İbtidai funksiya və inteqral

v class="hero">Riyazi analizin elementləri · Mövzu 32 / 46

İbtidai funksiya və inteqral

Bu dərsi bir hekayə ilə keçəcəyik: şəhərdə yeni park salınır. Hovuzun doldurulması, tağlı körpünün rənglənməsi və yarpaq formalı gül ləki bizi ibtidai funksiyaya, müəyyən inteqrala və onun əsas tətbiqinə — fiqurların sahəsinin hesablanmasına aparacaq.

≈ 50 dəqiqə4 fəsil8 DİM tapşırığı11-ci sinif materialı

Bu dərsdən sonra bacaracaqsan

• ibtidai funksiyaların ümumi şəklini cədvəl və qaydalarla tapmağı, əlavə şərtə görə C sabitini təyin etməyi;
• müəyyən inteqralı Nyuton–Leybnis düsturu ilə hesablamağı;
• inteqralın xassələrini (sərhədlərin yerini dəyişmə, xəttilik) tətbiq etməyi;
• əyrixətli trapesiyanın və iki əyri arasındakı fiqurun sahəsini tapmağı.

Başlamazdan əvvəl xatırla

• Törəmələr cədvəli və mürəkkəb funksiyanın törəməsi.
• Loqarifm: ln 1 = 0, eln a = a.
• Düz xəttin və parabolanın qrafiki.

Mündəricat

1. GirişSituasiya: hovuzda nə qədər su olacaq?hekayə və təxmin
2. Fəsil 1İbtidai funksiyatərif · ümumi şəkil · cədvəl · DİM 24.05.2026, 01.06.2025
3. Fəsil 2Əyrixətli trapesiyanın sahəsi və Nyuton–Leybnis düsturumüəyyən inteqral · Nyuton–Leybnis · DİM 12.07.2026
4. Fəsil 3İnteqralın xassələri və hesablanmasıxassələr · mürəkkəb arqument · DİM 13.07.2025, 05.07.2026
5. Fəsil 4İki xətlə hüdudlanmış fiqurun sahəsikəsişmə nöqtələri · yuxarı − aşağı · DİM 07.06.2026
6. Məşqİmtahan tapşırıqları ilə məşq2 DİM tapşırığı: cavab və rəsmi izah
7. YekunYadda saxlaqısa xülasə və tipik səhvlər
8. YekunMüstəqil iş6 tapşırıq, asandan çətinə

Giriş

Situasiya: hovuzda nə qədər su olacaq?

Hekayə

Şəhərdə yeni park salınır. Səhər tezdən usta parkın ortasındakı hovuzu doldurmağa başlayır: hovuzda artıq 10 m³ su var. Nasos işə düşür, onun verimi tədricən artır: t saat sonra nasos saatda q(t) = t + 2 m³ su vurur.

Yəni əvvəl saatda 2 m³, 6 saatdan sonra isə saatda 8 m³ su vurur. Usta işi 6 saata planlaşdırıb. Sual: 6 saatdan sonra hovuzda nə qədər su olacaq?

Hovuzda 10 m³ su var, nasosun verimi q(t) = t + 2 m³/saat.Əvvəlcə təxmin et

Sənin fikrincə, 6 saatdan sonra hovuzda nə qədər su olacaq? Təxminini seç: 1-ci fəsildə birlikdə hesablayacağıq.

Fəsil 1

İbtidai funksiya

Hovuzdakı su həcmini V(t) ilə işarə edək. Nasosun verimi həcmin dəyişmə sürətidir: V′(t) = q(t) = t + 2. Törəmədən geri — funksiyanın özünə qayıtmaq lazımdır. Bu əməliyyat diferensiallamanın tərsidir.

Tərif

Verilmiş aralığın bütün nöqtələrində F′(x) = f(x) olarsa, F funksiyası həmin aralıqda f funksiyasının ibtidai funksiyası adlanır.

