Kvadrat funksiya və qrafiklərin çevrilmələri

Funksiyalar və qrafiklər · Mövzu 23 / 46

Kvadrat funksiya və qrafiklərin çevrilmələri

Bu dərsi parkda gəzinti hekayəsi ilə keçəcəyik: fəvvarənin su şırnağı, onun yenilənməsi və gölməçənin üstündəki körpünün sudakı əksi bizi kvadrat funksiyaya və qrafiklərin çevrilməsinə aparacaq: parabolanın təpəsi, sıfırları, paralel köçürmə, dartılma və simmetriya.

≈ 45 dəqiqə4 fəsil6 DİM tapşırığı8–9-cu sinif materialı

Bu dərsdən sonra bacaracaqsan

• parabolanın təpəsini düsturla və tam kvadrat ayırmaqla tapmağı;
• təpənin absisini sıfırların ortası kimi tapmağı;
• y = f(x − m) + n, y = a·f(x) çevrilmələri ilə qrafik qurmağı;
• Ox, Oy və koordinat başlanğıcına nəzərən simmetriya ilə DİM tapşırıqlarını həll etməyi.

Başlamazdan əvvəl xatırla

• Kvadrat tənlik, diskriminant: D = b² − 4ac.
• Tam kvadrat: (x − a)² = x² − 2ax + a².
• İki nöqtə arasındakı məsafə: √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).

Mündəricat

1. GirişSituasiya: fəvvarənin şırnağı nə qədər yüksəyə qalxır?hekayə və təxmin
2. Fəsil 1Kvadrat funksiya və parabolanın təpəsitəpə · simmetriya oxu · DİM 24.05.2026
3. Fəsil 2Parabolanın sıfırları və simmetriya oxum = (x₁ + x₂)/2 · DİM 09.03.2026
4. Fəsil 3Qrafiklərin paralel köçürülməsi və dartılmasıy = f(x − m) + n · y = a·f(x)
5. Fəsil 4Qrafiklərin simmetrik çevrilməsiOx, Oy, O · DİM 09.03.2025, 02.03.2025, 19.04.2026
6. Məşqİmtahan tapşırıqları ilə məşq1 DİM tapşırığı: cavab və rəsmi izah
7. YekunYadda saxlaqısa xülasə və tipik səhvlər
8. YekunMüstəqil iş6 tapşırıq, asandan çətinə

Giriş

Situasiya: fəvvarənin şırnağı nə qədər yüksəyə qalxır?

Hekayə

Şəhər parkında dairəvi hovuz var. Hovuzun kənarındakı ucluqdan çıxan su şırnağı qövs cızıb 8 m uzağa düşür. Park işçisi şırnağın içinə ölçü çubuğunu tutur: ucluqdan 2 m məsafədə şırnaq 3 m hündürlükdədir.

Su şırnağı paraboladır. Bu məlumatlarla şırnağın ən yüksək nöqtəsinin hündürlüyünü tapmaq olarmı?

Şırnaq ucluqdan 8 m uzağa düşür; 2 m məsafədə hündürlüyü 3 m-dir.Əvvəlcə təxmin et

Sənin fikrincə, şırnaq ən çoxu neçə metr yüksəyə qalxır? Təxminini seç: 2-ci fəsildə birlikdə hesablayacağıq.

Fəsil 1

Kvadrat funksiya və parabolanın təpəsi

Tərif

y = ax² + bx + c (a ≠ 0) düsturu ilə verilən funksiya kvadrat funksiya adlanır. Onun qrafiki paraboladır: a > 0 olduqda qolları yuxarı, a < 0 olduqda aşağı yönəlir. Parabola Oy oxunu (0; c) nöqtəsində kəsir.

Parabolanın ən vacib nöqtəsi təpədir: a > 0 olduqda funksiya orada ən kiçik, a < 0 olduqda ən böyük qiymətini alır. Təpədən keçən şaquli düz xətt x = m parabolanın simmetriya oxudur.

