Fırlanma cisimləri: silindr, konus, kürə

Stereometriya · Mövzu 46 / 46

Fırlanma cisimləri: silindr, konus, kürə

Bu dərsi dənizkənarı bulvardakı kiçik kafedə keçəcəyik: limonad stəkanları, böyük silindr çən və vafli qıfda dondurma bizi silindrə, konusa və kürəyə aparacaq. Hər cismi əvvəl kafedə görəcək, sonra düsturlarını çıxaracaq və DİM tapşırıqlarında tətbiq edəcəyik.

≈ 50 dəqiqə5 fəsil13 DİM tapşırığı11-ci sinif materialı

Bu dərsdən sonra bacaracaqsan

• silindrin, konusun və kürənin elementlərini (radius, hündürlük, doğuran, ox kəsiyi) tanımağı;
• yan və tam səthin sahəsini, həcmi düsturlarla hesablamağı;
• müstəvi fiqurun fırlanmasından hansı cismin alındığını və onun ölçülərini müəyyən etməyi;
• oxşar, daxilə çəkilmiş və birləşmiş cisimlərə aid DİM tapşırıqlarını həll etməyi.

Başlamazdan əvvəl xatırla

• Dairənin sahəsi πr², çevrənin uzunluğu 2πr-dir.
• Pifaqor teoremi: c² = a² + b².
• 30°-li bucağın qarşısındakı katet hipotenuzun yarısıdır; sin, cos və tg-nin tərifləri.
• Kvadratın diaqonalı tərəfinin √2 mislidir.

Mündəricat

1. GirişSituasiya: neçə kağız stəkan?hekayə və təxmin
2. Fəsil 1Silindr: elementlər, ox kəsiyi, səth və həcmsilindr · DİM 07.06.2026
3. Fəsil 2Konus: doğuran, ox kəsiyi, səth və həcmkonus · DİM 06.07.2025
4. Fəsil 3Kürə və sfera. Oxşar cisimlərkürə, oxşarlıq · DİM 09.03.2025
5. Fəsil 4Müstəvi fiqurların fırlanmasından alınan cisimlərlaboratoriya · DİM 15.03.2026
6. Fəsil 5Daxilə çəkilmiş və birləşmiş cisimlərkombinasiyalar · DİM 05.07.2026, 12.07.2026
7. Məşqİmtahan tapşırıqları ilə məşq7 DİM tapşırığı: cavab və rəsmi izah
8. YekunYadda saxlaqısa xülasə və tipik səhvlər
9. YekunMüstəqil iş6 tapşırıq, asandan çətinə

Giriş

Situasiya: neçə kağız stəkan?

Hekayə

Yay günü dənizkənarı bulvardakı kiçik kafedə limonad satılır. Piştaxtada iki cür stəkan var: şüşə stəkan — silindr və kağız stəkan — konus. Hər ikisinin ağzının radiusu 4 sm, hündürlüyü 12 sm-dir.

Alıcı soruşur: “Kağız stəkan şüşə stəkandan nə qədər az tutur?” Satıcı yoxlamaq qərarına gəlir: kağız stəkanı doldurub şüşə stəkana boşaldacaq. Şüşə stəkanı ağzına qədər doldurmaq üçün neçə kağız stəkan limonad lazımdır?

Radius da, hündürlük də eynidir: biri silindr, o biri konus.Əvvəlcə təxmin et

Sənin fikrincə, neçə kağız stəkan lazımdır? Təxminini seç: 2-ci fəsildə birlikdə hesablayacağıq.

Fəsil 1

Silindr: elementlər, ox kəsiyi, səth və həcm

Hekayə

Şüşə stəkanlara limonad piştaxtadakı böyük çəndən tökülür. Çən də silindr formasındadır: oturacağının diametri 40 sm, hündürlüyü 50 sm.

Hər səhər satıcı çəni ağzına qədər doldurur. O bilmək istəyir: çənə neçə litr limonad sığır və bu limonad neçə şüşə stəkana çatar?

Çənin iki oturacağı bərabər dairələrdir, yan səthi isə bükülmüş düzbucaqlıdır.

Çən, stəkan, boru, konserv qutusu — hamısı silindrdir. Silindri belə almaq olar: düzbucaqlını bir tərəfi ətrafında tam dövr etdirək. Həmin tərəf yerində qalır və silindrin oxu olur, qarşı tərəf isə yan səthi “cızır”.

Tərif

Düzbucaqlının bir tərəfi ətrafında fırlanmasından alınan cisim silindr adlanır. Onun iki bərabər dairəsi oturacaqlar, oturacaqların mərkəzlərindən keçən düz xətt ox, oturacaqlar arasındakı məsafə hündürlük (h), oturacağın radiusu isə silindrin radiusu (r) adlanır. Yan səthin oxa paralel parçaları doğuranlardır; düz silindrdə doğuran hündürlüyə bərabərdir.

