Прямые и плоскости в пространстве

Стереометрия · Тема 43 / 46

Прямые и плоскости в пространстве

Этот урок пройдём через историю: в школе готовится спортивный праздник. Тросы флагштока, его тень и палатка судей приведут нас к основным понятиям стереометрии: перпендикуляр и наклонная, угол между прямой и плоскостью, теорема о трёх перпендикулярах и двугранный угол.

≈ 45 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 10материал 10 класса

После урока ты сможешь

• распознавать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве;
• связывать перпендикуляр, наклонную и проекцию теоремой Пифагора;
• находить угол между прямой и плоскостью и расстояние от точки до прямой (по теореме о трёх перпендикулярах);
• измерять двугранный угол линейным углом и решать задания ДИМ на угол между плоскостями.

Перед началом вспомни

• Теорема Пифагора: c² = a² + b².
• Катет против угла 30° равен половине гипотенузы; прямоугольный треугольник с углом 45° равнобедренный.
• sin, cos, tg в прямоугольном треугольнике.

Содержание

1. ВведениеСитуация: сколько троса понадобится?история и предположение
2. Глава 1Прямые и плоскости в пространстве: взаимное расположениеаксиомы · скрещивающиеся прямые · признак перпендикулярности
3. Глава 2Перпендикуляр, наклонная и проекциянаклонная² = h² + проекция² · ДИМ 06.07.2025, 01.06.2025
4. Глава 3Угол между прямой и плоскостьюφ — между наклонной и проекцией · ДИМ 02.03.2025, 05.07.2026
5. Глава 4Теорема о трёх перпендикулярахнаклонная ⊥ a ⇔ проекция ⊥ a · ДИМ 09.03.2025
6. Глава 5Двугранный угол и угол между плоскостямилинейный угол · 0° < φ ≤ 90° · ДИМ 13.07.2025
7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 4, с ответом и официальным пояснением
8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: сколько троса понадобится?

История

В школе готовятся к спортивному празднику. Посреди двора поставили новый флагшток высотой 12 м. Чтобы ветер не наклонил его, мастер хочет натянуть от верхушки к земле три троса. Колышки для тросов вбиты на одинаковом расстоянии от основания — в 5 м.

Мастер торопится: трос нужно купить в магазине за один раз. Сколько метров троса нужно как минимум на три растяжки? (Запас на узлы не учитываем.)

Флагшток перпендикулярен земле, а тросы — наклонные: их проекции на землю равны 5 м.Сначала предположи

Как ты думаешь, сколько метров троса понадобится на три растяжки? Выбери ответ — посчитаем вместе во 2-й главе.

Глава 1

Прямые и плоскости в пространстве: взаимное расположение

В планиметрии все фигуры лежали в одной плоскости. В стереометрии мы изучаем фигуры в пространстве: флагшток, трос, землю, стену, скат палатки. Основные понятия — снова точка, прямая и плоскость. Плоскость обычно изображают параллелограммом и обозначают буквами α, β, π.

Аксиомы стереометрии

1) Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.2) Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.3) Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Две прямые в пространстве могут располагаться тремя способами: пересекаться (одна общая точка), быть параллельными (лежат в одной плоскости и не пересекаются) или скрещиваться (не лежат ни в одной плоскости). Скрещивающихся прямых в планиметрии не было: например, флагшток и линия дорожки у края двора не пересекаются и не параллельны.

Три случая на рёбрах куба: параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые.

Прямая и плоскость тоже располагаются тремя способами: прямая лежит в плоскости, пересекает её в одной точке или параллельна ей (общих точек нет). Две плоскости либо пересекаются по прямой, либо параллельны.

Пример 1

Сколько рёбер куба скрещиваются с ребром AB?

1. У куба 12 рёбер; без самого AB остаётся 11.
2. Параллельные AB рёбра: DC, A₁B₁, D₁C₁ — 3 ребра.Почему так?

   Каждая грань куба — квадрат, противоположные стороны параллельны; две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

3. Рёбра с общей вершиной (пересекающиеся с AB): AD, AA₁, BC, BB₁ — 4 ребра.
4. Остальные рёбра скрещиваются с AB: 11 − 3 − 4 = 4.Почему так?

