Тела вращения: цилиндр, конус и шар — объём и поверхность

Тела вращения получаются вращением плоской фигуры вокруг оси: прямоугольника вокруг стороны — цилиндр, прямоугольного треугольника вокруг катета — конус, полукруга вокруг диаметра — шар. Цилиндр: V = πr²h, Sбок = 2πrh. Конус: V = ⅓πr²h, Sбок = πrl, l = √(r² + h²).

Шар: V = ⁴⁄₃πr³, поверхность (сфера) S = 4πr². Интересное соотношение: объёмы конуса, шара и цилиндра с одинаковым r и h = 2r относятся как 1 : 2 : 3 (Архимед). Полная поверхность = боковая + основания: у цилиндра 2πr², у конуса πr².

V = πr²hцилиндрV = ⅓πr²hконус — треть цилиндраV = ⁴⁄₃πr³, S = 4πr²шарвыбери тело, меняй r и h ↓Вращается прямоугольник — цилиндр: V = 45π

Слева образующая фигура (жёлтая) и ось вращения (красный пунктир): бледно-жёлтое — следующее положение вращающейся фигуры. Справа полученное тело, его радиус r, высота h и образующая конуса l.

Телоr3h5

• Боковая поверхность (у шара — поверхность)
• Полная поверхность
• Дополнительно

Задание 1 / 3○○○

Построй цилиндр объёмом 45π.

Настрой ползунки и кнопки…

Что показывает симуляция?

языком ползунков

• При вращении прямоугольника вокруг стороны получается цилиндр.
• Цилиндр: r = 3, h = 5 → V = 45π ≈ 141,4.
• При тех же r и h объём конуса ровно в три раза меньше объёма цилиндра.
• Конус: r = 3, h = 4 → образующая l = 5 (египетский треугольник), Sбок = 15π.
• Шар: при увеличении r вдвое объём растёт в 8 раз, поверхность — в 4 раза.

Формулы

запомни

Тело	Объём	Боковая поверхность	Полная поверхность
Цилиндр	πr²h	2πrh	2πr(r + h)
Конус	⅓πr²h	πrl	πr(r + l)
Шар	⁴⁄₃πr³	—	4πr²

Самые частые ошибки

красной ручкойЗабывать ⅓ в объёме конуса

Объём конуса равен трети объёма цилиндра с тем же основанием и высотой: V = ⅓πr²h.

Брать в боковой поверхности конуса h

В Sбок = πrl l — образующая, а не высота: l = √(r² + h²).

Писать в объёме шара r²

V = ⁴⁄₃πr³ — радиус в кубе; а в поверхности r²: S = 4πr².

Разобранные задачи

сначала реши сам

Задача 1

Радиус цилиндра 3, высота 5. Найдите объём и боковую поверхность.

Показать решениеV = πr²h = π·9·5 = 45πSбок = 2πrh = 2π·3·5 = 30π

Ответ: 45π и 30π.

Задача 2

Радиус шара 3. Найдите объём и площадь поверхности.

Показать решениеV = ⁴⁄₃π·27 = 36πS = 4π·9 = 36π

Ответ: 36π и 36π.

В реальной жизни: сколько литров вмещает цилиндрический бак?

объём цилиндраРадиус бака 0,5 м, высота 1,2 м

Цилиндр, конус и шар в технике повсюду: газовые баллоны, водонапорные башни, зерновые элеваторы, кучи песка (конус). Зная объём, можно рассчитать время заполнения, количество материала и вес.

Проверь себя: 5 тестовых заданий

5 вопросов

1По какой формуле считают объём цилиндра?

2Во сколько раз объём конуса меньше объёма цилиндра с теми же r и h?

3Какова площадь поверхности шара?

4У конуса r = 3, h = 4. Чему равна образующая?

5Открытый вопрос: объём шара радиуса 3 равен kπ. Найди k. Запиши ответ числом.

Источник

Программа вступительных экзаменов ДИМ 2026: Математика → Стереометрия: тела вращения (цилиндр, конус, шар), их объёмы и площади поверхностей.