İbtidai funksiyaların ümumi şəkli

F funksiyası f-in ibtidai funksiyasıdırsa, bütün ibtidai funksiyalar F(x) + C şəklindədir (C — istənilən sabit). Bu yazılış ibtidai funksiyaların ümumi şəkli və ya qeyri-müəyyən inteqral adlanır: ∫ f(x) dx = F(x) + C.

Sabitin törəməsi sıfır olduğu üçün C “itir”: məsələn, x², x² + 5, x² − 3 — üçü də 2x funksiyasının ibtidaisidir. Konkret ibtidai funksiyanı seçmək üçün əlavə şərt (məsələn, başlanğıc qiymət) lazımdır.

İbtidai funksiyalar cədvəli

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1),  ∫ dx/x = ln|x| + C∫ eˣ dx = eˣ + C,  ∫ aˣ dx = aˣ/ln a + C∫ sin x dx = −cos x + C,  ∫ cos x dx = sin x + C,  ∫ dx/cos²x = tg x + CQaydalar: ∫ (f ± g) = ∫ f ± ∫ g,  ∫ k·f = k·∫ f,  ∫ f(kx + b) dx = F(kx + b)/k + C

Nümunə 1

f(x) = 3x² − 4x + 5 funksiyasının qrafiki (1; 2) nöqtəsindən keçən ibtidai funksiyasını tapın.

1. Ümumi şəkil: F(x) = x³ − 2x² + 5x + C.Niyə belədir?

   Hər hədd üçün xⁿ → xⁿ⁺¹/(n + 1): 3x² → x³, 4x → 2x², 5 → 5x. Yoxlama: F′ = 3x² − 4x + 5.

2. Şərt: F(1) = 1 − 2 + 5 + C = 2, buradan C = −2.
3. Cavab: F(x) = x³ − 2x² + 5x − 2.

Hekayə

Hovuz üçün: V(t) = t²/2 + 2t + C. Başlanğıcda V(0) = C = 10, deməli V(t) = t²/2 + 2t + 10. Onda V(6) = 18 + 12 + 10 = 40 m³. Nasosun ilk verimini (2 m³/saat) 6 saata vurmaq 22 m³, son verimini vurmaq isə 58 m³ verərdi — hər ikisi səhvdir, çünki verim dəyişir. 10 m³-u unutsaq, 30 m³ alardıq. Düzgün cavab: 40 m³.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 24.05.2026

f(x) = 12x⁵ funksiyasının ibtidai funksiyalarının ümumi şəklini tapın.

A) x⁶ + CB) 30x⁴ + CC) 2x⁶ + CD) x⁵ + CE) 30x⁶ + C

1. Cədvəldən: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, burada n = 5.Niyə belədir?

   Üstü 1 artırır və yeni üstə bölürük.

2. F(x) = 12 · x⁶/6 + C = 2x⁶ + C.Niyə belədir?

   Yoxlama: (2x⁶)′ = 12x⁵. 30x⁴ variantı törəmədir, ibtidai deyil.

3. Cavab: 2x⁶ + C (C variantı).

DİM-in rəsmi izahı (24.05.2026)

f(x) = 12x⁵ -in ibtidai funksiyalarının ümumi şəkli F(x) = 12x⁶/6 + C = 2x⁶ + C olar.Mənbə: DİM izahı — 24.05.2026, II ixtisas qrupu (PDF)

İmtahanda belə soruşulurDİM · 01.06.2025

Qrafiki təsvir olunmuş y = f(x) xətti funksiyasının F(x) ibtidai funksiyalarının ümumi şəklini göstərin.

Şəkildə düz xətt Oy oxunu (0; 1), Ox oxunu (1; 0) nöqtəsində kəsir.

