Тела вращения: цилиндр, конус, шар

Стереометрия · Тема 46 / 46

Тела вращения: цилиндр, конус, шар

Этот урок пройдёт в маленьком кафе на приморском бульваре: стаканы для лимонада, большой цилиндрический бак и мороженое в вафельном рожке приведут нас к цилиндру, конусу и шару. Каждое тело сначала увидим в кафе, потом выведем его формулы и применим их в заданиях ДИМ.

≈ 50 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 13материал 11 класса

После урока ты сможешь

• различать элементы цилиндра, конуса и шара (радиус, высота, образующая, осевое сечение);
• вычислять площади боковой и полной поверхности и объём по формулам;
• определять, какое тело получается при вращении плоской фигуры, и находить его размеры;
• решать задания ДИМ на подобные, вписанные и составные тела.

Перед началом вспомни

• Площадь круга равна πr², длина окружности — 2πr.
• Теорема Пифагора: c² = a² + b².
• Катет против угла 30° равен половине гипотенузы; определения sin, cos и tg.
• Диагональ квадрата в √2 раз больше его стороны.

Содержание

1. ВведениеСитуация: сколько бумажных стаканчиков?история и предположение
2. Глава 1Цилиндр: элементы, осевое сечение, поверхность и объёмцилиндр · ДИМ 07.06.2026
3. Глава 2Конус: образующая, осевое сечение, поверхность и объёмконус · ДИМ 06.07.2025
4. Глава 3Шар и сфера. Подобные телашар, подобие · ДИМ 09.03.2025
5. Глава 4Тела, полученные вращением плоских фигурлаборатория · ДИМ 15.03.2026
6. Глава 5Вписанные и составные телакомбинации · ДИМ 05.07.2026, 12.07.2026
7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 7, с ответом и официальным пояснением
8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: сколько бумажных стаканчиков?

История

Летним днём в маленьком кафе на приморском бульваре продают лимонад. На стойке стаканы двух видов: стеклянный — цилиндр и бумажный — конус. У обоих радиус верхнего края 4 см, высота 12 см.

Покупатель спрашивает: «Насколько меньше вмещает бумажный стаканчик, чем стеклянный?» Продавец решает проверить: наполнять бумажный стаканчик и переливать в стеклянный. Сколько бумажных стаканчиков лимонада нужно, чтобы наполнить стеклянный стакан до краёв?

И радиус, и высота одинаковы: один стакан — цилиндр, другой — конус.Сначала предположи

Как ты думаешь, сколько нужно бумажных стаканчиков? Выбери ответ — посчитаем вместе во 2-й главе.

Глава 1

Цилиндр: элементы, осевое сечение, поверхность и объём

История

В стеклянные стаканы лимонад наливают из большого бака на стойке. Бак тоже имеет форму цилиндра: диаметр основания 40 см, высота 50 см.

Каждое утро продавец наполняет бак доверху. Он хочет знать: сколько литров лимонада вмещает бак и на сколько стеклянных стаканов его хватит?

Два основания бака — равные круги, а боковая поверхность — свёрнутый прямоугольник.

Бак, стакан, труба, консервная банка — всё это цилиндры. Цилиндр можно получить так: повернём прямоугольник на полный оборот вокруг одной из его сторон. Эта сторона остаётся на месте и становится осью цилиндра, а противоположная сторона «заметает» боковую поверхность.

Определение

Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон, называется цилиндром. Два его равных круга — основания, прямая, проходящая через центры оснований, — ось, расстояние между основаниями — высота (h), радиус основания — радиус цилиндра (r). Отрезки боковой поверхности, параллельные оси, — образующие; у прямого цилиндра образующая равна высоте.

Слева: цилиндр и его осевое сечение (синее). Справа: развёртка боковой поверхности — прямоугольник со сторонами 2πr и h.

Если разрезать боковую поверхность вдоль образующей и развернуть, получится прямоугольник: одна его сторона — длина окружности основания (2πr), другая — высота (h). Объём находят так же, как у призмы: площадь основания умножают на высоту.

Формулы цилиндра

Полная поверхность — это боковая поверхность плюс площади двух оснований: 2πrh + 2πr².

