Çevrə və dairə: bucaqlar, toxunan və kəsən

Planimetriya · Mövzu 38 / 46

Çevrə və dairə: bucaqlar, toxunan və kəsən

Bu dərsi parkda keçəcəyik: dəyirmi gölməçənin sahilindəki fənərlər, skamyadan gələn cığır və suyun üstündən keçən körpü bizi çevrənin əsas bucaqlarına və parçalarına aparacaq: mərkəzi və daxilə çəkilmiş bucaq, toxunan, kəsən və onların parçaları arasındakı əlaqə.

≈ 50 dəqiqə5 fəsil13 DİM tapşırığı8–9-cu sinif materialı

Bu dərsdən sonra bacaracaqsan

• vətər, radius və vətərin mərkəzdən məsafəsi arasındakı əlaqədən istifadə etməyi;
• mərkəzi və daxilə çəkilmiş bucaqları qövslərlə hesablamağı;
• toxunanın xassələrini və ET² = EA·EB teoremini tətbiq etməyi;
• kəsənlər arasındakı bucağı tapmağı və sadə isbat yazmağı.

Başlamazdan əvvəl xatırla

• Bərabəryanlı üçbucaqda oturacaqdakı bucaqlar bərabərdir.
• Üçbucağın bucaqlarının cəmi 180°, xarici bucaq iki qonşu olmayan bucağın cəmidir.
• Pifaqor teoremi və 30°-li bucağın qarşısındakı katet.

Mündəricat

1. GirişSituasiya: fənərlər hansı bucaq altında görünür?hekayə və təxmin
2. Fəsil 1Çevrə, dairə, vətər və qövsvətər · mərkəzi bucaq · DİM 02.03.2025
3. Fəsil 2Daxilə çəkilmiş bucaqeyni qövs · diametr · laboratoriya · DİM 13.07.2025
4. Fəsil 3Toxunanradius ⊥ toxunan · DİM 05.07.2026, 19.04.2026
5. Fəsil 4Kəsənlər: bucaqlar və parçalarET² = EA·EB · qövslər · DİM 15.03.2026
6. Fəsil 5İsbat tapşırıqlarıbərabəryanlı üçbucaqlar · xarici bucaq · DİM 07.06.2026
7. Məşqİmtahan tapşırıqları ilə məşq7 DİM tapşırığı: cavab və rəsmi izah
8. YekunYadda saxlaqısa xülasə və tipik səhvlər
9. YekunMüstəqil iş6 tapşırıq, asandan çətinə

Giriş

Situasiya: fənərlər hansı bucaq altında görünür?

Hekayə

Parkın ortasında dəyirmi gölməçə var, mərkəzində fəvvarə vurur. Gölməçənin arxa sahilində iki fənər — A və B dayanır. Parkın planında yazılıb: fəvvarədən baxanda fənərlər arasındakı bucaq 80°-dir.

Uşaq gölməçənin ön sahili boyunca gəzir və hər addımda iki fənərə baxır: onlar arasındakı bucaq necə dəyişir?

Fənərlər fəvvarədən 80° bucaq altında görünür. Uşaq sahil boyu gəzir.Əvvəlcə təxmin et

Sənin fikrincə, uşaq sahil boyu gəzəndə fənərləri hansı bucaq altında görür? Təxminini seç: 2-ci fəsildə birlikdə yoxlayacağıq.

Fəsil 1

Çevrə, dairə, vətər və qövs

Gölməçənin sahili çevrəyə, su səthi isə dairəyə nümunədir. Əvvəlcə dərsdə işlədəcəyimiz sözləri dəqiqləşdirək.

Tərif

Müstəvinin verilmiş O nöqtəsindən eyni R məsafəsində olan bütün nöqtələri çevrə əmələ gətirir; O — mərkəz, R — radiusdur. Çevrə və onun daxili birlikdə dairədir. Çevrənin iki nöqtəsini birləşdirən parça vətər, mərkəzdən keçən vətər diametrdir: d = 2R. Təpəsi mərkəzdə olan bucaq mərkəzi bucaqdır; o, söykəndiyi qövsün dərəcə ölçüsünə bərabərdir.

