Fəzada düz xətlər və müstəvilər

Stereometriya · Mövzu 43 / 46

Fəzada düz xətlər və müstəvilər

Bu dərsi bir hekayə ilə keçəcəyik: məktəbdə idman bayramı hazırlanır. Bayraq dirəyinin trosları, onun kölgəsi və hakimlərin çadırı bizi stereometriyanın əsas anlayışlarına aparacaq: perpendikulyar və mail, düz xətlə müstəvi arasındakı bucaq, üç perpendikulyar haqqında teorem və ikiüzlü bucaq.

≈ 45 dəqiqə5 fəsil10 DİM tapşırığı10-cu sinif materialı

Bu dərsdən sonra bacaracaqsan

• fəzada düz xətlərin və müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyətini tanımağı;
• perpendikulyar, mail və proyeksiyanı Pifaqor teoremi ilə əlaqələndirməyi;
• düz xətlə müstəvi arasındakı bucağı və nöqtədən düz xəttə məsafəni (üç perpendikulyar teoremi ilə) tapmağı;
• ikiüzlü bucağı xətti bucağı ilə ölçməyi və müstəvilər arasındakı bucağa aid DİM tapşırıqlarını həll etməyi.

Başlamazdan əvvəl xatırla

• Pifaqor teoremi: c² = a² + b².
• 30°-li bucağın qarşısındakı katet hipotenuzun yarısıdır; 45°-li düzbucaqlı üçbucaq bərabəryanlıdır.
• Düzbucaqlı üçbucaqda sin, cos, tg.

Mündəricat

1. GirişSituasiya: troslar üçün nə qədər kanat lazımdır?hekayə və təxmin
2. Fəsil 1Fəzada düz xətlər və müstəvilər: qarşılıqlı vəziyyətaksiomlar · çarpaz düz xətlər · perpendikulyarlıq əlaməti
3. Fəsil 2Perpendikulyar, mail və proyeksiyamail² = h² + proyeksiya² · DİM 06.07.2025, 01.06.2025
4. Fəsil 3Düz xətlə müstəvi arasındakı bucaqφ — mail ilə proyeksiya arasında · DİM 02.03.2025, 05.07.2026
5. Fəsil 4Üç perpendikulyar haqqında teoremmail ⊥ a ⇔ proyeksiya ⊥ a · DİM 09.03.2025
6. Fəsil 5İkiüzlü bucaq və müstəvilər arasındakı bucaqxətti bucaq · 0° < φ ≤ 90° · DİM 13.07.2025
7. Məşqİmtahan tapşırıqları ilə məşq4 DİM tapşırığı: cavab və rəsmi izah
8. YekunYadda saxlaqısa xülasə və tipik səhvlər
9. YekunMüstəqil iş6 tapşırıq, asandan çətinə

Giriş

Situasiya: troslar üçün nə qədər kanat lazımdır?

Hekayə

Məktəbdə idman bayramına hazırlıq gedir. Həyətin ortasında hündürlüyü 12 m olan yeni bayraq dirəyi qoyulub. Külək dirəyi əyməsin deyə usta onun ucundan yerə üç tros çəkmək istəyir. Trosların qazıqları dirəyin dibindən eyni məsafədə — 5 m aralıda vurulub.

Usta tələsir: kanatı mağazadan bir dəfəyə almaq lazımdır. Üç tros üçün ən azı neçə metr kanat almalıdır? (Düyünlər üçün ehtiyatı nəzərə almırıq.)

Dirək yerə perpendikulyardır, troslar isə maildir: onların yerdəki proyeksiyaları 5 m-dir.Əvvəlcə təxmin et

Sənin fikrincə, üç tros üçün neçə metr kanat lazımdır? Təxminini seç: 2-ci fəsildə birlikdə hesablayacağıq.

Fəsil 1

Fəzada düz xətlər və müstəvilər: qarşılıqlı vəziyyət

Planimetriyada bütün fiqurlar bir müstəvidə yerləşirdi. Stereometriyada isə fəzadakı fiqurları öyrənirik: dirək, tros, yer, divar, çadırın yamacı. Əsas anlayışlar yenə nöqtə, düz xətt və müstəvidir. Müstəvini adətən paraleloqram kimi çəkir və α, β, π hərfləri ilə işarə edirik.

Stereometriyanın aksiomları

1) Bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtədən bir və yalnız bir müstəvi keçir.2) Düz xəttin iki nöqtəsi müstəvidədirsə, onun bütün nöqtələri bu müstəvidədir.3) İki müxtəlif müstəvinin ortaq nöqtəsi varsa, onlar bu nöqtədən keçən düz xətt üzrə kəsişir.

Fəzada iki düz xətt üç cür yerləşə bilər: kəsişən (bir ortaq nöqtə), paralel (bir müstəvidə yerləşir və kəsişmir) və çarpaz (heç bir müstəvidə birlikdə yerləşmir). Çarpaz düz xətlər planimetriyada yox idi: məsələn, dirək və həyətin kənarındakı yol xətti nə kəsişir, nə də paraleldir.

Kubun tilləri üzərində üç vəziyyət: paralel, kəsişən və çarpaz düz xətlər.

