Vektorlar

Planimetriya · Mövzu 42 / 46

Vektorlar

Bu dərsi çay sahilində bir yay günü ilə keçəcəyik: qayıq axan çayı keçir və axın onu yana aparır, dron qayığın üstünə uçur, bucurqad barjanı sahil boyunca çəkir. Hər səhnə vektorların bir əməlini göstərəcək: koordinatlar və uzunluq, toplama və çıxma, ədədə vurma, fəzada vektorlar və skalyar hasil.

≈ 45 dəqiqə5 fəsil5 DİM tapşırığı9–11-ci sinif materialı

Bu dərsdən sonra bacaracaqsan

• vektorun koordinatlarını və uzunluğunu tapmağı (müstəvidə və fəzada);
• vektorları üçbucaq və paraleloqram qaydası ilə, həm də koordinatlarla toplamağı və çıxmağı;
• kollinear və əks istiqamətli vektorları koordinatlara görə tanımağı;
• skalyar hasili hesablamağı və ondan bucaq, perpendikulyarlıq üçün istifadə etməyi.

Başlamazdan əvvəl xatırla

• Pifaqor teoremi: a² + b² = c².
• Nöqtənin koordinatları və iki nöqtə arasındakı məsafə.
• cos 0° = 1, cos 60° = 0,5, cos 90° = 0.

Mündəricat

1. GirişSituasiya: qayıq çayı keçirhekayə və təxmin
2. Fəsil 1Vektor, onun koordinatları və uzunluğuAB = B − A · |a| = √(x² + y²)
3. Fəsil 2Vektorların toplanması və çıxılmasıüçbucaq və paraleloqram qaydası · DİM 24.05.2026
4. Fəsil 3Vektorun ədədə vurulması. Kollinear vektorlark·a · kollinearlıq · DİM 13.07.2025
5. Fəsil 4Fəzada vektorlar⟨x; y; z⟩ · DİM 07.06.2026, 25.05.2025
6. Fəsil 5Vektorların skalyar hasilia · b = x₁x₂ + y₁y₂ · iş · DİM 02.03.2025
7. YekunYadda saxlaqısa xülasə və tipik səhvlər
8. YekunMüstəqil iş6 tapşırıq, asandan çətinə

Giriş

Situasiya: qayıq çayı keçir

Hekayə

Yay tətilində şagird çay sahilindəki xilasetmə məntəqəsində köməkçi işləyir. Xilasedici qayığı qarşı sahilə aparır: burnunu düz qarşıya tutur, mühərrik qayığı suya nəzərən 4 m/s sürətlə irəli aparır. Amma çay axır: axın qayığı 3 m/s sürətlə yana sürükləyir.

Sahildə dayanan şagird üçün qayıq hansı sürətlə hərəkət edir? Sürətlər toplanırmı, çıxılırmı, yoxsa başqa cür birləşir?

Qayığın öz sürəti 4 m/s (sahilə perpendikulyar), axın 3 m/s. Sahilə nəzərən sürət?Əvvəlcə təxmin et

Sənin fikrincə, qayığın sahilə nəzərən sürəti nə qədərdir? Təxminini seç: 2-ci fəsildə birlikdə hesablayacağıq.

Fəsil 1

Vektor, onun koordinatları və uzunluğu

Sürəti yalnız ədədlə vermək azdır: “4 m/s” deyəndə hara getdiyimiz bilinmir. Həm qiyməti, həm də istiqaməti olan kəmiyyətlər — sürət, qüvvə, yerdəyişmə — vektorlarla təsvir olunur.

Tərif

İstiqamətlənmiş parça vektor adlanır: AB→ vektorunun başlanğıcı A, sonu B-dir. Vektorlar həm də bir hərflə işarə olunur: a→. Parçanın uzunluğu vektorun uzunluğu (modulu) adlanır: |a→|. DİM tapşırıqlarında vektor →a kimi yazılır, koordinatları isə ⟨ ⟩ mötərizəsində verilir.

