Пирамида

Стереометрия · Тема 45 / 46

Пирамида

Этот урок пройдём через историю в саду: семья строит беседку. Кровля для пирамидальной крыши, уклон крыши и пакет сока в форме тетраэдра на пикнике приведут нас к главным формулам пирамиды: апофема, боковая поверхность, основание высоты, углы и объём.

≈ 45 минутГлав: 4Заданий ДИМ: 7материал 10–11 классов

После урока ты сможешь

• распознавать элементы пирамиды, правильную пирамиду и апофему;
• вычислять боковую и полную поверхность, работать с развёрткой;
• определять, куда падает высота, и находить углы при основании;
• вычислять объём пирамиды, тетраэдра и пирамиды, отрезанной от куба.

Перед началом вспомни

• Теорема Пифагора; прямоугольные треугольники с углами 30°, 45°, 60°.
• Равносторонний треугольник: S = a²√3/4, R = a/√3, r = a/(2√3).
• Наклонная, проекция и двугранный угол (урок «Прямые и плоскости в пространстве»).

Содержание

1. ВведениеСитуация: сколько кровли нужно на крышу?история и предположение
2. Глава 1Пирамида: элементы и правильная пирамидавершина · боковое ребро · высота · апофема
3. Глава 2Поверхность и развёртка пирамидыSбок = ½ · P · hап · ДИМ 09.03.2025
4. Глава 3Основание высоты и углы в пирамидеR и r · двугранный угол при основании · ДИМ 13.07.2025
5. Глава 4Объём пирамидыV = ⅓ · S · h · тетраэдр · ДИМ 12.07.2026, 07.06.2026, 25.05.2025
6. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 2, с ответом и официальным пояснением
7. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
8. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: сколько кровли нужно на крышу?

История

Семья строит в саду беседку. Четыре столба стоят в вершинах квадрата, а крыша будет в форме правильной четырёхугольной пирамиды: основание 4 м × 4 м, высота 1,5 м.

Кровельный материал продаётся квадратными метрами. Сколько материала нужно на четыре треугольных ската? (Запас на края не учитываем.)

Вершина крыши на 1,5 м выше центра основания; красный пунктир — высота треугольного ската.Сначала предположи

Как ты думаешь, сколько квадратных метров кровли нужно? Выбери ответ — посчитаем вместе во 2-й главе.

Глава 1

Пирамида: элементы и правильная пирамида

Определение

Многогранник, одна грань которого — n-угольник (основание), а остальные n граней — треугольники с общей вершиной (боковые грани), называется пирамидой. Общая вершина — вершина пирамиды, отрезки, соединяющие её с вершинами основания, — боковые рёбра. Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания, — высота пирамиды.

Правильная пирамида

Пирамида, основание которой — правильный многоугольник, а высота падает в центр основания, называется правильной. Её боковые рёбра равны, боковые грани — конгруэнтные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани, проведённая из вершины, — апофема. Треугольная пирамида, все рёбра которой равны, — правильный тетраэдр.

В правильной четырёхугольной пирамиде O — центр квадрата (точка пересечения диагоналей), M — середина AB.

На рисунке спрятаны три прямоугольных треугольника, и большинство экзаменационных задач решается с их помощью: SOM (высота, апофема и радиус вписанной в основание окружности), SOC (высота, боковое ребро и радиус описанной окружности), SMB (половина боковой грани).

Подсчёт

У n-угольной пирамиды n + 1 вершин, 2n рёбер и n + 1 граней.

Пример 1

У пирамиды 14 рёбер. Сколько у неё вершин и граней?

1. 2n = 14, откуда n = 7: основание — семиугольник.Почему так?

   n рёбер лежат в основании, ещё n — боковые рёбра.

2. Вершины: n + 1 = 8 (7 вершин основания и вершина пирамиды); грани: n + 1 = 8.
3. Ответ: 8 вершин, 8 граней.

Проверь себя

У пирамиды 11 граней. Сколько у неё рёбер?

n + 1 = 11; рёбер 2n.