   Это CC₁, DD₁, A₁D₁, B₁C₁: каждое не пересекает AB и не параллельно ему.

5. Ответ: 4 ребра.

Проверь себя

В пространстве даны 5 точек, никакие четыре из них не лежат в одной плоскости. Через каждые три точки проводят плоскость. Сколько различных плоскостей получится?

Каждая тройка точек даёт свою плоскость: сколькими способами можно выбрать 3 точки из 5?

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна плоскости (то есть любой прямой этой плоскости).

История

Мастер проверяет, что флагшток стоит вертикально, так: прикладывает угольник к основанию сначала в одном направлении, затем в перпендикулярном. Если в обоих случаях угол прямой, то по признаку флагшток перпендикулярен плоскости земли. Одной проверки мало: флагшток может быть наклонён в другую сторону.

Глава 2

Перпендикуляр, наклонная и проекция

Вернёмся к вопросу мастера. Верхушка флагштока — точка вне плоскости (земли), флагшток — перпендикуляр, проведённый из этой точки к плоскости, а тросы — наклонные.

Определение

Отрезок MN прямой, перпендикулярной плоскости α, проведённый из точки M, называется перпендикуляром, N — его основание; длина MN — расстояние от точки M до плоскости. Отрезок MK, соединяющий M с любой отличной от N точкой K плоскости, — наклонная, а отрезок NK — проекция наклонной.

Треугольники MNK и MNE прямоугольные: прямой угол при N.Наклонная, перпендикуляр и проекция

Так как MN ⊥ α, отрезок MN перпендикулярен и прямой NK этой плоскости, поэтому MK² = MN² + NK². Отсюда: 1) перпендикуляр короче любой наклонной; 2) наклонные с равными проекциями равны, и наоборот; 3) из двух наклонных больше та, у которой больше проекция.

наклонная² = перпендикуляр² + проекция²

История

Каждый трос — наклонная: перпендикуляр (флагшток) 12 м, проекция 5 м. Значит, трос = √(12² + 5²) = √169 = 13 м. Проекции равны, поэтому все три троса равны, и всего нужно 3 · 13 = 39 м троса. Брать 12 + 5 = 17 м неверно: наклонная — не сумма перпендикуляра и проекции, а корень из суммы их квадратов.

Пример 2

Из точки к плоскости проведены две наклонные длиной 10 и 17. Разность их проекций равна 9. Найдите расстояние от точки до плоскости.

1. Обозначим перпендикуляр h, проекции x и x + 9.Почему так?

   Большей наклонной соответствует большая проекция: у наклонной 17 проекция x + 9.

2. Для каждой наклонной теорема Пифагора: h² = 10² − x², h² = 17² − (x + 9)².Почему так?

   Перпендикуляр общий для обеих, поэтому приравниваем два выражения.

3. 100 − x² = 289 − x² − 18x − 81, т. е. 18x = 108, x = 6.
4. h = √(100 − 36) = 8. Проверка: 8² + 15² = 289 = 17².
5. Ответ: 8.

Проверь себя

Перпендикуляр, проведённый из точки к плоскости, равен 9, наклонная — 15. Найдите проекцию наклонной.

проекция² = наклонная² − перпендикуляр².

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 06.07.2025

Из точки O пересечения диагоналей прямоугольника ABCD к его плоскости восставлен перпендикуляр OM. Если AC = 10 и MA = 10, найдите ∠MCA.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 50°B) 45°C) 60°D) 30°E) 65°

1. Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам: OA = OC = 10 : 2 = 5.
2. Так как OM ⊥ α, MA и MC — наклонные, а OA и OC — их проекции. Проекции равны, значит MA = MC = 10.Почему так?

   Наклонные с равными проекциями равны — по Пифагору: MA² = MO² + OA² = MO² + OC² = MC².

3. В треугольнике MAC MA = MC = AC = 10 — треугольник равносторонний, все его углы по 60°.
4. Ответ: ∠MCA = 60° (вариант C).

Официальное пояснение ДИМ (06.07.2025)

Диагонали прямоугольника, пересекаясь, делятся пополам. Поэтому OA = OC. Так как наклонные, имеющие равные проекции, равны, отсюда получаем MA=MC. По условию MA=AC=10. Значит, треугольник MAC равносторонний. Поэтому ∠MCA = 60°.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)

Общая форма этой идеи часто нужна на экзамене. Если точка равноудалена от всех вершин многоугольника, то наклонные равны, а значит, равны и проекции: основание перпендикуляра равноудалено от всех вершин.