Koordinatlar və uzunluq

A(x₁; y₁) və B(x₂; y₂) olarsa, AB→⟨x₂ − x₁; y₂ − y₁⟩ — sondan başlanğıcı çıx. a→⟨x; y⟩ vektorunun uzunluğu |a→| = √(x² + y²). Fəzada üçüncü koordinat əlavə olunur: |a→| = √(x² + y² + z²).

Eyni koordinatlı vektorlar bərabərdir: vektoru istənilən nöqtədən qoymaq olar.

Uzunluqları və istiqamətləri eyni olan vektorlar bərabər vektorlardır; onların koordinatları da eynidir. Ona görə də sürət vektorunu qayığın harasından çəkməyimizin fərqi yoxdur.

Nümunə 1

A(−2; 3), B(4; −5). AB→ vektorunun koordinatlarını və uzunluğunu tapın.

1. Sondan başlanğıcı çıxırıq: AB→⟨4 − (−2); −5 − 3⟩ = ⟨6; −8⟩.Niyə belədir?

   Ardıcıllıq vacibdir: B − A. A − B yazsaq, əks vektor BA→⟨−6; 8⟩ alınar.

2. |AB→| = √(6² + (−8)²) = √100 = 10.
3. Cavab: ⟨6; −8⟩, uzunluq 10.

Özün yoxla

a→⟨−5; 12⟩ vektorunun uzunluğunu tapın.

√(25 + 144).

Fəsil 2

Vektorların toplanması və çıxılması

Qayıq eyni vaxtda iki hərəkətdə iştirak edir: mühərrik onu qarşıya aparır, su isə yana. Bir saniyədə qayıq əvvəl 4 m qarşıya, sonra 3 m yana getmiş kimi yerini dəyişir. Bu, vektorların toplanmasıdır.

Toplama və çıxma

Üçbucaq qaydası: a→ vektorunun sonundan b→ vektorunu qoy; a→ + b→ — birincinin başlanğıcından ikincinin sonuna olan vektordur: AB→ + BC→ = AC→. Paraleloqram qaydası: vektorları bir nöqtədən qoy, a→ + b→ — həmin nöqtədən çıxan diaqonaldır. Koordinatlarla: a→ + b→ = ⟨x₁ + x₂; y₁ + y₂⟩, a→ − b→ = ⟨x₁ − x₂; y₁ − y₂⟩.

Fərq a→ − b→ — b→-nin sonundan a→-nın sonuna yönəlmiş vektordur.Hekayə

Sahili x oxu (axın istiqaməti), qarşı tərəfi y oxu kimi götürək. Mühərrikin sürəti v→⟨0; 4⟩, axının sürəti u→⟨3; 0⟩. Qayığın sahilə nəzərən sürəti v→ + u→ = ⟨3; 4⟩, uzunluğu √(3² + 4²) = 5 m/s. Qayıq 7 m/s ilə getmir: vektorların uzunluqları yalnız eyni istiqamətdə toplanır. Eni 60 m olan çayı qayıq 60 : 4 = 15 s keçir və bu müddətdə axın onu 3·15 = 45 m aşağı aparır.

Laboratoriyada qayığı özün idarə et: sürətləri və burnun bucağını dəyiş. Qayığın düz qarşıya getməsi üçün burnu axına qarşı elə döndər ki, cəm vektorunun x koordinatı sıfır olsun.

Laboratoriya · qayıq və axın: vektorları toplaqayığın öz sürəti |v|4 m/saxının sürəti |u|3 m/sburun axına qarşı döndərilir0°İmtahanda belə soruşulurDİM · 24.05.2026

ABC üçbucağında AB=5, BC=12 və ∠B = 90° olarsa, |→BA − →BC| -ni tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 7B) 5C) 13D) 14E) 17

1. Üçbucaq qaydasına görə BC→ + CA→ = BA→, yəni BA→ − BC→ = CA→.Niyə belədir?

   Bir nöqtədən çıxan iki vektorun fərqi — çıxılanın sonundan azalanın sonuna yönəlmiş vektordur: C-dən A-ya.

