ВойтиЗарегистрироваться
Регистрация

Формулы сложения, двойной аргумент, преобразование суммы в произведение

МатематикаТригонометрия

Текст урока
Тригонометрия · Тема 25 / 46

Формулы сложения, двойной аргумент, преобразование суммы в произведение

Этот урок пройдём на стройплощадке: автокран поднимает стрелу, удваивает её угол, а затем опрокидывает контейнер. Каждый раз вопрос один — на какую высоту? Ответ приведёт нас к формулам сложения, двойному аргументу, преобразованию суммы в произведение и методу вспомогательного угла.

≈ 50 минутГлав: 4Заданий ДИМ: 9материал 10 класса

После урока ты сможешь

  • вычислять синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов;
  • применять формулы двойного аргумента и понижения степени;
  • преобразовывать сумму в произведение и произведение в сумму;
  • находить наибольшее и наименьшее значения a sin x + b cos x методом вспомогательного угла.

Перед началом вспомни

  • Единичная окружность, знаки по четвертям, табличные значения.
  • Основное тождество sin²α + cos²α = 1 и формулы приведения.
  • −1 ≤ sin t ≤ 1 при t ∈ R.

Содержание

  1. ВведениеСитуация: насколько поднимется конец стрелы при повороте на 30°?история и предположение
  2. Глава 1Формулы суммы и разности двух угловsin, cos, tg суммы и разности · ДИМ 19.04.2026
  3. Глава 2Двойной аргумент и понижение степениsin 2α, cos 2α, tg 2α · ДИМ 15.03.2026
  4. Глава 3Преобразование суммы в произведение и произведения в суммуполусумма и полуразность · ДИМ 09.03.2026, 13.07.2025
  5. Глава 4Вспомогательный угол: a sin x + b cos x√(a² + b²) · sin(x + φ) · ДИМ 01.06.2025, 06.07.2025
  6. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 3, с ответом и официальным пояснением
  7. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
  8. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным
Введение

Ситуация: насколько поднимется конец стрелы при повороте на 30°?

История

На стройплощадке работает автокран. Длина его стрелы 20 м. Сейчас стрела поднята так, что её конец ровно на 12 м выше шарнира.

Чтобы подать груз на верхний этаж, оператор поднимает стрелу ещё на 30°. Рабочий рассуждает: «Для 30° 20 · sin 30° = 10, значит, конец поднимется на 10 м и будет на 22 м». Прав ли он? На сколько конец стрелы окажется выше шарнира?

Стрела под углом α, её конец на 12 м выше шарнира. Красный пунктир — стрела, поднятая на 30°.Сначала предположи

Как ты думаешь, на сколько конец поднятой стрелы будет выше шарнира? Выбери ответ — посчитаем вместе в 1-й главе.

Глава 1

Формулы суммы и разности двух углов

Ошибка рабочего очень распространена: он записал sin(α + β) = sin α + sin β. Это равенство неверно. Проверь: при α = β = 30° левая часть равна sin 60° ≈ 0,87, а правая — 1/2 + 1/2 = 1. Синус суммы углов — не сумма синусов: его нужно выражать и через синусы, и через косинусы обоих углов.

Сначала найдём косинус разности. Возьмём на единичной окружности точки A(cos α; sin α) и B(cos β; sin β); центральный угол между ними равен α − β. Вычислим квадрат хорды AB двумя способами. По теореме косинусов d² = 1 + 1 − 2 cos(α − β). По координатам d² = (cos α − cos β)² + (sin α − sin β)² = 2 − 2(cos α cos β + sin α sin β). Приравняв, получаем формулу.

Длина хорды зависит только от угла α − β.Формулы сложения

Заменяя β на −β, а α на 90° − α, получаем остальные формулы:

cos(α ∓ β) = cos α cos β ± sin α sin β

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α tg β)

Следи за знаками: в формуле синуса знак сохраняется (сумма — «+»), а в формуле косинуса меняется (в косинусе суммы — «−»). Формула тангенса получается делением формулы синуса на формулу косинуса.

