Ümumdünya cazibə qanunu. Ağırlıq qüvvəsi

div class="hero">Dinamika · Mövzu 5 / 27

Ümumdünya cazibə qanunu. Ağırlıq qüvvəsi

Bu dərsi bir ailənin Şamaxı rəsədxanasına səfəri ilə keçəcəyik: gecə səmada kosmik stansiyanı görəcək, səhər həyətdə topu yuxarı atacaq, axşam qabarıq körpüdən keçərkən “yüngülləşəcəyik”. Hər hadisəni əvvəl animasiyada görəcək, sonra cazibə qanunu ilə hesablayacaq və DİM tapşırıqlarında tətbiq edəcəyik.

≈ 50 dəqiqə5 fəsil7 DİM tapşırığı10-cu sinif materialı

Bu dərsdən sonra bacaracaqsan

• ümumdünya cazibə qanunu ilə qüvvəni və onun kütlə və məsafədən asılı dəyişməsini hesablamağı;
• sərbəstdüşmə təcilini planetin kütləsi, radiusu və hündürlüyə görə tapmağı;
• sərbəst düşmə və şaquli atılma məsələlərini düsturla və qrafiklə həll etməyi;
• liftdə və qabarıq körpüdə çəkini tapmağı, çəkisizliyi izah etməyi;
• birinci kosmik sürəti və peykin orbit sürətini hesablamağı.

Başlamazdan əvvəl xatırla

• Nyutonun II və III qanunları: F = ma, təsir = əks-təsir.
• Bərabərtəcilli hərəkət: υ = υ₀ + at, x = υ₀t + at²/2.
• Çevrə üzrə hərəkətdə mərkəzəqaçma təcili a = υ²/R, υ = 2πR/T.
• Ədədin standart yazılışı: 10⁶, 10⁻¹¹ ilə hesablamalar.

Mündəricat

1. GirişSituasiya: səmada uçan stansiyahekayə və təxmin
2. Fəsil 1Ümumdünya cazibə qanunuF = Gm₁m₂/r² · DİM 01.06.2025
3. Fəsil 2Qravitasiya sahəsi. Ağırlıq qüvvəsig = GM/R², g hündürlükdə
4. Fəsil 3Sərbəst düşmə və şaquli yuxarı atılmah = gt²/2, hmax = υ₀²/2g · DİM 07.06.2026, 13.07.2025
5. Fəsil 4Çəki. Çəkisizlik və ifrat yüklənməP = m(g ± a) · DİM 07.06.2026
6. Fəsil 5Birinci kosmik sürət. Süni peyklərυ₁ = √(gR) · laboratoriya
7. Məşqİmtahan tapşırıqları ilə məşq3 DİM tapşırığı: cavab və rəsmi izah
8. YekunYadda saxlaqısa xülasə və tipik səhvlər
9. YekunMüstəqil iş6 tapşırıq, asandan çətinə

Giriş

Situasiya: səmada uçan stansiya

Hekayə

Ailə həftəsonu Şamaxı rəsədxanasına gəlib. Gecə hamı həyətə çıxır: ulduzlu səmada parlaq nöqtə qərbdən şərqə doğru sürətlə keçir. Bələdçi deyir: “Bu, Beynəlxalq Kosmik Stansiyadır. O, Yerdən cəmi 400 km yuxarıda uçur, içində isə astronavtlar çəkisizlik halında üzürlər.”

Şagird düşünür: “Deməli, orada Yerin cazibəsi yoxdur?” Atası xatırladır ki, Yerin radiusu təxminən 6400 km-dir, yəni 400 km — radiusun cəmi on altıda biri. Sual: stansiyanın hündürlüyündə sərbəstdüşmə təcili Yer səthindəkinin (9,8 m/san²) neçə faizini təşkil edir?

Stansiya bir neçə dəqiqəyə üfüqdən üfüqə keçir; animasiyada bu hərəkət sürətləndirilib.Əvvəlcə təxmin et

Sənin fikrincə, 400 km hündürlükdə sərbəstdüşmə təcili Yer səthindəkinin neçə faizidir? Cavabı 2-ci fəsildə hesablayacağıq.

Bu suala cavab vermək üçün Nyutonun ümumdünya cazibə qanununu, qravitasiya sahəsini, sərbəst düşməni, çəki və çəkisizliyi, nəhayət, peyklərin hərəkətini öyrənəcəyik. Hamısını eyni ailənin rəsədxanaya səfəri boyunca addım-addım quracağıq.

Fəsil 1

Ümumdünya cazibə qanunu

Ağacdan düşən alma ilə Yer ətrafında fırlanan Ay arasında nə ümumilik var? İsaak Nyuton belə nəticəyə gəldi ki, almanı Yerə çəkən qüvvə ilə Ayı orbitdə saxlayan qüvvə eyni təbiətlidir. Kainatda istənilən iki cisim bir-birini cəzb edir — buna qravitasiya (cazibə) deyilir.

Ümumdünya cazibə qanunu

İki maddi nöqtə bir-birini kütlələrinin hasili ilə düz, aralarındakı məsafənin kvadratı ilə tərs mütənasib qüvvə ilə cəzb edir. Qüvvə nöqtələri birləşdirən düz xətt boyunca yönəlib.