Solda: silindr və onun ox kəsiyi (mavi). Sağda: yan səthin açılışı — tərəfləri 2πr və h olan düzbucaqlı.

Yan səthi doğuran boyunca kəsib açsaq, düzbucaqlı alınar: onun bir tərəfi oturacaq çevrəsinin uzunluğu (2πr), digəri hündürlükdür (h). Həcm isə prizmada olduğu kimi tapılır: oturacağın sahəsi hündürlüyə vurulur.

Silindrin düsturları

Tam səth yan səthlə iki oturacağın sahələrinin cəmidir: 2πrh + 2πr².

Syan = 2πrh,   Stam = 2πr(r + h),   V = πr²h

Nümunə 1

Silindrin oturacağının radiusu 3, hündürlüyü 5-dir. Həcmini və tam səthinin sahəsini tapın.

1. V = πr²h = π·3²·5 = 45π.Niyə belədir?

   Oturacaq dairədir, sahəsi πr² = 9π; onu hündürlüyə vururuq.

2. Yan səth: 2πrh = 2π·3·5 = 30π.
3. Tam səth: 30π + 2·9π = 48π.Niyə belədir?

   Oturacaq ikidir: alt və üst. Yoxlama: 2πr(r + h) = 2π·3·8 = 48π.

4. Cavab: V = 45π, Stam = 48π.

Hekayə

Kafedəki çənə qayıdaq. Radius diametrin yarısıdır: r = 40 : 2 = 20 sm. Həcm: V = π·20²·50 = 20 000π ≈ 62 832 sm³. 1 litr = 1000 sm³ olduğundan çənə təxminən 62,8 l limonad sığır. Bir şüşə stəkanın həcmi π·4²·12 = 192π sm³, deməli 20 000π : 192π ≈ 104,2 — çən təxminən 104 stəkana çatar. Diqqət et: bölmədə π ixtisar olundu, stəkanların sayını π-siz də tapmaq olardı.

Özün yoxla

Silindrin radiusu 2, hündürlüyü 7-dir. Həcmini π ilə ifadə et və π-nin əmsalını yaz (məsələn, 45π üçün 45).

V = πr²h = π·4·7.

Silindri oxdan keçən müstəvi ilə kəssək, ox kəsiyi alınar: tərəfləri 2r (diametr) və h olan düzbucaqlı. Onun diaqonalı üçün d² = (2r)² + h². Hündürlüyü diametrinə bərabər olan silindrə (h = 2r) bərabərtərəfli silindr deyilir; onun ox kəsiyi kvadratdır. Silindrə aid bucaq tapşırıqlarının çoxu məhz bu düzbucaqlıda həll olunur.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 07.06.2026

Ox kəsiyinin diaqonalı 18-ə, hündürlüyü isə 9-a bərabər olan silindrin doğuranı ilə ox kəsiyinin diaqonalı arasındakı bucağın dərəcə ölçüsünü tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.

1. Ox kəsiyi düzbucaqlıdır: onun yan tərəfi doğurandır (hündürlük) — 9, diaqonalı 18.Niyə belədir?

   Doğuran oxa paraleldir və ox kəsiyinin yan tərəfi olur.

2. Doğuran, diaqonal və diametr düzbucaqlı üçbucaq yaradır: diaqonal hipotenuzdur, doğuran isə α bucağına bitişik katetdir.Niyə belədir?

   Düzbucaqlının bütün bucaqları düzdür.

3. cos α = 9/18 = 1/2 ⇒ α = 60°.Niyə belədir?

   Başqa yol: 9 hipotenuzun yarısıdır, deməli o, 30°-li bucağın qarşısındadır; həmin 30° diaqonalla diametr arasındadır, onda α = 90° − 30° = 60°.

4. Cavab: 60°.

DİM-in rəsmi izahı (07.06.2026)

Silindrin ox kəsiyinin diaqonalı 18, hündürlüyü 9 olduğundan, cos α = 9/18 = 1/2 buradan, α = 60° alınar.Mənbə: DİM izahı — 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

Həcm düsturunda radius kvadratdadır. Ona görə hündürlüyü dəyişmədən radiusu k dəfə artırsaq, həcm k² dəfə artar; radiusu dəyişmədən hündürlüyü k dəfə artırsaq, həcm cəmi k dəfə artar. Bərabər hündürlüklü iki silindrin həcmləri nisbəti radiusların (və ya diametrlərin) nisbətinin kvadratına bərabərdir.

Özün yoxla

Silindrin hündürlüyünü dəyişmədən radiusunu 3 dəfə artırdılar. Həcmi neçə dəfə artar?

Həcm radiusun kvadratı ilə mütənasibdir.