Düz xətt və müstəvi də üç cür yerləşir: düz xətt müstəvidə yerləşir, müstəvini bir nöqtədə kəsir və ya müstəviyə paraleldir (ortaq nöqtəsi yoxdur). İki müstəvi ya düz xətt üzrə kəsişir, ya da paraleldir.

Nümunə 1

Kubun AB tilinə çarpaz olan neçə til var?

1. Kubun 12 tili var; AB-nin özünü çıxırıq, 11 til qalır.
2. AB-yə paralel tillər: DC, A₁B₁, D₁C₁ — 3 til.Niyə belədir?

   Kubun hər üzü kvadratdır, qarşı tərəflər paraleldir; üçüncü düz xəttə paralel olan iki düz xətt bir-birinə paraleldir.

3. AB ilə ortaq təpəsi olan (kəsişən) tillər: AD, AA₁, BC, BB₁ — 4 til.
4. Qalan tillər çarpazdır: 11 − 3 − 4 = 4.Niyə belədir?

   Bunlar CC₁, DD₁, A₁D₁, B₁C₁-dir: hər biri AB ilə nə kəsişir, nə də paraleldir.

5. Cavab: 4 til.

Özün yoxla

Fəzada 5 nöqtə verilib, onların heç dördü bir müstəvidə deyil. Hər üç nöqtədən bir müstəvi keçirilir. Neçə müxtəlif müstəvi alınır?

Hər üç nöqtə bir müstəvi verir: 5 nöqtədən 3-ü neçə üsulla seçilir?

Düz xəttin müstəviyə perpendikulyarlıq əlaməti

Düz xətt müstəvidə yerləşən iki kəsişən düz xəttə perpendikulyardırsa, o, müstəviyə perpendikulyardır (yəni müstəvidəki istənilən düz xəttə perpendikulyardır).

Hekayə

Usta dirəyin şaquli durduğunu belə yoxlayır: gönyəni dirəyin dibinə əvvəlcə bir istiqamətdə, sonra ona perpendikulyar istiqamətdə qoyur. Hər iki halda bucaq düzdürsə, əlamətə görə dirək yerin müstəvisinə perpendikulyardır. Bir istiqamətdə yoxlamaq kifayət deyil: dirək o biri tərəfə əyilmiş ola bilər.

Fəsil 2

Perpendikulyar, mail və proyeksiya

İndi ustanın sualına qayıdaq. Dirəyin ucu müstəvidən (yerdən) kənarda yerləşən nöqtədir, dirək — bu nöqtədən müstəviyə çəkilmiş perpendikulyar, troslar isə maillərdir.

Tərif

M nöqtəsindən α müstəvisinə perpendikulyar düz xətt üzrə çəkilmiş MN parçası perpendikulyar, N — onun oturacağıdır; MN-in uzunluğu M nöqtəsindən müstəviyə qədər məsafədir. M-i müstəvinin N-dən fərqli istənilən K nöqtəsi ilə birləşdirən MK parçası mail, NK parçası isə mailin proyeksiyasıdır.

MNK və MNE üçbucaqları düzbucaqlıdır: düz bucaq N-dədir.Mail, perpendikulyar və proyeksiya

MN ⊥ α olduğundan MN müstəvidəki NK düz xəttinə də perpendikulyardır, ona görə MK² = MN² + NK². Buradan: 1) perpendikulyar istənilən maildən qısadır; 2) proyeksiyaları bərabər olan maillər bərabərdir və tərsinə; 3) proyeksiyası böyük olan mail böyükdür.

mail² = perpendikulyar² + proyeksiya²

Hekayə

Hər tros maildir: perpendikulyar (dirək) 12 m, proyeksiya 5 m. Deməli, tros = √(12² + 5²) = √169 = 13 m. Proyeksiyalar bərabər olduğundan üç trosun hamısı bərabərdir və cəmi 3 · 13 = 39 m kanat lazımdır. 12 + 5 = 17 m götürmək səhvdir: mail perpendikulyar ilə proyeksiyanın cəmi deyil, onların kvadratları cəminin kvadrat köküdür.

Nümunə 2

Nöqtədən müstəviyə uzunluqları 10 və 17 olan iki mail çəkilib. Onların proyeksiyalarının fərqi 9-dur. Nöqtədən müstəviyə qədər məsafəni tapın.

1. Perpendikulyarı h, proyeksiyaları x və x + 9 ilə işarə edirik.Niyə belədir?

   Böyük maili böyük proyeksiya verir: 17-nin proyeksiyası x + 9-dur.

2. Hər mail üçün Pifaqor: h² = 10² − x², h² = 17² − (x + 9)².Niyə belədir?

   Perpendikulyar ikisi üçün ortaqdır, ona görə iki ifadəni bərabərləşdiririk.

3. 100 − x² = 289 − x² − 18x − 81, yəni 18x = 108, x = 6.
4. h = √(100 − 36) = 8. Yoxlama: 8² + 15² = 289 = 17².
5. Cavab: 8.

Özün yoxla

Nöqtədən müstəviyə çəkilmiş perpendikulyar 9, mail isə 15-dir. Mailin proyeksiyasını tapın.

proyeksiya² = mail² − perpendikulyar².