Глава 2

Поверхность и развёртка пирамиды

Если развернуть поверхность пирамиды на плоскость, получим основание и примыкающие к каждой его стороне треугольники — это развёртка пирамиды. Площадь боковой поверхности — сумма площадей боковых граней. В правильной пирамиде все боковые грани равны, и площадь каждой равна ½ · a · hап.

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему; полная поверхность — сумма боковой поверхности и площади основания:

Sбок = ½ · Pосн · hап,   Sполн = Sбок + Sосн

История

Вернёмся к крыше беседки. Апофему находим из треугольника SOM: SO = 1,5 м, OM = 4 : 2 = 2 м, значит, hап = √(1,5² + 2²) = 2,5 м. Площадь крыши: S = ½ · 16 · 2,5 = 20 м². Если перепутать высоту с апофемой и взять 1,5 м, получится 12 м² — кровли не хватит.

Пример 2

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6, высота — 4. Найдите площадь полной поверхности.

1. Апофема: hап = √(4² + 3²) = 5.Почему так?

   В треугольнике SOM OM — половина стороны основания: 6 : 2 = 3.

2. Боковая поверхность: ½ · 24 · 5 = 60.
3. Полная поверхность: 60 + 6² = 96.
4. Ответ: 96.

Проверь себя

Сторона основания правильной треугольной пирамиды 6, апофема 5. Найдите площадь боковой поверхности.

½ · 18 · 5.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2025

Площадь полной поверхности правильной пирамиды, развёртка которой дана на рисунке, равна 360. Найдите длину апофемы.

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. На развёртке основание — четырёхугольник; так как пирамида правильная, это квадрат: a = √100 = 10.
2. Боковая поверхность: 360 − 100 = 260; каждый из четырёх равных треугольников — 260 : 4 = 65.Почему так?

   Из полной поверхности вычитаем основание: у пирамиды одно основание.

3. Площадь треугольника ½ · 10 · hап = 65, откуда hап = 13.
4. Ответ: 13.

Официальное пояснение ДИМ (09.03.2025)

I способ: по развёртке основание пирамиды — четырёхугольник; так как пирамида правильная, её основание — квадрат. Так как S_осн = 100, сторона основания a=10S_бок = S_полн − S_осн = 360 − 100 = 260Так как боковая поверхность состоит из четырёх конгруэнтных треугольников,S_бок.гр = S_Δ = 260/4 = 65S_Δ = ½·a·h_ап ⇒ h_ап = 2S_Δ/a = 2·65/10 = 13II способ: по развёртке основание пирамиды — четырёхугольник; так как пирамида правильная, её основание — квадрат.Так как S_осн = 100, сторона основания a=10S_бок = S_полн − S_осн = 360 − 100 = 260S_бок = ½·P_осн·h_ап ⇒ h_ап = 2S_бок/P_осн = 2·260/40 = 13Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

Глава 3

Основание высоты и углы в пирамиде

История

Крыша готова. В первый дождь мастер смотрит на уклон крыши: чтобы вода хорошо стекала, скат должен образовывать с горизонтальной плоскостью угол не меньше 30°.

Высота крыши 1,5 м, от центра основания до середины переднего края 2 м. Каков угол φ между скатом и горизонтальной плоскостью?

Высота, апофема и её проекция на основание образуют прямоугольный треугольник; φ — линейный угол двугранного угла при основании.Куда падает высота?

1) Если все боковые рёбра пирамиды равны или образуют с основанием равные углы, высота падает в центр описанной окружности основания. 2) Если все боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, высота падает в центр вписанной окружности основания.

Если боковые рёбра равны, равны и их проекции (R); если грани наклонены одинаково, расстояния от O до сторон равны (r).

В правильной пирамиде оба центра совпадают. Линейный угол двугранного угла при основании — угол между апофемой и отрезком r в треугольнике, образованном высотой, апофемой и r: tg φ = h / r. Угол бокового ребра с основанием находят по tg β = h / R.

История

Для крыши h = 1,5 м, r = 2 м. Значит, tg φ = 1,5 / 2 = 0,75, т. е. φ ≈ 37°. Так как tg 30° ≈ 0,58 < 0,75, уклон достаточный: вода будет стекать свободно. Кстати, угловые стропила крыши — боковые рёбра — имеют длину √(1,5² + (2√2)²) = √10,25 ≈ 3,2 м.