2. |CA→| — hipotenuzun uzunluğu: √(5² + 12²) = √169 = 13.Niyə belədir?

   Tələ: |BA| − |BC| = 5 − 12 deyil. Fərq vektorunun uzunluğu uzunluqların fərqi deyil.

3. Cavab: 13 (C variantı).

DİM-in rəsmi izahı (24.05.2026)

|→BA − →BC| = |→CA| = √(5² + 12²) = 13Mənbə: DİM izahı — 24.05.2026, II ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

a→⟨1; 5⟩, b→⟨4; 1⟩. a→ + b→ vektorunun uzunluğunu tapın.

a + b = ⟨5; 6⟩; √61 ≈ 7,81.

Fəsil 3

Vektorun ədədə vurulması. Kollinear vektorlar

Xilasedici mühərriki tam gücə qaldıranda qayığın öz sürəti iki dəfə artır: vektor eyni istiqamətdə qalır, uzunluğu isə iki dəfə böyüyür. Bu, vektorun ədədə vurulmasıdır.

Vektorun ədədə hasili

k·a→ vektoru a→-ya kollineardır, uzunluğu |k|·|a→|-dir; k > 0 olduqda eyni istiqamətli, k < 0 olduqda əks istiqamətlidir. Koordinatlarla: k·a→⟨x; y; z⟩ = ⟨kx; ky; kz⟩.

Kollinear vektorlar bir düz xətt üzərində və ya paralel düz xətlər üzərində yerləşir.

Buradan praktik əlamət çıxır: iki vektor kollineardır ⇔ koordinatları mütənasibdir: x₂/x₁ = y₂/y₁ = z₂/z₁ = k. Nisbət müsbətdirsə, vektorlar eyni istiqamətli, mənfidirsə, əks istiqamətlidir.

Nümunə 2

b→⟨6; m; −9⟩ vektoru a→⟨−2; 4; n⟩ vektoruna kollineardırsa, m və n-i tapın.

1. Birinci koordinatlardan: k = 6 : (−2) = −3.Niyə belədir?

   Yalnız hər iki koordinatı məlum olan cütdən k tapılır.

2. m = −3·4 = −12, −9 = −3·n ⇒ n = 3.
3. k < 0, deməli vektorlar əks istiqamətlidir.
4. Cavab: m = −12, n = 3.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 13.07.2025

→a⟨2;1;−1⟩ vektoru ilə əks istiqamətli vektor hansıdır?

A) ⟨2;1;1⟩B) ⟨−2;−1;−1⟩C) ⟨−4;−2;−2⟩D) ⟨−4;−2;2⟩E) ⟨4;2;−2⟩

1. Əks istiqamətli vektor k·a→, k < 0 şəklindədir: bütün koordinatlar eyni mənfi ədədə vurulur.Niyə belədir?

   Yalnız işarəni dəyişmək kifayət deyil — nisbətlər eyni olmalıdır.

2. Variantları yoxlayırıq: ⟨−4; −2; 2⟩ üçün −4/2 = −2/1 = 2/(−1) = −2 — uyğundur.Niyə belədir?

   ⟨−4; −2; −2⟩-də üçüncü nisbət −2/(−1) = 2 > 0 — vektor kollinear deyil; ⟨4; 2; −2⟩-də k = 2 > 0 — eyni istiqamətlidir.

3. Cavab: ⟨−4; −2; 2⟩ (D variantı).

DİM-in rəsmi izahı (13.07.2025)

Əks istiqamətli vektorların uyğun koordinatlarının nisbətləri eyni bir mənfi ədədə bərabər olduğu üçün →a⟨2;1;−1⟩ vektoru ilə əks istiqamətli olan vektor ⟨−4;−2;2⟩ olacaq.Mənbə: DİM izahı — 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

a→⟨3; −1⟩ və b→⟨p; 4⟩ vektorları kollineardır. p-ni tapın.

k = 4 : (−1) = −4.