Fəsil 2

Konus: doğuran, ox kəsiyi, səth və həcm

İndi kağız stəkana qayıdaq. Onun forması konusdur. Konusu da fırlanma ilə almaq olar: düzbucaqlı üçbucağı katetlərindən biri ətrafında fırlatsaq, həmin katet konusun hündürlüyü, ikinci katet oturacağın radiusu, hipotenuz isə doğuran olur.

Tərif

Düzbucaqlı üçbucağın katetlərindən biri ətrafında fırlanmasından alınan cisim konus adlanır. Konusun təpəsi (S), oturacağı (radiusu r olan dairə), hündürlüyü (h — təpədən oturacağın mərkəzinə qədər) və doğuranı (l — təpəni oturacaq çevrəsinin nöqtəsi ilə birləşdirən parça) var. Onlar Pifaqor teoremi ilə bağlıdır:

l² = r² + h²

Solda: konus, ox kəsiyi (mavi) və doğuranla oturacaq arasındakı φ bucağı. Sağda: yan səthin açılışı — radiusu l, qövsü 2πr olan dairəvi sektor.

Konusun ox kəsiyi yan tərəfləri l, oturacağı 2r olan bərabəryanlı üçbucaqdır. Doğuranla oturacaq müstəvisi arasındakı φ bucağı üçün cos φ = r/l, sin φ = h/l. Yan səthin açılışı dairəvi sektordur; onun sahəsi ½·2πr·l = πrl.

Konusun düsturları

Konusun həcmi oturacağı və hündürlüyü eyni olan silindrin həcminin üçdə biridir.

Syan = πrl,   Stam = πr(r + l),   V = ⅓πr²h

Hekayə

Kafedəki sualın cavabı buradadır. Şüşə stəkanın həcmi π·4²·12 = 192π sm³, kağız stəkanın həcmi isə ⅓·π·4²·12 = 64π sm³. Deməli, şüşə stəkanı doldurmaq üçün 3 kağız stəkan lazımdır. Satıcı yoxlayır: üçüncü kağız stəkandan sonra şüşə stəkan ağzına qədər dolur.

Nümunə 2

Konusun oturacağının radiusu 5, hündürlüyü 12-dir. Doğuranını, yan səthinin sahəsini və həcmini tapın.

1. l = √(5² + 12²) = √169 = 13.Niyə belədir?

   Hündürlük, radius və doğuran düzbucaqlı üçbucaq yaradır; doğuran hipotenuzdur.

2. Syan = πrl = π·5·13 = 65π.Niyə belədir?

   Yan səthdə hündürlük yox, doğuran iştirak edir.

3. V = ⅓πr²h = ⅓·π·25·12 = 100π.
4. Cavab: l = 13, Syan = 65π, V = 100π.

Özün yoxla

Konusun oturacağının radiusu 8, hündürlüyü 15-dir. Doğuranını tapın.

l² = 8² + 15² = 64 + 225.

Ox kəsiyinin təpəsindəki bucaq 90° olarsa, ox kəsiyi bərabəryanlı düzbucaqlı üçbucaqdır: oturacaqdakı bucaqlar 45°-dir və hündürlük radiusa bərabər olur (r = h). DİM bu faktı tez-tez yoxlayır.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 06.07.2025

Konusun doğuranı 4√2 sm, ox kəsiyinin təpə bucağı isə 90°-dir. Konusun həcmini tapın.

Ox kəsiyi ACB üçbucağıdır: C — konusun təpəsi, AB — oturacağın diametri, O — oturacağın mərkəzi.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 24π sm³B) 64π/3 sm³C) 16π/3 sm³D) 32π sm³E) 8π/3 sm³

1. Ox kəsiyi ACB-dir: CA = CB = 4√2, ∠C = 90°. Bu, bərabəryanlı düzbucaqlı üçbucaqdır, ona görə ∠A = ∠B = 45°.Niyə belədir?

   Bərabəryanlı üçbucağın oturacağındakı bucaqlar bərabərdir: (180° − 90°) : 2 = 45°.

2. COB üçbucağında ∠O = 90° və ∠B = 45°, deməli o da bərabəryanlıdır: CO = OB, yəni h = r.Niyə belədir?

   CO hündürlüyü oturacağa perpendikulyardır, ona görə ∠OCB = 90° − 45° = 45° = ∠B.

3. Pifaqor teoremi: r² + r² = (4√2)² = 32, buradan r² = 16, r = h = 4.
4. V = ⅓πr²h = ⅓·π·16·4 = 64π/3.
5. Cavab: 64π/3 sm³ (B variantı).