В лаборатории меняй сторону основания и высоту крыши: вместе меняются апофема, боковое ребро, угол, боковая поверхность и объём. Как меняется угол φ при увеличении высоты?

Лаборатория · меняй размеры крышиa — сторона основания, м4h — высота, м1.5Пример 3

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды 6√2, боковое ребро 10. Найдите высоту.

1. Диагональ основания 6√2 · √2 = 12, её половина R = 6.Почему так?

   Высота падает в центр квадрата; расстояние от центра до вершины — половина диагонали.

2. В треугольнике SOC: h = √(10² − 6²) = 8.
3. Ответ: 8.

Проверь себя

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды 8, двугранный угол при основании 45°. Найдите высоту пирамиды.

r = 8 : 2 = 4, h = r · tg 45°.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

Высота правильной треугольной пирамиды равна 4 см, сторона основания — 8 см. Сколько градусов составляет двугранный угол при основании этой пирамиды?

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Пирамида правильная: высота SE падает в центр основания — точку пересечения медиан. SD — апофема, ∠SDE — линейный угол двугранного угла при основании.Почему так?

   SD ⊥ BC (медиана равнобедренного SBC), ED ⊥ BC (AD — медиана и высота).

2. AD = 8√3/2 = 4√3; так как медианы делятся в отношении 2 : 1, ED = (1/3)AD = 4√3/3.Почему так?

   ED — радиус вписанной окружности: r = a/(2√3).

3. tg α = SE / ED = 4 : (4√3/3) = √3, значит, α = 60°.
4. Ответ: 60°.

Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)

Пусть SE — высота пирамиды, SD — апофема, а двугранный угол SDE равен α. Точка E — точка пересечения медиан основания ABC пирамиды SABC. Тогда ED = (1/3)AD = (1/3) · 8√3/2 = 4√3/3, tan α = SE/ED = 4/(4√3/3) = √3 ⇒ α = 60°.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Глава 4

Объём пирамиды

История

Беседка готова, и семья устраивает в ней первый пикник. На стол ставят пакеты сока в форме правильного тетраэдра. Каждое ребро пакета 12 см, а на нём написано «200 мл».

Младший брат сомневается: поместятся ли 200 мл в такой маленький пакет? Каков объём пакета?

Пакет сока — правильный тетраэдр: четыре грани — равносторонние треугольники, ребро 12 см.Теорема

Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту — трети объёма призмы с тем же основанием и той же высотой. Для правильного тетраэдра с ребром a V = a³√2/12.

V = ⅓ · Sосн · h

Формула для тетраэдра получается из общей: основание — равносторонний треугольник (S = a²√3/4), высота падает в центр описанной окружности (R = a/√3), значит, h = √(a² − a²/3) = a√(2/3).

История

Для пакета V = 12³ · √2 / 12 = 144√2 ≈ 204 см³. Так как 1 мл = 1 см³, в пакет помещается даже немного больше — надпись «200 мл» верна. Заметь: хотя ребро 12 см, объём пакета меньше объёма куба с ребром 6 см (216 см³).

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 12.07.2026

Найдите объём правильного тетраэдра, все рёбра которого равны 3√2.

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Высота падает в центр основания: AO = R = a/√3 = 3√2/√3 = √6.Почему так?

   Боковые рёбра тетраэдра равны — высота падает в центр описанной окружности.

2. H = √(18 − 6) = √12 = 2√3, основание S = (3√2)² · √3/4 = 9√3/2.
3. V = ⅓ · (9√3/2) · 2√3 = 9. Проверка по формуле: (3√2)³ · √2/12 = 108/12 = 9.
4. Ответ: 9.