A) F(x) = x²/2 + 2x + CB) F(x) = −x² + 2x + CC) F(x) = −x²/2 − x + CD) F(x) = x² + 2x + CE) F(x) = −x²/2 + x + C

1. Düz xətt Oy oxunu (0; 1) nöqtəsində kəsir: b = 1. Ox oxunu (1; 0) nöqtəsində kəsir: 0 = k + 1, k = −1.Niyə belədir?

   f(x) = kx + b-də b — Oy ilə kəsişmənin ordinatıdır.

2. f(x) = −x + 1.
3. F(x) = −x²/2 + x + C.Niyə belədir?

   Yoxlama: (−x²/2 + x)′ = −x + 1.

4. Cavab: F(x) = −x²/2 + x + C (E variantı).

DİM-in rəsmi izahı (01.06.2025)

Əvvəlcə xətti funksiyanın tənliyini yazaq. Şəklə əsasən düz xətt ordinat oxunu (0;1) nöqtəsində kəsdiyindən f(x) = kx + b xətti funksiyasında b = 1-dir. f(x) = kx + 1 funksiyası absis oxunu (1;0) nöqtəsində kəsdiyindən 0 = k·1 + 1 ⇒ k = −1 olar. Beləliklə, xətti funksiya f(x) = −x + 1 olacaqdır. Onda bu funksiyanın ibtidai funksiyalarının ümumi şəkli F(x) = −x²/2 + x + C olacaq.Mənbə: DİM izahı — 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

F funksiyası f(x) = 6x² funksiyasının ibtidaisidir və F(1) = 5. F(2)-ni tapın.

F(x) = 2x³ + C; F(1) = 2 + C = 5.

Fəsil 2

Əyrixətli trapesiyanın sahəsi və Nyuton–Leybnis düsturu

Hekayə

Hovuz doldu, indi növbə kanal üzərindəki tağlı körpüdədir. Körpünün ön üzü 8 m × 4 m ölçüdə düzbucaqlıdır, altında isə tağ var. Tağın xətti parabola ilə verilir: kanalın ortasını başlanğıc götürsək, y = 3 − x²/3 (metrlə); tağın eni 6 m, hündürlüyü 3 m-dir.

Rəngsaz ön üzü rəngləməlidir, tağın altı isə boşdur. Neçə kvadratmetr rənglənəcək?

Ön üz 8 × 4 m, tağ y = 3 − x²/3: boyanacaq sahə nə qədərdir?

Düzbucaqlının sahəsi 32 m²-dir, ondan tağın altındakı sahəni çıxmaq lazımdır. Tağın altındakı fiqur yuxarıdan əyri xətlə hüdudlanır — belə fiqurların sahəsini hələ hesablamamışıq.

Tərif

Yuxarıdan kəsilməz və mənfi olmayan y = f(x) funksiyasının qrafiki, yanlardan x = a və x = b düz xətləri, aşağıdan Ox oxu ilə hüdudlanan fiqur əyrixətli trapesiya adlanır.

Əyrixətli trapesiyanın sahəsi müəyyən inteqraldır.

Sahəni təxmini tapmaq üçün [a; b] parçasını n bərabər hissəyə bölüb, hər hissədə hündürlüyü f-in qiymətinə bərabər düzbucaqlı qururuq. Düzbucaqlıların sahələri cəmi Sₙ fiquru getdikcə daha dəqiq örtür. n → ∞ olduqda Sₙ-in limiti f funksiyasının a-dan b-yə qədər müəyyən inteqralı adlanır: ∫ₐᵇ f(x) dx.

Laboratoriyada tağın altını düzbucaqlılarla doldur: n-i artırdıqca Sₙ cəmi 12-yə yaxınlaşır.

Laboratoriya · tağın altını düzbucaqlılarla doldurdüzbucaqlıların sayı n4Nyuton–Leybnis düsturu

F funksiyası [a; b] parçasında kəsilməz f funksiyasının ibtidaisidirsə:

∫ₐᵇ f(x) dx = F(x)|ₐᵇ = F(b) − F(a)

Düsturun mənasını hovuzda gördük: verimin 0-dan 6-ya qədər inteqralı — bu müddətdə daxil olan su həcmidir: ∫₀⁶ (t + 2) dt = V(6) − V(0) = 30. İbtidai funksiyanın C sabiti F(b) − F(a) fərqində ixtisar olunur, ona görə onu yazmırıq.