Təpənin koordinatları

y = ax² + bx + c parabolasının təpəsi (m; n) nöqtəsidir:

m = −b/(2a),   n = f(m) = −D/(4a) = (4ac − b²)/(4a)

Düstur tam kvadrat ayırmaqdan alınır: ax² + bx + c = a(x + b/(2a))² + (4ac − b²)/(4a). Mötərizədəki kvadrat x = −b/(2a) olanda sıfırdır — təpə orada yerləşir.

Təpə, simmetriya oxu, Oy ilə kəsişmə və sıfırlar.Nümunə 1

y = 2x² − 12x + 13 parabolasının təpəsini tapın.

1. Absis: m = −(−12)/(2·2) = 3.Niyə belədir?

   Düsturda b-nin işarəsi ilə birlikdə yazılmasına diqqət et: b = −12.

2. Ordinat: n = f(3) = 18 − 36 + 13 = −5.Niyə belədir?

   n-i tapmağın ən asan yolu m-i funksiyada yerinə yazmaqdır.

3. Yoxlama — tam kvadrat: 2x² − 12x + 13 = 2(x − 3)² − 5.
4. Cavab: (3; −5).

Özün yoxla

y = −x² + 6x − 1 parabolasının təpəsinin ordinatını tapın.

m = 3, n = f(3).

Təpənin hansı rübdə yerləşdiyi onun koordinatlarının işarələrindən asılıdır: I rüb — m > 0, n > 0, II — m < 0, n > 0, III — m < 0, n < 0, IV — m > 0, n < 0. Parametrli tapşırıqlarda m və n-i parametrlə ifadə edib iki bərabərsizlik həll edirik.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 24.05.2026

k-nın hansı ən böyük tam qiymətində f(x) = x² + 2(k − 5)x + k² parabolasının təpə nöqtəsi IV rübdə yerləşər?

A) 2B) 1C) −3D) −4E) 4

1. Təpənin absisi: m = −2(k − 5)/2 = 5 − k.Niyə belədir?

   Burada a = 1, b = 2(k − 5), c = k².

2. Ordinat: n = f(m) = k² − (k − 5)² = 10k − 25.Niyə belədir?

   x² + 2(k − 5)x + k² = (x + k − 5)² + k² − (k − 5)², ona görə n = k² − (k − 5)².

3. IV rüb: m > 0 → k < 5; n < 0 → k < 2,5. Birlikdə k < 2,5.
4. Ən böyük tam qiymət: k = 2. Yoxlama: k = 2 olduqda təpə (3; −5) — IV rübdədir.Niyə belədir?

   k = 3 olduqda n = 5 > 0 — təpə I rübə keçir.

5. Cavab: 2 (A variantı).

DİM-in rəsmi izahı (24.05.2026)

y = ax² + bx + c parabolasının təpə nöqtələrinin (m; n) koordinatları m = −b/(2a), n = −D/(4a) düsturlarından tapıldığından onun IV rübdə yerləşməsi üçün m>0, n<0 olmalıdır. Onda f(x) = x² + 2(k − 5)x + k² parabolasında m = −2(k − 5)/(2·1) = 5 − k > 0, k < 5; n = −((2(k − 5))² − 4·1·k²)/(4·1) = −(k − 5)² + k² = = 10k − 25 < 0, k < 2,5. k<5 və k<2,5 bərabərsizliklərin kəsişməsindən k < 2,5 alınır və k-nın ən böyük tam qiyməti 2 olur.Mənbə: DİM izahı — 24.05.2026, II ixtisas qrupu (PDF)

Fəsil 2

Parabolanın sıfırları və simmetriya oxu

Parabola simmetriya oxuna nəzərən simmetrikdir: oxdan eyni məsafədə duran iki nöqtədə funksiyanın qiymətləri bərabərdir. Xüsusən, parabolanın Ox oxu ilə kəsişmə nöqtələri — funksiyanın sıfırları — oxa nəzərən simmetrikdir.

Təpə sıfırların ortasındadır

x₁ və x₂ kvadrat funksiyanın sıfırlarıdırsa (və ya sadəcə f(x₁) = f(x₂)), təpənin absisi onların ortasıdır:

m = (x₁ + x₂)/2

Sıfırlar məlum olanda funksiyanı vuruqlara ayrılmış şəkildə yazmaq rahatdır: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂).