İmtahanda belə soruşulurDİM · 06.07.2025

ABCD düzbucaqlısının diaqonallarının O kəsişmə nöqtəsindən onun müstəvisinə OM perpendikulyarı qaldırılmışdır. AC = 10 və MA = 10 olarsa, ∠MCA-nı tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 50°B) 45°C) 60°D) 30°E) 65°

1. Düzbucaqlının diaqonalları bərabərdir və kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür: OA = OC = 10 : 2 = 5.
2. OM ⊥ α olduğundan MA və MC maillər, OA və OC isə onların proyeksiyalarıdır. Proyeksiyalar bərabərdir, deməli MA = MC = 10.Niyə belədir?

   Proyeksiyaları bərabər olan maillər bərabərdir — Pifaqordan: MA² = MO² + OA² = MO² + OC² = MC².

3. MAC üçbucağında MA = MC = AC = 10 — üçbucaq bərabərtərəflidir, bütün bucaqları 60°-dir.
4. Cavab: ∠MCA = 60° (C variantı).

DİM-in rəsmi izahı (06.07.2025)

Düzbucaqlının diaqonalları kəsişərək yarıya bölünür. Odur ki, OA = OC. Proyeksiyaları bərabər olan maillər bərabər olduğu üçün buradan MA=MC alarıq. Şərtə görə MA=AC=10. Deməli, MAC üçbucağı bərabərtərəflidir. Odur ki, ∠MCA = 60°.Mənbə: DİM izahı — 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

Bu fikrin ümumi forması imtahanda tez-tez lazım olur. Nöqtə çoxbucaqlının bütün təpələrindən eyni məsafədədirsə, maillər bərabərdir, deməli, proyeksiyalar da bərabərdir: perpendikulyarın oturacağı bütün təpələrdən bərabər uzaqdadır.

Təpələrdən bərabər uzaq nöqtə

Müstəvidən kənardakı nöqtə çoxbucaqlının təpələrindən bərabər məsafədədirsə, bu nöqtədən müstəviyə endirilmiş perpendikulyarın oturacağı çoxbucaqlının xaricinə çəkilmiş çevrənin mərkəzidir. Düzbucaqlı üçbucaqda bu mərkəz hipotenuzun ortasıdır.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 01.06.2025

Katetləri 8√2 sm olan bərabəryanlı düzbucaqlı ABC üçbucağının müstəvisi üzərində olmayan S nöqtəsindən üçbucağın təpələrinə qədər məsafə 10 sm olarsa, S nöqtəsindən AB hipotenuzuna qədər olan məsafəni tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 7 smB) 6 smC) 4 smD) 8 smE) 9 sm

1. S nöqtəsindən müstəviyə SO perpendikulyarını endiririk. SA = SB = SC olduğundan O — üçbucağın xaricinə çəkilmiş çevrənin mərkəzi, yəni AB hipotenuzunun ortasıdır.Niyə belədir?

   Bərabər maillərin proyeksiyaları bərabərdir: OA = OB = OC.

2. Hipotenuz: AB = 8√2 · √2 = 16 sm, deməli OB = 8 sm.Niyə belədir?

   Bərabəryanlı düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuz katetin √2 mislidir.

3. SOB düzbucaqlı üçbucağında SO = √(10² − 8²) = 6 sm. SO ⊥ α olduğundan SO ⊥ AB, O isə AB üzərindədir: S-dən AB-yə məsafə SO-dur.Niyə belədir?

   Nöqtədən düz xəttə məsafə — bu düz xəttə endirilmiş perpendikulyarın uzunluğudur.

4. Cavab: 6 sm (B variantı).

DİM-in rəsmi izahı (01.06.2025)

Məlumdur ki, çoxbucaqlının müstəvisi üzərində olmayan nöqtə onun təpələrindən bərabər məsafədədirsə, həmin nöqtədən çoxbucaqlının müstəvisinə endirilmiş perpendikulyarın oturacağı onun xaricinə çəkilmiş çevrənin mərkəzinə düşür. Deməli, O nöqtəsi ABC düzbucaqlı üçbucağının xaricinə çəkilmiş çevrənin mərkəzi, yəni AB hipotenuzunun orta nöqtəsidir. Katetləri 8√2 sm olan bərabəryanlı düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuz katetlərin √2 mislinə bərabər olduğundan AB = 8√2 · √2 = 16 sm; AO = OB = 16/2 = 8 sm. SA = SB = SC = 10 sm olduğundan SOB düzbucaqlı üçbucağında Pifaqor teoreminə görə SO = √(SB² − OB²) = √(10² − 8²) = 6 sm olar.Mənbə: DİM izahı — 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Fəsil 3

Düz xətlə müstəvi arasındakı bucaq

Hekayə

Bayram günü yarışlar günortadan sonra başladı. Günəş artıq üfüqdən 30° hündürlükdə idi və dirəyin kölgəsi meydançaya uzanırdı. Hakimlər finiş xəttini dirəkdən 20 m aralıda, kölgənin istiqamətində çəkiblər.

Fotoqraf istəyir ki, finiş edən qaçışçı dirəyin kölgəsinin içində olsun. Kölgənin ucu finiş xəttinə çatırmı?

Günəş şüası dirəyin ucundan kölgənin ucuna gedən maildir, kölgə isə onun proyeksiyasıdır.

