ВойтиЗарегистрироваться
Регистрация

Тригонометрические уравнения и обратные тригонометрические функции

МатематикаТригонометрия

Текст урока
Тригонометрия · Тема 26 / 46

Тригонометрические уравнения и обратные тригонометрические функции

Этот урок пройдём у часовой башни на городской площади: в течение дня тень на циферблате меняется, а фотограф пытается поймать конец минутной стрелки на границе тени. Его вопросы приведут нас к обратным тригонометрическим функциям, формулам решения простейших тригонометрических уравнений и числу корней на отрезке.

≈ 50 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 11материал 10 класса

После урока ты сможешь

  • находить значения и области определения arcsin, arccos, arctg;
  • решать уравнения sin x = a, cos x = a, tg x = a по формулам;
  • сводить уравнение к простейшему с помощью формул приведения, новой переменной и полного квадрата;
  • решать однородные и дробные уравнения и находить число корней на заданном отрезке.

Перед началом вспомни

  • Единичная окружность, табличные значения и знаки по четвертям.
  • Формулы приведения: cos(π + x) = −cos x, sin(π/2 + x) = cos x.
  • Решение квадратного уравнения.

Содержание

  1. ВведениеСитуация: сколько времени конец стрелки на солнце?история и предположение
  2. Глава 1Обратные тригонометрические функцииarcsin, arccos, arctg · область определения · ДИМ 07.06.2026
  3. Глава 2Уравнение cos x = a±arccos a + 2πk · ДИМ 05.07.2026
  4. Глава 3Уравнения sin x = a и tg x = a(−1)ᵏ arcsin a + πk · arctg a + πk · ДИМ 09.03.2025
  5. Глава 4Сведение уравнений к простейшимприведение · новая переменная · полный квадрат · ДИМ 02.03.2025
  6. Глава 5Однородные и дробные уравнения, число корней на отрезкесведение к tg x · знаменатель ≠ 0 · ДИМ 13.07.2025, 24.05.2026
  7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 5, с ответом и официальным пояснением
  8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
  9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным
Введение

Ситуация: сколько времени конец стрелки на солнце?

История

На городской площади стоит старая часовая башня. Длина минутной стрелки 2 м. По утрам крыша дома на другой стороне площади отбрасывает на циферблат тень: её граница горизонтальна и проходит ровно на 1 м выше центра циферблата. Верхняя часть на солнце, нижняя — в тени.

Фотограф хочет снять блестящий конец стрелки на солнце. За час тень почти не сдвигается. Вопрос: сколько минут в каждом часе конец минутной стрелки находится на солнце?

Граница тени на 1 м выше центра циферблата; красная пунктирная окружность — путь конца стрелки.Сначала предположи

Как ты думаешь, сколько минут в час конец стрелки на солнце? Выбери ответ — посчитаем вместе во 2-й главе.

Глава 1

Обратные тригонометрические функции

При решении уравнений вопрос ставится наоборот: дан не угол, а его косинус, а угол нужно найти. При cos x = 1/2 ответ известен из таблицы: 60°. А при cos x = 0,3? Чтобы назвать такой угол, вводят обратные тригонометрические функции.

Определение

Пусть −1 ≤ a ≤ 1. arcsin a — угол из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен a. arccos a — угол из отрезка [0; π], косинус которого равен a. Для любого a arctg a — угол из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен a.

Каждая обратная функция выбирает угол на одной «половине» окружности: arcsin — на правой, arccos — на верхней полуокружности.

Важное следствие: выражения arcsin a и arccos a имеют смысл только при −1 ≤ a ≤ 1 — это их область определения. Например, выражение arcsin 2 не имеет смысла: синус никакого угла не равен 2.

Свойства

Отрицательный аргумент:

arcsin(−a) = −arcsin a,   arctg(−a) = −arctg a

arccos(−a) = π − arccos a

Свойство арккосинуса другое, потому что arccos не бывает отрицательным: на верхней полуокружности точка с абсциссой −a симметрична точке с абсциссой a относительно оси Oy, поэтому сумма их углов равна π.

