ВойтиЗарегистрироваться
Регистрация

Тригонометрические функции: четверти, формулы приведения, основные тождества

МатематикаТригонометрия

Текст урока
Тригонометрия · Тема 24 / 46

Тригонометрические функции: четверти, формулы приведения, основные тождества

Этот урок пройдём через историю: ученик с семьёй катается на колесе обозрения в парке. Простые вопросы о высоте кабинки приведут нас к синусу и косинусу любого угла, знакам по четвертям, основным тождествам и формулам приведения.

≈ 45 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 6материал 10 класса

После урока ты сможешь

  • переводить градусы в радианы и обратно, определять синус и косинус любого угла по единичной окружности;
  • находить знак тригонометрической функции по четверти угла;
  • находить по одной функции остальные с помощью основных тождеств и упрощать выражения;
  • сводить любой угол к острому по формулам приведения;
  • находить наименьшее и наибольшее значение тригонометрического выражения.

Перед началом вспомни

  • Синус и косинус острого угла: отношение противолежащего (прилежащего) катета к гипотенузе.
  • Теорема Пифагора: a² + b² = c².
  • Отношения сторон в прямоугольных треугольниках с углами 30°, 45°, 60°.

Содержание

  1. ВведениеСитуация: на какой высоте сейчас кабинка?история и предположение
  2. Глава 1Единичная окружность: синус и косинус любого угларадианы · единичная окружность · таблица · ДИМ 09.03.2026
  3. Глава 2Знаки по четвертямзнаки · периодичность · ДИМ 15.03.2026
  4. Глава 3Основные тригонометрические тождестваsin²α + cos²α = 1 · ДИМ 09.03.2025
  5. Глава 4Формулы приведенияповорот на 90° · название и знак · ДИМ 02.03.2025, 19.04.2026
  6. Глава 5Множество значений: наименьшее и наибольшее значение−1 ≤ sin α ≤ 1 · ДИМ 24.05.2026
  7. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
  8. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным
Введение

Ситуация: на какой высоте сейчас кабинка?

История

В воскресенье ученик с семьёй идёт в парк и садится на колесо обозрения. Радиус колеса 20 м, его ось находится на высоте 22 м над землёй. Колесо вращается равномерно, против часовой стрелки, и делает полный оборот за 24 минуты.

Ученик включает секундомер, когда кабинка находится справа от оси на одном уровне с ней. Через 14 минут кабинка повернётся от начального положения на 360° · 14/24 = 210°. Вопрос: на какой высоте над землёй она теперь находится?

Кабинка повернулась от старта на 210°: она сейчас ниже оси или выше?Сначала предположи

Как ты думаешь, на какой высоте над землёй кабинка? Выбери ответ — посчитаем вместе во 2-й главе.

Глава 1

Единичная окружность: синус и косинус любого угла

В прямоугольном треугольнике синус и косинус определены только для острого угла: отношение противолежащего (прилежащего) катета к гипотенузе. Но угол 210° не может быть углом прямоугольного треугольника, а колесо обозрения поворачивается и на 210°, и на 300°, и даже на 500°. Поэтому расширим определение синуса и косинуса с помощью окружности.

Градусы и радианы

Радианная мера угла: центральный угол, опирающийся на дугу длиной в радиус, равен 1 радиану. Длина окружности равна 2πR, поэтому 360° = 2π, т. е. 180° = π. Отсюда:

αrad = α° · π/180,   α° = αrad · 180/π

Например, 30° = π/6, 210° = 210 · π/180 = 7π/6, 3π/4 = 3 · 180°/4 = 135°. В записи угла в радианах слово «рад» обычно опускают: sin(π/6) означает sin 30°.

Проверь себя

Сколько градусов в угле 5π/6?

Подставь 180° вместо π: 5 · 180° : 6.

Определение

Окружность радиуса 1 с центром в начале координат называется единичной. Повернём точку P₀(1; 0) вокруг центра O на угол α (при α > 0 — против часовой стрелки, при α < 0 — по часовой). Ордината полученной точки P(x; y) называется синусом угла α, а абсцисса — его косинусом:

sin α = y,   cos α = x,   tg α = sin α / cos α,   ctg α = cos α / sin α

При α = 125° точка P лежит во II четверти: x < 0, y > 0, т. е. cos α < 0, sin α > 0.