F = G·m₁m₂/r²

Burada G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kq² — qravitasiya sabitidir (ilk dəfə 1798-ci ildə H. Kavendiş burulma tərəziləri ilə ölçüb). Qanun bircins kürələr üçün də doğrudur, onda r — kürələrin mərkəzləri arasındakı məsafədir.

Animasiya · cazibə qüvvəsi və məsafəQüvvələr həmişə bərabər və əks yönəlib (Nyutonun III qanunu): Yer almanı nə qədər qüvvə ilə çəkirsə, alma da Yeri o qədər çəkir. Məsafə 2 dəfə artanda qüvvə 4 dəfə, 3 dəfə artanda 9 dəfə azalır.

Bəs niyə yanımızdakı insanların cazibəsini hiss etmirik? Çünki G çox kiçikdir: qravitasiya yalnız heç olmasa bir cismin kütləsi nəhəng olanda (planet, ulduz) nəzərəçarpacaq olur.

Nümunə 1

Rəsədxananın həyətində kütlələri 60 kq olan iki şagird 1 m məsafədə dayanıb. Onlar bir-birini hansı qüvvə ilə cəzb edir? Bu qüvvəni Yerin hər birinə təsir etdiyi ağırlıq qüvvəsi ilə (g = 10 m/san²) müqayisə edin.

1. F = G·m₁m₂/r² = 6,67·10⁻¹¹ · 60 · 60 / 1² ≈ 2,4·10⁻⁷ N.Niyə belədir?

   İnsanları maddi nöqtə saymaq kobud yaxınlaşmadır, amma tərtibi düzgün verir.

2. Ağırlıq qüvvəsi: mg = 60 · 10 = 600 N.
3. Nisbət: 600 / 2,4·10⁻⁷ ≈ 2,5·10⁹ — yəni Yerin cazibəsi milyardlarla dəfə güclüdür.
4. Cavab: ≈ 2,4·10⁻⁷ N; ağırlıq qüvvəsindən təxminən 2,5 milyard dəfə kiçikdir.

DİM tapşırıqlarında adətən ədəd yox, nisbət soruşulur: kütlə və ya məsafə neçə dəfə dəyişib? Belə məsələlərdə düsturu “dəfələrlə” oxumaq kifayətdir: F kütlələrin hər biri ilə düz, r² ilə tərs mütənasibdir.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 01.06.2025

m₁ və m₂ kütləli iki maddi nöqtə arasındakı qravitasiya qüvvəsi F-dir. Kütlələri m₁ və m₃ olan nöqtələr arasındakı qravitasiya qüvvəsi nəyə bərabərdir (m₃=2m₂, bölgülər arasında məsafələr bərabərdir)?

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) FB) F/2C) F/4D) 2FE) 3F

1. Şəkildən: m₁ ilə m₂ arasındakı məsafə 2 bölgüdür, onu r ilə işarə edək. m₁ ilə m₃ arasında 4 bölgü var, yəni 2r.Niyə belədir?

   Bölgülər bərabərdir, ona görə məsafələri bölgülərin sayı ilə müqayisə etmək olar.

2. Kütlə 2 dəfə artır (m₃ = 2m₂) → qüvvə 2 dəfə artır; məsafə 2 dəfə artır → qüvvə 2² = 4 dəfə azalır.
3. F₂ = G·m₁·2m₂/(2r)² = (2/4)·G·m₁m₂/r² = F/2.Niyə belədir?

   DİM izahındakı zəncirin birinci bərabərliyində məxrəcdə r² yazılıb; düzgün yazılış (2r)²-dir — sitatda bu hissə buraxılıb.

4. Cavab: F/2 (B variantı).

Eyni tapşırıq 01.06.2025, IV ixtisas qrupu imtahanında da verilib (A79).

DİM-in rəsmi izahı (01.06.2025)

m₁ və m₂ kütləli iki maddi nöqtə arasındakı qravitasiya qüvvəsi G m₁ · m₂/r² = F olduğu verilmişdir. Kütlələri m₁ və m₃ olan nöqtələr arasındakı məsafə, m₁ və m₂ kütləli cisimlər arasındakı məsafədən 2 dəfə böyük olduğundan, onlar arasında qravitasiya qüvvəsi isə F₂= … G m₁ · 2m₂/(2r)² = 1/2 G m₁ · m₂/r² = F/2 olar.Mənbə: DİM izahı — 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

İki cismin hər birinin kütləsi 2 dəfə artırıldı, aralarındakı məsafə isə 3 dəfə artırıldı. Cazibə qüvvəsi neçə dəfə azaldı?

Kütlələr: × 2 · 2 = × 4; məsafə: : 3² = : 9. Nəticə: 4/9, yəni 9/4 dəfə azalır.

Fəsil 2

Qravitasiya sahəsi. Ağırlıq qüvvəsi

Yer almaya toxunmadan təsir edir. Fizikada belə deyilir: hər kütləli cisim ətrafında qravitasiya sahəsi yaradır və bu sahə oraya düşən başqa cismə təsir göstərir. Sahənin hər nöqtədəki “gücünü” ora qoyulan cismə təsir edən qüvvənin onun kütləsinə nisbəti ilə ölçürlər.