Fəsil 4

Fəzada vektorlar

Hekayə

Qayıq qarşı sahilə çatdı: o, məntəqədən axın boyunca 45 m aşağıda, qarşı tərəfdə 60 m irəlidə dayandı. Məntəqədən xilasedicilərə dronla dərman paketi göndərirlər: dron qayığın düz üstündə, 40 m hündürlükdə asılı qalmalıdır.

Dronun yerdəyişmə vektoru O məntəqəsindən P nöqtəsinə qədərdir. Onun koordinatları nədir və dron düz xətt üzrə neçə metr uçacaq?

Dron O-dan P-yə uçur: 45 m axın boyunca, 60 m qarşıya, 40 m yuxarı.

Fəzada vektorun üç koordinatı olur. Bütün qaydalar müstəvidəki kimidir, sadəcə üçüncü koordinat da eyni əməllərlə hesablanır: toplama, çıxma, ədədə vurma — koordinat-koordinat, uzunluq isə √(x² + y² + z²).

Hekayə

Oxları belə götürək: x — axın boyunca, y — qarşı sahilə, z — yuxarı. Onda OP→⟨45; 60; 40⟩ və |OP→| = √(45² + 60² + 40²) = √7225. Dron 85 m uçacaq — “85” ədədi 45, 60, 40 üçlüyündən Pifaqor teoremini iki dəfə tətbiq etməklə alınır: əvvəl √(45² + 60²) = 75, sonra √(75² + 40²) = 85.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 07.06.2026

→a⟨−1; −1; 2⟩, →b⟨2; 1; 1⟩ və →c⟨1; 0; 3⟩ vektorları verilmişdir. →a − (→b + →c) vektorunun komponentlərini tapın.

A) ⟨4; 3; 3⟩B) ⟨−4; −2; −2⟩C) ⟨−4; −3; −3⟩D) ⟨2; 0; 5⟩E) ⟨−2; 0; −5⟩

1. Əvvəl mötərizədəki cəm: b→ + c→ = ⟨2 + 1; 1 + 0; 1 + 3⟩ = ⟨3; 1; 4⟩.Niyə belədir?

   Əməllərin ardıcıllığı ədədlərdəki kimidir: əvvəl mötərizə.

2. Çıxırıq: a→ − (b→ + c→) = ⟨−1 − 3; −1 − 1; 2 − 4⟩ = ⟨−4; −2; −2⟩.Niyə belədir?

   Yoxlama: ⟨−4; −2; −2⟩ + ⟨3; 1; 4⟩ = ⟨−1; −1; 2⟩ = a.

3. Cavab: ⟨−4; −2; −2⟩ (B variantı).

DİM-in rəsmi izahı (07.06.2026)

→b + →c = ⟨3; 1; 4⟩ və →a = ⟨−1; −1; 2⟩ olduğundan →a − (→b + →c) = ⟨−4; −2; −2⟩ olar.Mənbə: DİM izahı — 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

İmtahanda belə soruşulurDİM · 25.05.2025

→a⟨5; k; −2⟩, →b⟨2; 15; 6⟩ vektorları verilmişdir. k-nın hansı qiymətində 3→a + →b vektorunun uzunluğu 17-yə bərabərdir?

A) 6B) 4C) 3D) −5E) −2

1. Koordinat-koordinat hesablayırıq: 3a→ + b→ = ⟨15 + 2; 3k + 15; −6 + 6⟩ = ⟨17; 3k + 15; 0⟩.
2. Uzunluq: √(17² + (3k + 15)² + 0²) = 17.Niyə belədir?

   Birinci koordinat artıq 17-dir, deməli qalan koordinatların kvadratları cəmi 0 olmalıdır.

3. (3k + 15)² = 0, k = −5.
4. Cavab: −5 (D variantı).