Sбок = 2πrh,   Sполн = 2πr(r + h),   V = πr²h

Пример 1

Радиус основания цилиндра равен 3, высота — 5. Найдите его объём и площадь полной поверхности.

1. V = πr²h = π·3²·5 = 45π.Почему так?

   Основание — круг площадью πr² = 9π; умножаем её на высоту.

2. Боковая поверхность: 2πrh = 2π·3·5 = 30π.
3. Полная поверхность: 30π + 2·9π = 48π.Почему так?

   Оснований два: нижнее и верхнее. Проверка: 2πr(r + h) = 2π·3·8 = 48π.

4. Ответ: V = 45π, Sполн = 48π.

История

Вернёмся к баку в кафе. Радиус — половина диаметра: r = 40 : 2 = 20 см. Объём: V = π·20²·50 = 20 000π ≈ 62 832 см³. Так как 1 литр = 1000 см³, в бак помещается примерно 62,8 л лимонада. Объём одного стеклянного стакана π·4²·12 = 192π см³, значит 20 000π : 192π ≈ 104,2 — бака хватит примерно на 104 стакана. Заметь: при делении π сократилось, число стаканов можно было найти и без π.

Проверь себя

Радиус цилиндра 2, высота 7. Вырази объём через π и запиши коэффициент при π (например, для 45π — 45).

V = πr²h = π·4·7.

Если рассечь цилиндр плоскостью, проходящей через ось, получится осевое сечение — прямоугольник со сторонами 2r (диаметр) и h. Для его диагонали d² = (2r)² + h². Цилиндр, у которого высота равна диаметру (h = 2r), называется равносторонним; его осевое сечение — квадрат. Большинство задач на углы в цилиндре решается именно в этом прямоугольнике.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 07.06.2026

Найдите градусную меру угла между образующей цилиндра и диагональю осевого сечения, если диагональ осевого сечения равна 18, а высота — 9.

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Осевое сечение — прямоугольник: его боковая сторона — образующая (высота) 9, диагональ 18.Почему так?

   Образующая параллельна оси и является боковой стороной осевого сечения.

2. Образующая, диагональ и диаметр образуют прямоугольный треугольник: диагональ — гипотенуза, образующая — катет, прилежащий к углу α.Почему так?

   Все углы прямоугольника прямые.

3. cos α = 9/18 = 1/2 ⇒ α = 60°.Почему так?

   Другой путь: 9 — половина гипотенузы, значит, этот катет лежит против угла 30°; этот угол 30° — между диагональю и диаметром, тогда α = 90° − 30° = 60°.

4. Ответ: 60°.

Официальное пояснение ДИМ (07.06.2026)

Так как диагональ осевого сечения цилиндра равна 18, а высота — 9, то cos α = 9/18 = 1/2, отсюда α = 60°.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

В формуле объёма радиус стоит в квадрате. Поэтому, если при неизменной высоте увеличить радиус в k раз, объём увеличится в k² раз; если при неизменном радиусе увеличить высоту в k раз — только в k раз. Объёмы двух цилиндров равной высоты относятся как квадраты радиусов (или диаметров).

Проверь себя

Радиус цилиндра увеличили в 3 раза, не меняя высоты. Во сколько раз увеличится объём?

Объём пропорционален квадрату радиуса.

Глава 2

Конус: образующая, осевое сечение, поверхность и объём

Вернёмся к бумажному стаканчику. Его форма — конус. Конус тоже получается вращением: если вращать прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов, этот катет станет высотой конуса, второй катет — радиусом основания, а гипотенуза — образующей.

Определение

Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, называется конусом. У конуса есть вершина (S), основание (круг радиуса r), высота (h — от вершины до центра основания) и образующая (l — отрезок от вершины до точки окружности основания). Они связаны теоремой Пифагора:

l² = r² + h²

Слева: конус, осевое сечение (синее) и угол φ между образующей и основанием. Справа: развёртка боковой поверхности — круговой сектор радиуса l с дугой 2πr.

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами l и основанием 2r. Для угла φ между образующей и плоскостью основания cos φ = r/l, sin φ = h/l. Развёртка боковой поверхности — круговой сектор; его площадь ½·2πr·l = πrl.