История

Конец стрелы на 12 м выше шарнира, значит sin α = 12/20 = 3/5, тогда cos α = 4/5. Стрела поднимается до угла α + 30°: h = 20 sin(α + 30°) = 20(3/5 · √3/2 + 4/5 · 1/2) = 6√3 + 8 ≈ 18,4 м. Рабочий ошибался: конец поднимается не на 10 м, а всего на 6,4 м.

Пример 1

Найдите точное значение sin 75°.

  1. Записываем 75° как сумму табличных углов: 75° = 45° + 30°.Почему так?

    Формула полезна, только если синусы и косинусы слагаемых известны.

  2. sin 75° = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = √2/2 · √3/2 + √2/2 · 1/2.
  3. = (√6 + √2)/4 ≈ 0,966.
  4. Ответ: (√6 + √2)/4.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 19.04.2026

Упростите выражение cos7α cosα + sin7α sinα.

A) sin(–6α)B) sin6αC) cos8αD) cos6αE) sin8α
  1. Выражение похоже на правую часть формулы cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y: здесь 7α — первый угол, α — второй.Почему так?

    «кос·кос + син·син» — косинус разности; «кос·кос − син·син» было бы косинусом суммы.

  2. cos 7α cos α + sin 7α sin α = cos(7α − α) = cos 6α.
  3. Ответ: cos 6α (вариант D).
Официальное пояснение ДИМ (19.04.2026)
По формуле косинуса разности двух углов cos(α − β) = cosα cosβ + sinα sinβ. Используя её, получим cos7α cosα + sin7α sinα = cos(7α − α) = cos6α.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)
Проверь себя

Найдите значение выражения sin 50° cos 20° − cos 50° sin 20° (десятичной дробью).

Это sin(50° − 20°).

Глава 2

Двойной аргумент и понижение степени

История

Груз на месте. Следующий груз нужно взять в другой точке, поэтому оператор возвращает стрелу в исходное положение (угол α), а затем увеличивает её угол вдвое: стрела теперь под углом 2α.

Угол увеличился вдвое. А высота конца стрелы тоже удвоилась и стала 24 м? На сколько конец стрелы выше шарнира?

Серый пунктир — прежнее положение стрелы (α), жёлтая стрела — под углом 2α.

Положив в формулах сложения β = α, получаем формулы двойного аргумента. Для косинуса есть три записи: по основному тождеству подставляют sin²α = 1 − cos²α или cos²α = 1 − sin²α.

Двойной аргумент

sin 2α = 2 sin α cos α

cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α

tg 2α = 2 tg α / (1 − tg²α)

История

Так как sin α = 3/5, cos α = 4/5, конец стрелы выше шарнира на h = 20 sin 2α = 20 · 2 · 3/5 · 4/5 = 19,2 м. Высота не удвоилась: с 12 м она выросла всего до 19,2 м. Зато конец сильно приблизился к шарниру: расстояние по горизонтали 20 cos 2α = 20(16/25 − 9/25) = 5,6 м.

Если выразить квадраты из формул косинуса двойного аргумента, получим формулы понижения степени. Они сводят квадрат к первой степени, но удваивают угол:

Понижение степени

sin²α = (1 − cos 2α)/2,   cos²α = (1 + cos 2α)/2

Отсюда синус половинного угла находят извлечением корня: sin(α/2) = ±√((1 − cos α)/2). Знак перед корнем выбирают по четверти угла α/2.

Пример 2

Найдите cos 2α, если sin α = 1/3.

  1. Дан только синус, поэтому выбираем запись через синус: cos 2α = 1 − 2sin²α.Почему так?

    Так не нужно искать косинус и думать о его знаке.

  2. cos 2α = 1 − 2 · 1/9 = 7/9.
  3. Ответ: 7/9.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 15.03.2026

Если cos20°=a, выразите sin10° через a.