Для острого угла это определение совпадает со старым: O, P и проекция P на ось Ox образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой 1 и катетами x и y. tg α имеет смысл только при cos α ≠ 0 (т. е. α ≠ 90° + 180°·k), а ctg α — при sin α ≠ 0 (α ≠ 180°·k). Так как P лежит на окружности, −1 ≤ sin α ≤ 1 и −1 ≤ cos α ≤ 1.

Радиус колеса обозрения не 1, а 20 м. Тогда координаты кабинки относительно оси равны (20 cos α; 20 sin α), а её высота над землёй — h = 22 + 20 sin α. Значит, все вопросы о колесе сводятся к синусу и косинусу угла α. В лаборатории меняй угол и следи за координатами точки: при каких углах синус отрицателен?

Лаборатория · меняй угол: точка на единичной окружностиугол α30°

Значения тригонометрических функций некоторых углов нужно знать наизусть — они получаются из прямоугольных треугольников с углами 30°, 45° и 60°. Обрати внимание на закономерность: строка синусов, прочитанная слева направо, совпадает со строкой косинусов, прочитанной справа налево. Например, sin 60° = cos 30° = √3/2.

α0°30°45°60°90°
радианы0π/6π/4π/3π/2
sin α01/2√2/2√3/21
cos α1√3/2√2/21/20
tg α0√3/31√3—
ctg α—√31√3/30

Значения для углов на осях читай прямо по окружности: 90° — точка (0; 1), 180° — (−1; 0), 270° — (0; −1). Значит, sin 90° = 1, cos 180° = −1, sin 270° = −1, cos 270° = 0.

Пример 1

Найдите значение выражения 6 sin 30° − 2 cos²45° + tg²60°.

  1. По таблице: sin 30° = 1/2, cos 45° = √2/2, tg 60° = √3.
  2. Квадраты: cos²45° = 2/4 = 1/2, tg²60° = 3.Почему так?

    Запись cos²45° означает (cos 45°)²: сначала косинус, потом квадрат.

  3. 6 · 1/2 − 2 · 1/2 + 3 = 3 − 1 + 3 = 5.
  4. Ответ: 5.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2026

Найдите значение выражения sin60° − cos30°.

A) 1B) √3/2C) (1 − √3)/2D) 0E) 1/2
  1. По таблице: sin 60° = √3/2 и cos 30° = √3/2.Почему так?

    Углы 60° и 30° дополняют друг друга до 90°: в прямоугольном треугольнике с углом 30° противолежащий катет угла 60° — прилежащий катет угла 30°.

  2. √3/2 − √3/2 = 0.
  3. Ответ: 0 (вариант D).
Официальное пояснение ДИМ (09.03.2026)
sin60° − cos30° = √3/2 − √3/2 = 0Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)
Проверь себя

Найдите значение выражения sin 90° + cos 180° + tg 45°.

Точки: 90° → (0; 1), 180° → (−1; 0); tg 45° = 1.

Глава 2

Знаки по четвертям

Оси координат делят единичную окружность на четыре части — четверти: I четверть (0°; 90°), II — (90°; 180°), III — (180°; 270°), IV — (270°; 360°). Синус — ордината точки, поэтому имеет знак ординаты, косинус — знак абсциссы. Знак тангенса и котангенса — «произведение» знаков синуса и косинуса.

Для запоминания: в I четверти все положительны, во II — только синус, в III — только тангенс (и котангенс), в IV — только косинус.Периодичность

Полный оборот (360°) возвращает точку на место, поэтому для любого целого k:

sin(α + 360°·k) = sin α,   cos(α + 360°·k) = cos α

Чтобы найти четверть большого или отрицательного угла, прибавь (или вычти) подходящее кратное 360°, чтобы угол попал в промежуток от 0° до 360°. Например, 500° = 140° + 360° — II четверть; −30° = 330° − 360° — IV четверть. У тангенса и котангенса период короче: tg(α + 180°) = tg α.

Вернёмся к колесу. 210° = 180° + 30°: кабинка прошла пол-оборота и ещё 30°. Точка, соответствующая 210°, симметрична точке для 30° относительно центра, поэтому обе её координаты меняют знак: sin 210° = −sin 30° = −1/2.