Ağırlıq qüvvəsi və sərbəstdüşmə təcili

Yerin cismə təsir etdiyi cazibə qüvvəsi ağırlıq qüvvəsi adlanır: Fağ = mg. O, cismin ağırlıq mərkəzinə tətbiq olunub və Yerin mərkəzinə doğru yönəlib. Cazibə qanunundan (M — Yerin kütləsi, R — radiusu):

mg = G·Mm/R²  ⇒  g = G·M/R²

g cismin kütləsindən asılı deyil — ona görə Yerin yaxınlığında bütün cisimlər eyni təcillə düşür. Yoxlayaq: g = 6,67·10⁻¹¹ · 6·10²⁴ / (6,4·10⁶)² ≈ 9,8 m/san². Məsələlərdə adətən g = 10 m/san² götürülür.

g-nin hündürlükdən asılılığı

Yer səthindən h hündürlükdə məsafə R + h olur. g₀ — Yer səthindəki qiymətdir.

gh = G·M/(R + h)² = g₀·(R/(R + h))²

Animasiya · hündürlük artdıqca gZond Yerdən uzaqlaşdıqca narıncı ox qısalır: h = R (Yerin mərkəzindən 2R) olanda g 4 dəfə, h = 2R olanda 9 dəfə azalır. Bir neçə yüz kilometr hündürlükdə isə g cəmi təxminən 10% azalır.Hekayə

Rəsədxanadakı suala qayıdaq. Stansiya h = 400 km hündürlükdədir: gh/g₀ = (6400/6800)² ≈ 0,886, yəni gh ≈ 9,8 · 0,886 ≈ 8,7 m/san². Cazibə səthdəkinin təxminən 89%-idir — heç də “yox” deyil!

Bəs astronavtlar niyə üzür? Cavab çəkinin nə olduğundadır: bunu 4-cü və 5-ci fəsillərdə görəcəyik.

Nümunə 2

Yer səthindən hansı hündürlükdə sərbəstdüşmə təcili 4 dəfə azalır? Yerin radiusu 6400 km-dir.

1. g₀/gh = ((R + h)/R)² = 4, deməli (R + h)/R = 2.Niyə belədir?

   g məsafənin kvadratı ilə tərs mütənasibdir: 4 dəfə azalma — məsafə 2 dəfə artıb.

2. R + h = 2R, h = R = 6400 km.
3. Cavab: 6400 km (Yerin radiusu qədər).

Nyuton öz qanununu Ay ilə yoxlayıb. Ay Yerin mərkəzindən təxminən 60R məsafədədir, ona görə orada g = g₀/60² ≈ 9,8/3600 ≈ 2,7·10⁻³ m/san². Ayın orbitdəki mərkəzəqaçma təcili a = 4π²r/T² (r = 3,84·10⁸ m, T = 27,3 sutka) də elə 2,7·10⁻³ m/san² alınır. Almanı düşürən qüvvə Ayı da orbitdə saxlayır!

Özün yoxla

Planetin kütləsi Yerinkindən 8 dəfə, radiusu 2 dəfə böyükdür. Onun səthində sərbəstdüşmə təcili neçə m/san²-dir (Yerdə g = 10 m/san²)?

g = GM/R²: 8/2² = 2 dəfə çox.

Fəsil 3

Sərbəst düşmə və şaquli yuxarı atılma

Hekayə

Səhər rəsədxananın həyətində şagird kiçik rezin topu şaquli yuxarı atır, atası isə telefonun saniyəölçəni ilə vaxtı ölçür. Top qalxır, bir anlıq dayanır, sonra geri düşür və düz şagirdin əlinə qayıdır.

Saniyəölçən 2,4 san göstərir. Şagird soruşur: “Topu hansı sürətlə atdım və o, əlimdən nə qədər yuxarı qalxdı?” Havanın müqaviməti çox kiçikdir, onu nəzərə almırıq.

Top yalnız ağırlıq qüvvəsinin təsiri ilə hərəkət edir; yaşıl ox — topun sürəti.Sərbəst düşmə

Cismin yalnız ağırlıq qüvvəsinin təsiri ilə hərəkəti sərbəst düşmədir. Sərbəst düşən bütün cisimlər, kütləsindən asılı olmayaraq, eyni g təcili ilə hərəkət edir (Qaliley; havası sorulmuş boruda tük və qəpik birlikdə düşür). Sükunətdən düşmə üçün:

υ = gt,   h = gt²/2,   υ² = 2gh

Animasiya · sərbəst düşmə: 1 : 3 : 5Animasiya 2 dəfə yavaşladılıb. Sürət hər saniyə 10 m/san artır, ardıcıl saniyələrdə gedilən yollar 5, 15, 25 m — tək ədədlər kimi 1 : 3 : 5 nisbətindədir. 45 m-dən düşmə 3 san çəkir.Şaquli yuxarı atılma

Şaquli yuxarı atılan cisim də sərbəst düşür: onun təcili həmişə g-dir və aşağı yönəlib. y oxunu yuxarı yönəldək (υ₀ — başlanğıc sürət):

υy = υ₀ − gt,   y = υ₀t − gt²/2

Ən yuxarı nöqtədə υy = 0, buradan qalxma müddətitq = υ₀/g və maksimal hündürlükhmax = υ₀²/(2g). Enmə müddəti qalxma müddətinə bərabərdir, cisim atılma nöqtəsinə həmin sürət modulu ilə qayıdır: uçuş müddəti 2υ₀/g.