Формулы конуса

Объём конуса составляет треть объёма цилиндра с тем же основанием и той же высотой.

Sбок = πrl,   Sполн = πr(r + l),   V = ⅓πr²h

История

Вот и ответ на вопрос из кафе. Объём стеклянного стакана π·4²·12 = 192π см³, а бумажного — ⅓·π·4²·12 = 64π см³. Значит, чтобы наполнить стеклянный стакан, нужно 3 бумажных стаканчика. Продавец проверяет: после третьего стаканчика стеклянный стакан полон до краёв.

Пример 2

Радиус основания конуса равен 5, высота — 12. Найдите его образующую, площадь боковой поверхности и объём.

1. l = √(5² + 12²) = √169 = 13.Почему так?

   Высота, радиус и образующая образуют прямоугольный треугольник; образующая — гипотенуза.

2. Sбок = πrl = π·5·13 = 65π.Почему так?

   В формулу боковой поверхности входит не высота, а образующая.

3. V = ⅓πr²h = ⅓·π·25·12 = 100π.
4. Ответ: l = 13, Sбок = 65π, V = 100π.

Проверь себя

Радиус основания конуса равен 8, высота — 15. Найдите образующую.

l² = 8² + 15² = 64 + 225.

Если угол при вершине осевого сечения равен 90°, осевое сечение — равнобедренный прямоугольный треугольник: углы при основании по 45°, и высота равна радиусу (r = h). ДИМ часто проверяет этот факт.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 06.07.2025

Образующая конуса равна 4√2 см, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Найдите объём конуса.

Осевое сечение — треугольник ACB: C — вершина конуса, AB — диаметр основания, O — центр основания.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 24π см³B) 64π/3 см³C) 16π/3 см³D) 32π см³E) 8π/3 см³

1. Осевое сечение — ACB: CA = CB = 4√2, ∠C = 90°. Это равнобедренный прямоугольный треугольник, поэтому ∠A = ∠B = 45°.Почему так?

   Углы при основании равнобедренного треугольника равны: (180° − 90°) : 2 = 45°.

2. В треугольнике COB ∠O = 90° и ∠B = 45°, значит, он тоже равнобедренный: CO = OB, т. е. h = r.Почему так?

   Высота CO перпендикулярна основанию, поэтому ∠OCB = 90° − 45° = 45° = ∠B.

3. Теорема Пифагора: r² + r² = (4√2)² = 32, откуда r² = 16, r = h = 4.
4. V = ⅓πr²h = ⅓·π·16·4 = 64π/3.
5. Ответ: 64π/3 см³ (вариант B).

Официальное пояснение ДИМ (06.07.2025)

Так как △ACB — равнобедренный (CA=CB) прямоугольный треугольник, ∠CBA = ∠CAB = 45⁰. Тогда CO=OB, т. е. высота конуса равна его радиусу: r = hПо теореме Пифагора r² + h² = BC² = (4√2)² = 32.Отсюда получаем:r² + r² = 322r² = 32r² = 16r = 4h = 4Тогда V = (1/3)πr²h = (1/3)π·4²·4 = 64π/3Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)

Глава 3

Шар и сфера. Подобные тела

История

Ближе к вечеру в кафе продают и мороженое. Продавец кладёт шарик мороженого на вафельный рожок — конус. Радиус основания рожка 3 см, высота 10 см; над рожком мороженое образует полушар радиуса 3 см, а внутри рожок пока пустой.

Ребёнок ест мороженое медленно и волнуется: «Если мороженое растает и стечёт в рожок, не перельётся ли оно через край?»

Рожок — конус, мороженое над ним — полушар.

Шарик мороженого, футбольный мяч, арбуз — всё это похоже на шар. Шар — тоже тело вращения: если вращать полукруг вокруг его диаметра, получится шар.

Определение

Тело, состоящее из всех точек пространства, удалённых от данной точки O не более чем на R, называется шаром, а его поверхность — сферой. O — центр шара, R — радиус, 2R — диаметр. Любое сечение шара плоскостью — круг: плоскость на расстоянии d от центра даёт круг радиуса r = √(R² − d²). Сечение через центр самое большое — большой круг (r = R).