Пример 1

Вычислите: arcsin(−1/2), arccos(−1/2), arctg √3.

  1. arcsin(−1/2) = −arcsin(1/2) = −π/6.Почему так?

    −π/6 ∈ [−π/2; π/2] и sin(−π/6) = −1/2.

  2. arccos(−1/2) = π − arccos(1/2) = π − π/3 = 2π/3.Почему так?

    Ответ не −π/3: значения arccos лежат на отрезке [0; π].

  3. arctg √3 = π/3, так как tg 60° = √3.
  4. Ответ: −π/6; 2π/3; π/3.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 07.06.2026

Найдите сумму наименьшего и наибольшего чисел, входящих в область определения функции y = arcsin(5 − √(x − 2)).

A) 58B) 45C) 56D) 26E) 55
  1. Аргумент arcsin должен лежать между −1 и 1: −1 ≤ 5 − √(x − 2) ≤ 1.Почему так?

    Это область определения функции arcsin.

  2. Вычитаем 5 и умножаем на −1: 4 ≤ √(x − 2) ≤ 6.
  3. Возводим в квадрат: 16 ≤ x − 2 ≤ 36, т. е. 18 ≤ x ≤ 38.Почему так?

    Все три части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат не нарушает неравенство; условие x ≥ 2 выполняется автоматически.

  4. Сумма наименьшего и наибольшего чисел: 18 + 38 = 56.
  5. Ответ: 56 (вариант C).
Официальное пояснение ДИМ (07.06.2026)
По свойству arcsin x должно выполняться −1 ≤ 5 − √(x − 2) ≤ 1. Отсюда {5 − √(x − 2) ≤ 1; 5 − √(x − 2) ≥ −1} ⇒ {√(x − 2) ≥ 4; √(x − 2) ≤ 6}; 4 ≤ √(x − 2) ≤ 6 ⇔ 16 ≤ x − 2 ≤ 36; 18 ≤ x ≤ 38; 18+38=56Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Сколько градусов составляет arccos(−√2/2)?

π − arccos(√2/2) = 180° − 45°.

Глава 2

Уравнение cos x = a

Вернёмся к часам. Обозначим через θ угол, на который минутная стрелка повернулась от цифры 12 по часовой стрелке: за минуту стрелка поворачивается на 360° : 60 = 6°, поэтому за t минут θ = 6t. Высота конца стрелки над центром равна 2 cos θ, а расстояние вправо от центра — 2 sin θ (цифра 12 — это «верх», поэтому здесь высоту даёт косинус).

Конец стрелки на границе тени, когда 2 cos θ = 1, т. е. cos θ = 1/2. За один оборот косинус равен 1/2 при двух углах: θ = 60° и θ = −60° — они симметричны относительно оси Ox. Все решения получаются прибавлением полных оборотов.

Решение уравнения cos x = a

При |a| ≤ 1:

x = ±arccos a + 2πk,   k ∈ Z

При |a| > 1 решений нет. Частные случаи: cos x = 0 ⇔ x = π/2 + πk; cos x = 1 ⇔ x = 2πk; cos x = −1 ⇔ x = π + 2πk.

История

Конец стрелки выше границы тени, т. е. на солнце, если 2 cos θ > 1, т. е. −60° < θ < 60°. Это дуга в 120°, в минутах 120° : 6° = 20 мин. Конец стрелки выходит на солнце в :50 (θ = −60° ≡ 300°) и уходит в тень в :10 (θ = 60°). Ответ не 30 минут: граница проходит не через центр, а на 1 м выше него.

Пример 2

Решите уравнение 2 cos x = √2.

  1. cos x = √2/2; так как |√2/2| ≤ 1, решения есть.
  2. x = ±arccos(√2/2) + 2πk = ±π/4 + 2πk, k ∈ Z.Почему так?