История

210° — угол III четверти, где синус отрицателен: кабинка ниже оси. Высота: h = 22 + 20 · sin 210° = 22 + 20 · (−1/2) = 22 − 10 = 12 м. Ответ 32 м получается, если забыть про знак: он соответствует повороту на 150° (sin 150° = +1/2).

Пример 2

Определите знак произведения sin 200° · cos 300° · tg 100°.

  1. 200° — III четверть, синус там отрицателен: sin 200° < 0.
  2. 300° — IV четверть, косинус там положителен: cos 300° > 0.
  3. 100° — II четверть, тангенс там отрицателен: tg 100° < 0.Почему так?

    Во II четверти sin > 0, cos < 0, их отношение отрицательно.

  4. Знаки: (−) · (+) · (−) = (+).
  5. Ответ: произведение положительно.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 15.03.2026

Определите знаки чисел a=cos271° и b=tan(−187°).

tan — другое обозначение tg.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) a>0, b<0B) a<0, b>0C) a>0, b>0D) a<0, b<0E) a<0, b=0
  1. 270° < 271° < 360°, значит 271° — угол IV четверти. В IV четверти косинус положителен: a = cos 271° > 0.Почему так?

    В IV четверти абсцисса точки положительна, а косинус — это абсцисса.

  2. К отрицательному углу прибавляем 360°: −187° + 360° = 173°. Это угол II четверти.Почему так?

    Полный оборот возвращает точку на место, поэтому углам −187° и 173° соответствует одна и та же точка окружности.

  3. Во II четверти тангенс отрицателен: b = tg(−187°) < 0.
  4. Ответ: a > 0, b < 0 (вариант A).
Официальное пояснение ДИМ (15.03.2026)
a=cos271°, b=tan(−187°). Так как 271° — угол четвёртой четверти, a = cos271° > 0. Так как −187° — угол второй четверти, b = tan(−187°) < 0.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)
Проверь себя

В какой четверти лежит угол 1000°? Запиши номер четверти цифрой.

1000° − 2 · 360° = 280°.

Глава 3

Основные тригонометрические тождества

История

На втором обороте кабинка снова поднимается. Отец, стоящий внизу на аллее, видит, что кабинка точно над фонарём. Он знает, что фонарь стоит на 12 м левее вертикали, проходящей через ось колеса.

Кабинка в верхней половине колеса. Отец спрашивает по телефону: «На какой вы сейчас высоте?» Можно ли ответить, не зная угла?

Кабинка на 12 м левее оси и в верхней половине. Радиус 20 м.

Точка P(cos α; sin α) лежит на единичной окружности, т. е. находится на расстоянии 1 от центра. По теореме Пифагора x² + y² = 1, значит, синус и косинус связаны: зная один, найдём другой с точностью до знака.

Основное тригонометрическое тождество

Для любого α:

sin²α + cos²α = 1

Разделив обе части тождества на cos²α (cos α ≠ 0), получаем остальные тождества:

Следствия

tg α · ctg α = 1,   1 + tg²α = 1/cos²α,   1 + ctg²α = 1/sin²α

История

Абсцисса кабинки относительно оси равна 20 cos α = −12 (слева — минус). Тогда cos α = −0,6. Из тождества: sin²α = 1 − 0,36 = 0,64. Кабинка в верхней половине, значит sin α = +0,8. Высота: h = 22 + 20 · 0,8 = 38 м. Отец получил ответ, не зная угла: кабинка на высоте 38 м.

Обрати внимание: уравнение sin²α = 0,64 имеет два решения — ±0,8. Знак выбирается по условию (по четверти). Будь кабинка в нижней половине, было бы sin α = −0,8, а высота — 22 − 16 = 6 м.

Пример 3

sin α = 3/5, α — угол II четверти. Найдите cos α и tg α.

  1. cos²α = 1 − sin²α = 1 − 9/25 = 16/25.
  2. Во II четверти косинус отрицателен: cos α = −4/5.Почему так?

    Извлечение корня даёт два значения, ±4/5; четверть выбирает одно из них.

  3. tg α = sin α / cos α = (3/5) : (−4/5) = −3/4.
  4. Ответ: cos α = −4/5, tg α = −3/4.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2025

Упростите выражение 4sin²α − (tan²α + 1)·cos²α + 4cos²α.