Шар: центр O, радиус R, большой круг (экватор) и сечение на расстоянии d от центра.Формулы шара

Площадь сферы ровно в 4 раза больше площади большого круга. Объём полушара — половина объёма шара: (2/3)πR³.

S = 4πR²,   V = (4/3)πR³

История

Ответим на вопрос ребёнка. Объём мороженого-полушара ½·(4/3)π·3³ = 18π ≈ 56,5 см³, а объём рожка ⅓·π·3²·10 = 30π ≈ 94,2 см³. Так как 18π < 30π, растаявшее мороженое не перельётся: оно заполнит лишь 18π : 30π = 0,6 рожка, то есть 60 %.

Пример 3

Найдите площадь поверхности и объём мяча диаметром 12 см.

1. R = 12 : 2 = 6.Почему так?

   В формулы входит радиус, а не диаметр.

2. S = 4πR² = 4π·36 = 144π.
3. V = (4/3)πR³ = (4/3)π·216 = 288π.
4. Ответ: 144π см², 288π см³.

Проверь себя

Площадь сферы равна 36π. Найдите радиус шара.

4πR² = 36π ⇒ R² = 9.

Все шары подобны друг другу: один — увеличенная копия другого. Это верно и для любых тел одинаковой формы — например, для двух конусов или двух цилиндров с подобными осевыми сечениями.

Подобные тела

Если линейные размеры подобных тел отличаются в k раз, то площади их поверхностей отличаются в k² раз, а объёмы — в k³ раз:

S₁ : S₂ = k²,   V₁ : V₂ = k³

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2025

Объём первого из двух шаров в 27 раз больше объёма второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

A) 9B) 3C) 27D) 3√3E) 9√3

1. Шары подобны; коэффициент подобия k — отношение радиусов. Отношение объёмов: k³ = 27.Почему так?

   В формуле V = (4/3)πR³ радиус стоит в кубе: если R больше в k раз, то V больше в k³ раз.

2. k = ∛27 = 3.
3. Отношение поверхностей: k² = 3² = 9.Почему так?

   Ловушка: вариант 27 — это отношение объёмов, а не поверхностей.

4. Ответ: 9 (вариант A).

Официальное пояснение ДИМ (09.03.2025)

Обозначим коэффициент подобия через k. Тогда V₁/V₂ = k³, S₁/S₂ = k²V₁/V₂ = 27 ⇒ k³ = 27 ⇒ k = 3S₁/S₂ = k² = 9Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

Глава 4

Тела, полученные вращением плоских фигур

Вся посуда в кафе — тела вращения. Общее правило такое: плоская фигура делает полный оборот вокруг прямой в своей плоскости — оси вращения, и каждая точка фигуры описывает окружность в плоскости, перпендикулярной оси. Сторона на оси даёт высоту тела, а самые удалённые от оси точки — окружность основания.

Прямоугольник вокруг стороны → цилиндр; прямоугольный треугольник вокруг катета → конус; полукруг вокруг диаметра → шар; прямоугольная трапеция вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям → усечённый конус.

Попробуй сам в лаборатории: выбери фигуру, меняй стороны и увеличивай угол поворота от 0° до 360°. При вращении концы фигуры описывают окружности оснований, а сторона на оси остаётся на месте.

Лаборатория · вращай фигуру вокруг осиa — сторона на оси4b — сторона, перпендикулярная оси3угол поворота240°

Обрати внимание: сторона на оси становится высотой, а другая сторона — радиусом. Поэтому при вращении одной и той же фигуры вокруг разных сторон получаются разные тела.

Пример 4

Прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 вращают сначала вокруг большего, потом вокруг меньшего катета. Найдите объёмы полученных конусов.

1. Вокруг большего катета (12): h = 12, r = 5; V = ⅓·π·25·12 = 100π.Почему так?

   Катет на оси становится высотой, второй катет — радиусом.

2. Вокруг меньшего катета (5): h = 5, r = 12; V = ⅓·π·144·5 = 240π.Почему так?

   В объём радиус входит в квадрате, поэтому при вращении вокруг меньшего катета объём больше.

3. Образующая обоих конусов — гипотенуза: l = 13.
4. Ответ: 100π и 240π.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 15.03.2026

Найдите площадь боковой поверхности фигуры, полученной вращением прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см вокруг большего катета.

