Признаки делимости и деление с остатком

Деление с остатком: разделить n на d — значит разложить n предметов в группы по d. Число полных групп — неполное частное (q), лишние — остаток (r): n = d · q + r, всегда 0 ≤ r < d.

Если остаток 0, n делится нацело на d. Чтобы проверить без деления, есть признаки делимости: делимость на 2, 5 и 10 проверяют по последней цифре, на 3 и 9 — по сумме цифр, на 4 — по двум последним цифрам.

n = d · q + rделимое = делитель · частное + остаток0 ≤ r < dостаток всегда меньше делителяr = 0делится нацеломеняй число и делитель, смотри на группы ↓47 = 5 · 9 + 2: 9 полных групп и 2 в остатке

Каждая зелёная коробка — полная группа (d точек), красная пунктирная — остаток. Справа делимость числа на 2, 3, 4, 5, 9 и 10 проверяется по признакам.

Делимое, n47Делитель, d547 = 5 · 9 + 2Задание 1 / 3○○○

Раздели 49 на такое число, чтобы остаток был 4.

Настрой ползунки и кнопки…

Что показывает симуляция?

языком ползунков

• Делим 47 на 5: 9 полных групп и 2 точки лишние — 47 = 5 · 9 + 2.
• Сделай делитель 4, 3, 2: остаток всегда меньше делителя. Если бы остаток дорос до делителя, получилась бы новая группа.
• Поставь n = 45: посмотри на признаки 3 и 9 — сумма цифр 9, значит, 45 делится и на 3, и на 9.
• n = 60: последняя цифра 0 — число делится на 2, 5 и 10; две последние цифры 60 делятся на 4, значит, и 60 делится на 4.
• Когда остаток 0, красная коробка исчезает — это и есть картинка деления нацело.

Признаки делимости

проверь без деления

Делитель	Признак	Пример
2	последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8)	3 586 ✓
3	сумма цифр делится на 3	471: 4 + 7 + 1 = 12 ✓
4	число из двух последних цифр делится на 4	3 116: 16 ✓
5	последняя цифра 0 или 5	2 345 ✓
9	сумма цифр делится на 9	738: 7 + 3 + 8 = 18 ✓
10	последняя цифра 0	5 470 ✓

Самые частые ошибки

красной ручкойОстаток больше делителя

17 : 5 = 2 (ост. 7) — неверно: 7 > 5, значит, выходит ещё одна группа: 17 = 5 · 3 + 2.

Проверять делимость на 3 по последней цифре

Для 3 и 9 последняя цифра ничего не говорит: 13 не делится на 3, а 12 делится. Смотри на сумму цифр.

«Если делится на 9, то не делится на 3»

Наоборот: любое число, делящееся на 9, делится и на 3, ведь 9 = 3 · 3. Но не каждое число, делящееся на 3, делится на 9: 12.

Разобранные задачи

сначала реши сам

Задача 1

Разделите 100 на 7 с остатком.

Показать решение7 · 14 = 98 ≤ 100, 7 · 15 = 105 > 100100 = 7 · 14 + 2

Ответ: неполное частное 14, остаток 2.

Задача 2

Какие цифры можно поставить вместо * в числе 5 * 4, чтобы оно делилось на 9?

Показать решениеСумма цифр: 5 + * + 4 = 9 + *9 + * должно делиться на 9 → * = 0 или * = 9

Ответ: 504 и 594.

В реальной жизни: сколько нужно микроавтобусов?

остаток меняет ответ47 школьников едут на экскурсию, в каждом микроавтобусе 12 мест

В жизненных задачах остаток меняет ответ: раз 47 = 12 · 3 + 11, нужно 4 автобуса. А если 47 конфет поровну разделить между 12 детьми, каждому достанется по 3 конфеты и 11 останется. После деления с остатком всегда спрашивай: что означает остаток?

Проверь себя: 5 тестовых заданий

5 вопросов

1Какое число делится на 3?

2Чему равен остаток от деления 58 на 6?

3Какое число делится и на 2, и на 5?

4Какое число делится на 4?

5Открытый вопрос: 47 школьников едут на экскурсию на 12-местных микроавтобусах. Сколько микроавтобусов нужно как минимум? Запиши ответ числом.

Источник

Программа вступительных экзаменов ДИМ 2026: Математика → Натуральные числа: признаки делимости, деление с остатком.