Animasiya · şaquli atılma: y(t) və υ(t)υ₀ = 40 m/san: top 4 san qalxır, 80 m hündürlükdə dayanır, 4 san enir. Diqqət: ən yuxarı nöqtədə sürət sıfırdır, amma təcil sıfır deyil — narıncı ox heç vaxt yox olmur. υy(t) qrafiki t oxunu qalxma müddətində kəsir. Bu, aşağıdakı DİM tapşırıqlarının modelidir.Nümunə 3

Hekayədəki məsələ: top atıldıqdan 2,4 san sonra ələ qayıtdı. Başlanğıc sürəti və topun əldən qalxma hündürlüyünü tapın (g = 10 m/san²).

1. Qalxma və enmə müddətləri bərabərdir: tq = 2,4/2 = 1,2 san.Niyə belədir?

   Hərəkət simmetrikdir: enmə ən yuxarı nöqtədən sükunətdən sərbəst düşmədir.

2. υ₀ = g·tq = 10 · 1,2 = 12 m/san.
3. hmax = υ₀²/(2g) = 144/20 = 7,2 m (yoxlama: gtq²/2 = 10 · 1,44/2 = 7,2 m).
4. Cavab: 12 m/san; 7,2 m.

Hekayə

Şagird təəccüblənir: cəmi 2,4 saniyəlik uçuş — və top ikimərtəbəli evin damı hündürlüyünə (7,2 m) qalxıb! Atası əlavə edir: “İki dəfə böyük sürətlə atsan, top 4 dəfə yuxarı qalxar, çünki hündürlük sürətin kvadratı ilə mütənasibdir.”

İmtahanda belə soruşulurDİM · 07.06.2026

Yer səthindən şaquli yuxarı atılmış cismin sürətinin proyeksiyasının zamandan asılılıq qrafiki verilmişdir. Cismin maksimal hündürlüyə qalxma müddətini saniyə ilə hesablayın (havanın müqaviməti nəzərə alınmır, g = 10 m/san²).

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.

1. Qrafikdən: t = 6 san anında υy = −20 m/san. Sürət tənliyinə yazırıq: −20 = υ₀ − 10 · 6, buradan υ₀ = 40 m/san.Niyə belədir?

   Mənfi işarə cismin artıq aşağı hərəkət etdiyini göstərir (y oxu yuxarı yönəlib).

2. Qalxma müddəti: tq = υ₀/g = 40/10 = 4 san — qrafikin t oxunu kəsdiyi an.Niyə belədir?

   İkinci yol: sükunətdən −20 m/san-ə qədər sürətlənmək üçün 20/10 = 2 san lazımdır, deməli 6 − 2 = 4 san.

3. Cavab: 4.

DİM-in rəsmi izahı (07.06.2026)

I üsul. υ₀ başlanğıc sürəti ilə şaquli yuxarı atılmış cismin hərəkət tənliyi υ_y = υ₀ − gt kimi ifadə olunur. Qrafikdə verilənlər kəmiyyətlərin qiymətini yerinə yazmaqla −20 = υ₀ − 10·6 υ₀ = 40 m/san alınır. Onda maksimal qalxma müddəti t_q = υ₀/g = 40/10 = 4san. II üsul. OY oxu boyunca şaquli yuxarı atılmış cisim müəyyən zaman müddətində maksimal hündürlüyə qalxır (t_q), bir an dayanır və OY oxunun əksi istiqamətində sərbəst düşməyə başlayır. Onda υ = gt_d düsturundan düşmə müddətini t_d = 20/10 = 2san olar. Deməli, şaquli yuxarı atılmış 6 san ərzində hərəkətdə olan cismin maksimal hündürlüyə qalxma müddəti t_q = 6 − 2 = 4san olar.Mənbə: DİM izahı — 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

Sürətin başqa mənbəyi də ola bilər — məsələn, çevrə üzrə fırlanma. Ip qırılan anda cisim sürətini saxlayır: bu sürət şaquli yuxarıdırsa, cisim sadəcə şaquli atılmış cisim kimi hərəkət edir.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 13.07.2025

İpə bağlanmış cismi şaquli müstəvidə çevrə üzrə bərabərsürətli hərəkət etdirərək A nöqtəsində ipi qırırlar. Cisim maksimal hündürlüyə müəyyən zaman müddətində qalxır. Cismin dövretmə tezliyini 2 dəfə artırdıqda, onun maksimal hündürlüyə qalxma müddəti necə dəyişər (Havanın müqaviməti nəzərə alınmır)? Uyğun düsturları yazmaqla cavabınızı əsaslandırın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.

1. Çevrə üzrə hərəkətdə xətti sürət υ = 2πnR (n — dövretmə tezliyi). A nöqtəsində sürət çevrəyə toxunan, yəni şaquli yuxarı yönəlib.Niyə belədir?

   Ip qırılandan sonra cismə yalnız ağırlıq qüvvəsi təsir edir.

2. Qalxma müddəti: t = υ/g = 2πnR/g — tezlik ilə düz mütənasibdir.
3. t₂/t₁ = n₂/n₁ = 2: müddət 2 dəfə artır.Niyə belədir?

   Diqqət: DİM izahının son cümləsində “hündürlük 2 dəfə artar” yazılıb — bu səhvdir və sitatdan çıxarılıb. Hündürlük h = υ²/(2g) ~ n², yəni 4 dəfə artar; 2 dəfə artan qalxma müddətidir.