Günəşin “hündürlüyü” — şüa ilə yerin müstəvisi arasındakı bucaqdır. Düz xətlə müstəvi arasındakı bucağı necə ölçmək olar? Müstəvidə düz xətlər çoxdur, mail onlarla müxtəlif bucaqlar əmələ gətirir. Ona görə bucaq mailin öz proyeksiyası ilə ölçülür.

Tərif

Mail ilə müstəvi arasındakı bucaq — mail ilə onun bu müstəvi üzərindəki proyeksiyası arasındakı bucaqdır. Düz xətt müstəviyə perpendikulyardırsa, bucaq 90°, müstəviyə paraleldirsə və ya onda yerləşirsə, 0° hesab olunur. Deməli, 0° ≤ φ ≤ 90°.

Bucağın sinusu və tangensi

Perpendikulyar h, mail ℓ, proyeksiya d olarsa, düzbucaqlı üçbucaqdan:

sin φ = h / ℓ,   cos φ = d / ℓ,   tg φ = h / d

Laboratoriyada h (dirəyin hündürlüyü) və d (proyeksiya) ölçülərini dəyiş. Mavi qırıq çevrə proyeksiyası d olan bütün maillərin uclarını göstərir: onlar eyni uzunluqdadır və müstəvi ilə eyni bucaq əmələ gətirir. h = 12, d = 5 ilə başla — bu, bizim trosdur.

Laboratoriya · perpendikulyar, mail və bucaqh — perpendikulyar (dirək), m12d — proyeksiya, m5Hekayə

Kölgə — günəş şüasının proyeksiyasıdır: tg 30° = 12 / kölgə, buradan kölgə = 12 / tg 30° = 12√3 ≈ 20,8 m. Deməli, kölgə finiş xəttini təxminən 0,8 m keçir və qaçışçı kölgədə olacaq. Günəş 45° hündürlükdə olsaydı, kölgə cəmi 12 m olardı.

Nümunə 3

Uzunluğu 8 olan mail müstəvi ilə 60° bucaq əmələ gətirir. Mailin proyeksiyasını və mailin ucundan müstəviyə qədər məsafəni tapın.

1. Proyeksiya bucağa bitişik katetdir: d = 8 · cos 60° = 4.Niyə belədir?

   Bucaq mail ilə proyeksiya arasındadır.

2. Məsafə bucağın qarşısındakı katetdir: h = 8 · sin 60° = 4√3.
3. Cavab: 4 və 4√3.

Özün yoxla

Uzunluğu 14 olan mail müstəvi ilə 30° bucaq əmələ gətirir. Mailin ucundan müstəviyə qədər məsafəni tapın.

30°-li bucağın qarşısındakı katet hipotenuzun yarısıdır.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 02.03.2025

Müstəvi üzərində olmayan M nöqtəsindən müstəviyə MK və ME mailləri çəkilmişdir. MN⊥NK, MN⊥NE, ∠MKN=30°, MK=6 və NE=2 olarsa, ME-ni tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 5B) 4C) √15D) √13E) 6

1. MN ⊥ NK, deməli MNK düzbucaqlı üçbucaqdır, MK — hipotenuz. MN kateti 30°-li K bucağının qarşısındadır: MN = MK : 2 = 3.Niyə belədir?

   ∠MKN — MK mailinin müstəvi ilə bucağıdır; perpendikulyar MN onun qarşısındadır.

2. MNE də düzbucaqlı üçbucaqdır (MN ⊥ NE): ME = √(MN² + NE²) = √(9 + 4) = √13.Niyə belədir?

   ME — ikinci mail, NE — onun proyeksiyası; perpendikulyar hər iki üçbucaq üçün ortaqdır.

3. Cavab: √13 (D variantı).

DİM-in rəsmi izahı (02.03.2025)

MKN üçbucağında 30°-li bucağın xassəsinə görə MN = 3 olduğunu alırıq. MNE üçbucağına Pifaqor teoremini tətbiq etməklə ME = √(MN² + NE²) = √(3² + 2²) = √13 tapırıq.Mənbə: DİM izahı — 02.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

İmtahanda belə soruşulurDİM · 05.07.2026

Müstəvi xaricindəki nöqtədən bu müstəviyə onunla 30° və 45°-li bucaq əmələ gətirən iki mail çəkilmişdir. Bu maillərin oturacaqları arasındakı məsafənin ala biləcəyi ən kiçik qiymət 8√3 − 8 olarsa, böyük mailin uzunluğunu tapın.

Müstəvi ilə kiçik bucaq əmələ gətirən mail daha uzundur.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.

1. Nöqtəni A, perpendikulyarı AD = a ilə işarə edək. 45°-li mailin proyeksiyası a, 30°-li mailinki a · ctg 30° = a√3 olur.Niyə belədir?

   45°-də düzbucaqlı üçbucaq bərabəryanlıdır; 30°-də isə perpendikulyar hipotenuzun yarısıdır, mail 2a-dır.

2. Maillərin oturacaqları D mərkəzli, radiusları a və a√3 olan çevrələr üzərindədir. Oturacaqlar arasındakı məsafə ən kiçik olur, əgər onlar D ilə bir şüa üzərindədirsə: BC = a√3 − a = a(√3 − 1).Niyə belədir?

   İki konsentrik çevrənin nöqtələri arasındakı ən kiçik məsafə radiusların fərqidir.