Hekayə

Tağın altı: ∫₋₃³ (3 − x²/3) dx = (3x − x³/9)|₋₃³ = (9 − 3) − (−9 + 3) = 12 m². Rəngsaz 32 − 12 = 20 m² rəngləyəcək. Hər litr boya 5 m²-ə çatırsa, 4 litr boya lazımdır.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 12.07.2026

∫₁³ (2x − 3)dx inteqralını hesablayın.

A) 1B) 3C) −2D) −3E) 2

1. İbtidai funksiya: F(x) = x² − 3x.Niyə belədir?

   (x² − 3x)′ = 2x − 3.

2. F(3) = 9 − 9 = 0, F(1) = 1 − 3 = −2.
3. F(3) − F(1) = 0 − (−2) = 2.Niyə belədir?

   Mötərizə vacibdir: mənfi ədədi çıxanda işarə dəyişir.

4. Cavab: 2 (E variantı).

DİM-in rəsmi izahı (12.07.2026)

Verilən müəyyən inteqralı hesablamaq üçün Nyuton Leybnis düsturunu tətbiq edək: ∫₁³ (2x − 3)dx = (x² − 3x)|₁³ = 3² − 3·3 − (1 − 3) = 2.Mənbə: DİM izahı — 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

∫₀² 3x² dx inteqralını hesablayın.

İbtidai x³-dur.

Fəsil 3

İnteqralın xassələri və hesablanması

Müəyyən inteqralın xassələri

∫ₐᵇ (f ± g) dx = ∫ₐᵇ f dx ± ∫ₐᵇ g dx,  ∫ₐᵇ k·f dx = k·∫ₐᵇ f dx∫ba f dx = −∫ₐᵇ f dx (sərhədlərin yeri dəyişəndə işarə dəyişir)∫ₐᶜ f dx = ∫ₐᵇ f dx + ∫bc f dx

Arqumenti xətti ifadə olan funksiyada (kx + b) ibtidai funksiya k-ya bölünür: məsələn, ∫ (2x + 1)² dx = (2x + 1)³/(3·2) + C. Səbəb: törəmə alanda daxili funksiyanın törəməsi k vuruğunu verir, ibtidaidə isə onu kompensasiya etmək lazımdır.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 13.07.2025

∫₀³ (2x + 1)² dx inteqralını hesablayın.

A) 57B) 51C) 64D) 16E) 21

1. İbtidai funksiya: F(x) = (2x + 1)³/6.Niyə belədir?

   (2x + 1)² ifadəsini u² kimi götürürük: ∫u² = u³/3, sonra k = 2-yə bölürük. Yoxlama: ((2x + 1)³/6)′ = 3(2x + 1)²·2/6 = (2x + 1)².

2. F(3) = 7³/6 = 343/6, F(0) = 1/6.
3. 343/6 − 1/6 = 342/6 = 57.
4. Cavab: 57 (A variantı).

DİM-in rəsmi izahı (13.07.2025)

Nyuton-Leybnis düsturuna əsasən ∫₀³ (2x + 1)² dx = 1/2 · (2x + 1)³/3 |₀³ = (2 · 3 + 1)³/6 − (2 · 0 + 1)³/6 == 343/6 − 1/6 = 57Mənbə: DİM izahı — 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Nümunə 2

∫₁ᵉ dx/x və ∫₀ln 2 eˣ dx inteqrallarını hesablayın.

1. ∫₁ᵉ dx/x = ln|x| |₁ᵉ = ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1.Niyə belədir?

   ln 1 = 0, ln e = 1.

2. ∫₀ln 2 eˣ dx = eˣ |₀ln 2 = eln 2 − e⁰ = 2 − 1 = 1.Niyə belədir?

   eln 2 = 2 — loqarifmin tərifi.