4. Cavab: qalxma müddəti 2 dəfə artar.

DİM-in rəsmi izahı (13.07.2025)

Çevrə üzrə bərabərsürətli hərəkət edən cismin xətti sürəti υ = 2πnR düsturu ilə ifadə olunur. İpi, cisim A nöqtəsində olan anda qırdıqda, sürət vektoru şaquli yuxarı yönəlmiş olur. Şaquli yuxarı atılan cismin maksimal hündürlüyə qalxma müddəti t = υ₀/g = 2πnR/g düsturu ilə ifadə olunacaq. Cismin maksimal hündürlüyə qalxma müddəti dövretmə tezliyi ilə düz mütənasib olduğundan, t₂/t₁ = n₂/n₁ = 2n₁/n₁ = 2 . Yəni, maksimal qalxma hündürlüyü 2 dəfə artar. …Mənbə: DİM izahı — 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

Cisim şaquli yuxarı 20 m/san sürətlə atılıb. Maksimal qalxma hündürlüyü neçə metrdir (g = 10 m/san²)?

h = υ₀²/(2g) = 400/20.

Fəsil 4

Çəki. Çəkisizlik və ifrat yüklənmə

Hekayə

Axşam ailə avtomobillə evə qayıdır. Yolda çayın üstündən keçən qabarıq körpü var; onun əyrilik radiusu R = 45 m-dir. Ata körpüyə 54 km/saat (15 m/san) sürətlə girir.

Körpünün təpəsində kütləsi 50 kq olan şagird bir anlıq “yüngülləşdiyini” hiss edir — sanki oturacaq onu az sıxır. Sual: körpünün təpəsində şagirdin çəkisi nə qədərdir və avtomobil hansı sürətlə getsəydi, şagird tam “çəkisiz” olardı?

Avtomobil körpüdən 15 m/san sabit sürətlə keçir; təpədə onun təcili aşağıya — çevrənin mərkəzinə yönəlib.Çəki

Cismin Yerə cazibəsi nəticəsində dayağa və ya asqıya təsir etdiyi qüvvə çəkidir (P). Ağırlıq qüvvəsi cismə, çəki isə dayağa (asqıya) tətbiq olunur — bunlar müxtəlif qüvvələrdir. Cisim və dayaq sükunətdə və ya bərabərsürətli düzxətli hərəkətdədirsə, P = mg.

Ağırlıq qüvvəsi (qırmızı) cismə, çəki (bənövşəyi) dayağa və ya asqıya tətbiq olunub.Təcilli hərəkətdə çəki

Dayaq cisimlə birlikdə a təcili ilə şaquli hərəkət edirsə, Nyutonun II qanunundan (N — dayağın reaksiya qüvvəsi, P = N): təcil yuxarı yönəlibsə P = m(g + a), aşağı yönəlibsə P = m(g − a). Sürətin istiqaməti rol oynamır — yalnız təcilin istiqaməti!

P = m(g + a)  ↑    P = m(g − a)  ↓

P > mg halı ifrat yüklənmə adlanır; onun ölçüsü k = P/(mg)-dir. Təcil aşağı yönəlib a = g olduqda P = 0 — çəkisizlik: cisim dayağa ümumiyyətlə təsir etmir. Sərbəst düşən hər cisim çəkisizlik halındadır.

Animasiya · liftdə tərəziKütləsi 60 kq olan adam: lift yuxarı yeyinləşəndə və ya aşağı gedərkən yavaşıyanda (təcil yuxarı) tərəzi 72 kq, əksinə — 48 kq göstərir; bərabərsürətli hərəkətdə — 60 kq, sükunətdəki kimi.

Əyri yolda da təcil var. Qabarıq körpünün təpəsində avtomobilin mərkəzəqaçma təcili a = υ²/R aşağı — çevrənin mərkəzinə yönəlib, ona görə P = m(g − υ²/R). Çökək yolda (çuxurda) isə təcil yuxarı yönəlir və P = m(g + υ²/R) — ifrat yüklənmə.

Nümunə 4

Hekayədəki məsələ: m = 50 kq, υ = 15 m/san, R = 45 m. Körpünün təpəsində şagirdin çəkisini tapın. Hansı sürətdə çəki sıfır olardı (g = 10 m/san²)?

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.

1. Mərkəzəqaçma təcili: a = υ²/R = 225/45 = 5 m/san² — aşağı.Niyə belədir?

   Təpədə çevrənin mərkəzi aşağıdadır, şagird avtomobillə birlikdə çevrə qövsü üzrə hərəkət edir.

2. P = m(g − a) = 50 · (10 − 5) = 250 N — sükunətdəkindən (500 N) 2 dəfə az.
3. P = 0 üçün υ²/R = g: υ = √(gR) = √450 ≈ 21,2 m/san ≈ 76 km/saat.Niyə belədir?

   Bu sürətdə yol avtomobili artıq “saxlamır”: daha böyük sürətdə avtomobil körpünün təpəsindən ayrılardı.