Точка, равноудалённая от вершин

Если точка вне плоскости равноудалена от вершин многоугольника, то основание перпендикуляра, опущенного из неё на плоскость, — центр описанной окружности. У прямоугольного треугольника этот центр — середина гипотенузы.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 01.06.2025

Расстояние от точки S, не лежащей в плоскости равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с катетами 8√2 см, до вершин треугольника равно 10 см. Найдите расстояние от точки S до гипотенузы AB.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 7 смB) 6 смC) 4 смD) 8 смE) 9 см

1. Опускаем из S на плоскость перпендикуляр SO. Так как SA = SB = SC, O — центр описанной окружности, т. е. середина гипотенузы AB.Почему так?

   У равных наклонных равны проекции: OA = OB = OC.

2. Гипотенуза: AB = 8√2 · √2 = 16 см, значит OB = 8 см.Почему так?

   В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза в √2 раз больше катета.

3. В прямоугольном треугольнике SOB SO = √(10² − 8²) = 6 см. Так как SO ⊥ α, то SO ⊥ AB, а O лежит на AB: расстояние от S до AB равно SO.Почему так?

   Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного на эту прямую.

4. Ответ: 6 см (вариант B).

Официальное пояснение ДИМ (01.06.2025)

Известно, что если точка, не лежащая в плоскости многоугольника, равноудалена от его вершин, то основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость многоугольника, совпадает с центром описанной около него окружности. Значит, точка O — центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC, т. е. середина гипотенузы AB. Так как в равнобедренном прямоугольном треугольнике с катетами 8√2 см гипотенуза в √2 раз больше катета, AB = 8√2 · √2 = 16 см; AO = OB = 16/2 = 8 см. Так как SA = SB = SC = 10 см, в прямоугольном треугольнике SOB по теореме Пифагора SO = √(SB² − OB²) = √(10² − 8²) = 6 см.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Глава 3

Угол между прямой и плоскостью

История

В день праздника соревнования начались после полудня. Солнце стояло уже на высоте 30° над горизонтом, и тень флагштока тянулась по площадке. Судьи провели линию финиша в 20 м от флагштока, по направлению тени.

Фотограф хочет, чтобы финиширующий бегун оказался в тени флагштока. Дотягивается ли конец тени до линии финиша?

Солнечный луч от верхушки флагштока к концу тени — наклонная, а тень — её проекция.

«Высота» солнца — это угол между лучом и плоскостью земли. Как измерить угол между прямой и плоскостью? Прямых в плоскости много, и наклонная образует с ними разные углы. Поэтому угол измеряют с проекцией наклонной.

Определение

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, угол считается равным 90°, если параллельна ей или лежит в ней — 0°. Значит, 0° ≤ φ ≤ 90°.

Синус и тангенс угла

Если перпендикуляр h, наклонная ℓ, проекция d, то из прямоугольного треугольника:

sin φ = h / ℓ,   cos φ = d / ℓ,   tg φ = h / d

В лаборатории меняй h (высоту флагштока) и d (проекцию). Синяя пунктирная окружность показывает концы всех наклонных с проекцией d: они одинаковой длины и образуют с плоскостью одинаковый угол. Начни с h = 12, d = 5 — это наш трос.

Лаборатория · перпендикуляр, наклонная и уголh — перпендикуляр (флагшток), м12d — проекция, м5История

Тень — проекция солнечного луча: tg 30° = 12 / тень, откуда тень = 12 / tg 30° = 12√3 ≈ 20,8 м. Значит, тень заходит за линию финиша примерно на 0,8 м, и бегун окажется в тени. Будь солнце на высоте 45°, тень была бы всего 12 м.

Пример 3

Наклонная длиной 8 образует с плоскостью угол 60°. Найдите проекцию наклонной и расстояние от её конца до плоскости.

1. Проекция — катет, прилежащий к углу: d = 8 · cos 60° = 4.Почему так?

   Угол — между наклонной и проекцией.

2. Расстояние — катет против угла: h = 8 · sin 60° = 4√3.
3. Ответ: 4 и 4√3.

