Углы и расстояния в пространстве: на кубе
Текст урока
Главная идея задач на углы и расстояния в пространстве: свести пространственную задачу к плоскому треугольнику. Для угла между скрещивающимися прямыми одну из них переносят параллельно, чтобы они пересеклись. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией.
Расстояние — всегда длина перпендикуляра: от точки до плоскости, между скрещивающимися прямыми — общий перпендикуляр. В кубе чаще всего нужны: диагональ грани a√2, диагональ куба a√3.
a√2диагональ грани кубаa√3диагональ куба (AC₁)проекцияугол прямая–плоскость находят через проекциювыбери задачу, поверни куб ↓Скрещивающиеся A₁B и B₁C: переносим B₁C в A₁D — A₁BD равносторонний, 60°Красное — элемент искомого угла или расстояния, зелёное — вспомогательное построение (параллельный перенос, проекция), синяя область — плоскость. Чёрные пунктиры — невидимые рёбра. Куб можно вращать ползунком или перетаскивая рисунок.
ЗадачаПоверни куб (или тяни рисунок)Ребро куба, a4Задание 1 / 2○○Пусть диагональ куба ≈ 12,12 — подбери ребро.
Настрой ползунки и кнопки…Что показывает симуляция?
языком ползунков- В задаче 1 зелёная «тень» B₁C — это A₁D: после параллельного переноса угол виден в равностороннем треугольнике A₁BD — 60°.
- В задаче 2 AC₁ со своей проекцией AC образует прямоугольный треугольник: пространственный угол становится плоским.
- При повороте куба некоторые углы «выглядят» иначе, но настоящее значение не меняется — рисунок лишь проекция.
- Меняй ребро от 1 до 10: углы остаются прежними, а расстояния растут пропорционально ребру.
- В задаче 5 плоскость A₁BD пересекает диагональ AC₁ на трети её длины — расстояние a√3/3.
Как находить угол и расстояние
по шагам| Что ищем | Как найти |
|---|---|
| Угол между скрещивающимися прямыми | перенести одну параллельно до пересечения; найти угол из треугольника |
| Угол между прямой и плоскостью | построить проекцию прямой на плоскость; из прямоугольного треугольника |
| Расстояние от точки до плоскости | опустить перпендикуляр; часто — методом объёмов |
| Расстояние между скрещивающимися прямыми | общий перпендикуляр; или расстояние от одной до параллельной ей плоскости |
| Теорема о трёх перпендикулярах | если прямая перпендикулярна проекции наклонной, она перпендикулярна и наклонной |
Самые частые ошибки
красной ручкойСчитать угол между скрещивающимися прямыми нулевымСкрещивающиеся прямые не пересекаются, но угол между ними есть — его находят параллельным переносом. Например, между AA₁ и BD угол 90°.
Брать для угла прямая–плоскость любую прямую вместо проекцииУгол — именно между прямой и её проекцией. Для AC₁ и плоскости ABCD берём AC, а не AB.
Мерить расстояние по наклоннойРасстояние измеряют только по перпендикуляру. Расстояние от A до плоскости A₁BD — не AA₁ (= a), а a/√3.
Разобранные задачи
сначала реши самЗадача 1
Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3, 4 и 12.
Показать решениеd² = 3² + 4² + 12² = 9 + 16 + 144 = 169d = 13Ответ: 13.
Задача 2
В кубе с ребром 6 найдите тангенс угла между диагональю AC₁ и плоскостью ABCD.
Показать решениеПроекция AC = 6√2, CC₁ = 6tg φ = 6 / (6√2) = 1/√2 = √2/2Ответ: √2/2 — от ребра не зависит.
В реальной жизни: поместится ли длинная труба в комнату?
пространственная диагональРазмеры комнаты: 4 м × 3 м × 2,5 мПри перевозке мебели, размещении груза на складе или в строительстве часто нужна формула пространственной диагонали: d = √(a² + b² + c²). Это теорема Пифагора, применённая дважды: сначала диагональ пола, затем прямоугольный треугольник с ней и высотой.
Проверь себя: 5 тестовых заданий
5 вопросов1Чему равна диагональ куба с ребром 2?
2Каков угол между прямыми AA₁ и BD в кубе?
3Чему равна диагональ параллелепипеда с измерениями 3, 4, 12?
4Как находят угол между прямой и плоскостью?
5Открытый вопрос: в кубе с ребром 4 найдите квадрат длины диагонали AC₁. Запиши ответ числом.
ИсточникПрограмма вступительных экзаменов ДИМ 2026: Математика → Стереометрия: взаимное расположение прямых и плоскостей, угол между прямыми, между прямой и плоскостью, расстояние от точки до плоскости и между скрещивающимися прямыми.