A) √((1+a)/2)B) a/2C) (1−a)/2D) √((1−a)/2)E) (1+a)/2
  1. Угол 10° — половина угла 20°, поэтому записываем формулу понижения степени для α = 10°: sin²10° = (1 − cos 20°)/2 = (1 − a)/2.Почему так?

    Формула cos 2α связывает квадрат синуса с косинусом двойного угла.

  2. Извлекаем корень. 10° лежит в I четверти, sin 10° > 0, поэтому берём положительный корень: sin 10° = √((1 − a)/2).Почему так?

    Вариант C (1 − a)/2 — ловушка для тех, кто забыл корень: это sin²10°, а не sin 10°.

  3. Ответ: √((1 − a)/2) (вариант D).
Официальное пояснение ДИМ (15.03.2026)
sin²α = (1 − cos2α)/2; sin²10° = (1 − cos20°)/2 ⇒ sin10° = √((1 − cos20°)/2) = √((1 − a)/2)Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)
Проверь себя

Найдите значение выражения 8 sin 15° cos 15°.

2 sin 15° cos 15° = sin 30°.

Глава 3

Преобразование суммы в произведение и произведения в сумму

Сложив формулы sin(x + y) и sin(x − y), получим sin(x + y) + sin(x − y) = 2 sin x cos y. Это равенство можно читать в двух направлениях. Слева направо — сумма превращается в произведение (чтобы разложить на множители в уравнениях), справа налево — произведение в сумму (чтобы упростить выражение).

Сумма в произведение

Обозначив x + y = α, x − y = β (т. е. x = (α + β)/2, y = (α − β)/2), получаем:

sin α ± sin β = 2 sin((α ± β)/2) cos((α ∓ β)/2)

cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2)

cos α − cos β = −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2)

Произведение в сумму

sin α cos β = ½[sin(α + β) + sin(α − β)]

cos α cos β = ½[cos(α − β) + cos(α + β)]

sin α sin β = ½[cos(α − β) − cos(α + β)]

Для запоминания: при переходе от суммы к произведению всегда появляются «полусумма» (α + β)/2 и «полуразность» (α − β)/2; в разности косинусов не забудь про минус.

Пример 3

Найдите значение суммы sin 75° + sin 15°.

  1. sin 75° + sin 15° = 2 sin((75° + 15°)/2) cos((75° − 15°)/2) = 2 sin 45° cos 30°.Почему так?

    Полусумма 45°, полуразность 30° — оба табличные.

  2. 2 · √2/2 · √3/2 = √6/2 ≈ 1,22.
  3. Ответ: √6/2.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2026

Представьте выражение cos38° + cos18° в виде произведения.

A) 2cos20°sin20°B) 3/4C) 2cos28°cos10°D) 1/2E) 2cos14°cos5°
  1. Формула суммы косинусов: cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2).
  2. Полусумма: (38° + 18°)/2 = 28°; полуразность: (38° − 18°)/2 = 10°.Почему так?

    14° и 5° в варианте E — повторно взятые половины; это ловушка.

  3. cos 38° + cos 18° = 2 cos 28° cos 10°.
  4. Ответ: 2cos28°cos10° (вариант C).
Официальное пояснение ДИМ (09.03.2026)
Так как cos α + cos β = 2cos((α+β)/2) · cos((α−β)/2), то cos38° + cos18° = 2cos((38°+18°)/2) · cos((38°−18°)/2) = 2cos28°cos10°.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

Если sin(2α − β) = 5sin β, найдите значение выражения tan(α − β) · cot α.

tan и cot — другие обозначения tg и ctg.

A) 3/4B) 5/2C) 2/3D) 4/3E) 3/2
  1. Записываем тангенс и котангенс через синус и косинус: tg(α − β) · ctg α = sin(α − β) cos α / (cos(α − β) sin α).Почему так?

    В условии есть угол 2α − β = (α − β) + α. Именно он появится, когда мы превратим произведения в суммы.