DİM-in rəsmi izahı (06.07.2025)

△ACB bərabəryanlı (CA=CB) düzbucaqlı üçbucaq olduğu üçün ∠CBA = ∠CAB = 45⁰ olar. Onda CO=OB, yəni konusun hündürlüyü onun radiusuna bərabərdir: r = hPifaqor teoreminə görə r² + h² = BC² = (4√2)² = 32.Buradan alırıq:r² + r² = 322r² = 32r² = 16r = 4h = 4Onda V = (1/3)πr²h = (1/3)π·4²·4 = 64π/3Mənbə: DİM izahı — 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

Fəsil 3

Kürə və sfera. Oxşar cisimlər

Hekayə

Axşamüstü kafedə dondurma da satılır. Satıcı vafli qıfa — konusa — dondurma topu qoyur. Qıfın oturacağının radiusu 3 sm, hündürlüyü 10 sm; qıfın üstündə qalan dondurma radiusu 3 sm olan yarımkürədir, qıfın içi isə hələ boşdur.

Bir uşaq dondurmanı yavaş-yavaş yeyir və narahatdır: “Dondurma əriyib qıfın içinə axsa, qıfdan daşmayacaq ki?”

Qıf — konus, onun üstündəki dondurma — yarımkürə.

Dondurma topu, futbol topu, qarpız — hamısı kürəyə bənzəyir. Kürə də fırlanma cismidir: yarımdairəni diametri ətrafında fırlatsaq, kürə alınar.

Tərif

Fəzanın verilmiş O nöqtəsindən R-dən böyük olmayan məsafədə yerləşən bütün nöqtələrindən ibarət cisim kürə, onun səthi isə sfera (kürə səthi) adlanır. O — kürənin mərkəzi, R — radiusu, 2R — diametridir. Kürənin istənilən müstəvi ilə kəsiyi dairədir: mərkəzdən d məsafədən keçən müstəvi radiusu r = √(R² − d²) olan dairə ayırır. Mərkəzdən keçən kəsik ən böyüyüdür — böyük dairə (r = R).

Kürə: mərkəz O, radius R, böyük dairə (ekvator) və mərkəzdən d məsafədəki kəsik.Kürənin düsturları

Sferanın sahəsi böyük dairənin sahəsinin düz 4 mislidir. Yarımkürənin həcmi kürənin həcminin yarısıdır: (2/3)πR³.

S = 4πR²,   V = (4/3)πR³

Hekayə

Uşağın sualına cavab verək. Yarımkürə şəklindəki dondurmanın həcmi ½·(4/3)π·3³ = 18π ≈ 56,5 sm³, qıfın həcmi isə ⅓·π·3²·10 = 30π ≈ 94,2 sm³. 18π < 30π olduğundan əriyən dondurma qıfdan daşmayacaq: o, qıfın cəmi 18π : 30π = 0,6 hissəsini, yəni 60%-ni dolduracaq.

Nümunə 3

Diametri 12 sm olan topun səthinin sahəsini və həcmini tapın.

1. R = 12 : 2 = 6.Niyə belədir?

   Düsturlarda radius iştirak edir, diametr yox.

2. S = 4πR² = 4π·36 = 144π.
3. V = (4/3)πR³ = (4/3)π·216 = 288π.
4. Cavab: 144π sm², 288π sm³.

Özün yoxla

Sferanın sahəsi 36π-dir. Kürənin radiusunu tapın.

4πR² = 36π ⇒ R² = 9.

Bütün kürələr bir-birinə oxşardır: biri digərinin böyüdülmüş surətidir. Bu qayda eyni formalı istənilən cisimlər üçün də doğrudur — məsələn, ox kəsikləri oxşar olan iki konus və ya iki silindr üçün.

Oxşar cisimlər

Oxşar cisimlərin xətti ölçüləri k dəfə fərqlənirsə, səthlərinin sahələri k², həcmləri isə k³ dəfə fərqlənir:

S₁ : S₂ = k²,   V₁ : V₂ = k³

İmtahanda belə soruşulurDİM · 09.03.2025

İki kürədən birincinin həcmi ikincinin həcmindən 27 dəfə böyükdür. Birinci kürənin səthinin sahəsi ikinci kürənin səthinin sahəsindən neçə dəfə böyükdür?

A) 9B) 3C) 27D) 3√3E) 9√3

1. Kürələr oxşardır; oxşarlıq əmsalı k radiusların nisbətidir. Həcmlərin nisbəti: k³ = 27.Niyə belədir?

   V = (4/3)πR³ düsturunda radius kubdadır: R k dəfə böyükdürsə, V k³ dəfə böyükdür.

2. k = ∛27 = 3.
3. Səthlərin nisbəti: k² = 3² = 9.Niyə belədir?

   Tələ: 27 variantı həcmlərin nisbətidir, səthlərin yox.