Проверь себя

Наклонная длиной 14 образует с плоскостью угол 30°. Найдите расстояние от её конца до плоскости.

Катет против угла 30° равен половине гипотенузы.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 02.03.2025

Из точки M, не лежащей на плоскости, к плоскости проведены наклонные MK и ME. Если MN⊥NK, MN⊥NE, ∠MKN=30°, MK=6 и NE=2, найдите ME.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 5B) 4C) √15D) √13E) 6

1. MN ⊥ NK, значит, MNK — прямоугольный треугольник, MK — гипотенуза. Катет MN лежит против угла K, равного 30°: MN = MK : 2 = 3.Почему так?

   ∠MKN — угол наклонной MK с плоскостью; перпендикуляр MN лежит против него.

2. MNE тоже прямоугольный треугольник (MN ⊥ NE): ME = √(MN² + NE²) = √(9 + 4) = √13.Почему так?

   ME — вторая наклонная, NE — её проекция; перпендикуляр общий для обоих треугольников.

3. Ответ: √13 (вариант D).

Официальное пояснение ДИМ (02.03.2025)

По свойству угла в 30° в треугольнике MKN получаем MN = 3. Применяя теорему Пифагора к треугольнику MNE, находим ME = √(MN² + NE²) = √(3² + 2²) = √13.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 05.07.2026

Из точки вне плоскости к этой плоскости проведены две наклонные, образующие с ней углы 30° и 45°. Если наименьшее значение, которое может принимать расстояние между основаниями этих наклонных, равно 8√3 − 8, найдите длину большей наклонной.

Наклонная, образующая с плоскостью меньший угол, длиннее.

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Обозначим точку A, перпендикуляр AD = a. Проекция наклонной под 45° равна a, под 30° — a · ctg 30° = a√3.Почему так?

   При 45° прямоугольный треугольник равнобедренный; при 30° перпендикуляр равен половине гипотенузы, наклонная равна 2a.

2. Основания наклонных лежат на окружностях с центром D и радиусами a и a√3. Расстояние между основаниями наименьшее, если они лежат на одном луче из D: BC = a√3 − a = a(√3 − 1).Почему так?

   Наименьшее расстояние между точками двух концентрических окружностей равно разности радиусов.

3. a(√3 − 1) = 8(√3 − 1), откуда a = 8. Большая наклонная — под углом 30°: AB = 2a = 16.
4. Ответ: 16.

Официальное пояснение ДИМ (05.07.2026)

По данным задачи наименьшим из расстояний между основаниями наклонных, образующих с плоскостью углы 30° и 45°, является длина отрезка BC (B, C, D, E лежат на одной прямой). В ΔADC AD = CD = a. В ΔABD AB = 2·AD = 2a, DB = a√3, CB = DB − DC = a√3 − a = a(√3 − 1). Таким образом, a(√3 − 1) = 8(√3 − 1), a = 8, AB = 2·8 = 16Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)

Глава 4

Теорема о трёх перпендикулярах

Чтобы найти расстояние от точки до прямой, лежащей в плоскости, нужно провести к этой прямой перпендикуляр. В пространстве это сделать трудно, а в плоскости — легко. Следующая теорема переносит работу в плоскость.

Теорема (о трёх перпендикулярах)

Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. И обратно: если прямая плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

Три перпендикуляра: AO ⊥ α, OB ⊥ a и, как следствие, AB ⊥ a.

Причина: прямая a перпендикулярна и OB, и AO (AO перпендикулярен всей плоскости). Значит, a перпендикулярна плоскости AOB, а следовательно, и прямой AB этой плоскости. Практическое правило: чтобы найти расстояние, сначала проведи из основания перпендикуляра перпендикуляр к данной прямой, затем примени теорему Пифагора.

Пример 4

В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, AC = 6, BC = 8. Из вершины C к плоскости треугольника восставлен перпендикуляр CM длиной 3,6. Найдите расстояние от точки M до гипотенузы AB.

1. В плоскости проводим CH ⊥ AB. По теореме о трёх перпендикулярах MH ⊥ AB, т. е. искомое расстояние — MH.Почему так?

   CH — проекция наклонной MH, и она перпендикулярна AB.