Hekayə

Fəvvarəyə qayıdaq. Ucluğu koordinat başlanğıcı götürək: şırnağın hündürlüyü h(x) sıfırlara malikdir (ucluq və düşmə nöqtəsi), yəni h(x) = a·x(x − 8). h(2) = 3 şərtindən a·2·(−6) = 3, a = −1/4. Təpə sıfırların ortasındadır: x = (0 + 8)/2 = 4, h(4) = −1/4 · 4 · (−4) = 4. Şırnaq 4 m yüksəyə qalxır.

Özün yoxla

Parabola Ox oxunu −3 və 9 nöqtələrində kəsir. Onun təpəsinin absisini tapın.

(−3 + 9)/2.

Növbəti DİM tapşırığında sıfırları planimetriya ilə tapmaq lazımdır. Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuza çəkilmiş hündürlük hipotenuzu iki parçaya bölür və h² = parça₁ · parça₂ (hündürlük bu parçaların orta mütənasibidir).

İmtahanda belə soruşulurDİM · 09.03.2026

f(x) = ax² + bx + c funksiyasının qrafiki verilmişdir. AC ⊥ BC, CO = 5, BO = 25·AO olarsa, parabolanın təpə nöqtəsinin absisini tapın.

Şəkildə qolları aşağı yönəlmiş parabola Ox oxunu A (mənfi yarımoxda) və B (müsbət yarımoxda), Oy oxunu C nöqtəsində kəsir; C təpəsində düz bucaq işarəsi var. Sxem miqyassızdır.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.

1. ACB üçbucağında C düz bucaqdır, CO isə hipotenuz AB-yə çəkilmiş hündürlükdür: CO² = AO · BO.Niyə belədir?

   ACO və CBO üçbucaqları oxşardır: AO/CO = CO/BO.

2. AO = k, BO = 25k olsun: 25 = k · 25k, k² = 1, k = 1.
3. A mənfi yarımoxda, B müsbət yarımoxdadır: sıfırlar x₁ = −1 və x₂ = 25.Niyə belədir?

   Uzunluqlar müsbətdir, absislərin işarəsini şəkildən götürürük.

4. Təpənin absisi: m = (−1 + 25)/2 = 12.
5. Cavab: 12.

DİM-in rəsmi izahı (09.03.2026)

ACB düzbucaqlı üçbucağında AO=k, BO=25 k, hipotenuza çəkilmiş CO hündürlüyü 5 olduğundan, 25=25k·k, k²=1, k=1 (k=–1 olmaz) alınır. Onda AO=1 olduğundan A nöqtəsinin absisi (–1), BO=25 olduğundan B nöqtəsinin absisi 25 olur. Kvadrat funksiyanın sıfırları (–1) və 25, parabolanın təpə nöqtəsinin absisi m = (−1 + 25)/2 = 12 olur.Mənbə: DİM izahı — 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

Fəsil 3

Qrafiklərin paralel köçürülməsi və dartılması

Hekayə

Bir neçə gündən sonra fəvvarə yenilənir: usta ucluğu hovuzun içində qoyulmuş 2,25 m hündürlüyündə postamentin üstünə qaldırır. Şırnağın forması dəyişmir — sadəcə bütövlükdə 2,25 m yuxarı qalxır.

Əvvəllər şırnaq ucluqdan 8 m uzağa düşürdü. Bəs indi, postamentdən çıxan şırnaq ucluğun dibindən neçə metr uzağa düşəcək?

Yeni şırnaq köhnəsinin 2,25 m yuxarı köçürülmüş surətidir.