4. Cavab: 9 (A variantı).

DİM-in rəsmi izahı (09.03.2025)

Oxşarlıq əmsalını k ilə işarə edək. Onda V₁/V₂ = k³, S₁/S₂ = k²V₁/V₂ = 27 ⇒ k³ = 27 ⇒ k = 3S₁/S₂ = k² = 9Mənbə: DİM izahı — 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

Fəsil 4

Müstəvi fiqurların fırlanmasından alınan cisimlər

Kafedəki bütün qablar fırlanma cisimləridir. Ümumi qayda belədir: müstəvi fiqur öz müstəvisindəki düz xətt — fırlanma oxu ətrafında tam dövr edir və fiqurun hər nöqtəsi oxa perpendikulyar müstəvidə çevrə cızır. Ox üzərindəki tərəf cismin hündürlüyünü, oxdan ən uzaq nöqtələr isə oturacaq çevrəsini verir.

Düzbucaqlı tərəfi ətrafında → silindr; düzbucaqlı üçbucaq katet ətrafında → konus; yarımdairə diametri ətrafında → kürə; düzbucaqlı trapesiya oturacaqlara perpendikulyar yan tərəfi ətrafında → kəsik konus.

Bunu laboratoriyada özün sına: fiquru seç, tərəfləri dəyiş və fırlanma bucağını 0°-dən 360°-yə qədər artır. Fiqur fırlandıqca onun ucları oturacaq çevrələrini cızır, oxdakı tərəf isə yerində qalır.

Laboratoriya · fiquru ox ətrafında fırlata — oxdakı tərəf4b — oxa perpendikulyar tərəf3fırlanma bucağı240°

Diqqət et: oxdakı tərəf hündürlük, digər tərəf isə radius olur. Ona görə eyni fiquru müxtəlif tərəfləri ətrafında fırlatsaq, müxtəlif cisimlər alınır.

Nümunə 4

Katetləri 5 və 12 olan düzbucaqlı üçbucaq əvvəl böyük, sonra kiçik katet ətrafında fırlanır. Alınan konusların həcmlərini tapın.

1. Böyük katet (12) ətrafında: h = 12, r = 5; V = ⅓·π·25·12 = 100π.Niyə belədir?

   Oxdakı katet hündürlük, ikinci katet radius olur.

2. Kiçik katet (5) ətrafında: h = 5, r = 12; V = ⅓·π·144·5 = 240π.Niyə belədir?

   Həcmdə radius kvadratdadır, ona görə kiçik katet ətrafında fırlananda həcm daha böyük olur.

3. Hər iki konusun doğuranı hipotenuzdur: l = 13.
4. Cavab: 100π və 240π.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 15.03.2026

Katetləri 6 sm və 8 sm olan düzbucaqlı üçbucağın böyük katet ətrafında fırlanmasından alınan fiqurun yan səthinin sahəsini tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.

1. Böyük katet (8 sm) fırlanma oxudur: konusun hündürlüyü H = 8, oturacağının radiusu R = 6.Niyə belədir?

   Oxdakı katet yerində qalır, ikinci katet oturacaq dairəsini cızır.

2. Hipotenuz konusun doğuranı olur: l = √(6² + 8²) = 10.Niyə belədir?

   6, 8, 10 — Pifaqor üçlüyüdür (3, 4, 5-in 2 misli).

3. Yan səth: Syan = πRl = π·6·10 = 60π.
4. Cavab: 60π sm².

DİM-in rəsmi izahı (15.03.2026)

Katetləri 6 sm və 8 sm olan düzbucaqlı üçbucaq böyük katet ətrafında fırlandıqda oturacağının radiusu R = 6 sm, hündürlüyü H = 8 sm olan konus alınır. Konusun yan səthinin sahəsinin tapılması üçün onun doğuranını bilmək lazımdır. Düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu bu halda konusun doğuranına bərabər olacaqdır. Pifaqor teoreminə görə l = √(R² + H²) = √(6² + 8²) = 10sm olduğu tapılır. Konusun yan səthinin sahəsi tapılır: S_yan = πRl = π·6·10 = 60π sm²Mənbə: DİM izahı — 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

Bəzən fiqur funksiyanın qrafiki ilə verilir. Məsələn, y = kx (k > 0) düz xəttinin [0; a] parçasındakı hissəsi Ox oxu ətrafında fırlananda təpəsi O nöqtəsində olan konus alınır (hündürlüyü a, radiusu ka), y = c (c > 0) düz xəttinin parçası isə silindr verir.

Özün yoxla

Tərəfləri 2 və 5 olan düzbucaqlı uzunluğu 5 olan tərəfi ətrafında fırlanır. Alınan silindrin həcmini π ilə ifadə et və π-nin əmsalını yaz.

Oxdakı tərəf hündürlükdür: h = 5, r = 2.

Fəsil 5

Daxilə çəkilmiş və birləşmiş cisimlər

İmtahanda tez-tez iki cisim birlikdə verilir: biri digərinin daxilinə çəkilir və ya birindən digəri çıxarılır. Belə tapşırıqların açarı ox kəsiyidir: fəza şəklini müstəvi şəklə çeviririk və orada planimetriya ilə işləyirik.