3. Cavab: hər iki inteqral 1-ə bərabərdir.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 05.07.2026

∫₁⁴ (x sin 4x)² dx − ∫₄¹ (x cos 4x)² dx fərqini hesablayın.

A) 21B) 27C) 15D) 16E) 18

1. Sərhədlərin yerini dəyişirik: −∫₄¹ (x cos 4x)² dx = +∫₁⁴ (x cos 4x)² dx. Fərq cəmə çevrilir.Niyə belədir?

   Tapşırığın tələsi buradadır: ikinci inteqralın sərhədləri tərsdir.

2. Eyni sərhədli inteqralları birləşdiririk: ∫₁⁴ x²(sin² 4x + cos² 4x) dx = ∫₁⁴ x² dx.Niyə belədir?

   sin²α + cos²α = 1 — çətin görünən triqonometrik hissə yox olur.

3. x³/3 |₁⁴ = 64/3 − 1/3 = 63/3 = 21.
4. Cavab: 21 (A variantı).

DİM-in rəsmi izahı (05.07.2026)

Müəyyən … xassələrini və sin²α + cos²α = 1 eyniliyini tətbiq edək: ∫₁⁴ (x sin 4x)² dx − ∫₄¹ (x cos 4x)² dx = ∫₁⁴ x² sin² 4x dx + ∫₁⁴ x² cos² 4x dx == ∫₁⁴ (x² sin² 4x + x² cos² 4x) dx = ∫₁⁴ x² (sin² 4x + cos² 4x) dx == ∫₁⁴ x² dx = x³/3 |₁⁴ = 64/3 − 1/3 = 63/3 = 21Mənbə: DİM izahı — 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

∫₀¹ (3x + 1)² dx inteqralını hesablayın.

F(x) = (3x + 1)³/9.

Fəsil 4

İki xətlə hüdudlanmış fiqurun sahəsi

Hekayə

Parkın açılışına bir gün qalıb. Bağban meydançada yarpaq formalı gül ləki salır. Meydançada metr-metr koordinat şəbəkəsi çəkilib; ləkin aşağı kənarı y = x²/2, yuxarı kənarı y = 4 − x²/2 əyrisidir.

Hər kvadratmetrə 9 kol gül əkiləcək. Ləkin sahəsi nə qədərdir və neçə kol lazımdır?

Gül ləki y = x²/2 və y = 4 − x²/2 əyriləri arasındadır.İki əyri arasındakı sahə

[a; b] parçasında f(x) ≥ g(x) olarsa, y = f(x), y = g(x), x = a, x = b xətləri ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsi:

S = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx   (yuxarı − aşağı)

Sərhədlər verilməyibsə, onları əyrilərin kəsişmə nöqtələrindən tapırıq: f(x) = g(x) tənliyini həll edirik. Hansı əyrinin yuxarıda olduğunu aralıqdakı bir nöqtə ilə yoxla.

Hekayə

Kəsişmə: x²/2 = 4 − x²/2, x = ±2. Yuxarıdakı əyri 4 − x²/2-dir (x = 0 olanda 4 − 0 = 4 > 0 = 0²/2). Sahə: ∫₋₂² (4 − x²/2 − x²/2) dx = ∫₋₂² (4 − x²) dx = (4x − x³/3)|₋₂² = 32/3 = 10⅔ m². Kolların sayı: 9 · 32/3 = 96.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 07.06.2026

y = x² və y = 8 − x² xətləri ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsini tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 20⅓B) 21⅓C) 12,5D) 16⅓E) 20,5

1. Kəsişmə nöqtələri: x² = 8 − x², x² = 4, x = ±2.Niyə belədir?

   Bunlar inteqralın sərhədləridir.

2. Yuxarıdakı əyri y = 8 − x²-dir: S = ∫₋₂² ((8 − x²) − x²) dx = ∫₋₂² (8 − 2x²) dx.Niyə belədir?

   x = 0 olanda 8 − 0 = 8 > 0 = 0².