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Больший катет (8 см) — ось вращения: высота конуса H = 8, радиус основания R = 6.Почему так?

   Катет на оси остаётся на месте, второй катет описывает круг основания.

2. Гипотенуза становится образующей конуса: l = √(6² + 8²) = 10.Почему так?

   6, 8, 10 — пифагорова тройка (удвоенная 3, 4, 5).

3. Боковая поверхность: Sбок = πRl = π·6·10 = 60π.
4. Ответ: 60π см².

Официальное пояснение ДИМ (15.03.2026)

При вращении прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см вокруг большего катета получается конус с радиусом основания R = 6 см и высотой H = 8 см. Чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, нужно знать его образующую. Гипотенуза прямоугольного треугольника в этом случае будет равна образующей конуса. По теореме Пифагора находим l = √(R² + H²) = √(6² + 8²) = 10 см. Находим площадь боковой поверхности конуса: S_бок = πRl = π·6·10 = 60π см²Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

Иногда фигура задана графиком функции. Например, при вращении вокруг оси Ox части прямой y = kx (k > 0) на отрезке [0; a] получается конус с вершиной в точке O (высота a, радиус ka), а отрезок прямой y = c (c > 0) даёт цилиндр.

Проверь себя

Прямоугольник со сторонами 2 и 5 вращается вокруг стороны длиной 5. Вырази объём полученного цилиндра через π и запиши коэффициент при π.

Сторона на оси — высота: h = 5, r = 2.

Глава 5

Вписанные и составные тела

На экзамене часто дают два тела сразу: одно вписано в другое или одно вырезано из другого. Ключ к таким задачам — осевое сечение: превращаем пространственную картинку в плоскую и работаем в ней методами планиметрии.

Тела, вписанные в шар

Если цилиндр вписан в шар, его осевое сечение (прямоугольник) вписано в большой круг, и диагональ сечения — диаметр шара: (2r)² + h² = (2R)². Если в шар вписан конус, его осевое сечение (треугольник) вписано в большой круг.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 05.07.2026

В шар радиусом 4 см вписан равносторонний цилиндр. На сколько площадь поверхности шара больше площади полной поверхности цилиндра?

На рисунке ABCD — осевое сечение цилиндра, AC — его диагональ.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 8π см²B) 6π см²C) 10π см²D) 12π см²E) 16π см²

1. Осевое сечение ABCD — квадрат (цилиндр равносторонний: h = 2r), его диагональ AC — диаметр шара: AC = 2R = 8.Почему так?

   Вершины квадрата лежат на окружностях оснований, а эти окружности лежат на сфере.

2. Сторона квадрата: 8 : √2 = 4√2, значит h = 4√2, r = 2√2.Почему так?

   Диагональ квадрата в √2 раз больше его стороны.

3. Площадь сферы: 4π·4² = 64π. Полная поверхность цилиндра: 2πr(r + h) = 2π·2√2·6√2 = 48π.
4. Разность: 64π − 48π = 16π.
5. Ответ: 16π см² (вариант E).

Официальное пояснение ДИМ (05.07.2026)

Обозначим через R радиус шара, через r — радиус основания цилиндра, через h — высоту цилиндра. Так как данный цилиндр равносторонний, его осевое сечение — квадрат ABCD (h=2r). Здесь отрезок AC — диаметр шара. AC=8 см, тогда сторона квадрата h = 2r = 4√2 см. Таким образом: CD=AD= 4√2 см, r = 2√2 смПлощадь поверхности шара S = 4πR² = 4π·4² = 64π(см²)Площадь полной поверхности цилиндра S = 2πr(r + h) = 2π·2√2·6√2 = 48π(см²).Отсюда разность площадей: 64π − 48π = 16π(см²)Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Цилиндр радиусом 3 и высотой 8 вписан в шар. Найдите радиус шара.

(2R)² = 6² + 8².

Когда из тела вырезают часть, поверхность меняется так: общая с поверхностью тела часть вырезанного куска (например, основание) исчезает, а стенка выемки добавляется как новая поверхность. Поэтому поверхность нужно собирать по частям, а объёмы можно просто вычесть.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 12.07.2026

Из деревянного бруса в форме цилиндра высотой 8 и радиусом 3 выдолблен конус, основание которого совпадает с основанием цилиндра, а высота равна половине высоты цилиндра. Найдите площадь поверхности тела, полученного после удаления конуса.