Kürəyə daxil çəkilmiş cisimlər

Silindr kürəyə daxil çəkilibsə, onun ox kəsiyi (düzbucaqlı) kürənin böyük dairəsinə daxil çəkilir və kəsiyin diaqonalı kürənin diametridir: (2r)² + h² = (2R)². Konus kürəyə daxil çəkilibsə, onun ox kəsiyi (üçbucaq) böyük dairəyə daxil çəkilir.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 05.07.2026

Radiusu 4 sm olan kürənin daxilinə bərabərtərəfli silindr çəkilmişdir. Kürənin səthinin sahəsi silindrin tam səthinin sahəsindən nə qədər böyükdür?

Şəkildə ABCD — silindrin ox kəsiyi, AC — onun diaqonalı.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 8π sm²B) 6π sm²C) 10π sm²D) 12π sm²E) 16π sm²

1. Ox kəsiyi ABCD kvadratdır (silindr bərabərtərəflidir: h = 2r), onun diaqonalı AC kürənin diametridir: AC = 2R = 8.Niyə belədir?

   Kvadratın təpələri oturacaq çevrələrinin üzərindədir, bu çevrələr isə sferada yerləşir.

2. Kvadratın tərəfi: 8 : √2 = 4√2, deməli h = 4√2, r = 2√2.Niyə belədir?

   Kvadratın diaqonalı tərəfinin √2 mislidir.

3. Sferanın sahəsi: 4π·4² = 64π. Silindrin tam səthi: 2πr(r + h) = 2π·2√2·6√2 = 48π.
4. Fərq: 64π − 48π = 16π.
5. Cavab: 16π sm² (E variantı).

DİM-in rəsmi izahı (05.07.2026)

R ilə kürənin radiusunu, r ilə silindrin oturacağının radiusunu, h ilə silindrin hündürlüyünü işarə edək. Verilən silindr bərabərtərəfli olduğu üçün onun ox kəsiyi ABCD kvadratı olar (h=2r). Burada AC parçası kürənin diametridir. AC=8 sm, onda kvadratın tərəfi h = 2r = 4√2 sm olar. Beləliklə: CD=AD= 4√2 sm, r = 2√2 smKürənin səthinin sahəsi S = 4πR² = 4π·4² = 64π(sm²)Silindrin tam səthinin sahəsi S = 2πr(r + h) = 2π·2√2·6√2 = 48π(sm²).Buradan sahələr fərqi: 64π − 48π = 16π(sm²)Mənbə: DİM izahı — 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

Radiusu 3, hündürlüyü 8 olan silindr kürəyə daxil çəkilib. Kürənin radiusunu tapın.

(2R)² = 6² + 8².

Cisimdən hissə ovulub çıxarılanda səth belə dəyişir: çıxarılan hissənin cismin səthi ilə ortaq hissəsi (məsələn, oturacaq) itir, çuxurun divarı isə yeni səth kimi əlavə olunur. Ona görə səthi hissə-hissə yığmaq lazımdır; həcmləri isə sadəcə çıxmaq olar.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 12.07.2026

Hündürlüyü 8, radiusu 3 olan silindr formalı taxta tirdən oturacağı silindrin oturacağı ilə eyni, hündürlüyü isə silindrin hündürlüyünün yarısına bərabər olan konus ovulub çıxarılmışdır. Konusun çıxarılmasından sonra alınan cismin səthinin sahəsini tapın.

Şəkildə silindrin alt oturacağından təpəsi oxun ortasında olan konus ovulub (mavi hissə).

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.

1. Səthin hissələri: konusun yan səthi (çuxurun divarı), silindrin yan səthi və üst oturacağı. Alt oturacaq yoxdur.Niyə belədir?

   Konusun oturacağı silindrin alt oturacağı ilə üst-üstə düşür: həmin dairə çıxarılıb.

2. Konusun hündürlüyü H/2 = 4, doğuranı l = √(3² + 4²) = 5, yan səthi πRl = 15π.Niyə belədir?

   Yenə 3, 4, 5 üçlüyü.

3. Silindrin yan səthi 2πRH = 2π·3·8 = 48π, üst oturacaq πR² = 9π.
4. Cəm: 15π + 48π + 9π = 72π.
5. Cavab: 72π.

DİM-in rəsmi izahı (12.07.2026)

Silindrdən deyilən şəkilli konus ovulduqdan sonra alınmış cismin səthi ovulmuş konusun yan səthindən, silindrin yan səthindən və üst oturacağından ibarət olacaq. Konusun doğuranı l = √(R² + (H/2)²) = 5 olar. Onda alınmış cismin səthi S = S_kon.yan s. + S_sil.yan s. + S_ot.sah. = πRl + 2πRH + πR² = π·3·5 + 2π·3·8 + π·9 = 15π + 48π + 9π = 72π olar.Mənbə: DİM izahı — 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

Məşq

İmtahan tapşırıqları ilə məşq

Bu tapşırıqlar DİM imtahanlarındandır. Əvvəl özün həll et, sonra “Cavab və DİM izahı” düyməsini aç.