Qrafikin “bütövlükdə” yerini dəyişməsi funksiyanın düsturunda sadə dəyişikliklə ifadə olunur. y = f(x) funksiyasının qrafikindən başlayaq:

Qrafiklərin çevrilməsi

y = f(x) + n — qrafik Oy boyunca n vahid yuxarı (n > 0) və ya aşağı (n < 0) köçürülür;y = f(x − m) — qrafik Ox boyunca m vahid sağa (m > 0) və ya sola (m < 0) köçürülür;y = a·f(x) (a > 0) — qrafik Oy boyunca a dəfə dartılır (a > 1) və ya sıxılır (0 < a < 1).

Diqqət: y = (x + 3)² qrafiki sola köçür, çünki təpə x + 3 = 0, yəni x = −3 olanda alınır. Bütün bu çevrilmələri birləşdirsək, y = a(x − m)² + n parabolası alınır: o, y = x² parabolasının a dəfə dartılıb təpəsi (m; n) nöqtəsinə köçürülmüş surətidir. Eyni qaydalar y = |x|, y = √x, y = 1/x qrafiklərinə də aiddir.

Laboratoriya · parabolanı köçür və darta1m2n-3Hekayə

Köhnə şırnaq: h(x) = −0,25(x − 4)² + 4. Yeni şırnaq onun 2,25 vahid yuxarı köçürülmüş surətidir: h₁(x) = −0,25(x − 4)² + 6,25, təpə (4; 6,25). Şırnaq suya düşəndə h₁(x) = 0: (x − 4)² = 25, x = 9 (mənfi kök postamentin arxasındadır). Yeni şırnaq 9 m uzağa düşür — əvvəlkindən 1 m uzağa.

Nümunə 2

y = 2x² parabolasını 3 vahid sağa və 1 vahid aşağı köçürdülər. Alınan parabolanın düsturunu və təpəsini yazın.

1. Sağa 3 vahid: x əvəzinə x − 3 yazırıq — y = 2(x − 3)².Niyə belədir?

   Yeni qrafikin x nöqtəsində köhnə qrafikin x − 3 nöqtəsindəki qiyməti durur: hər şey 3 vahid gecikir, yəni sağa sürüşür.

2. Aşağı 1 vahid: y = 2(x − 3)² − 1.
3. Təpə (3; −1); açsaq: y = 2x² − 12x + 17.
4. Cavab: y = 2(x − 3)² − 1, təpə (3; −1).

Özün yoxla

y = (x − 1)² + 4 parabolası 3 vahid sola və 5 vahid aşağı köçürüldü. Yeni parabolanın təpəsinin ordinatını tapın.

Təpə (1; 4) → (1 − 3; 4 − 5).

Fəsil 4

Qrafiklərin simmetrik çevrilməsi

Hekayə

Axşam ailə parkın gölməçəsinə gəlir. Gölməçənin üstündə parabola formalı tağvari körpü var: aşırımı 10 m, ən yüksək nöqtəsi A sudan 2,5 m yuxarıdadır. Su sakitdir və körpünün əksi tamamilə aydın görünür.

Su səthini Ox oxu, körpünün ortasından keçən şaquli xətti Oy oxu götürək. Əksdəki B nöqtəsi A-nın əksidir. Körpünün əksi hansı funksiyanın qrafikidir və A ilə B arasındakı məsafə nə qədərdir?

Körpü və onun əksi su səthinə (Ox oxuna) nəzərən simmetrikdir.Simmetrik çevrilmələr

Ox oxuna nəzərən: y = −f(x) — hər (x; y) nöqtəsi (x; −y) nöqtəsinə keçir;Oy oxuna nəzərən: y = f(−x) — (x; y) nöqtəsi (−x; y) nöqtəsinə keçir;koordinat başlanğıcına nəzərən: y = −f(−x) — (x; y) nöqtəsi (−x; −y) nöqtəsinə keçir.

Parabola üçün bu o deməkdir ki, y = a(x − m)² + n parabolasının təpəsi (m; n) simmetriyada sadəcə nöqtə kimi çevrilir: Ox-a nəzərən (m; −n) (və qollar əks tərəfə yönəlir), Oy-a nəzərən (−m; n), başlanğıca nəzərən (−m; −n).