    Не забудь «±»: −π/4 тоже решение, ведь косинус — чётная функция.

  3. Ответ: ±π/4 + 2πk, k ∈ Z.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 05.07.2026

Решите уравнение cos x = −√3/2.

A) ±π/3 + 2πk; k ∈ ZB) ±2π/3 + πk; k ∈ ZC) ±π/6 + 2πk; k ∈ ZD) ±5π/6 + 2πk; k ∈ ZE) ±πk/6; k ∈ Z
  1. x = ±arccos(−√3/2) + 2πk.Почему так?

    Формула та же и для отрицательного a.

  2. Арккосинус отрицательного аргумента: arccos(−√3/2) = π − arccos(√3/2) = π − π/6 = 5π/6.Почему так?

    Вариант C (±π/6) получается из ошибки arccos(−a) = −arccos a, а вариант A (±π/3) — если перепутать arccos и arcsin.

  3. x = ±5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
  4. Ответ: ±5π/6 + 2πk, k ∈ Z (вариант D).
Официальное пояснение ДИМ (05.07.2026)
cos x = −√3/2 x = ±arccos(−√3/2) + 2πk, k ∈ Z x = ±(π − arccos(√3/2)) + 2πk, k ∈ Z x = ±(π − π/6) + 2πk, k ∈ Z x = ±5π/6 + 2πk, k ∈ ZИсточник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Сколько градусов составляет наименьший положительный корень уравнения cos x = −1/2?

arccos(−1/2) = π − π/3.

Глава 3

Уравнения sin x = a и tg x = a

История

Ближе к полудню солнце сместилось. Теперь на циферблат падает тень от угла соседнего высокого здания: граница тени — вертикальная прямая в 1 м левее центра. Часть левее этой прямой в тени.

На этот раз фотограф хочет снять моменты, когда конец стрелки пересекает границу тени. В какие минуты часа конец стрелки оказывается на этой прямой?

Вертикальная граница тени на 1 м левее центра; конец стрелки пересекает её в двух точках.

Теперь получается уравнение с синусом. Уравнение sin x = a за один оборот имеет два решения: на правой полуокружности x₁ = arcsin a и на левой x₂ = π − arcsin a (эти точки симметричны относительно оси Oy). К обоим прибавляем 2πk. Обе серии можно записать одной формулой:

Решение уравнения sin x = a

При |a| ≤ 1:

x = (−1)ᵏ · arcsin a + πk,   k ∈ Z

Чётные k дают первую серию, нечётные — вторую. Частные случаи: sin x = 0 ⇔ x = πk; sin x = 1 ⇔ x = π/2 + 2πk; sin x = −1 ⇔ x = −π/2 + 2πk.

История

Расстояние конца стрелки вправо от центра равно 2 sin θ; граница слева, поэтому 2 sin θ = −1, т. е. sin θ = −1/2. За один оборот: θ = 180° + 30° = 210° (внизу слева) и θ = 360° − 30° = 330° (вверху слева). В минутах: 210 : 6 = 35 и 330 : 6 = 55. Фотографу нужно ждать :35 и :55 каждого часа.

В лаборатории меняй a: прямая пересекает окружность в двух точках — это два решения за один оборот. При |a| = 1 прямая касается окружности (одно решение), а при |a| > 1 не пересекает её (решений нет). Кнопкой «cos x = a» посмотри ту же картину для косинуса: там решения симметричны относительно оси Ox.

Лаборатория · решения уравнения на единичной окружностиa0.5tg x = a и ctg x = a

Тангенс повторяется через пол-оборота (π), поэтому для любого a:

tg x = a ⇔ x = arctg a + πk;   ctg x = a ⇔ x = arcctg a + πk

Пример 3

Решите уравнение 2 sin x = √3.

  1. sin x = √3/2, arcsin(√3/2) = π/3.
  2. x = (−1)ᵏ · π/3 + πk, k ∈ Z.Почему так?