3. a(√3 − 1) = 8(√3 − 1), buradan a = 8. Böyük mail 30°-li maildir: AB = 2a = 16.
4. Cavab: 16.

DİM-in rəsmi izahı (05.07.2026)

Məsələdə verilənlərə əsasən müstəvi ilə 30° və 45°-li bucaq əmələ gətirən maillərin oturacaqları arasındakı məsafələrdən ən kiçiyi BC parçasının uzunluğu olur ( B, C, D, E bir düz xətt üzərindədir). ΔADC -də AD = CD = a . ΔABD -də AB = 2·AD = 2a, DB = a√3, CB = DB − DC = a√3 − a = a(√3 − 1). Beləliklə, a(√3 − 1) = 8(√3 − 1) a = 8 AB = 2·8 = 16Mənbə: DİM izahı — 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF)

Fəsil 4

Üç perpendikulyar haqqında teorem

Nöqtədən müstəvidəki düz xəttə qədər məsafəni tapmaq üçün bu düz xəttə perpendikulyar çəkmək lazımdır. Fəzada onu çəkmək çətindir, amma müstəvidə asandır. Aşağıdakı teorem işi müstəviyə köçürür.

Teorem (üç perpendikulyar haqqında)

Müstəvidə yerləşən düz xətt mailin proyeksiyasına perpendikulyardırsa, o, mailin özünə də perpendikulyardır. Tərsinə: müstəvidəki düz xətt maile perpendikulyardırsa, onun proyeksiyasına da perpendikulyardır.

Üç perpendikulyar: AO ⊥ α, OB ⊥ a və nəticədə AB ⊥ a.

Səbəbi: a düz xətti həm OB-yə, həm də AO-ya perpendikulyardır (AO bütün müstəviyə perpendikulyardır). Deməli, a AOB müstəvisinə perpendikulyardır və bu müstəvidəki AB-yə də perpendikulyardır. Praktik qayda: məsafəni tapmaq üçün əvvəlcə perpendikulyarın oturacağından həmin düz xəttə perpendikulyar çək, sonra Pifaqor teoremini tətbiq et.

Nümunə 4

Düzbucaqlı ABC üçbucağında ∠C = 90°, AC = 6, BC = 8. C təpəsindən üçbucağın müstəvisinə uzunluğu 3,6 olan CM perpendikulyarı qaldırılıb. M nöqtəsindən AB hipotenuzuna qədər məsafəni tapın.

1. Müstəvidə CH ⊥ AB çəkirik. Üç perpendikulyar teoreminə görə MH ⊥ AB, yəni axtarılan məsafə MH-dır.Niyə belədir?

   CH — MH mailinin proyeksiyasıdır və AB-yə perpendikulyardır.

2. AB = √(36 + 64) = 10, hündürlük CH = AC · BC / AB = 48 / 10 = 4,8.Niyə belədir?

   Sahəni iki cür yazırıq: AC · BC / 2 = AB · CH / 2.

3. MCH üçbucağında düz bucaq C-dədir: MH = √(3,6² + 4,8²) = √(12,96 + 23,04) = √36 = 6.
4. Cavab: 6.

Özün yoxla

ABCD kvadratının tərəfi 6-dır. A təpəsindən kvadratın müstəvisinə uzunluğu 8 olan AM perpendikulyarı qaldırılıb. M nöqtəsindən BC düz xəttinə qədər məsafəni tapın.

AB ⊥ BC, deməli MB ⊥ BC; MB = √(8² + 6²).

İmtahanda belə soruşulurDİM · 09.03.2025

İki perpendikulyar müstəvinin birindən 2 sm, digərindən isə 4 sm məsafədə yerləşən nöqtədən bu müstəvilərin kəsişmə xəttinə qədər olan məsafəni tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) √7 smB) 2,5 smC) 3,5 smD) 2√5 smE) 5√2 sm

1. A nöqtəsindən α-ya AM, β-ya AN perpendikulyarlarını endiririk: AM = 2, AN = 4. m kəsişmə xəttinin K nöqtəsini elə götürürük ki, NK ⊥ m.
2. NK — AK mailinin β üzərindəki proyeksiyasıdır; üç perpendikulyar teoreminə görə AK ⊥ m. Eyni qayda ilə MK ⊥ m.Niyə belədir?

   Deməli, AK — A nöqtəsindən m-ə qədər məsafədir.

3. MK və NK hər ikisi m-ə perpendikulyardır və müxtəlif müstəvilərdədir: ∠MKN müstəvilər arasındakı bucaqdır, yəni 90°. AMKN dördbucaqlısının dörd bucağı da düzdür — düzbucaqlıdır.Niyə belədir?

   Bu, 5-ci fəsildə öyrənəcəyimiz xətti bucaqdır.