3. (8x − 2x³/3)|₋₂² = (16 − 16/3) − (−16 + 16/3) = 32 − 32/3 = 64/3 = 21⅓.Niyə belədir?

   Fiqur Oy oxuna görə simmetrikdir, ona görə S = 2∫₀² (8 − 2x²) dx ilə də hesablamaq olar.

4. Cavab: 21⅓ (B variantı).

DİM-in rəsmi izahı (07.06.2026)

y = x² və y = 8 − x² əyrilərinin kəsişmə nöqtələrinin absislərini tapaq: x² = 8 − x²; 2x² = 8; x₁ = −2, x₂ = 2. Onda S = ∫₋₂² ((8 − x²) − x²)dx = ∫₋₂² (8 − 2x²)dx = (8x − (2/3)x³)|₋₂² = (8·2 − (2/3)·2³) − (−16 − (2/3)·(−2)³) = (16 − 16/3) − (−16 + 16/3) = 32 − 32/3 = (96 − 32)/3 = 64/3 = 21⅓ olar.Mənbə: DİM izahı — 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

y = x² və y = 2x xətləri ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsini tapın (onluq kəsrlə, iki rəqəm dəqiqliklə).

Kəsişmə: x = 0 və x = 2; yuxarıdakı 2x-dir.

Məşq

İmtahan tapşırıqları ilə məşq

DİM · 25.05.2025

∫₃ᵃ dx/x = 3ln 2 bərabərliyindən a-nı tapın.

Açıq tapşırıq: cavabı özün yaz.

Cavab və DİM izahı

Cavab: a = 24.

∫₃ᵃ dx/x = ln|x| |₃ᵃ = ln a − ln 3 = ln(a/3)Şərtə görə ln(a/3) = ln 2³ → a/3 = 8 → a = 24Mənbə: DİM izahı — 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 06.07.2025

y = 5ˣ, y = 25ˣ və x = a xətləri ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsi log₂₅ e olarsa, a-nı tapın.

Fiqur 0 ≤ x ≤ a aralığındadır: x = 0 olanda iki əyri kəsişir (5⁰ = 25⁰ = 1), x > 0 olanda 25ˣ > 5ˣ.

A) 0,2B) log₅ 2C) 1D) 0,5E) log₂₅ 2Cavab və DİM izahı

Cavab: log₅ 2 (B variantı).

Əvvəlcə, verilən funksiyaların qrafiklərini və x = a düz xəttini quraq:Aydındır ki, verilən xətlərlə hüdudlanmış fiqurun sahəsiS = ∫₀ᵃ (25ˣ − 5ˣ)dx = (25ˣ/ln 25 − 5ˣ/ln 5) |₀ᵃ == (25ᵃ/ln 25 − 5ᵃ/ln 5) − (25⁰/ln 25 − 5⁰/ln 5) =(25ᵃ/(2ln 5) − 5ᵃ/ln 5) − (1/(2ln 5) − 1/ln 5) =(25ᵃ − 2·5ᵃ)/(2ln 5) − (1 − 2)/(2ln 5) = (25ᵃ − 2·5ᵃ + 1)/(2ln 5)kimi tapılır.Şərtə görə isə həmin sahə log₂₅ e -yə bərabərdir. Deməli,(25ᵃ − 2·5ᵃ + 1)/(2ln 5) = log₂₅ e. Buradan(25ᵃ − 2·5ᵃ + 1)/(2ln 5) = 1/ln 25(25ᵃ − 2·5ᵃ + 1)/(2ln 5) = 1/(2ln 5)25ᵃ − 2·5ᵃ + 1 = 125ᵃ − 2·5ᵃ = 05ᵃ·(5ᵃ − 2) = 05ᵃ = 2a = log₅ 2Mənbə: DİM izahı — 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