Официальное пояснение ДИМ (12.07.2026)

Обозначим длину рёбер тетраэдра через a. Опустим из вершины S тетраэдра перпендикуляр SO на плоскость основания ABC. Так как высота пирамиды с равными боковыми рёбрами падает в центр окружности, описанной около основания, AO = R = a/√3. По теореме Пифагора из треугольника SAO SO² = H² = SA² − AO² = a² − R² = a² − a²/3 = (2/3)a² ⇒ H = a√(2/3). По формуле объёма тетраэдра получаем V = ⅓·S_осн·H = ⅓·(a²√3/4)·a√(2/3) = (a³/12)√2. Учитывая, что a = 3√2, объём тетраэдра равен V = (3√2)³√2/12 = 9.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды 6, высота 5. Найдите объём.

⅓ · 36 · 5.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 07.06.2026

Все боковые рёбра пирамиды SABC образуют с плоскостью основания углы 60°, SA=8 см. Если основание пирамиды — равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, найдите её объём.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 64√3/3 см³B) 128√3/3 см³C) 128√3 см³D) 64√3 см³E) 98√3/3 см³

1. Боковые рёбра образуют с основанием равные углы (60°), поэтому высота падает в центр описанной окружности — середину H гипотенузы AB.Почему так?

   Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы.

2. В треугольнике ASH ∠S = 30°: AH = 8 : 2 = 4, SH = 4√3, AB = 8.Почему так?

   Катет AH лежит против угла 30°.

3. Катеты: AC² = 64 : 2 = 32, S = ½ · AC² = 16.
4. V = ⅓ · 16 · 4√3 = 64√3/3 см³.
5. Ответ: 64√3/3 см³ (вариант A).

Официальное пояснение ДИМ (07.06.2026)

Пусть ∠C = 90° и AC=BC=2x. AB² = 4x² + 4x² = 8x²; AB = 2√2x. Известно, что если … рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания углы 60°, то … высота падает в центр окружности, описанной около основания. Значит, точка H — середина гипотенузы AB. Тогда в △ASH AH = ½AS = 4 и SH = h = 4√3. AH = 4 ⇒ AB = 2·AH = 8. По теореме Пифагора AC² + BC² = AB²; AC² + AC² = 64; AC² = 32. S_ABC = ½·AC·BC = ½·AC² = ½·32 = 16; V = ⅓·S_ABC·h = ⅓·16·4√3 = 64√3/3.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Любую грань треугольной пирамиды можно считать основанием. Это особенно удобно, когда три ребра, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны: тогда два ребра — катеты треугольника основания, а третье — высота, и V = (1/6) · a · b · c.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 25.05.2025

Из куба объёмом 729 см³ вырезана пирамида DABC с рёбрами AB = 4 см, AC = 7 см. Найдите объём оставшейся части куба.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 627 см³B) 603 см³C) 701 см³D) 664 см³E) 687 см³

1. Ребро куба: a = ∛729 = 9 см.
2. У отрезаемой пирамиды DABC рёбра AB, AC и AD лежат на рёбрах куба, выходящих из одной вершины, — они попарно перпендикулярны. Основание — прямоугольный треугольник с катетами 4 и 7, высота AD = 9.Почему так?

   Рёбра куба, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны.

3. Vпир = (1/6) · 4 · 7 · 9 = 42 см³; оставшаяся часть: 729 − 42 = 687 см³.
4. Ответ: 687 см³ (вариант E).

Официальное пояснение ДИМ (25.05.2025)

Сначала находится ребро куба: V_куб = a³ → a³ = 729см³ → a = 9см. Основание вырезанной из куба пирамиды DABC — прямоугольный треугольник с катетами AB и AC, а высота равна AD. По условию AB = 4 см, AC = 7 см и AD = 9 см; с учётом этого по известной формуле находится объём пирамиды: V_пирамиды = (1/3)·S_BAC·AD = (1/3)·(1/2)·AB·AC·AD = (1/6)·4·7·9 = 42(см³). Затем из объёма куба вычитается объём вырезанной пирамиды и находится объём оставшейся части: V_ост = V_куб − V_пирамиды = 729см³ − 42см³ = 687см³Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 19.04.2026

Дана развёртка четырёхугольной пирамиды, все рёбра которой равны. Если AB = (12 + 12√3) см, найдите объём этой пирамиды.