4. AK — düzbucaqlının diaqonalıdır: AK = √(2² + 4²) = √20 = 2√5 sm.
5. Cavab: 2√5 sm (D variantı).

DİM-in rəsmi izahı (09.03.2025)

A nöqtəsindən α müstəvisinə qədər məsafə AM=2 sm, β müstəvisinə qədər məsafə isə AN= 4 sm-dir. A nöqtəsindən müstəvilərin kəsişmə xətti olan m-ə qədər məsafəni AK ilə işarə edək: AK ⊥ m. AK mail, KN-onun proyeksiyası olduğundan üç perpendikulyar teoreminə görə KN ⊥ m. Analoji qaydada göstərmək olur ki, MK ⊥ m. … ∠MKN = 90°. Onda AMKN dördbucaqlısı düzbucaqlıdır. … AK = √(2² + 4²) = √20 = 2√5 (sm)Mənbə: DİM izahı — 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

Fəsil 5

İkiüzlü bucaq və müstəvilər arasındakı bucaq

Hekayə

Finişin yanında hakimlər üçün iki yamaclı çadır qurulur. Hər yamac eni 3 m olan düzbucaqlı brezentdir, yamacların aşağı kənarları da bir-birindən 3 m aralıda bərkidilib.

Baş hakimin boyu 1,8 m-dir. Yamaclar arasındakı bucaq neçə dərəcədir və hakim çadırın ortasında başını əymədən dura bilərmi?

Çadırın iki yamacı ikiüzlü bucaq yaradır, ön üzün üçbucağı onun xətti bucağını göstərir.Tərif

Ortaq sərhəd düz xətti olan iki yarımmüstəvinin əmələ gətirdiyi fiqur ikiüzlü bucaq, yarımmüstəvilər onun üzləri, ortaq düz xətt isə tili adlanır. Tilin bir nöqtəsindən hər üzdə tilə perpendikulyar şüalar çəkək; bu şüalar arasındakı bucaq ikiüzlü bucağın xətti bucağıdır. İkiüzlü bucaq xətti bucağı ilə ölçülür.

CA ⊥ til və CB ⊥ til: ∠ACB = φ — xətti bucaq. O, C nöqtəsinin yerindən asılı deyil.Hekayə

Çadırın ön üzü tilə (çadırın beli boyunca gedən xəttə) perpendikulyardır, ona görə ön üzün üçbucağının yuxarı bucağı yamaclar arasındakı ikiüzlü bucağın xətti bucağıdır. Bu üçbucağın tərəfləri 3, 3 və 3 m-dir — bərabərtərəflidir, deməli ikiüzlü bucaq 60°-dir. Çadırın hündürlüyü bərabərtərəfli üçbucağın hündürlüyüdür: h = 3√3 / 2 ≈ 2,6 m. Hakim (1,8 m) rahat dayanacaq, başının üstündə hələ 0,8 m boşluq qalır.

Perpendikulyar müstəvilər və müstəvilər arasındakı bucaq

İkiüzlü bucaq 90°-dirsə, müstəvilər perpendikulyardır. Kəsişən iki müstəvi dörd ikiüzlü bucaq əmələ gətirir; onların kiçiyi müstəvilər arasındakı bucaq adlanır. Ona görə müstəvilər arasındakı bucaq 90°-dən böyük ola bilməz: 0° < φ ≤ 90° (ikiüzlü bucaq isə 180°-yə qədər ola bilər).

Nümunə 5

İkiüzlü bucağın bir üzündə yerləşən nöqtə tildən 12 sm, o biri üzün müstəvisindən isə 6 sm məsafədədir. İkiüzlü bucağı tapın (bucaq itidir).

1. Nöqtədən tilə AC perpendikulyarını, o biri üzün müstəvisinə AE perpendikulyarını çəkirik: AC = 12, AE = 6.
2. Üç perpendikulyar teoreminə görə EC ⊥ til, deməli ∠ACE — xətti bucaqdır.Niyə belədir?

   AC — mail, EC — onun proyeksiyası, til isə AC-yə perpendikulyardır.

3. Düzbucaqlı ACE üçbucağında sin φ = AE / AC = 6 / 12 = 1/2, deməli φ = 30°.
4. Cavab: 30°.

Özün yoxla

İkiüzlü bucaq 30°-dir. Bir üzdəki nöqtə tildən 10 sm məsafədədir. Bu nöqtədən o biri üzün müstəvisinə qədər məsafəni tapın (sm).

Məsafə = 10 · sin 30°.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 13.07.2025

Tərəfləri 4 sm və 8 sm olan bərabəryanlı ABC üçbucağının BC oturacağından keçən α müstəvisi bu üçbucağın müstəvisi ilə 30°-li bucaq əmələ gətirir. A təpəsindən α müstəvisinə qədər olan məsafəni tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) √19 smB) √12 smC) √7 smD) √11 smE) √15 sm

1. Tərəflər 4 və 8 sm-dir. Yan tərəflər 4 sm olsaydı, 4 + 4 = 8 olardı və üçbucaq mövcud olmazdı. Deməli, AB = AC = 8, BC = 4.Niyə belədir?

   Üçbucaq bərabərsizliyi: hər tərəf digər ikisinin cəmindən kiçik olmalıdır.

2. AD — BC-yə hündürlük və median: BD = 2, AD = √(8² − 2²) = √60 = 2√15.
3. AE ⊥ α. Üç perpendikulyar teoreminə görə ED ⊥ BC, deməli ∠ADE — müstəvilər arasındakı bucağın xətti bucağıdır: ∠ADE = 30°.Niyə belədir?

   AD ⊥ BC (üçbucağın müstəvisində), ED ⊥ BC (α müstəvisində), D isə tilin (BC) nöqtəsidir.