DİM-in rəsmi izahı (25.05.2025)

Tapşırığın həlli üçün əvvəlcə 3→a + →b vektorunun komponentləri tapılır.3→a + →b = 3·→a⟨5; k; −2⟩ + →b⟨2; 15; 6⟩ = ⟨3·5; 3·k; 3·(−2)⟩ + ⟨2; 15; 6⟩ == ⟨17; 3·k + 15; 0⟩3→a + →b = ⟨17; 3·k + 15; 0⟩Vektorun mütləq qiymətinin tapılması düsturuna görə|3→a + →b| = √(17² + (3k + 15)² + 0²) = √(289 + (3k + 15)²)√(289 + (3k + 15)²) = 17 → 289 + (3k + 15)² = 289 →→ (3k + 15)² = 0 → k = −5Mənbə: DİM izahı — 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

a→⟨2; −6; 9⟩ vektorunun uzunluğunu tapın.

√(4 + 36 + 81).

Fəsil 5

Vektorların skalyar hasili

Hekayə

Axşam məntəqənin barjasını sahil boyunca yanalma yerinə çəkirlər. Sahildəki bucurqad ipi dartır, ip isə barjanı çəp bucaq altında çəkir: koordinatlarla qüvvə F⟨400; 300⟩ N-dur (x — sahil boyunca, y — sahilə doğru). Barja sahil boyunca s⟨20; 0⟩ m yerini dəyişir.

Fizikadan məlumdur: iş qüvvənin yerdəyişmə istiqamətindəki “hissəsindən” asılıdır. Qüvvə nə qədər iş görür və ip barjanı düz sahil boyunca çəksəydi, nə qədər olardı?

İp barjanı F⟨400; 300⟩ qüvvəsi ilə çəkir, barja s⟨20; 0⟩ yerini dəyişir.Tərif

İki vektorun skalyar hasili — ədəddir: a→ · b→ = |a→|·|b→|·cos φ, burada φ vektorlar arasındakı bucaqdır. Koordinatlarla: a→ · b→ = x₁x₂ + y₁y₂ (fəzada + z₁z₂ əlavə olunur).

Skalyar hasilin işarəsi bucağın növünü göstərir; perpendikulyar vektorlar üçün o, sıfırdır.Nəticələr

a→ ⊥ b→ ⇔ a→ · b→ = 0. Bucağın kosinusu: cos φ = (a→ · b→) / (|a→|·|b→|).

Hekayə

Qüvvənin işi — qüvvə ilə yerdəyişmənin skalyar hasilidir: A = F · s = 400·20 + 300·0 = 8000 C. İpin gərginliyi |F| = √(400² + 300²) = 500 N olsa da, iş 500·20 = 10 000 C yox, 8000 C-dur, çünki cos φ = 8000 / (500·20) = 0,8: qüvvənin bir hissəsi barjanı sahilə sıxmağa gedir və iş görmür.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 02.03.2025

→a⟨4; −3⟩ və →b⟨−5; 2⟩ vektorlarının skalyar hasilini tapın.

A) –14B) 26C) 28D) 14E) –26

1. Uyğun koordinatların hasillərini toplayırıq: a→ · b→ = 4·(−5) + (−3)·2.Niyə belədir?

   Skalyar hasil ədəddir, vektor deyil — cavabda ⟨ ⟩ yazılmır.

2. −20 − 6 = −26.Niyə belədir?

   Hasil mənfidir — vektorlar arasındakı bucaq kordur.

3. Cavab: −26 (E variantı).

DİM-in rəsmi izahı (02.03.2025)

→a · →b = 4·(−5) + (−3)·2 = −26.Mənbə: DİM izahı — 02.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

Nümunə 3

a→⟨1; 2; 2⟩ və b→⟨2; −2; 1⟩ vektorları arasındakı bucağı tapın.

1. Skalyar hasil: 1·2 + 2·(−2) + 2·1 = 0.
2. Hasil sıfırdır, deməli cos φ = 0, φ = 90°.Niyə belədir?

   Uzunluqları hesablamağa ehtiyac qalmadı: sıfırın istənilən ədədə nisbəti sıfırdır.

3. Cavab: 90°.

Özün yoxla

a→⟨3; −2; 1⟩ və b→⟨2; 4; 5⟩ vektorlarının skalyar hasilini tapın.