  2. Числитель: sin(α − β) cos α = ½[sin(2α − β) + sin(−β)] = ½[sin(2α − β) − sin β].
  3. Знаменатель: sin α cos(α − β) = ½[sin(2α − β) + sin β].
  4. Подставляем условие: (5 sin β − sin β)/(5 sin β + sin β) = 4/6 = 2/3.Почему так?

    Должно быть sin β ≠ 0, иначе выражение теряет смысл; после сокращения β исчезает.

  5. Ответ: 2/3 (вариант C).
Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)
На основании тригонометрических тождеств и формул преобразования произведения в сумму получаем, что tan(α − β) · cot α = sin(α − β)/cos(α − β) · cos α/sin α = = (½(sin(2α − β) − sin β))/(½(sin(2α − β) + sin β)) = = (sin(2α − β) − sin β)/(sin(2α − β) + sin β) = (5sin β − sin β)/(5sin β + sin β) = 4sin β/(6sin β) = 2/3Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Найдите значение выражения 4 sin 75° sin 15°.

sin α sin β = ½[cos(α − β) − cos(α + β)]: cos 60° − cos 90°.

Глава 4

Вспомогательный угол: a sin x + b cos x

История

В конце дня кран должен перевернуть старый контейнер на бок. Длина контейнера 4 м, высота 3 м. Кран поднимает его левый край, и контейнер поворачивается вокруг правого нижнего ребра.

Проблема в том, что над контейнером на высоте 4,8 м проходит электрический кабель. Заденет ли его верхний угол контейнера при опрокидывании? На какую наибольшую высоту поднимается угол?

Контейнер (4 м × 3 м) поворачивается вокруг ребра; красный пунктир — путь угла.

Когда контейнер повернётся на угол x, высота левого верхнего угла складывается из двух частей: 4 sin x от длины и 3 cos x от высоты. Значит, h(x) = 4 sin x + 3 cos x. Чтобы найти наибольшее значение такого выражения, его нужно свести к одному синусу.

Метод вспомогательного угла

Пусть a² + b² ≠ 0. Существует угол φ такой, что cos φ = a/√(a² + b²), sin φ = b/√(a² + b²). Тогда:

a sin x + b cos x = √(a² + b²) · sin(x + φ)

−√(a² + b²) ≤ a sin x + b cos x ≤ √(a² + b²)

Угол φ берётся из прямоугольного треугольника с катетами a и b: cos φ = a/√(a² + b²), sin φ = b/√(a² + b²).

Причина: если вынести √(a² + b²) за скобки, в скобках останется sin x cos φ + cos x sin φ, а это по формуле сложения sin(x + φ). Так как синус лежит между −1 и 1, выражение меняется от −√(a² + b²) до √(a² + b²) и принимает обе границы.

История

Для контейнера √(4² + 3²) = 5. Наибольшая высота угла — 5 м: это длина диагонали, и достигается она, когда диагональ вертикальна (tg x = 4/3, x ≈ 53°). Так как 5 м > 4,8 м, угол заденет кабель! Мастер решает: сначала нужно поднять кабель.

В лаборатории опрокинь контейнер сам: меняй угол x и найди наибольшее значение h. Затем меняй a и b: наибольшая высота всегда равна диагонали √(a² + b²).

Лаборатория · опрокинь контейнер, найди самую высокую точкуугол наклона x22°длина a4высота b3Пример 4

Найдите множество значений функции y = sin x + √3 cos x.

  1. a = 1, b = √3, тогда √(a² + b²) = √(1 + 3) = 2.Почему так?

    Коэффициенты — числа перед синусом и косинусом, берутся со своими знаками.

  2. y = 2(½ sin x + (√3/2) cos x) = 2(sin x cos 60° + cos x sin 60°), т. е. y = 2 sin(x + 60°).
  3. −2 ≤ y ≤ 2.
  4. Ответ: [−2; 2].
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 01.06.2025

Найдите сумму натуральных значений, которые может принимать функция y = 3sin x − 2cos x.

A) 13B) 6C) 10D) 5E) 9
  1. a = 3, b = −2: √(a² + b²) = √(9 + 4) = √13.Почему так?