На рисунке из нижнего основания цилиндра выдолблен конус с вершиной в середине оси (синяя часть).

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Части поверхности: боковая поверхность конуса (стенка выемки), боковая поверхность цилиндра и верхнее основание. Нижнего основания нет.Почему так?

   Основание конуса совпадает с нижним основанием цилиндра: этот круг вырезан.

2. Высота конуса H/2 = 4, образующая l = √(3² + 4²) = 5, боковая поверхность πRl = 15π.Почему так?

   Снова тройка 3, 4, 5.

3. Боковая поверхность цилиндра 2πRH = 2π·3·8 = 48π, верхнее основание πR² = 9π.
4. Сумма: 15π + 48π + 9π = 72π.
5. Ответ: 72π.

Официальное пояснение ДИМ (12.07.2026)

После того как из цилиндра выдолбили указанный конус, поверхность полученного тела будет состоять из боковой поверхности выдолбленного конуса, боковой поверхности цилиндра и его верхнего основания. Образующая конуса l = √(R² + (H/2)²) = 5. Тогда поверхность полученного тела S = S_бок.кон + S_бок.цил + S_осн = πRl + 2πRH + πR² = π·3·5 + 2π·3·8 + π·9 = 15π + 48π + 9π = 72π.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

Эти задания взяты из экзаменов ДИМ. Сначала реши сам, затем открой «Ответ и пояснение ДИМ».

ДИМ · 19.04.2026

Если диаметры оснований двух цилиндров равной высоты равны d₁=10, d₂=5, найдите отношение их объёмов V₂:V₁.

A) 1:3B) 1:2C) 1:8D) 1:4E) 1:9Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 1:4 (вариант D).

Так как объём цилиндра V = S_осн · H = π · R² · H, то V₂/V₁ = (π·R₂²·H)/(π·R₁²·H) = (R₂/R₁)² = (d₂/d₁)² = (5/10)² = 1/4.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)

ДИМ · 13.07.2025

Во сколько раз увеличится объём цилиндра, если, не меняя высоты, увеличить радиус его основания в 6 раз?

A) 64B) 6C) 32D) 36E) 24Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 36 (вариант D).

Известно, что объём цилиндра вычисляется по формуле V = πr²h. Если по условию радиус увеличить в 6 раз, объём увеличится в 36 раз.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

ДИМ · 09.03.2026

Образующая конуса равна 10√3 и образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите радиус основания конуса.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 15.

По свойству катета, лежащего против угла 30°, высота конуса равна 5√3, а радиус его основания — 5√3·√3 = 15.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

ДИМ · 24.05.2026

Найдите площадь полной поверхности конуса, образующая которого равна 5√2, а площадь осевого сечения — 25.

В пояснении осевое сечение конуса — ABC: A — вершина, BC — диаметр основания, O — центр, α = ∠BAC.

A) 25π(√2 + 2)B) 25π(√2 + 1)C) 50π(√2 + 2)D) 50π(√2 + 1)E) 25π(2√2 + 1)Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 25π(√2 + 1) (вариант B).

S△ABC = ½·(5√2)² sin α = 25; получаем sin α = 1. Тогда α = 90°. Значит, осевое сечение — равнобедренный прямоугольный треугольник. Тогда в △AOC ∠ACO = ∠CAO = 45°, AO = OC = 5, т. е. h = r = 5. S_осн = πr² = 25π, S_бок = πrl = 25√2π, S_полн = S_осн + S_бок = 25π(√2 + 1)Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)

ДИМ · 02.03.2025

Вычислите объём шара радиусом 3 см.

A) 36π см³B) 54π см³C) 45π см³D) 12π см³E) 20π см³Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 36π см³ (вариант A).

V = (4/3)πR³ = (4/3)π·3³ = 36π (см³).Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

ДИМ · 25.05.2025

Как изменится объём шара, если его радиус увеличить в 5 раз?