  1. Заменяем выражение в скобках по тождеству: tg²α + 1 = 1/cos²α, поэтому (tg²α + 1)·cos²α = 1.Почему так?

    Это верно при cos α ≠ 0 — только тогда tg α имеет смысл.

  2. Группируем остальные члены: 4sin²α + 4cos²α = 4(sin²α + cos²α) = 4.Почему так?

    Выносим общий множитель 4 за скобки, в скобках остаётся основное тождество.

  3. 4 − 1 = 3.
  4. Ответ: 3.
Официальное пояснение ДИМ (09.03.2025)
4sin²α − (tan²α + 1)·cos²α + 4cos²α == 4sin²α + 4cos²α − (1/cos²α)·cos²α == 4(sin²α + cos²α) − 1 = 4 − 1 = 3Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)
Проверь себя

cos α = 5/13, α — угол IV четверти. Найдите tg α (десятичной дробью).

sin²α = 1 − 25/169 = 144/169; в IV четверти sin α < 0.

Глава 4

Формулы приведения

История

Сестра ученика с друзьями села в одну из соседних кабинок: её кабинка ровно на 90° впереди. В какой-то момент ученик измеряет, что его кабинка на 18,8 м правее вертикали через ось и немного выше оси.

Сестра спрашивает: «А мы насколько выше оси?» Ученик отвечает без всяких вычислений. Как?

Две кабинки отстоят на 90°: два цветных треугольника — копии друг друга, повёрнутые на 90°.

Повернём точку P(x; y) вокруг центра на 90°. Прямоугольный треугольник тоже поворачивается на 90°: горизонтальный катет становится вертикальным, вертикальный — горизонтальным. Поэтому новая точка — Q(−y; x). Отсюда sin(α + 90°) = cos α, cos(α + 90°) = −sin α.

Красный треугольник поворотом на 90° переходит в синий: катеты x и y меняются местами.История

Насколько кабинка сестры выше оси, настолько кабинка ученика правее оси: 20 sin(α + 90°) = 20 cos α. Значит, сестра на 18,8 м выше оси, а над землёй — на высоте 22 + 18,8 = 40,8 м.

Такие формулы называются формулами приведения: они сводят функцию угла вида 90° ± α, 180° ± α, 270° ± α, 360° ± α к функции острого угла α. Для отрицательного угла точка отражается симметрично относительно оси Ox: sin(−α) = −sin α, cos(−α) = cos α, tg(−α) = −tg α.

Правило приведения

1) Если угол имеет вид 90° ± α или 270° ± α, название функции меняется: sin ↔ cos, tg ↔ ctg; если 180° ± α или 360° ± α — не меняется.2) Знак: считай α острым углом, найди четверть данного угла и поставь знак исходной функции в этой четверти.

Например, sin(270° − α) = −cos α: 270° меняет название, 270° − α лежит в III четверти, где синус отрицателен. И cos(180° − α) = −cos α: 180° сохраняет название, 180° − α лежит во II четверти, где косинус отрицателен.

Пример 4

Найдите значение выражения sin 150° + cos 300° + tg 225°.

  1. sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2: II четверть, синус положителен.Почему так?

    180° не меняет название функции.

  2. cos 300° = cos(360° − 60°) = cos 60° = 1/2: IV четверть, косинус положителен.
  3. tg 225° = tg(180° + 45°) = tg 45° = 1: III четверть, тангенс положителен.
  4. 1/2 + 1/2 + 1 = 2.
  5. Ответ: 2.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 02.03.2025

Вычислите значение выражения 10sin30° + sin231° + cos39° − tan45°.

  1. Табличные значения: 10 sin 30° = 10 · 1/2 = 5, tg 45° = 1.
  2. Записываем 231° = 270° − 39°. 270° меняет название функции, а 231° лежит в III четверти, где синус отрицателен: sin 231° = −cos 39°.Почему так?

    Значения cos 39° мы не знаем, но в выражении уже есть cos 39° — приведение позволяет его сократить.

  3. 5 − cos 39° + cos 39° − 1 = 4.
  4. Ответ: 4.
Официальное пояснение ДИМ (02.03.2025)
10sin30° + sin231° + cos39° − tan45° == 10·(1/2) + sin(270° − 39°) + cos39° − 1 == 5 − cos39° + cos39° − 1 = 4Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 19.04.2026

Вычислите значение выражения sin²15° + sin²35° + sin²55° + sin²75°.