Hekayə

Körpü: y = −0,1x² + 2,5. Əks Ox oxuna nəzərən simmetrikdir: y = 0,1x² − 2,5. A(0; 2,5) nöqtəsi B(0; −2,5) nöqtəsinə keçir, AB = 2,5 + 2,5 = 5 m. Əksdə körpünün ən yüksək nöqtəsi ən aşağı nöqtəyə çevrilir.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 09.03.2025

A (m; n) nöqtəsi y = x² − 8x + 18 funksiyasına uyğun parabolanın təpə nöqtəsidir. Bu funksiyanın qrafikinin absis oxuna, koordinat başlanğıcına və ordinat oxuna nəzərən simmetrik çevrilmələrindən alınan parabolaların təpə nöqtələri uyğun olaraq B, C və D nöqtələridir. ABCD dördbucaqlısının perimetrini hesablayın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.

1. Tam kvadrat: x² − 8x + 18 = (x − 4)² + 2, deməli A(4; 2).Niyə belədir?

   Yoxlama düsturla: m = 8/2 = 4, n = 16 − 32 + 18 = 2.

2. Təpəni nöqtə kimi çeviririk: Ox → B(4; −2), O → C(−4; −2), Oy → D(−4; 2).Niyə belədir?

   Parabolaları tam yazmağa ehtiyac yoxdur — yalnız təpələr lazımdır.

3. ABCD tərəfləri oxlara paralel olan düzbucaqlıdır: AB = |2 − (−2)| = 4, BC = |4 − (−4)| = 8.
4. P = 2(4 + 8) = 24.
5. Cavab: 24.

DİM-in rəsmi izahı (09.03.2025)

Şərtə görə A (m; n) nöqtəsi y = x² − 8x + 18 funksiyasına uyğun parabolanın təpə nöqtəsidir. m və n koordinatlarını müxtəlif üsullarla tapmaq olar:1. y = x² − 8x + 18 = x² − 8x + 16 + 2 = (x − 4)² + 22. m = −b/(2a) = 8/2 = 4, n = (4ac − b²)/(4a) = (4·1·18 − 8²)/(4·1) = 2Beləliklə, A (4; 2) verilmiş parabolanın təpəsidir.Bu funksiyanın qrafikini absis oxu, koordinat başlanğıcı və ordinat oxuna nəzərən simmetrik çevirək:y = (x − 4)² + 2 ←OX→ y = −(x − 4)² − 2 ⇒ B(4; −2)y = (x − 4)² + 2 ←O(0;0)→ y = −(x + 4)² − 2 ⇒ C(−4; −2)y = (x − 4)² + 2 ←OY→ y = (x + 4)² + 2 ⇒ D(−4; 2) …ABCD dördbucaqlısı düzbucaqlıdır. Onun tərəflərinin uzunluqlarını hesablayaq.|AB| = |−2 − 2| = 4|BC| = |−4 − 4| = 8P_ABCD = 2(AB + BC) = 2·12 = 24Mənbə: DİM izahı — 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

İmtahanda belə soruşulurDİM · 02.03.2025

f(x) = (1/4)(x + 4)² + 3 və g(x) funksiyalarının qrafikləri koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik olarsa, AB + CD məsafəsini tapın.

Şəkildə A və B — parabolaların təpələri, C və D — onların Oy oxu ilə kəsişmə nöqtələridir.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.

1. f-in təpəsi A(−4; 3); Oy ilə kəsişmə: f(0) = (1/4)·16 + 3 = 7, yəni C(0; 7).Niyə belədir?

   y = a(x − m)² + n şəklindən təpə dərhal oxunur: m = −4, n = 3.

2. Başlanğıca nəzərən simmetriyada (x; y) → (−x; −y): B(4; −3), D(0; −7).Niyə belədir?

   g-nin qrafiki f-in qrafikinin nöqtə-nöqtə əksidir, ona görə təpə təpəyə, Oy ilə kəsişmə Oy ilə kəsişməyə keçir.