4. Cavab: 250 N (2 dəfə az); ≈ 21 m/san (≈ 76 km/saat).

Hekayə

Şagirdin hissi doğru idi: körpünün təpəsində onun çəkisi 2 dəfə azaldı. Atası gülümsəyir: “Ona görə belə körpülərdə sürəti azaldırlar — 76 km/saat-da təkərlər yolu sıxmazdı və sükan işləməzdi.” υ = √(gR) düsturunu yadda saxla: 5-ci fəsildə o, Yerin radiusu ilə “körpü” üçün — peyklər üçün işləyəcək.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 07.06.2026

Kütləsi 1,5 t olan avtomobil 10 m/san sürətlə əyrilik radiusu 20 m olan qabarıq körpü üzərində bərabərsürətlə hərəkət edir. Körpünün tən ortasında avtomobil ona hansı qüvvə ilə təsir edər (g = 10 N/kq)?

A) 30 kNB) 10 kNC) 12,5 kND) 15 kNE) 7,5 kN

1. Körpünün ortasında mərkəzəqaçma təcili: a = υ²/r = 10²/20 = 5 m/san², aşağı yönəlib.Niyə belədir?

   Avtomobil bərabərsürətli hərəkət etsə də, sürətin istiqaməti dəyişir — təcil var.

2. Avtomobilin körpüyə təsir qüvvəsi — onun çəkisi: P = m(g − a) = 1500 · (10 − 5) = 7500 N = 7,5 kN.
3. Cavab: 7,5 kN (E variantı).

Eyni tapşırıq 07.06.2026, IV ixtisas qrupu imtahanında da verilib (A82).

DİM-in rəsmi izahı (07.06.2026)

Qabarıq körpü üzərində avtomobil bərabərsürətlə hərəkət etdikdə çevrənin mərkəzinə yönəlmiş təcil yaranır və avtomobilə təsir edən qüvvə F = m(g − a) = m(g − v²/r) olar. Onda F = 1500·(10 − 100/20) = 1500·5 = 7500N = 7,5kN.Mənbə: DİM izahı — 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

Lift aşağı 2 m/san² təcillə yeyinləşir. İçindəki 60 kq kütləli adamın çəkisi neçə nyutondur (g = 10 m/san²)?

Təcil aşağı: P = m(g − a).

Fəsil 5

Birinci kosmik sürət. Süni peyklər

Nyuton belə bir fikir təcrübəsi təklif edib: çox hündür dağın zirvəsindən topla mərmini üfüqi atırıq. Sürət nə qədər böyükdürsə, mərmi o qədər uzağa düşür. Yer kürə şəklindədir, ona görə müəyyən sürətdə mərmi düşdükcə Yerin səthi də ondan “qaçır” — mərmi heç vaxt Yerə çatmır, onun ətrafında fırlanır. Peyk elə budur: daim düşən, amma Yerə çatmayan cisim.

Birinci kosmik sürət

Dairəvi orbitdə peykin yeganə təcili ağırlıq təcilidir və o, mərkəzəqaçma təcilini təmin edir: υ²/(R + h) = GM/(R + h)². Buradan h hündürlükdə dairəvi orbit sürəti və Yer səthi yaxınlığında (h ≪ R) birinci kosmik sürət:

υ = √(GM/(R + h)),   υ₁ = √(GM/R) = √(gR) ≈ 7,9 km/san

υ₁ = √(9,8 · 6,4·10⁶) ≈ 7,9·10³ m/san. Körpü düsturu ilə müqayisə et: υ = √(gR) — Yer özü radiusu 6400 km olan “qabarıq körpüdür”! Sürət 11,2 km/san-yə (ikinci kosmik sürət) çatanda cisim Yerin cazibəsini tamamilə tərk edir.

Animasiya · stansiya orbitdə: çəkisizlikOrbit və Yer miqyasla çəkilib — 400 km Yerin radiusunun yanında çox azdır. Stansiya da, içindəki astronavt və alma da eyni g təcili ilə Yerə doğru “düşür”, ona görə onlar bir-birinə təsir etmir: astronavtın çəkisi sıfırdır. Dövr 93 dəq 10 san-yə sıxılıb.Nümunə 5

Kosmik stansiya Yer səthindən 400 km hündürlükdə dairəvi orbitlə fırlanır. Onun sürətini və fırlanma dövrünü tapın (R = 6400 km, g₀ = 9,8 m/san²).

1. GM = g₀R², ona görə υ = √(g₀R²/(R + h)) = √(9,8 · (6,4·10⁶)² / 6,8·10⁶) ≈ 7,7·10³ m/san.Niyə belədir?

   G və M-i ayrıca bilmək lazım deyil: səthdə g₀ = GM/R².

2. Dövr: T = 2π(R + h)/υ = 2 · 3,14 · 6,8·10⁶ / 7,7·10³ ≈ 5,6·10³ san ≈ 93 dəq.
3. Orbitdə təcil: a = υ²/(R + h) ≈ 8,7 m/san² — 2-ci fəsildə tapdığımız g-nin özü.
4. Cavab: ≈ 7,7 km/san; ≈ 93 dəq (sutkada təxminən 15,5 dövr).

Hekayə

Rəsədxanada eşitdiyimiz cümlə indi aydındır: astronavtlar cazibə olmadığı üçün yox, stansiya ilə birlikdə 7,7 km/san sürətlə Yerin ətrafında “düşdükləri” üçün üzürlər. Stansiyada g ≈ 8,7 m/san², amma çəki sıfırdır — necə ki, sərbəst düşən liftdə olardı.