  1. Так как 55° = 90° − 35° и 75° = 90° − 15°, имеем sin 55° = cos 35°, sin 75° = cos 15°.Почему так?

    90° меняет название; 90° − α лежит в I четверти, где синус положителен.

  2. Группируем: (sin²15° + cos²15°) + (sin²35° + cos²35°).Почему так?

    Каждая скобка — основное тождество.

  3. 1 + 1 = 2.
  4. Ответ: 2.
Официальное пояснение ДИМ (19.04.2026)
Здесь используются формула приведения sin(90° − α) = cosα и тождество sin²α + cos²α = 1. sin²15° + sin²35° + sin²55° + sin²75° = = sin²15° + sin²35° + sin²(90° − 35°) + sin²(90° − 15°) = = sin²15° + sin²35° + cos²35° + cos²15° = = (sin²15° + cos²15°) + (sin²35° + cos²35°) = 1 + 1 = 2Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)
Проверь себя

Найдите значение произведения sin 120° · cos 150° (десятичной дробью).

sin 120° = sin 60° = √3/2, cos 150° = −cos 30° = −√3/2.

Глава 5

Множество значений: наименьшее и наибольшее значение

Координаты точки единичной окружности лежат между −1 и 1. Поэтому синус и косинус принимают значения только из отрезка [−1; 1], а тангенс и котангенс могут равняться любому действительному числу.

Ограниченность

−1 ≤ sin α ≤ 1,   −1 ≤ cos α ≤ 1

История

На какой высоте кабинка в самой нижней и самой верхней точке? Так как −1 ≤ sin α ≤ 1, получаем 22 − 20 ≤ 22 + 20 sin α ≤ 22 + 20, т. е. 2 м ≤ h ≤ 42 м. Нижняя точка (2 м) — посадочная площадка, верхняя (42 м) достигается при α = 90°.

Если угол меняется в ограниченном промежутке, множество значений тоже сужается. Например, при α ∈ [0; π/2] точка движется только по I четверти, и 0 ≤ sin α ≤ 1, 0 ≤ cos α ≤ 1.

Пример 5

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = 3 − 2 cos α.

  1. −1 ≤ cos α ≤ 1.
  2. Умножаем на −2, знак неравенства меняется: −2 ≤ −2 cos α ≤ 2.Почему так?

    При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

  3. Прибавляем 3: 1 ≤ 3 − 2 cos α ≤ 5.
  4. Ответ: наименьшее значение 1 (cos α = 1), наибольшее 5 (cos α = −1).
Пример 6

Найдите множество значений выражения sin α + cos α при α ∈ [0; π/2].

  1. Возводим в квадрат: (sin α + cos α)² = sin²α + cos²α + 2 sin α cos α = 1 + 2 sin α cos α.Почему так?

    В I четверти sin α ≥ 0 и cos α ≥ 0, поэтому сумма неотрицательна и её можно восстановить по квадрату.

  2. Нижняя граница: 2 sin α cos α ≥ 0, поэтому квадрат ≥ 1, сумма ≥ 1 (равенство при α = 0 и α = π/2).
  3. Верхняя граница: (sin α − cos α)² ≥ 0, т. е. 2 sin α cos α ≤ 1. Тогда квадрат ≤ 2, сумма ≤ √2 (равенство при sin α = cos α, α = π/4).Почему так?

    Раскрываем: sin²α − 2 sin α cos α + cos²α = 1 − 2 sin α cos α ≥ 0.

  4. Ответ: 1 ≤ sin α + cos α ≤ √2.

На следующем уроке покажем это короче с помощью формулы сложения: sin α + cos α = √2 sin(α + π/4). Так рассуждает и пояснение ДИМ.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 24.05.2026

Если α ∈ [0; π/2], установите соответствие. 1. a = sin α + 2 2. a = cos α − 1 3. a = sin α + cos α — a. наибольшее = √2 b. наибольшее = 3 c. наименьшее = −1 d. наименьшее = 0 e. наименьшее = 2

В оригинале использованы сокращения азербайджанских терминов «наименьшее значение» и «наибольшее значение».