DİM · 19.04.2026

Bərabər hündürlüklü iki silindrin oturacaqlarının diametrləri d₁=10, d₂=5 olarsa, V₂:V₁ həcmlər nisbətini tapın.

A) 1:3B) 1:2C) 1:8D) 1:4E) 1:9Cavab və DİM izahı

Cavab: 1:4 (D variantı).

Silindrin həcmi V = S_ot · H = π · R² · H olduğundan, V₂/V₁ = (π·R₂²·H)/(π·R₁²·H) = (R₂/R₁)² = (d₂/d₁)² = (5/10)² = 1/4 olar.Mənbə: DİM izahı — 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF)

DİM · 13.07.2025

Silindrin hündürlüyünü dəyişmədən oturacağının radiusu 6 dəfə artırılarsa, həcmi neçə dəfə artar?

A) 64B) 6C) 32D) 36E) 24Cavab və DİM izahı

Cavab: 36 (D variantı).

Məlumdur ki, silindrin həcmi V = πr²h düsturu ilə hesablanır. Şərtə görə radius 6 dəfə artarsa, həcm 36 dəfə artar.Mənbə: DİM izahı — 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 09.03.2026

Konusun doğuranı 10√3-ə bərabər olub, oturacaq müstəvisi ilə 30°-li bucaq əmələ gətirir. Konusun oturacağının radiusunu tapın.

Açıq tapşırıq: cavabı özün yaz.

Cavab və DİM izahı

Cavab: 15.

30° bucaq qarşısındakı katetin xassəsinə əsasən konusun hündürlüyü 5√3, oturacağının radiusu isə 5√3·√3 = 15 olur.Mənbə: DİM izahı — 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

DİM · 24.05.2026

Doğuranı 5√2, ox kəsiyinin sahəsi 25 olan konusun tam səthinin sahəsini tapın.

İzahda konusun ox kəsiyi ABC-dir: A — təpə, BC — oturacağın diametri, O — mərkəz, α = ∠BAC.

A) 25π(√2 + 2)B) 25π(√2 + 1)C) 50π(√2 + 2)D) 50π(√2 + 1)E) 25π(2√2 + 1)Cavab və DİM izahı

Cavab: 25π(√2 + 1) (B variantı).

S△ABC = ½·(5√2)² sin α = 25; sin α = 1 alınar. Onda α = 90°. Deməli, ox kəsiyi bərabəryanlı düzbucaqlı üçbucaqdır. Onda △AOC-də ∠ACO = ∠CAO = 45°, AO = OC = 5, yəni h = r = 5. S_ot = πr² = 25π, S_yan = πrl = 25√2π, S_tam = S_ot + S_yan = 25π(√2 + 1)Mənbə: DİM izahı — 24.05.2026, II ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 02.03.2025

Radiusu 3 sm olan kürənin həcmini hesablayın.

A) 36π sm³B) 54π sm³C) 45π sm³D) 12π sm³E) 20π sm³Cavab və DİM izahı

Cavab: 36π sm³ (A variantı).

V = (4/3)πR³ = (4/3)π·3³ = 36π (sm³).Mənbə: DİM izahı — 02.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

DİM · 25.05.2025

Kürənin radiusunu 5 dəfə artırdıqda həcmi necə dəyişər?

A) 25 dəfə artarB) 15 dəfə artarC) 20 dəfə artarD) 125 dəfə artarE) 75 dəfə artarCavab və DİM izahı

Cavab: 125 dəfə artar (D variantı).

Kürənin V = (4/3)πR³ həcm düsturuna görə onun həcmi radiusundan kubik asılıdır. Yəni, kürənin radiusu 5 dəfə artarsa, onun həcmi 5³ = 125 dəfə artar.Mənbə: DİM izahı — 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 01.06.2025

y = 2x funksiyasının qrafikinin [0;1] parçasındakı hissəsinin absis oxu ətrafında fırlanmasından hansı fiqur alınır?

A) yarımkürəB) kəsik konusC) konusD) kürəE) silindrCavab və DİM izahı

Cavab: konus (C variantı).