Yekun

Yadda saxla

• F′ = f ⇔ F — ibtidai; ümumi şəkil F(x) + C.
• ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, ∫ dx/x = ln|x| + C, ∫ aˣ dx = aˣ/ln a + C.
• Xətti arqument: ∫ f(kx + b) dx = F(kx + b)/k + C.
• Nyuton–Leybnis: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).
• Sərhədlərin yeri dəyişəndə işarə dəyişir: ∫ba f = −∫ₐᵇ f.
• Əyrixətli trapesiya: S = ∫ₐᵇ f(x) dx; iki əyri arası: S = ∫ₐᵇ (yuxarı − aşağı) dx, sərhədlər — kəsişmə nöqtələri.

Tipik səhvlər

“∫ 2x dx = x²” (C yazılmır)

İbtidai funksiyaların ümumi şəklində C mütləqdir; konkret funksiya üçün C əlavə şərtdən tapılır (hovuzda C = 10 m³).

“∫ (2x + 1)² dx = (2x + 1)³/3 + C”

k = 2-yə bölmək unudulub: düzgünü (2x + 1)³/6 + C. Yoxlama üçün törəmə al.

“∫₄¹ f dx = ∫₁⁴ f dx”

Sərhədlər yer dəyişəndə inteqralın işarəsi dəyişir (05.07.2026 tapşırığı).

“İki əyri arasındakı sahə — inteqralların cəmidir”

Yuxarı əyridən aşağı əyrini çıx və sərhədləri kəsişmə nöqtələrindən götür.

Yekun

Müstəqil iş

Tapşırıqlar asandan çətinə düzülüb. Əvvəl özün həll et, sonra variantı seç; izah cavabdan sonra açılır.

1 · 1-ci səviyyə

f(x) = 4x³ funksiyasının ibtidai funksiyalarının ümumi şəkli:

x³ → x⁴/4; 4 · x⁴/4 = x⁴.

2 · 1-ci səviyyə

∫₀² (2x + 1) dx inteqralının qiyməti:

(x² + x)|₀² = 4 + 2 = 6.

3 · 2-ci səviyyə

∫₁e² dx/x inteqralının qiyməti:

ln e² − ln 1 = 2.

4 · 2-ci səviyyə

∫₀¹ (2x − 1)³ dx inteqralının qiyməti:

(2x − 1)⁴/8 |₀¹ = 1/8 − 1/8 = 0.

5 · DİM səviyyəsi

y = x² və y = 4 xətləri ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsi:

∫₋₂² (4 − x²) dx = 16 − 16/3 = 32/3.

6 · DİM səviyyəsi

a > 0 və ∫₀ᵃ 2x dx = 9 olarsa, a-nı tapın.

x²|₀ᵃ = a² = 9, a = 3.

İmtahan tapşırıqları və rəsmi izahlar — DİM:

1. 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — İnteqral (A variantı, 26; B-23, C-26, D-24)
2. 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — İbtidai funksiya və inteqral (A variantı, 10; B-5, C-22, D-7)
3. 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — İbtidai funksiya və inteqral (A variantı, 15; B-22, C-16, D-21)
4. 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — İbtidai funksiya və inteqral (A variantı, 22; B-18, C-16, D-3)
5. 24.05.2026, II ixtisas qrupu (PDF) — İbtidai funksiya və inteqral (A variantı, 15; B-15, C-10, D-14)
6. 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — İbtidai funksiya və inteqral (A variantı, 6; B-20, C-5, D-4)
7. 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF) — İbtidai funksiya və inteqral (A variantı, 10; B-15, C-19, D-13)
8. 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — İbtidai funksiya və inteqral (A variantı, 4; B-20, C-13, D-3)

Hekayə, səhnələr, nümunələr, “Özün yoxla” və “Müstəqil iş” tapşırıqları bizimdir, DİM-ə aid deyil. DİM tapşırıqları və izahları mənbədəki kimi verilib; “…” işarəsi buraxılmış hissəni göstərir.