    Отрицательное b не меняет результат: в квадрате знак исчезает.

  2. Множество значений: [−√13; √13].
  3. 3 < √13 < 4, так как 9 < 13 < 16. Натуральные числа на этом отрезке: 1, 2, 3; их сумма 1 + 2 + 3 = 6.Почему так?

    Функция непрерывна, поэтому принимает каждое значение между −√13 и √13, в том числе 1, 2, 3.

  4. Ответ: 6 (вариант B).
Официальное пояснение ДИМ (01.06.2025)
Так как множество значений функции y = a sin x + b cos x — [−√(a² + b²); √(a² + b²)], множество значений функции y = 3sin x − 2cos x — [−√(3² + (−2)²); √(3² + (−2)²)] = [−√13; √13]. Таким образом, сумма натуральных значений, которые может принимать функция y = 3sin x − 2cos x, равна 1+2+3=6.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 06.07.2025

Найдите значение выражения √3/sin 20° − 1/cos 20°.

A) 4B) −4C) −1D) 0E) 1
  1. Приводим к общему знаменателю: (√3 cos 20° − sin 20°)/(sin 20° cos 20°).
  2. В числителе вспомогательный угол: √(3 + 1) = 2, поэтому √3 cos 20° − sin 20° = 2(sin 60° cos 20° − cos 60° sin 20°) = 2 sin 40°.Почему так?

    √3/2 = sin 60°, 1/2 = cos 60° — в скобках возникает синус разности.

  3. Знаменатель: sin 20° cos 20° = ½ sin 40°.Почему так?

    Формула двойного аргумента.

  4. 2 sin 40° : (½ sin 40°) = 4.
  5. Ответ: 4 (вариант A).
Официальное пояснение ДИМ (06.07.2025)
√3/sin 20° − 1/cos 20° = (√3 cos 20° − sin 20°)/(sin 20°·cos 20°) == 2·((√3/2)cos 20° − (1/2)sin 20°)/(sin 20°·cos 20°) == 2·(sin 60° cos 20° − cos 60° sin 20°)/(sin 20°·cos 20°) == 4sin(60° − 20°)/(2sin 20°·cos 20°) = 4sin 40°/sin 40° = 4Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Найдите наибольшее значение функции y = 5 sin x + 12 cos x.

√(25 + 144).

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 05.07.2026

При каком значении m равенство cos⁴α + ¼sin²(π + 2α) = cos^(m−1) α является тождеством?

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 3.

Применим к данному выражению формулу приведения и формулу синуса двойного аргумента: cos⁴α + ¼sin²(π + 2α) = cos^(m−1) α; cos⁴α + ¼sin² 2α = cos^(m−1) α; cos⁴α + ¼·4sin²α·cos²α = cos^(m−1) α; cos⁴α + sin²α·cos²α = cos^(m−1) α; cos²α(cos²α + sin²α) = cos^(m−1) α; cos²α = cos^(m−1) α. Отсюда m − 1 = 2 и m = 3.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)
ДИМ · 25.05.2025

Найдите значение выражения ( √(6cos 25°·cos 65° / cos 40°) + 1 )·3(√3 − 1).

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 6.

При решении задания сначала в подкоренном выражении по формуле приведения sin α = cos(90⁰ − α) записывают cos 65⁰ = cos(90⁰ − 25⁰) = sin 25⁰, затем по формуле двойного аргумента sin 2α = 2 sin α cos α — 2 sin 25⁰ cos 25⁰ = sin 50⁰. Снова по первой формуле учитывают, что sin 50⁰ = cos 40⁰, и в конце к преобразованному выражению применяют формулу сокращённого умножения:( √(6cos 25°·cos 65° / cos 40°) + 1 )·3(√3 − 1) =( √(3·2cos 25°·sin 25° / cos 40°) + 1 )·3(√3 − 1) =( √(3·sin 50° / cos 40°) + 1 )·3(√3 − 1) = ( √(3cos 40° / cos 40°) + 1 )·3(√3 − 1)= (√3 + 1)·3(√3 − 1) = 2·3 = 6Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)
ДИМ · 12.07.2026

Найдите разность наибольшего значения функции f(x) = 4√3 sin x − cos x и наименьшего значения функции g(x) = sin2x · cos2x.