  1. При α ∈ [0; π/2] имеем 0 ≤ sin α ≤ 1 и 0 ≤ cos α ≤ 1.
  2. 1) 2 ≤ sin α + 2 ≤ 3: наименьшее значение 2 (e), наибольшее 3 (b).
  3. 2) −1 ≤ cos α − 1 ≤ 0: наименьшее значение −1 (c). Наибольшее равно 0, но пункта «наибольшее = 0» в списке нет; пункт d (наименьшее = 0) не подходит ни к одной функции.Почему так?

    В заданиях на соответствие один лишний пункт — обычное дело.

  4. 3) По примеру выше 1 ≤ sin α + cos α ≤ √2: наибольшее значение √2 (a).
  5. Ответ: 1 – b, e; 2 – c; 3 – a.
Официальное пояснение ДИМ (24.05.2026)
При α ∈ [0; π/2] 1) 0 ≤ sin α ≤ 1, 2 ≤ sin α + 2 ≤ 3; 2) 0 ≤ cos α ≤ 1, −1 ≤ cos α − 1 ≤ 0; 3) так как sin α + cos α = √2 sin(α + π/4), то 1 ≤ sin α + cos α ≤ √2. Определив для каждой функции наименьшее и наибольшее значения, получим: 1. a = sin α + 2: наименьшее = 2 и наибольшее = 3 2. a = cos α − 1: наименьшее = −1 и наибольшее = 0 3. a = sin α + cos α: наименьшее = 1 и наибольшее = √2Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Найдите наименьшее значение функции y = 4 sin α − 1.

При sin α = −1.

Итоги

Запомни

  • 180° = π; для точки P(x; y) единичной окружности cos α = x, sin α = y.
  • tg α = sin α / cos α, ctg α = cos α / sin α; −1 ≤ sin α ≤ 1, −1 ≤ cos α ≤ 1.
  • Знаки: в I четверти все +, во II — sin +, в III — tg и ctg +, в IV — cos +.
  • Периодичность: sin(α + 360°k) = sin α; к отрицательному углу прибавь 360°.
  • Тождества: sin²α + cos²α = 1, 1 + tg²α = 1/cos²α, 1 + ctg²α = 1/sin²α.
  • Приведение: 90° и 270° меняют название, 180° и 360° сохраняют; знак — знак исходной функции в четверти. Напр., sin(270° − α) = −cos α.
  • Чётность: cos(−α) = cos α, sin(−α) = −sin α.
  • При α ∈ [0; π/2]1 ≤ sin α + cos α ≤ √2.

Типичные ошибки

«sin(270° − α) = cos α»

270° − α — угол III четверти, где синус отрицателен: sin(270° − α) = −cos α.

«−187° — угол IV четверти»

Отрицательный угол откладывается по часовой стрелке: −187° = 173° − 360°, т. е. II четверть.

«1 + tg²α = 1/sin²α»

1 + tg²α = 1/cos²α, а 1/sin²α равно 1 + ctg²α.

«Если sin α = 0,8, то cos α = 0,6»

cos α = ±0,6: знак определяет четверть. Во II четверти cos α = −0,6.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Значение выражения cos 60° + sin 30°:

1/2 + 1/2 = 1.

2 · Уровень 1

Какое из чисел отрицательно?

200° — угол III четверти, где синус отрицателен; остальные положительны.

3 · Уровень 2

cos α = −0,8, α — угол II четверти. tg α:

sin α = +0,6 (II четверть), tg α = 0,6 : (−0,8) = −3/4.

4 · Уровень 2

Значение выражения cos²20° + cos²70°:

cos 70° = sin 20°: cos²20° + sin²20° = 1.

5 · Уровень ДИМ

Значение выражения 2 sin²15° + 2 sin²75° + tg 45°:

sin 75° = cos 15°: 2(sin²15° + cos²15°) + 1 = 3.

6 · Уровень ДИМ

Наименьшее значение функции y = 5 − 3 sin²α:

0 ≤ sin²α ≤ 1, поэтому 2 ≤ y ≤ 5.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

  1. 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 74; B-77, C-78, D-76
  2. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 74; B-76, C-75, D-74
  3. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 73; B-71, C-66, D-70
  4. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 67; B-63, C-73, D-67
  5. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 75; B-75, C-75, D-75
  6. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 27; B-27, C-27, D-27

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.

Похожие уроки

Все уроки