A) увеличится в 25 разB) увеличится в 15 разC) увеличится в 20 разD) увеличится в 125 разE) увеличится в 75 разОтвет и пояснение ДИМ

Ответ: увеличится в 125 раз (вариант D).

Согласно формуле объёма шара V = (4/3)πR³, его объём кубически зависит от радиуса. То есть если радиус шара увеличить в 5 раз, его объём увеличится в 5³ = 125 раз.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)

ДИМ · 01.06.2025

Какая фигура получается при вращении вокруг оси абсцисс части графика функции y = 2x на отрезке [0;1]?

A) полушарB) усечённый конусC) конусD) шарE) цилиндрОтвет и пояснение ДИМ

Ответ: конус (вариант C).

… при вращении вокруг оси абсцисс части графика функции y = 2x на отрезке [0;1] получается конус.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Итоги

Запомни

• Цилиндр: Sбок = 2πrh, Sполн = 2πr(r + h), V = πr²h; осевое сечение — прямоугольник со сторонами 2r и h (у равностороннего цилиндра — квадрат).
• Конус: l² = r² + h², Sбок = πrl, Sполн = πr(r + l), V = ⅓πr²h; осевое сечение — равнобедренный треугольник.
• Объём конуса — треть объёма цилиндра с тем же основанием и той же высотой.
• Шар: S = 4πR², V = (4/3)πR³; сечение плоскостью — круг, r = √(R² − d²).
• У подобных тел: линейные размеры в k раз → поверхность в k², объём в k³ раз. Высота та же, радиус в k раз → объём цилиндра в k² раз.
• При вращении сторона на оси становится высотой, перпендикулярная оси сторона — радиусом; гипотенуза прямоугольного треугольника — образующая конуса.
• Вписанные тела решаются в осевом сечении: (2r)² + h² = (2R)². К поверхности тела с выемкой добавляется стенка выемки, а вырезанное основание исчезает.

Типичные ошибки

Если при той же высоте радиус увеличить в 6 раз, объём цилиндра увеличится в 6 раз

Объём пропорционален квадрату радиуса: он увеличится в 6² = 36 раз.

Объём конуса находят по формуле V = πr²h

Это объём цилиндра; объём конуса составляет его треть: V = ⅓πr²h.

Боковая поверхность конуса равна πrh

В боковую поверхность входит не высота, а образующая: Sбок = πrl, l = √(r² + h²).

Если объёмы шаров относятся как 27, то и поверхности относятся как 27

Объёмы относятся как k³, поверхности — как k²: k³ = 27 ⇒ k = 3, отношение поверхностей 9.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Радиус основания конуса 3, высота 4. Площадь боковой поверхности:

l = √(9 + 16) = 5, Sбок = π·3·5 = 15π.

2 · Уровень 1

Площадь сферы радиуса 2:

S = 4π·2² = 16π.

3 · Уровень 2

Прямоугольник со сторонами 3 и 5 вращается вокруг стороны длиной 3. Объём полученного тела:

Сторона на оси — высота: h = 3, r = 5; V = π·25·3 = 75π.

4 · Уровень 2

Осевое сечение цилиндра — квадрат площадью 36. Объём цилиндра:

Сторона квадрата 6: h = 6, 2r = 6, r = 3; V = π·9·6 = 54π.

5 · Уровень ДИМ

Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник со стороной 6. Площадь полной поверхности конуса:

l = 6, r = 3: Sполн = πr(r + l) = π·3·9 = 27π.

6 · Уровень ДИМ

В шар радиуса 6 вписан цилиндр высотой 8. Объём цилиндра:

(2r)² + 8² = 12² ⇒ r² = 20; V = π·20·8 = 160π.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 64; B-70, C-69, D-64
2. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 66; B-67, C-63, D-68
3. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 18; B-7, C-22, D-22
4. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 18; B-4, C-19, D-9
5. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 3; B-20, C-14, D-4
6. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 6; B-7, C-22, D-16
7. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 76; B-74, C-77, D-77
8. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 79; B-79, C-79, D-79
9. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 61; B-69, C-65, D-65
10. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 8; B-13, C-14, D-1
11. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 25; B-23, C-24, D-26
12. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 7; B-10, C-11, D-20
13. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 28; B-28, C-28, D-28

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.