda olan nöqtə:

(0; y; 0): 4 + (y − 1)² = (y − 3)² + 4 → −2y + 1 = −6y + 9 → y = 2.

İmtahan tapşırıqları və rəsmi izahlar — DİM:

1. 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — Koordinatlar üsulu (A variantı, 16; B-9, C-16, D-9)
2. 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Vektorlar. Koordinatlar metodu (A variantı, 17; B-10, C-17, D-22)
3. 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — Koordinatlar metodu (A variantı, 19; B-8, C-12, D-5)
4. 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — Parçanın orta nöqtəsinin koordinatları (A variantı, 84; B-84, C-84, D-84)
5. 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — Koordinatlar üsulu (A variantı, 71; B-64, C-67, D-63)
6. 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF) — Parçanın orta nöqtəsinin koordinatları (A variantı, 85; B-85, C-85, D-85)
7. 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF) — Vektorlar. Koordinatlar metodu (A variantı, 26; B-24, C-23, D-26)
8. 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Vektorlar. Koordinatlar metodu (A variantı, 19; B-10, C-1, D-17)

Hekayə, səhnələr, nümunələr, “Özün yoxla” və “Müstəqil iş” tapşırıqları bizimdir, DİM-ə aid deyil. DİM tapşırıqları və izahları mənbədəki kimi verilib; “…” işarəsi buraxılmış hissəni göstərir.