    В развёрнутом виде: π/3 + 2πk и 2π/3 + 2πk.

  3. Ответ: (−1)ᵏ·π/3 + πk, k ∈ Z.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2025

При каких значениях параметра a уравнение sin x = (a − 1)/2 имеет решение?

A) [−1; 4]B) [0; 4]C) [−3; 2]D) [−3; 1]E) [−1; 3]
  1. Множество значений синуса — [−1; 1], поэтому решение есть только при −1 ≤ (a − 1)/2 ≤ 1.Почему так?

    Правая часть должна быть значением, которое синус может принимать.

  2. Умножаем на 2: −2 ≤ a − 1 ≤ 2; прибавляем 1: −1 ≤ a ≤ 3.
  3. Ответ: [−1; 3] (вариант E).
Официальное пояснение ДИМ (09.03.2025)
−1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ −1 ≤ (a − 1)/2 ≤ 1 ⇒⇒ −2 ≤ a − 1 ≤ 2 ⇒ −1 ≤ a ≤ 3Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)
Проверь себя

Сколько градусов составляет наименьший положительный корень уравнения tg x = −1?

x = −45° + 180°k; k = 1.

Глава 4

Сведение уравнений к простейшим

Большинство экзаменационных уравнений после нескольких преобразований принимают вид sin x = a, cos x = a или tg x = a. Три самых частых приёма:

Приёмы

1) Формулы приведения: cos(π + x) = −cos x, cos(π − x) = −cos x, sin(90° + x) = cos x.2) Новая переменная: t = sin x или t = cos x, квадратное уравнение; корни проверь условием |t| ≤ 1.3) Разложение на множители и полный квадрат: произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Пример 4

Решите уравнение 2cos²x − cos x − 1 = 0.

  1. t = cos x: 2t² − t − 1 = 0, откуда t = 1 или t = −1/2.
  2. Оба корня удовлетворяют условию |t| ≤ 1.Почему так?

    Если бы получилось t = 2, его пришлось бы отбросить: cos x = 2 решений не имеет.

  3. cos x = 1 ⇔ x = 2πk; cos x = −1/2 ⇔ x = ±2π/3 + 2πk.
  4. Ответ: 2πk; ±2π/3 + 2πk, k ∈ Z.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 02.03.2025

Решите уравнение 4sin²x − 4sin x + 1 = 0.

A) π/3 + πk; k ∈ ZB) −π/3 + πk; k ∈ ZC) (−1)ᵏ·π/4 + πk; k ∈ ZD) (−1)ᵏ·π/6 + πk; k ∈ ZE) (−1)ᵏ⁺¹·π/6 + πk; k ∈ Z
  1. Левая часть — полный квадрат: 4sin²x − 4sin x + 1 = (2 sin x − 1)².Почему так?

    (a − b)² = a² − 2ab + b², здесь a = 2 sin x, b = 1.

  2. (2 sin x − 1)² = 0 ⇔ sin x = 1/2.
  3. x = (−1)ᵏ · arcsin(1/2) + πk = (−1)ᵏ · π/6 + πk, k ∈ Z.Почему так?

    В варианте E показатель k + 1: это решение уравнения sin x = −1/2.

  4. Ответ: (−1)ᵏ·π/6 + πk; k ∈ Z (вариант D).
Официальное пояснение ДИМ (02.03.2025)
(2sin x − 1)² = 0 ⇒ sin x = 1/2 ⇒ x = (−1)ᵏ·π/6 + πk; k ∈ ZИсточник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)
Пример 5

Решите уравнение sin(π/2 + x) = 1/2.

  1. Приведение: sin(π/2 + x) = cos x.Почему так?

    π/2 меняет название; π/2 + x лежит во II четверти, где синус положителен.