İndi özün sına: Nyutonun topundan atılan mərminin sürətini dəyiş və onun düşdüyünü, dairəvi və elliptik orbitə çıxdığını, nəhayət, Yerdən uzaqlaşdığını gör.

Laboratoriya · Nyutonun topuAnimasiya · üfüqi atılan mərmi və orbitüfüqi atılma sürəti υ₀6.5 km/sanHava yoxdur; “dağ” 400 km hündürlükdədir (şəkildə qabarıq göstərilib). Sürəti 5 km/san-dən başlayıb tədricən artır: mərmi getdikcə uzağa düşür; 7,7 km/san-də dairəvi orbit alınır. Miqyas avtomatik dəyişir — böyük orbitlərdə Yer kiçik görünür.Özün yoxla

Planetin radiusu 1600 km, səthində sərbəstdüşmə təcili 1,6 m/san²-dir. Bu planet üçün birinci kosmik sürəti km/san ilə tapın.

υ₁ = √(gR) = √(1,6 · 1,6·10⁶) m/san.

Məşq

İmtahan tapşırıqları ilə məşq

Bu tapşırıqlar DİM imtahanlarındandır. Əvvəl özün həll et, sonra “Cavab və DİM izahı” düyməsini aç.

DİM · 13.07.2025

Yer səthindən şaquli yuxarı atılmış cismin sürətinin modulunun zamandan asılılıq qrafikinə görə onun maksimal qalxma hündürlüyünü hesablayın (havanın müqaviməti nəzərə alınmır, g = 10 m/san² )

A) 20 mB) 100 mC) 60 mD) 50 mE) 80 mCavab və DİM izahı

Cavab: 80 m (E variantı).

Qrafikdən müəyyən olunur ki, cismin maksimal hündürlüyə qalxma müddəti 4 saniyədir. Maksimal qalxma hündürlüyünün qalxma müddətindən asılılıq düsturundan h_max = gt_q²/2 = (10 m/san² · 16san²)/2 = 80m alınır.Mənbə: DİM izahı — 13.07.2025, IV ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 07.06.2026

Yer səthindən şaquli istiqamətdə yuxarı atılmış cismin koordinatının zamandan asılılıq qrafiki verilmişdir. Bu cismin maksimal hündürlüyə qalxma müddətini hesablayın (g = 10 m/san², havanın müqaviməti nəzərə alınmır).

A) 3 sanB) 3,5 sanC) 2 sanD) 2,5 sanE) 4 sanCavab və DİM izahı

Cavab: 3 san (A variantı).

Yer səthindən şaquli yuxarı atılmış cismin hərəkətini ifadə edən qrafikdən 1 saniyə müddətində 25m yerdəyişmə … cismin qalxdığı hündürlük h = υ₀t − gt²/2 düsturuna əsasən cismin başlanğıc sürətini υ₀·1 − 10·1²/2 = 25 hesablamaq olar. υ₀ − 5 = 25 υ₀ = 30 m/san Onda cismin maksimal hündürlüyə qalxma müddəti t_q = υ₀/g = 30/10 = 3sanMənbə: DİM izahı — 07.06.2026, IV ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 12.07.2026

Uyğunluğu müəyyən edin.Yer səthindən şaquli yuxarı atılmış cisim maksimal hündürlüyə qalxana qədər onun (cismə təsir edən ağırlıq qüvvəsini sabit qəbul etməli, havanın müqaviməti nəzərə alınmır):1. Artır2. Azalır3. Dəyişmira. sürətinin modulub. təcilinin moduluc. Yer səthinə nəzərən potensial enerjisid. tam mexaniki enerjisie. kinetik enerjisi

Açıq tapşırıq: cavabı özün yaz.

Cavab və DİM izahı

Cavab: 1 – c; 2 – a, e; 3 – b, d.

Yer səthindən şaquli yuxarı atılmış cisim yalnız ağırlıq qüvvəsinin təsiri altında hərəkət edir. Yuxarıya doğru hərəkət halında cismə təsir edən ağırlıq qüvvəsi hərəkətin əksinə yönəldiyindən, cisim yuxarıya doğru yavaşıyan hərəkət edəcək. Ona görə də cismin sürətinin modulu və kinetik enerjisi azalır. Yuxarıya doğru hərəkət zamanı Yer səthindən olan hündürlük artdığına görə cismin Yer səthinə nəzərən potensial enerjisi artır. Cismə təsir edən ağırlıq qüvvəsi sabit qəbul edildiyindən, sərbəstdüşmə təcilinin modulu dəyişməyəcək. Havanın müqaviməti nəzərə alınmadığından tam mexaniki enerji sabit qalacaq.Mənbə: DİM izahı — 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

Eyni tapşırıq 12.07.2026, IV ixtisas qrupu imtahanında da verilib (A87).