2. AB = √(36 + 64) = 10, высота CH = AC · BC / AB = 48 / 10 = 4,8.Почему так?

   Записываем площадь двумя способами: AC · BC / 2 = AB · CH / 2.

3. В треугольнике MCH прямой угол при C: MH = √(3,6² + 4,8²) = √(12,96 + 23,04) = √36 = 6.
4. Ответ: 6.

Проверь себя

Сторона квадрата ABCD равна 6. Из вершины A к плоскости квадрата восставлен перпендикуляр AM длиной 8. Найдите расстояние от точки M до прямой BC.

AB ⊥ BC, значит, MB ⊥ BC; MB = √(8² + 6²).

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2025

Найдите расстояние от точки, находящейся на расстоянии 2 см от одной из двух перпендикулярных плоскостей и 4 см от другой, до линии пересечения этих плоскостей.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) √7 смB) 2,5 смC) 3,5 смD) 2√5 смE) 5√2 см

1. Опускаем из A перпендикуляры AM на α и AN на β: AM = 2, AN = 4. На линии пересечения m берём точку K так, что NK ⊥ m.
2. NK — проекция наклонной AK на β; по теореме о трёх перпендикулярах AK ⊥ m. Аналогично MK ⊥ m.Почему так?

   Значит, AK — расстояние от A до m.

3. MK и NK обе перпендикулярны m и лежат в разных плоскостях: ∠MKN — угол между плоскостями, т. е. 90°. У четырёхугольника AMKN все четыре угла прямые — это прямоугольник.Почему так?

   Это линейный угол, который мы изучим в 5-й главе.

4. AK — диагональ прямоугольника: AK = √(2² + 4²) = √20 = 2√5 см.
5. Ответ: 2√5 см (вариант D).

Официальное пояснение ДИМ (09.03.2025)

Расстояние от точки A до плоскости α равно AM = 2 см, а до плоскости β — AN = 4 см. Обозначим расстояние от точки A до линии пересечения плоскостей m через AK: AK ⊥ m. Так как AK — наклонная, а KN — её проекция, по теореме о трёх перпендикулярах KN ⊥ m. Аналогично можно показать, что MK ⊥ m. … ∠MKN = 90°. Тогда четырёхугольник AMKN — прямоугольник. … AK = √(2² + 4²) = √20 = 2√5 (см)Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

Глава 5

Двугранный угол и угол между плоскостями

История

Рядом с финишем ставят двускатную палатку для судей. Каждый скат — прямоугольный тент шириной 3 м, нижние края скатов закреплены на расстоянии 3 м друг от друга.

Рост главного судьи 1,8 м. Каков угол между скатами и сможет ли судья стоять посреди палатки, не пригибаясь?

Два ската палатки образуют двугранный угол; треугольник передней стенки показывает его линейный угол.Определение

Фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой, называется двугранным углом; полуплоскости — его грани, общая прямая — ребро. Проведём из точки ребра в каждой грани лучи, перпендикулярные ребру; угол между ними — линейный угол двугранного угла. Двугранный угол измеряется своим линейным углом.

CA ⊥ ребру и CB ⊥ ребру: ∠ACB = φ — линейный угол. Он не зависит от выбора точки C.История

Передняя стенка палатки перпендикулярна ребру (линии конька), поэтому верхний угол треугольника передней стенки — линейный угол двугранного угла между скатами. Стороны этого треугольника 3, 3 и 3 м — он равносторонний, значит, двугранный угол равен 60°. Высота палатки — высота равностороннего треугольника: h = 3√3 / 2 ≈ 2,6 м. Судья (1,8 м) встанет свободно, над головой останется ещё 0,8 м.

Перпендикулярные плоскости и угол между плоскостями

Если двугранный угол равен 90°, плоскости перпендикулярны. Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла; меньший из них называется углом между плоскостями. Поэтому угол между плоскостями не может быть больше 90°: 0° < φ ≤ 90° (а двугранный угол может быть до 180°).

Пример 5

Точка, лежащая на одной грани двугранного угла, находится на расстоянии 12 см от ребра и 6 см от плоскости другой грани. Найдите двугранный угол (он острый).

1. Проводим из точки A перпендикуляр AC к ребру и перпендикуляр AE к плоскости другой грани: AC = 12, AE = 6.
2. По теореме о трёх перпендикулярах EC ⊥ ребру, значит, ∠ACE — линейный угол.Почему так?