  2. cos x = 1/2 ⇔ x = ±π/3 + 2πk.
  3. Ответ: ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.
Проверь себя

Сколько градусов составляет корень уравнения 2sin²x + sin x − 1 = 0 на интервале (0°; 90°)?

t = sin x: 2t² + t − 1 = 0, t = 1/2 или t = −1.

Глава 5

Однородные и дробные уравнения, число корней на отрезке

История

После полудня тень снова меняется: теперь её граница проходит через центр циферблата под углом 45° к горизонту (поднимается вправо). Фотограф хочет снять моменты, когда стрелка ложится точно на границу тени.

Сколько раз с 12:00 до 15:00 минутная стрелка ляжет на эту прямую?

Граница тени проходит через центр под углом 45°; стрелка ложится на неё в двух положениях.

Когда конец стрелки лежит на этой прямой, его расстояние вправо равно высоте: 2 sin θ = 2 cos θ, т. е. sin θ = cos θ. Это однородное уравнение: в каждом члене степени sin и cos одинаковы.

Однородное уравнение

В уравнении a sin x + b cos x = 0 (a, b ≠ 0) не может быть cos x = 0: тогда было бы и sin x = 0, что противоречит тождеству sin²x + cos²x = 1. Поэтому обе части можно разделить на cos x:

a tg x + b = 0

Чтобы найти число корней на отрезке, запиши решение в виде серии, поставь её между границами отрезка и сосчитай целые k, удовлетворяющие полученному неравенству.

История

tg θ = 1 ⇔ θ = 45° + 180°k, т. е. стрелка ложится на прямую каждые пол-оборота — раз в 30 минут. С 12:00 до 15:00 стрелка поворачивается на 3 · 360° = 1080°, поэтому 0° < 45° + 180°k < 1080°, откуда −0,25 < k < 5,75: k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ответ: 6 раз — в 12:07:30, 12:37:30, 13:07:30, 13:37:30, 14:07:30 и 14:37:30.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

Сколько корней имеет уравнение sin x = cos x на отрезке [−2π; 2π]?

tan — другое обозначение tg.

Рисунок меняется вместе с шагами.
  1. sin x и cos x не могут одновременно равняться нулю, поэтому cos x ≠ 0; делим обе части на cos x: tg x = 1.Почему так?

    При делении корни не теряются: точки, где cos x = 0, уравнению не удовлетворяют.

  2. x = π/4 + πk, k ∈ Z.
  3. Ставим в отрезок: −2π ≤ π/4 + πk ≤ 2π, т. е. −9/4 ≤ k ≤ 7/4; целые k: −2, −1, 0, 1.Почему так?

    Раздели неравенство на π и вычти 1/4: −2 − 1/4 ≤ k ≤ 2 − 1/4.

  4. Корни: −7π/4, −3π/4, π/4, 5π/4 — всего 4.
  5. Ответ: 4.
Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)
… Разделив обе части уравнения на cosx, получим уравнение tanx=1. x = π/4 + πk, k ∈ Z. Отсюда получаем, что k = −2 ⇒ x = −7π/4 ∈ [−2π; 2π], k = −1 ⇒ x = −3π/4 ∈ [−2π; 2π], k = 0 ⇒ x = π/4 ∈ [−2π; 2π], k = 1 ⇒ x = 5π/4 ∈ [−2π; 2π].Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Дробное уравнениеf(x)/g(x) = 0 равносильно двум условиям: f(x) = 0 и g(x) ≠ 0. Точки, где знаменатель обращается в нуль, обязательно отбрось — ДИМ часто ставит эту ловушку.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 24.05.2026

Сколько решений имеет уравнение cos x/(1 − sin x) = 0 на отрезке [−2π; 4π]?

  1. Дробь равна нулю: cos x = 0 и 1 − sin x ≠ 0, т. е. sin x ≠ 1.
  2. При cos x = 0 sin x = 1 или sin x = −1. Первый случай обращает знаменатель в нуль, остаётся sin x = −1 ⇔ x = −π/2 + 2πk.Почему так?