3. AB = √(8² + 6²) = 10, CD = 7 + 7 = 14.
4. AB + CD = 24.
5. Cavab: 24.

DİM-in rəsmi izahı (02.03.2025)

Göründüyü kimi f(x) funksiyasının qrafiki paraboladır. Bu parabolanın təpə nöqtəsi A(−4;3), ordinat oxunu kəsdiyi nöqtə isə C(0;7)-dir. Şərtə görə f(x) və g(x) funksiyalarının qrafikləri koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik olduğundan g(x) funksiyasının təpə nöqtəsi B(4;−3), ordinat oxunu kəsdiyi nöqtə isə D(0;−7)-dir. İki nöqtə arasındakı məsafə düsturundan istifadə etməklə AB = √((4+4)² + (−3−3)²) = 10 və CD = √((0−0)² + (−7−7)²) = 14 alırıq.Beləliklə, AB + CD = 24 olar.Mənbə: DİM izahı — 02.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

İmtahanda belə soruşulurDİM · 19.04.2026

Oy oxuna nəzərən simmetrik olan y = f(x) və y = g(x) kvadratik funksiyalarının qrafikləri verilmişdir. g(10) = −8 olarsa, MNK üçbucağının perimetrini tapın (M və N nöqtələri parabolalarının təpə nöqtələridir).

Şəkildə M və N — parabolaların təpələri, K — onların Oy üzərindəki kəsişmə nöqtəsidir; N-dən oxlara qırıq xətlər 5 və −3 qiymətlərini göstərir.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.

1. Oy-a nəzərən simmetriya: N(5; −3) → M(−5; −3), deməli MN = 10.Niyə belədir?

   Şəkildə N-dən oxlara qırıq xətlər 5 və −3 qiymətlərini göstərir.

2. g-nin simmetriya oxu x = 5-dir; 0 və 10 bu oxdan eyni məsafədədir, ona görə g(0) = g(10) = −8, yəni K(0; −8).Niyə belədir?

   Bu, 2-ci fəsildəki xassədir: f(x₁) = f(x₂) ⇔ x₁ və x₂ oxa nəzərən simmetrikdir.

3. T(0; −3) olsun: TN = 5, TK = 5, deməli NK = MK = √(25 + 25) = 5√2.
4. P = 10 + 2·5√2 = 10(√2 + 1).
5. Cavab: 10(√2 + 1).

DİM-in rəsmi izahı (19.04.2026)

I üsul: N(5;−3) ←OY→ M(−5;−3) → |MN| = 10; g(0) = g(10) = −8 (x=5 düz xətti y=g(x) funksiyasının simmetriya oxudur.) K(0;-8); T(0;-3), |TK| = 5; ΔTNK = ΔTMK, Pifaqor teoreminə görə |MK| = |NK| = 5√2; P_ΔMNK = 10(√2 + 1). …Mənbə: DİM izahı — 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF)

Özün yoxla

y = (x − 2)² + 3 parabolası koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik çevrildi. Alınan parabolanın təpəsinin ordinatını tapın.

(2; 3) → (−2; −3).

Məşq

İmtahan tapşırıqları ilə məşq

DİM · 25.05.2025

m-in hansı ən kiçik tam qiymətində f(x) = x² + 2(m − 5)x + m² parabolasının təpə nöqtəsi I rübdə yerləşər?

“m_əktq” — m-in ən kiçik tam qiyməti. Oxşar tapşırıq 1-ci fəsildədir (IV rüb).

Açıq tapşırıq: cavabı özün yaz.

Cavab və DİM izahı

Cavab: 3.

f(x) = ax² + bx + c funksiyasının qrafiki olan parabolanın təpə nöqtəsinin (−b/(2a); (4ac − b²)/(4a)) I rübdə yerləşməsi üçün { −b/(2a) > 0, (4ac − b²)/(4a) > 0 } → { −2(m − 5)/2 > 0, (4·1·m² − (2(m − 5))²)/4 > 0 } → { m − 5 < 0, 4m² − 4(m − 5)² > 0 } → { m < 5, m² − (m² − 10m + 25) > 0 } → { m < 5, m > 2,5 } → 2,5 < m < 5 m_əktq = 3.Mənbə: DİM izahı — 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