6 − 8 + 5.

Yekun

Yadda saxla

• AB→⟨x₂ − x₁; y₂ − y₁⟩; uzunluq |a→| = √(x² + y²) (fəzada + z²).
• Toplama: AB→ + BC→ = AC→; çıxma koordinat-koordinat.
• Bir nöqtədən çıxan vektorlar: BA→ − BC→ = CA→.
• k·a→ = ⟨kx; ky; kz⟩; kollinear ⇔ koordinatlar mütənasibdir; k < 0 — əks istiqamət.
• Skalyar hasil: a→ · b→ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = |a→|·|b→|·cos φ.
• a→ ⊥ b→ ⇔ a→ · b→ = 0.

Tipik səhvlər

“Vektorların fərqinin uzunluğu uzunluqların fərqidir”

Əvvəl fərq vektoru tapılır, sonra onun uzunluğu: |BA − BC| = |CA| = 13, 12 − 5 = 7 yox.

“AB vektorunun koordinatları A − B-dir”

Sondan başlanğıc çıxılır: AB = B − A. A − B əks vektoru (BA-nı) verir.

“Skalyar hasil vektordur”

Skalyar hasil ədəddir: x₁x₂ + y₁y₂ (+ z₁z₂).

“Koordinatları mütənasib olan vektorlar həmişə eyni istiqamətlidir”

Nisbət müsbət olduqda eyni, mənfi olduqda əks istiqamətlidirlər.

Yekun

Müstəqil iş

Tapşırıqlar asandan çətinə düzülüb. Əvvəl özün həll et, sonra variantı seç; izah cavabdan sonra açılır.

1 · 1-ci səviyyə

A(2; −1), B(5; 3). AB→ vektorunun uzunluğu:

AB⟨3; 4⟩, √(9 + 16) = 5.

2 · 1-ci səviyyə

a→⟨1; −2⟩, b→⟨3; 5⟩. 2a→ + b→ vektoru:

⟨2; −4⟩ + ⟨3; 5⟩ = ⟨5; 1⟩.

3 · 2-ci səviyyə

a→⟨−2; 4; 6⟩ vektoru ilə eyni istiqamətli vektor:

⟨−1; 2; 3⟩ = 0,5·a, k > 0.

4 · 2-ci səviyyə

m-in hansı qiymətində a→⟨m; 3⟩ və b→⟨6; −4⟩ vektorları perpendikulyardır?

6m − 12 = 0 → m = 2.

5 · DİM səviyyəsi

|a→| = 3, |b→| = 4, aralarındakı bucaq 60°-dir. |a→ + b→|:

|a + b|² = 9 + 16 + 2·3·4·0,5 = 37.

6 · DİM səviyyəsi

a→⟨2; −1; 2⟩, b→⟨k; 3; −4⟩. |a→ + b→| = 3 olarsa, k-nın qiymətlərinin cəmi:

a + b = ⟨2 + k; 2; −2⟩; (2 + k)² + 8 = 9 → k = −1 və ya k = −3.

İmtahan tapşırıqları və rəsmi izahlar — DİM:

1. 02.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF) — Vektorlar (A variantı, 72; B-69, C-72, D-68)
2. 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — Fəzada vektorlar (A variantı, 20; B-22, C-8, D-13)
3. 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Vektorlar. Koordinatlar metodu (A variantı, 8; B-10, C-7, D-17)
4. 24.05.2026, II ixtisas qrupu (PDF) — Vektorlar. Koordinatlar metodu (A variantı, 2; B-12, C-9, D-2)
5. 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Vektorlar. Koordinatlar metodu (A variantı, 21; B-16, C-21, D-7)

Hekayə, səhnələr, nümunələr, “Özün yoxla” və “Müstəqil iş” tapşırıqları bizimdir, DİM-ə aid deyil. DİM tapşırıqları və izahları mənbədəki kimi verilib; “…” işarəsi buraxılmış hissəni göstərir.