… y = 2x funksiyasının qrafikinin [0;1] parçasındakı hissəsinin absis oxu ətrafında fırlanmasından konus alınır.Mənbə: DİM izahı — 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Yekun

Yadda saxla

• Silindr: Syan = 2πrh, Stam = 2πr(r + h), V = πr²h; ox kəsiyi tərəfləri 2r və h olan düzbucaqlıdır (bərabərtərəfli silindrdə kvadrat).
• Konus: l² = r² + h², Syan = πrl, Stam = πr(r + l), V = ⅓πr²h; ox kəsiyi bərabəryanlı üçbucaqdır.
• Oturacağı və hündürlüyü eyni olan konusun həcmi silindrin həcminin üçdə biridir.
• Kürə: S = 4πR², V = (4/3)πR³; müstəvi ilə kəsiyi dairədir, r = √(R² − d²).
• Oxşar cisimlərdə: xətti ölçülər k dəfə → səth k², həcm k³ dəfə. Hündürlük sabit, radius k dəfə → silindrin həcmi k² dəfə.
• Fırlanmada oxdakı tərəf hündürlük, oxa perpendikulyar tərəf radius olur; düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu konusun doğuranıdır.
• Daxilə çəkilmiş cisimlər ox kəsiyində həll olunur: (2r)² + h² = (2R)². Ovulmuş cismin səthinə çuxurun divarı əlavə olunur, çıxarılan oturacaq isə itir.

Tipik səhvlər

Hündürlük sabit qalıb radius 6 dəfə artanda silindrin həcmi 6 dəfə artır

Həcm radiusun kvadratı ilə mütənasibdir: 6² = 36 dəfə artır.

Konusun həcmi V = πr²h düsturu ilə tapılır

Bu, silindrin həcmidir; konusun həcmi onun üçdə biridir: V = ⅓πr²h.

Konusun yan səthi πrh-dır

Yan səthdə hündürlük yox, doğuran iştirak edir: Syan = πrl, l = √(r² + h²).

Kürələrin həcmləri nisbəti 27-dirsə, səthlərinin nisbəti də 27-dir

Həcmlər k³, səthlər k² kimi nisbətdədir: k³ = 27 ⇒ k = 3, səthlər nisbəti 9-dur.

Yekun

Müstəqil iş

Tapşırıqlar asandan çətinə düzülüb. Əvvəl özün həll et, sonra variantı seç; izah cavabdan sonra açılır.

1 · 1-ci səviyyə

Konusun oturacağının radiusu 3, hündürlüyü 4-dür. Yan səthinin sahəsi:

l = √(9 + 16) = 5, Syan = π·3·5 = 15π.

2 · 1-ci səviyyə

Radiusu 2 olan sferanın sahəsi:

S = 4π·2² = 16π.

3 · 2-ci səviyyə

Tərəfləri 3 və 5 olan düzbucaqlı uzunluğu 3 olan tərəfi ətrafında fırlanır. Alınan cismin həcmi:

Oxdakı tərəf hündürlükdür: h = 3, r = 5; V = π·25·3 = 75π.

4 · 2-ci səviyyə

Silindrin ox kəsiyi sahəsi 36 olan kvadratdır. Silindrin həcmi:

Kvadratın tərəfi 6: h = 6, 2r = 6, r = 3; V = π·9·6 = 54π.

5 · DİM səviyyəsi

Konusun ox kəsiyi tərəfi 6 olan bərabərtərəfli üçbucaqdır. Konusun tam səthinin sahəsi:

l = 6, r = 3: Stam = πr(r + l) = π·3·9 = 27π.

6 · DİM səviyyəsi

Radiusu 6 olan kürəyə hündürlüyü 8 olan silindr daxil çəkilib. Silindrin həcmi:

(2r)² + 8² = 12² ⇒ r² = 20; V = π·20·8 = 160π.

İmtahan tapşırıqları və rəsmi izahlar — DİM:

1. 02.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF) — Fırlanma cisimləri (A variantı, 64; B-70, C-69, D-64)
2. 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF) — Fırlanma cisimləri (A variantı, 66; B-67, C-63, D-68)
3. 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — Fırlanma cisimləri (A variantı, 18; B-7, C-22, D-22)
4. 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Fırlanma cisimləri (A variantı, 18; B-4, C-19, D-9)
5. 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — Fırlanma cisimləri (A variantı, 3; B-20, C-14, D-4)
6. 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Fırlanma cisimləri (A variantı, 6; B-7, C-22, D-16)
7. 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — Fırlanma fiqurları. Konus (A variantı, 76; B-74, C-77, D-77)
8. 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — Fırlanma cisimləri (A variantı, 79; B-79, C-79, D-79)
9. 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF) — Silindr, konus və kəsik konusun həcmi (A variantı, 61; B-69, C-65, D-65)
10. 24.05.2026, II ixtisas qrupu (PDF) — Fırlanma cisimləri (A variantı, 8; B-13, C-14, D-1)
11. 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Fırlanma cisimləri (A variantı, 25; B-23, C-24, D-26)
12. 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF) — Fırlanma cisimləri (A variantı, 7; B-10, C-11, D-20)
13. 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Fırlanma cisimləri (A variantı, 28; B-28, C-28, D-28)

Hekayə, səhnələr, nümunələr, “Özün yoxla” və “Müstəqil iş” tapşırıqları bizimdir, DİM-ə aid deyil. DİM tapşırıqları və izahları mənbədəki kimi verilib; “…” işarəsi buraxılmış hissəni göstərir.