Yekun

Yadda saxla

• y = ax² + bx + c: a > 0 — qollar yuxarı, a < 0 — aşağı; Oy ilə kəsişmə (0; c).
• Təpə: m = −b/(2a), n = f(m); simmetriya oxu x = m.
• Sıfırlar x₁, x₂: m = (x₁ + x₂)/2; f(x) = a(x − x₁)(x − x₂).
• Rüblər: I — m > 0, n > 0; IV — m > 0, n < 0.
• f(x − m) — sağa m, f(x) + n — yuxarı n; a·f(x) — Oy boyunca a dəfə dartılma.
• y = a(x − m)² + n: təpə (m; n).
• Simmetriya: Ox — (x; −y), Oy — (−x; y), O — (−x; −y).

Tipik səhvlər

“y = (x + 3)² qrafiki 3 vahid sağa köçür”

Sola: təpə x + 3 = 0, yəni x = −3 olanda alınır. f(x − m) sağa, f(x + m) sola köçürür.

“Ox oxuna nəzərən simmetriyada x-in işarəsi dəyişir”

Ox-a nəzərən y dəyişir: (x; y) → (x; −y). x-in işarəsi Oy-a nəzərən simmetriyada dəyişir.

“Təpənin ordinatı c-dir”

c — Oy ilə kəsişmənin ordinatıdır. Təpənin ordinatı n = f(m)-dir; onlar yalnız b = 0 olanda üst-üstə düşür.

“Təpə IV rübdədirsə, kifayətdir ki, n < 0 olsun”

Hər iki şərt lazımdır: m > 0 və n < 0. Bərabərsizliklərin kəsişməsini götür.

Yekun

Müstəqil iş

Tapşırıqlar asandan çətinə düzülüb. Əvvəl özün həll et, sonra variantı seç; izah cavabdan sonra açılır.

1 · 1-ci səviyyə

y = (x + 3)² − 2 parabolasının təpəsi:

x + 3 = 0 → x = −3; n = −2.

2 · 1-ci səviyyə

y = x² parabolasını 4 vahid yuxarı köçürsək, hansı funksiya alınar?

Yuxarı köçürmə: f(x) + n.

3 · 2-ci səviyyə

y = 3x² − 12x + 1 parabolasının təpəsinin absisi:

m = 12/(2·3) = 2.

4 · 2-ci səviyyə

y = (x − 1)² + 5 qrafikinə Ox oxuna nəzərən simmetrik olan qrafik:

y = −f(x).

5 · DİM səviyyəsi

y = x² + px + q parabolası Ox oxunu −2 və 8 nöqtələrində kəsir. Təpənin ordinatı:

y = (x + 2)(x − 8), m = 3, n = 5·(−5) = −25.

6 · DİM səviyyəsi

k-nın hansı qiymətlərində y = x² − 2kx + k + 6 parabolasının təpəsi Ox oxu üzərindədir?

n = 0 ⇔ D = 0: 4k² − 4(k + 6) = 0, k² − k − 6 = 0.

İmtahan tapşırıqları və rəsmi izahlar — DİM:

1. 02.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF) — Funksiyalar və qrafiklər (A variantı, 85; B-85, C-85, D-85)
2. 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF) — Funksiyalar və qrafiklər (A variantı, 85; B-85, C-85, D-85)
3. 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — Funksiya (A variantı, 24; B-25, C-23, D-23)
4. 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — Funksiyalar və qrafiklər (A variantı, 81; B-81, C-81, D-81)
5. 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF) — y = ax² + bx + c, (a ≠ 0) funksiyası və qrafiki (A variantı, 82; B-82, C-82, D-82)
6. 24.05.2026, II ixtisas qrupu (PDF) — Funksiyalar və qrafiklər (A variantı, 5; B-10, C-6, D-20)

Hekayə, səhnələr, nümunələr, “Özün yoxla” və “Müstəqil iş” tapşırıqları bizimdir, DİM-ə aid deyil. DİM tapşırıqları və izahları mənbədəki kimi verilib; “…” işarəsi buraxılmış hissəni göstərir.