4. AE kateti 30°-li bucağın qarşısındadır: AE = AD : 2 = √15.
5. Cavab: √15 sm (E variantı).

DİM-in rəsmi izahı (13.07.2025)

Üçbucaq bərabərsizliyinə əsasən AB=AC=8 sm, BC=4 sm olur. AE isə A nöqtəsindən α müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyar, AD isə bərabəryanlı ABC üçbucağının BC oturacağına çəkilmiş hündürlük olsun. Onda BD=DC=2 sm. Pifaqor teoreminə əsasən AD = √(AC² − DC²); AD = √(8² − 2²) = √60 = 2√15. AED düzbucaqlı üçbucağında AE kateti 30°-li bucağın qarşısında olduğu üçün AE = AD/2 = 2√15/2 = √15Mənbə: DİM izahı — 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Məşq

İmtahan tapşırıqları ilə məşq

DİM · 25.05.2025

Müstəvidən 8 dm məsafədə olan nöqtədən müstəviyə uzunluğu 16 dm olan mail çəkilmişdir. Perpendikulyarın mail üzərindəki proyeksiyasını tapın.

A) 4 dmB) 6 dmC) 8 dmD) 10 dmE) 5 dmCavab və DİM izahı

Cavab: 4 dm (A variantı).

Müstəviyə endirilmiş BC perpendikulyarının uzunluğu 8 dm, BA mailinin uzunluğu 16 dm olduğundan məlum teoremə görə ACB düzbucaqlı üçbucağında ∠BAC = 30⁰ olacaqdır. BC perpendikulyarının mail üzərində proyeksiyasının tapılması üçün C nöqtəsindən BA mailinə CD perpendikulyarı endirmək lazımdır. I üsul: Bu zaman alınan BDC üçbucağı BCA üçbucağına oxşar olacaqdır. Əvvəlki üçbucaqda olduğu kimi, BDC üçbucağında da 30⁰-lik bucağın qarşısındakı katet hipotenuzun yarısına bərabərdir, deməli BD = (1/2)BC … II üsul: BCA düzbucaqlı üçbucağında CD perpendikulyarı endirildikdən sonra metrik münasibətlərə istinad edərək yazmaq olar ki, BC² = BA·BD → 8² = 16·BD → BD = 4 …Mənbə: DİM izahı — 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 12.07.2026

İti bucağı ∠A=α olan düzbucaqlı ABC üçbucağının AB hipotenuzu BC katetindən keçən müstəvi ilə β bucağı əmələ gətirir. AC katetinin bu müstəvi ilə əmələ gətirdiyi bucağın sinusunu tapın.

A) sinα·cosβB) sinα·sinβC) sinβ/cosαD) cosα·cosβE) cosα/sinβCavab və DİM izahı

Cavab: sinβ/cosα (C variantı).

Sadəlik üçün düzbucaqlı ABC üçbucağının AB hipotenuzunun uzunluğunu AB = c ilə işarə edək. Üçbucağın A təpə nöqtəsindən, BC katetindən keçən müstəviyə AD perpendikulyarı endirək. AC katetinin BC katetindən keçən müstəvi ilə əmələ gətirdiyi bucağı γ ilə işarə edək. Onda düzbucaqlı ABD üçbucağından AD = c sinβ, düzbucaqlı ABC üçbucağından isə AC = c cosα olduğunu yaza bilərik. Düzbucaqlı ACD üçbucağından isə AC katetinin BC katetindən keçən müstəvi ilə əmələ gətirdiyi bucağın sinusu sin γ = AD/AC = c sinβ/(c cosα) = sinβ/cosα olacaqdır.Mənbə: DİM izahı — 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 07.06.2026

İkiüzlü bucağın müxtəlif üzlərində yerləşən A və B nöqtələrindən onun tilinə qədər olan AC və BC məsafələri üçün AC=BC=AB olarsa, ikiüzlü bucağın qiymətini tapın.

A) 90°B) 45°C) 60°D) 75°E) 30°Cavab və DİM izahı

Cavab: 60° (C variantı).

△ABC bərabərtərəfli olduğu üçün ∠C = 60°. Digər tərəfdən ∠BCA ikiüzlü bucağın xətti bucağıdır.Deməli, ikiüzlü bucağın dərəcə ölçüsü 60-dır.Mənbə: DİM izahı — 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 24.05.2026

Hansılar kəsişən iki müstəvi arasındakı bucağın dərəcə ölçüsü ola bilməz? I. 96° II. 84° III. 64° IV. 116° V. 100°

A) I, IV və VB) I, III və VC) II, IV və VD) I, II və IIIE) II, III və IVCavab və DİM izahı

Cavab: I, IV və V (A variantı).