    Точек с cos x = 0 на окружности две: самая верхняя (sin = 1) и самая нижняя (sin = −1).

  3. На отрезке [−2π; 4π]: −2π ≤ −π/2 + 2πk ≤ 4π, откуда −3/4 ≤ k ≤ 9/4; k = 0, 1, 2 — корни −π/2, 3π/2, 7π/2.
  4. Ответ: 3.
Официальное пояснение ДИМ (24.05.2026)
cos x/(1 − sin x) = 0 ⇒ { cos x = 0; 1 − sin x ≠ 0 } ⇒ { cos x = 0; sin x ≠ 1 } ⇒ ⇒ sin x = −1. Тогда на отрезке [−2π; 4π] уравнение имеет 3 решения { −π/2; 3π/2; 7π/2 }.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Сколько корней имеет уравнение sin x = 0 на отрезке [0; 3π]?

x = πk; 0 ≤ k ≤ 3.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 12.07.2026

Решите уравнение cos(π + x) = sin(π/2).

A) π/2 + πk, k ∈ ZB) π + 2πk, k∈ZC) −π/6 + 2πk, k ∈ ZD) −π/2 + 2πk, k ∈ ZE) π/3 + πk, k ∈ ZОтвет и пояснение ДИМ

Ответ: π + 2πk, k ∈ Z (вариант B).

cos(π + x) = sin(π/2); на основании тождества cos(π + x) = −cos x и равенства sin(π/2) = 1 запишем данное уравнение в виде равносильного ему уравнения cos x = −1. Решение этого простейшего тригонометрического уравнения — x = π + 2πk, k ∈ Z.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)
ДИМ · 06.07.2025

Решите уравнение cos(π − x) + cos(π + x) = 1.

A) ±3π/4 + 2πk, k ∈ ZB) ±5π/6 + 2πk, k ∈ ZC) ±2π/3 + 2πk, k ∈ ZD) ±π/6 + 2πk, k ∈ ZE) ±π/4 + 2πk, k ∈ ZОтвет и пояснение ДИМ

Ответ: ±2π/3 + 2πk, k ∈ Z (вариант C).

−cosx − cosx = 1−2cosx = 1cosx = −1/2x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ ZИсточник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)
ДИМ · 07.06.2026

Решите уравнение 2cos(π+3x)=cos3x.

A) π/6 + πn/3, n∈ZB) ±arccos(1/3) + πn/3, n∈ZC) ±π/3 + 2πn, n∈ZD) ±arccos(2/3) + 2πn, n∈ZE) π/4 + πn, n∈ZОтвет и пояснение ДИМ

Ответ: π/6 + πn/3, n ∈ Z (вариант A).

2cos(π + 3x) = cos3x; 2(−cos3x) = cos3x; −2cos3x = cos3x; 3cos3x = 0; 3x = π/2 + πn; x = π/6 + πn/3, n ∈ ZИсточник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)
ДИМ · 01.06.2025

Решите уравнение 2cos(x + 10°) − sin(100° + x) = 0.

A) 10° + 90°n, n ∈ ZB) 20° + 90°n, n ∈ ZC) 90° + 180°n, n ∈ ZD) 45° + 180°n, n ∈ ZE) 80° + 180°n, n ∈ ZОтвет и пояснение ДИМ

Ответ: 80° + 180°n, n ∈ Z (вариант E).

2cos(x + 10°) − sin(100° + x) = 0; 2cos(x + 10°) − sin(90° + (10° + x)) = 0; 2cos(x + 10°) − cos(10° + x) = 0; cos(10° + x) = 0; 10° + x = 90° + 180° · n; x = 80° + 180° · n, n ∈ ZИсточник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)
ДИМ · 25.05.2025

Решите уравнение sin x − cos x = 0.