   AC — наклонная, EC — её проекция, а ребро перпендикулярно AC.

3. В прямоугольном треугольнике ACE sin φ = AE / AC = 6 / 12 = 1/2, значит, φ = 30°.
4. Ответ: 30°.

Проверь себя

Двугранный угол равен 30°. Точка на одной грани находится на расстоянии 10 см от ребра. Найдите расстояние от этой точки до плоскости другой грани (в см).

Расстояние = 10 · sin 30°.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

Плоскость α, проходящая через основание BC равнобедренного треугольника ABC со сторонами 4 см и 8 см, образует с плоскостью этого треугольника угол 30°. Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) √19 смB) √12 смC) √7 смD) √11 смE) √15 см

1. Стороны 4 и 8 см. Если бы боковые стороны были по 4 см, то 4 + 4 = 8, и треугольник не существовал бы. Значит, AB = AC = 8, BC = 4.Почему так?

   Неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других.

2. AD — высота и медиана к BC: BD = 2, AD = √(8² − 2²) = √60 = 2√15.
3. AE ⊥ α. По теореме о трёх перпендикулярах ED ⊥ BC, значит, ∠ADE — линейный угол угла между плоскостями: ∠ADE = 30°.Почему так?

   AD ⊥ BC (в плоскости треугольника), ED ⊥ BC (в плоскости α), D — точка ребра BC.

4. Катет AE лежит против угла 30°: AE = AD : 2 = √15.
5. Ответ: √15 см (вариант E).

Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)

По неравенству треугольника AB=AC=8 см, BC=4 см. Пусть AE — перпендикуляр, опущенный из точки A на плоскость α, а AD — высота, проведённая к основанию BC равнобедренного треугольника ABC. Тогда BD=DC=2 см. По теореме Пифагора AD = √(AC² − DC²); AD = √(8² − 2²) = √60 = 2√15. В прямоугольном треугольнике AED катет AE лежит против угла 30°, поэтому AE = AD/2 = 2√15/2 = √15Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 25.05.2025

Из точки, находящейся на расстоянии 8 дм от плоскости, к плоскости проведена наклонная длиной 16 дм. Найдите проекцию перпендикуляра на наклонную.

A) 4 дмB) 6 дмC) 8 дмD) 10 дмE) 5 дмОтвет и пояснение ДИМ

Ответ: 4 дм (вариант A).

Так как длина перпендикуляра BC, опущенного на плоскость, равна 8 дм, а длина наклонной BA — 16 дм, по известной теореме в прямоугольном треугольнике ACB ∠BAC = 30⁰. Чтобы найти проекцию перпендикуляра BC на наклонную, нужно из точки C опустить на наклонную BA перпендикуляр CD. I способ: полученный при этом треугольник BDC подобен треугольнику BCA. Как и в предыдущем треугольнике, в треугольнике BDC катет, лежащий против угла 30⁰, равен половине гипотенузы, значит, BD = (1/2)BC … II способ: после того как в прямоугольном треугольнике BCA опущен перпендикуляр CD, опираясь на метрические соотношения, можно записать BC² = BA·BD → 8² = 16·BD → BD = 4 …Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)

ДИМ · 12.07.2026

Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC с острым углом ∠A=α образует угол β с плоскостью, проходящей через катет BC. Найдите синус угла, который катет AC образует с этой плоскостью.

A) sinα·cosβB) sinα·sinβC) sinβ/cosαD) cosα·cosβE) cosα/sinβОтвет и пояснение ДИМ

Ответ: sinβ/cosα (вариант C).

Для простоты обозначим длину гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC через AB = c. Опустим из вершины A треугольника перпендикуляр AD на плоскость, проходящую через катет BC. Угол, который катет AC образует с плоскостью, проходящей через катет BC, обозначим γ. Тогда из прямоугольного треугольника ABD можно записать AD = c sinβ, а из прямоугольного треугольника ABC — AC = c cosα. Из прямоугольного треугольника ACD синус угла, который катет AC образует с плоскостью, проходящей через катет BC, равен sin γ = AD/AC = c sinβ/(c cosα) = sinβ/cosα.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

ДИМ · 07.06.2026

Для расстояний AC и BC от точек A и B, расположенных на разных гранях двугранного угла, до его ребра выполняется AC=BC=AB. Найдите величину двугранного угла.