Kəsişən iki müstəvi arasındakı bucaq onların kəsişməsi zamanı alınan ikiüzlü bucaqların qiymətcə kiçiyi götürüldüyündən, onun dərəcə ölçüsü 90°-dən böyük ola bilməz. Deməli, 96°, 116°, 100° ola bilməz.Mənbə: DİM izahı — 24.05.2026, II ixtisas qrupu (PDF)

Yekun

Yadda saxla

• Fəzada iki düz xətt kəsişir, paraleldir və ya çarpazdır (bir müstəvidə yerləşmir).
• Düz xətt müstəvidəki iki kəsişən düz xəttə perpendikulyardırsa, müstəviyə perpendikulyardır.
• mail² = perpendikulyar² + proyeksiya²; proyeksiyaları bərabər olan maillər bərabərdir.
• Təpələrdən bərabər uzaq nöqtənin proyeksiyası — xaricə çəkilmiş çevrənin mərkəzi (düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzun ortası).
• Mail ilə müstəvi arasındakı bucaq — mail ilə proyeksiya arasındakı bucaqdır: sin φ = h / ℓ.
• Üç perpendikulyar: müstəvidəki düz xətt proyeksiyaya perpendikulyardırsa, maile də perpendikulyardır (və tərsinə).
• İkiüzlü bucaq xətti bucağı ilə ölçülür: tilin bir nöqtəsindən hər üzdə tilə perpendikulyar şüalar.
• Müstəvilər arasındakı bucaq: 0° < φ ≤ 90°.

Tipik səhvlər

“Mail = perpendikulyar + proyeksiya”

Onlar düzbucaqlı üçbucaq yaradır: kvadratlar toplanır. Dirək 12 m, proyeksiya 5 m olanda tros 13 m-dir, 17 m yox.

“Mailin müstəvi ilə bucağı — mail ilə müstəvidəki istənilən düz xətt arasındakı bucaqdır”

Bucaq yalnız mailin öz proyeksiyası ilə ölçülür; bu, mailin müstəvidəki düz xətlərlə əmələ gətirdiyi bucaqların ən kiçiyidir.

“Kəsişən müstəvilər arasındakı bucaq 116° ola bilər”

Müstəvilər arasındakı bucaq kimi ikiüzlü bucaqların kiçiyi götürülür, o, 90°-dən böyük olmur. İkiüzlü bucağın özü isə küt ola bilər.

“Xətti bucaq — üzlərdə çəkilmiş istənilən iki şüa arasındakı bucaqdır”

Şüalar tilin eyni nöqtəsindən çıxmalı və hər biri tilə perpendikulyar olmalıdır.

Yekun

Müstəqil iş

Tapşırıqlar asandan çətinə düzülüb. Əvvəl özün həll et, sonra variantı seç; izah cavabdan sonra açılır.

1 · 1-ci səviyyə

Nöqtədən müstəviyə çəkilmiş perpendikulyar 8, mail 17-dir. Mailin proyeksiyası:

√(17² − 8²) = √225 = 15.

2 · 1-ci səviyyə

Hansı kəsişən iki müstəvi arasındakı bucaq ola bilər?

Müstəvilər arasındakı bucaq 90°-dən böyük olmur.

3 · 2-ci səviyyə

Uzunluğu 10 olan mail müstəvi ilə 45° bucaq əmələ gətirir. Mailin ucundan müstəviyə qədər məsafə:

10 · sin 45° = 5√2.

4 · 2-ci səviyyə

Nöqtədən iki perpendikulyar müstəviyə qədər məsafələr 9 və 12-dir. Nöqtədən onların kəsişmə xəttinə qədər məsafə:

Perpendikulyarlar düzbucaqlı yaradır, məsafə onun diaqonalıdır: √(81 + 144) = 15.

5 · DİM səviyyəsi

Nöqtə katetləri 6 və 8 olan düzbucaqlı üçbucağın təpələrindən 13 məsafədədir. Nöqtədən üçbucağın müstəvisinə qədər məsafə:

Proyeksiya — hipotenuzun ortası, R = 10 : 2 = 5; √(169 − 25) = 12.

6 · DİM səviyyəsi

Nöqtədən müstəviyə uzunluqları 13 və 15 olan iki mail çəkilib, onların proyeksiyaları 5 : 9 nisbətindədir. Nöqtədən müstəviyə qədər məsafə:

169 − 25k² = 225 − 81k² → k = 1; proyeksiyalar 5 və 9, h = √(169 − 25) = 12.

İmtahan tapşırıqları və rəsmi izahlar — DİM:

1. 02.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF) — Fəzada düz xətlər və müstəvilər (A variantı, 63; B-65, C-67, D-61)
2. 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF) — Fəzada düz xətlər və müstəvilər (A variantı, 67; B-69, C-68, D-63)
3. 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — Fəzada düz xətlər və müstəvilər (A variantı, 11; B-21, C-18, D-3)
4. 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Fəzada düz xətlər və müstəvilər (A variantı, 12; B-15, C-11, D-10)
5. 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — Fəzada düz xətlər və müstəvilər (A variantı, 9; B-11, C-9, D-16)
6. 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Fəzada düz xətlər və müstəvilər (A variantı, 16; B-14, C-11, D-15)
7. 24.05.2026, II ixtisas qrupu (PDF) — Fəzada düz xətlər və müstəvilər (A variantı, 21; B-20, C-21, D-17)
8. 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Fəzada düz xətlər və müstəvilər (A variantı, 22; B-17, C-16, D-5)
9. 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF) — Fəzada düz xətlər v ə müstəvilər (A variantı, 25; B-23, C-26, D-24)
10. 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Fəzada düz xətlər və müstəvilər (A variantı, 7; B-8, C-14, D-5)

Hekayə, səhnələr, nümunələr, “Özün yoxla” və “Müstəqil iş” tapşırıqları bizimdir, DİM-ə aid deyil. DİM tapşırıqları və izahları mənbədəki kimi verilib; “…” işarəsi buraxılmış hissəni göstərir.