A) −π/2 + 2πk, k ∈ ZB) −π/4 + πk, k ∈ ZC) π/4 + πk, k ∈ ZD) π/2 + 2πk, k ∈ ZE) π/3 + πk, k ∈ ZОтвет и пояснение ДИМ

Ответ: π/4 + πk, k ∈ Z (вариант C).

При решении задания используется метод решения однородного уравнения. Согласно основному тригонометрическому тождеству условия sinx = 0 и cosx = 0 не могут выполняться одновременно. Поэтому, с учётом условия cosx ≠ 0, обе части данного уравнения делят на cosx и получают уравнение tan x = 1.sinx − cosx = 0sinx/cosx − cosx/cosx = 0tanx = 1x = π/4 + πk, k ∈ ZИсточник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)
Итоги

Запомни

  • arcsin a ∈ [−π/2; π/2]; arccos a ∈ [0; π]; arctg a ∈ (−π/2; π/2) (|a| ≤ 1 — для arcsin, arccos).
  • arcsin(−a) = −arcsin a; arccos(−a) = π − arccos a.
  • cos x = a ⇔ x = ±arccos a + 2πk; sin x = a ⇔ x = (−1)ᵏ arcsin a + πk (|a| ≤ 1).
  • tg x = a ⇔ x = arctg a + πk; при |a| > 1 уравнения sin x = a и cos x = a решений не имеют.
  • Частные случаи: sin x = 0 ⇔ x = πk, cos x = 0 ⇔ x = π/2 + πk, cos x = −1 ⇔ x = π + 2πk.
  • Однородное уравнение: дели на cos x → a tg x + b = 0.
  • Дробное уравнение: числитель = 0, знаменатель ≠ 0. Корни на отрезке: поставь серию между границами, сосчитай целые k.

Типичные ошибки

«cos x = a ⇔ x = arccos a + 2πk»

Забыт «±»: серия −arccos a + 2πk тоже решение. На часах конец стрелки на границе и в :10, и в :50.

«arccos(−1/2) = −π/3»

arccos не бывает отрицательным: arccos(−a) = π − arccos a, т. е. 2π/3.

«sin x = 2 ⇔ x = (−1)ᵏ arcsin 2 + πk»

arcsin 2 не имеет смысла: при |a| > 1 решений нет.

«cos x/(1 − sin x) = 0 ⇔ cos x = 0»

Знаменатель не должен обращаться в нуль: x = π/2 + 2πk отбрасывается, остаётся только sin x = −1.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Значение arccos(−1/2):

π − π/3 = 2π/3.

2 · Уровень 1

Решение уравнения sin x = 1:

На окружности только одна точка с ординатой 1.

3 · Уровень 2

Решение уравнения cos 2x = 0:

2x = π/2 + πk ⇒ x = π/4 + πk/2.

4 · Уровень 2

При каких a уравнение cos x = 2a − 3 имеет решение?

−1 ≤ 2a − 3 ≤ 1 ⇒ 1 ≤ a ≤ 2.

5 · Уровень ДИМ

Сколько корней имеет уравнение tg x = √3 на отрезке [0; 3π]?

x = π/3 + πk: π/3, 4π/3, 7π/3; 10π/3 > 3π.

6 · Уровень ДИМ

Решение уравнения sin²x − 3 sin x cos x + 2cos²x = 0:

Делим на cos²x: tg²x − 3 tg x + 2 = 0, tg x = 1 или tg x = 2.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

  1. 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 70; B-63, C-64, D-73
  2. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 72; B-73, C-66, D-69
  3. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 8; B-2, C-14, D-20
  4. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 13; B-21, C-5, D-5
  5. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 18; B-9, C-7, D-12
  6. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 24; B-23, C-26, D-23
  7. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 25; B-26, C-24, D-25
  8. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 19; B-8, C-22, D-17; вариант A, 15; B-5, C-2, D-11
  9. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 15; B-9, C-2, D-11
  10. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 20; B-21, C-12, D-13

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.

Похожие уроки

Все уроки