A) 8,5B) 7,5C) 4,5D) −5,5E) −6,5Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 7,5 (вариант B).

Применив метод введения вспомогательного угла, преобразуем функцию f(x) следующим образом: f(x) = 4√3 sin x − cos x = √((4√3)² + (−1)²) · ((4√3/7) sin x − (1/7) cos x) = 7 sin(x + φ), где φ — любой угол, удовлетворяющий равенствам cos φ = 4√3/7, sin φ = −1/7. Тогда, учитывая известное неравенство −1 ≤ sin(x + φ) ≤ 1, получим f(x) = 7 sin(x + φ) ≤ 7·1 = 7. Значит, f_max = 7. Функцию g(x) преобразуем по формуле синуса двойного угла и найдём её наименьшее значение: g(x) = sin2x · cos2x = ½ sin4x ≥ −½ ⇒ g_min = −½. Таким образом, f_max − g_min = 7 − (−0,5) = 7,5.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)
Итоги

Запомни

  • sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β; cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β.
  • tg(α ± β) = (tg α ± tg β)/(1 ∓ tg α tg β); внимание: sin(α + β) ≠ sin α + sin β.
  • sin 2α = 2 sin α cos α; cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α.
  • Понижение степени: sin²α = (1 − cos 2α)/2, cos²α = (1 + cos 2α)/2.
  • Сумма в произведение: cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2); в разности косинусов «−».
  • Произведение в сумму: sin α cos β = ½[sin(α + β) + sin(α − β)].
  • Вспомогательный угол: a sin x + b cos x = √(a² + b²) sin(x + φ); множество значений [−√(a² + b²); √(a² + b²)].

Типичные ошибки

«sin(α + 30°) = sin α + sin 30°»

Синус суммы — не сумма синусов: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Конец стрелы поднялся не на 10 м, а на 6,4 м.

«cos(α − β) = cos α cos β − sin α sin β»

В формуле косинуса знак меняется: в косинусе разности «+», в косинусе суммы «−».

«Если cos 20° = a, то sin 10° = (1 − a)/2»

(1 − a)/2 — это sin²10°. Нужно извлечь корень: sin 10° = √((1 − a)/2).

«Наибольшее значение a sin x + b cos x равно a + b»

sin x и cos x не могут одновременно равняться 1. Наибольшее значение √(a² + b²): для 3 sin x + 4 cos x это 5, а не 7.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Значение выражения sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60°:

Это sin(30° + 60°) = sin 90° = 1.

2 · Уровень 1

Значение выражения 2 sin 15° cos 15°:

sin 30° = 1/2.

3 · Уровень 2

Значение выражения cos²75° − sin²75°:

cos 150° = −cos 30° = −√3/2.

4 · Уровень 2

Если tg α = 2, tg β = 3, то tg(α + β):

(2 + 3)/(1 − 6) = −1.

5 · Уровень ДИМ

Наибольшее значение функции y = 6 sin x + 8 cos x + 1:

√(36 + 64) = 10; 10 + 1 = 11.

6 · Уровень ДИМ

Значение произведения sin 75° · cos 15°:

½(sin 90° + sin 60°) = ½(1 + √3/2) = (2 + √3)/4.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

  1. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 25; B-24, C-25, D-25
  2. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 21; B-9, C-20, D-18
  3. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 4; B-12, C-2, D-15
  4. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 15; B-15, C-1, D-11
  5. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 61; B-63, C-65, D-63
  6. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 73; B-71, C-72, D-64
  7. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 65; B-67, C-64, D-68
  8. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 23; B-26, C-24, D-25
  9. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 3; B-9, C-10, D-11

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.

Похожие уроки

Все уроки