A) 90°B) 45°C) 60°D) 75°E) 30°Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 60° (вариант C).

Так как △ABC равносторонний, ∠C = 60°. С другой стороны, ∠BCA — линейный угол двугранного угла. Значит, градусная мера двугранного угла равна 60.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

ДИМ · 24.05.2026

Какие из величин не могут быть градусной мерой угла между двумя пересекающимися плоскостями? I. 96° II. 84° III. 64° IV. 116° V. 100°

A) I, IV и VB) I, III и VC) II, IV и VD) I, II и IIIE) II, III и IVОтвет и пояснение ДИМ

Ответ: I, IV и V (вариант A).

Так как за угол между двумя пересекающимися плоскостями берут меньший из двугранных углов, образованных при их пересечении, его градусная мера не может быть больше 90°. Значит, 96°, 116°, 100° быть не могут.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)

Итоги

Запомни

• Две прямые в пространстве пересекаются, параллельны или скрещиваются (не лежат в одной плоскости).
• Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, она перпендикулярна плоскости.
• наклонная² = перпендикуляр² + проекция²; наклонные с равными проекциями равны.
• Проекция точки, равноудалённой от вершин, — центр описанной окружности (у прямоугольного треугольника — середина гипотенузы).
• Угол между наклонной и плоскостью — угол между наклонной и проекцией: sin φ = h / ℓ.
• Три перпендикуляра: прямая плоскости, перпендикулярная проекции, перпендикулярна и наклонной (и обратно).
• Двугранный угол измеряется линейным углом: лучи из одной точки ребра, в каждой грани перпендикулярные ребру.
• Угол между плоскостями: 0° < φ ≤ 90°.

Типичные ошибки

«Наклонная = перпендикуляр + проекция»

Они образуют прямоугольный треугольник: складываются квадраты. При флагштоке 12 м и проекции 5 м трос равен 13 м, а не 17 м.

«Угол наклонной с плоскостью — угол между наклонной и любой прямой плоскости»

Угол измеряется только с проекцией наклонной; это наименьший из углов, которые наклонная образует с прямыми плоскости.

«Угол между пересекающимися плоскостями может быть 116°»

За угол между плоскостями берут меньший из двугранных углов, он не больше 90°. Сам двугранный угол может быть тупым.

«Линейный угол — угол между любыми двумя лучами на гранях»

Лучи должны выходить из одной точки ребра и быть перпендикулярными ребру.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Перпендикуляр из точки к плоскости равен 8, наклонная — 17. Проекция наклонной:

√(17² − 8²) = √225 = 15.

2 · Уровень 1

Каким может быть угол между двумя пересекающимися плоскостями?

Угол между плоскостями не больше 90°.

3 · Уровень 2

Наклонная длиной 10 образует с плоскостью угол 45°. Расстояние от её конца до плоскости:

10 · sin 45° = 5√2.

4 · Уровень 2

Расстояния от точки до двух перпендикулярных плоскостей равны 9 и 12. Расстояние от точки до линии их пересечения:

Перпендикуляры образуют прямоугольник, расстояние — его диагональ: √(81 + 144) = 15.

5 · Уровень ДИМ

Точка находится на расстоянии 13 от вершин прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8. Расстояние от точки до плоскости треугольника:

Проекция — середина гипотенузы, R = 10 : 2 = 5; √(169 − 25) = 12.

6 · Уровень ДИМ

Из точки к плоскости проведены наклонные длиной 13 и 15, их проекции относятся как 5 : 9. Расстояние от точки до плоскости:

169 − 25k² = 225 − 81k² → k = 1; проекции 5 и 9, h = √(169 − 25) = 12.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 63; B-65, C-67, D-61
2. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 67; B-69, C-68, D-63
3. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 11; B-21, C-18, D-3
4. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 12; B-15, C-11, D-10
5. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 9; B-11, C-9, D-16
6. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 16; B-14, C-11, D-15
7. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 21; B-20, C-21, D-17
8. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 22; B-17, C-16, D-5
9. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 25; B-23, C-26, D-24
10. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 7; B-8, C-14, D-5

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.