Yekun

Yadda saxla

• Ümumdünya cazibə qanunu: F = G·m₁m₂/r², G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kq²; məsafə n dəfə artanda qüvvə n² dəfə azalır.
• Ağırlıq qüvvəsi mg; g = GM/R² kütlədən asılı deyil; hündürlükdə gh = g₀(R/(R + h))².
• Sərbəst düşmə: υ = gt, h = gt²/2; ardıcıl saniyələrdə yollar 1 : 3 : 5 …
• Şaquli yuxarı atılma: υy = υ₀ − gt, tq = υ₀/g, hmax = υ₀²/(2g); ən yuxarı nöqtədə υ = 0, amma a = g.
• Çəki dayağa (asqıya) tətbiq olunur; ağırlıq qüvvəsi — cismə. Sükunətdə P = mg.
• Təcil yuxarı: P = m(g + a) (ifrat yüklənmə); təcil aşağı: P = m(g − a); a = g olanda çəkisizlik.
• Qabarıq körpü: P = m(g − υ²/R); çökək yol: P = m(g + υ²/R).
• Orbit sürəti υ = √(GM/(R + h)); birinci kosmik sürət υ₁ = √(gR) ≈ 7,9 km/san.

Tipik səhvlər

Kosmosda cazibə yoxdur, ona görə astronavtlar üzür

400 km hündürlükdə g ≈ 8,7 m/san². Astronavtlar stansiya ilə birlikdə sərbəst düşür, ona görə çəkiləri sıfırdır.

Çəki və ağırlıq qüvvəsi eyni qüvvədir

Ağırlıq qüvvəsi cismə, çəki dayağa tətbiq olunur. Onlar yalnız sükunətdə və bərabərsürətli hərəkətdə ədədi qiymətcə bərabərdir; liftdə və körpüdə fərqlidir.

Ağır cisim yüngüldən tez düşür

Hava olmasa, bütün cisimlər eyni g təcili ilə düşür: g = GM/R² cismin kütləsindən asılı deyil.

Ən yuxarı nöqtədə cismin təcili sıfırdır

Sıfır olan sürətdir. Təcil bütün uçuş boyu g-dir və aşağı yönəlib, yoxsa cisim yuxarıda “ilişib” qalardı.

Yekun

Müstəqil iş

Tapşırıqlar asandan çətinə düzülüb. Əvvəl özün həll et, sonra variantı seç; izah cavabdan sonra açılır.

1 · 1-ci səviyyə

İki cisim arasındakı məsafə 2 dəfə artırıldı. Cazibə qüvvəsi:

F ~ 1/r²: 2² = 4.

2 · 1-ci səviyyə

Cisim hansı halda çəkisizlik halındadır?

Sərbəst düşən cismin təcili g-dir, P = m(g − g) = 0.

3 · 2-ci səviyyə

Top şaquli yuxarı 30 m/san sürətlə atılıb. Maksimal qalxma hündürlüyü (g = 10 m/san²):

h = υ₀²/(2g) = 900/20 = 45.

4 · 2-ci səviyyə

Yuxarı qalxan lift 3 m/san² təcillə yavaşıyır. İçindəki 70 kq kütləli adamın çəkisi (g = 10 m/san²):

Yuxarı gedərkən yavaşıma — təcil aşağı: P = 70 · (10 − 3) = 490 N.

5 · DİM səviyyəsi

Yer səthindən hansı hündürlükdə sərbəstdüşmə təcili 9 dəfə azalır (R — Yerin radiusu)?

(R + h)/R = 3, h = 2R.

6 · DİM səviyyəsi

Planetin sıxlığı Yerinki qədərdir, radiusu isə 2 dəfə böyükdür. Onun birinci kosmik sürəti Yerinkindən:

M ~ ρR³, g = GM/R² ~ R → g 2 dəfə artır; υ₁ = √(gR) → √(2 · 2) = 2.

İmtahan tapşırıqları və rəsmi izahlar — DİM:

1. 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Ümumdünya cazibə qanunu (A variantı, 34; B-47, C-42, D-46)
2. 01.06.2025, IV ixtisas qrupu (PDF) — Ümumdünya cazibə qanunu (A variantı, 79; B-81, C-67, D-69)
3. 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Ağırlıq qüvvəsi. Ümumdünya cazibə qanunu (A variantı, 58; B-58, C-58, D-58)
4. 13.07.2025, IV ixtisas qrupu (PDF) — Ağırlıq qüvvəsi. Ümumdünya cazibə qanunu (A variantı, 74; B-74, C-78, D-62)
5. 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Ağırlıq qüvvəsi. Ümumdünya cazibə qanunu (A variantı, 59; B-59, C-59, D-59); Ağırlıq qüvvəsi. Ümumdünya cazibə qanunu (A variantı, 33; B-49, C-43, D-37)
6. 07.06.2026, IV ixtisas qrupu (PDF) — Ağırlıq qüvvəsi.Ümumdünya cazibə qanunu (A variantı, 66; B-82, C-81, D-63); Ağırlıq qüvvəsi. Ümumdünya cazibə qanunu (A variantı, 82; B-75, C-68, D-71)
7. 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Ağırlıq qüvvəsi. Ümumdünya cazibə qanunu (A variantı, 57; B-57, C-57, D-57)
8. 12.07.2026, IV ixtisas qrupu (PDF) — Ağırlıq qüvvəsi. Ümumdünya cazibə qanunu (A variantı, 87; B-87, C-87, D-87)

Hekayə, səhnələr, nümunələr, “Özün yoxla” və “Müstəqil iş” tapşırıqları bizimdir, DİM-ə aid deyil. DİM tapşırıqları və izahları mənbədəki kimi verilib; “…” işarəsi buraxılmış hissəni göstərir.