На рисунке: к каждой стороне квадрата примыкает равносторонний треугольник; A — вершина верхнего, B — нижнего треугольника, AB проходит через середину квадрата.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 288√2 см³.

I способ: … в равностороннем треугольнике APK h = (x/2)√3; AB = x√3 + x; 12(1 + √3) = x(1 + √3); x = 12(см); OF = (1/2)·12 = 6(см); AF = 6√3(см); h = AO = √(36·3 − 36) = √(36·2) = 6√2(см); V = (1/3)·S_осн·h = (1/3)·144·6√2 = 288√2(см³). II способ: … OP = (1/2)·MP = (1/2)·√(12² + 12²) = 6√2(см); AO = h = √(AP² − OP²) = √(12² − 36·2) = 6√2(см); V = (1/3)·S_осн·h = (1/3)·144·6√2 = 288√2(см³)Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)

ДИМ · 05.07.2026

Длины боковых рёбер треугольной пирамиды равны √2 см, √3 см и 3√6 см, и они попарно перпендикулярны. Найдите объём пирамиды.

A) 2√3 см³B) 6 см³C) 3√6 см³D) 3√2 см³E) 3 см³Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 3 см³ (вариант E).

… грань треугольной пирамиды можно рассматривать как основание. Тогда, если два из данных в условии боковых рёбер (например, √2 и √3) принять за стороны основания, третье боковое ребро (3√6) будет высотой пирамиды. h = 3√6, S_осн = ½·√2·√3 = √6/2, V = ⅓·S_осн·h, V = ⅓·(√6/2)·3√6 = 3(см³)Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)

Итоги

Запомни

• n-угольная пирамида: n + 1 вершин, 2n рёбер, n + 1 граней.
• Правильная пирамида: основание — правильный многоугольник, высота падает в центр; апофема — высота боковой грани.
• Sбок = ½ · P · hап, Sполн = Sбок + Sосн.
• Боковые рёбра равны (или равнонаклонены) → высота в центр описанной окружности; грани равнонаклонены → в центр вписанной.
• Двугранный угол при основании: tg φ = h / r; угол бокового ребра: tg β = h / R.
• V = ⅓ · Sосн · h; тетраэдр: V = a³√2/12; перпендикулярные рёбра: V = abc/6.

Типичные ошибки

«Объём пирамиды равен S · h»

Это объём призмы. Для пирамиды обязателен множитель ⅓: V = ⅓ · S · h.

«Апофема — это высота пирамиды»

Апофема — высота боковой грани, она всегда длиннее высоты пирамиды: hап² = h² + r².

«В правильной треугольной пирамиде расстояние от центра до стороны — половина медианы»

Медианы делятся в отношении 2 : 1: от центра до стороны — ⅓, до вершины — ⅔ медианы (r = a√3/6, R = a√3/3).

«Полная поверхность = боковая + 2 основания»

У пирамиды только одно основание: Sполн = Sбок + Sосн.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Площадь основания пирамиды 12, высота 5. Объём:

⅓ · 12 · 5 = 20.

2 · Уровень 1

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды 6, апофема 5. Площадь боковой поверхности:

½ · 24 · 5 = 60.

3 · Уровень 2

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды 6, высота 4. Апофема:

√(4² + 3²) = 5; а √34 — боковое ребро.

4 · Уровень 2

Все боковые рёбра пирамиды равны 10, основание — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Высота:

Высота падает в середину гипотенузы: R = 5, h = √(100 − 25) = 5√3.

5 · Уровень ДИМ

Объём правильного тетраэдра с ребром 6:

216 · √2 / 12 = 18√2.

6 · Уровень ДИМ

От куба с ребром 6 плоскостью через концы трёх рёбер, выходящих из одной вершины, отрезают пирамиду. Объём оставшейся части куба:

Пирамида: (1/6) · 6 · 6 · 6 = 36; 216 − 36 = 180.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 83; B-83, C-83, D-83
2. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 3; B-3, C-3, D-11
3. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 25; B-24, C-24, D-24
4. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 84; B-84, C-84, D-84
5. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 11; B-14, C-4, D-10
6. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 9; B-16, C-1, D-12
7. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 23; B-25, C-25, D-26

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.