Bütün çevrə 360°-dir; çevrənin uzunluğu C = 2πR.Vətər haqqında teorem

Mərkəzdən vətərə endirilən perpendikulyar vətəri yarıya bölür. Ona görə radius R, vətər a və vətərin mərkəzdən məsafəsi d arasında əlaqə var:

(a/2)² + d² = R²

Nümunə 1

Radiusu 13 olan çevrədə vətər mərkəzdən 5 məsafədədir. Vətərin uzunluğunu tapın.

1. Mərkəzdən vətərə perpendikulyar çəkirik; o, vətəri yarıya bölür.Niyə belədir?

   Mərkəzi vətərin ucları ilə birləşdirsək, bərabəryanlı üçbucaq alınır (iki tərəfi radiusdur), onun hündürlüyü həm də mediandır.

2. Düzbucaqlı üçbucaqda: a/2 = √(13² − 5²) = √144 = 12.
3. a = 2·12 = 24.
4. Cavab: 24.

Özün yoxla

Radiusu 10 olan çevrədə uzunluğu 16 olan vətər çəkilib. Vətər mərkəzdən hansı məsafədədir?

d² = 10² − 8².

İmtahanda belə soruşulurDİM · 02.03.2025

Mərkəzi O nöqtəsi olan çevrənin AB vətəri AC diametrinin yarısına bərabərdir. ∠BAO-nu tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 50°B) 60°C) 45°D) 35°E) 30°

1. O-nu B ilə birləşdiririk. OA = OB = R — radiuslardır.Niyə belədir?

   Mərkəzi vətərin ucları ilə birləşdirmək çevrə tapşırıqlarında ən faydalı ilk addımdır.

2. Şərtə görə AB = AC/2 = R, deməli, AOB üçbucağı bərabərtərəflidir.Niyə belədir?

   Diametrin yarısı radiusdur.

3. Bərabərtərəfli üçbucağın bütün bucaqları 60°-dir; ∠BAO bucağı onlardan biridir.
4. Cavab: 60° (B variantı).

DİM-in rəsmi izahı (02.03.2025)

O nöqtəsi ilə B nöqtəsini birləşdirməklə bərabərtərəfli AOB üçbucağı alarıq, beləliklə ∠BAO = 60°.Mənbə: DİM izahı — 02.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

Eyni fikir düzgün altıbucaqlıda işləyir: onun mərkəzini təpələrlə birləşdirsək, altı bərabərtərəfli üçbucaq alınır. Ona görə xaricə çəkilmiş çevrənin radiusu tərəfə bərabərdir (R = a), daxilə çəkilmiş çevrənin radiusu isə bu üçbucağın hündürlüyüdür: r = a√3/2.

Fəsil 2

Daxilə çəkilmiş bucaq

Tərif

Təpəsi çevrə üzərində olan və tərəfləri çevrəni kəsən bucaq daxilə çəkilmiş bucaq adlanır.

Teorem (daxilə çəkilmiş bucaq)

Daxilə çəkilmiş bucaq söykəndiyi qövsün yarısına, yəni eyni qövsə söykənən mərkəzi bucağın yarısına bərabərdir:

∠ACB = ½ ◡AB = ½ ∠AOB

Sol: eyni qövsə söykənən bucaqlar bərabərdir. Sağ: diametrə söykənən bucaq düzdür.Nəticələr

1) eyni qövsə söykənən daxilə çəkilmiş bucaqlar bərabərdir;2) diametrə söykənən daxilə çəkilmiş bucaq düzdür (90°);3) çevrəyə daxil edilmiş dördbucaqlıda qarşı bucaqların cəmi 180°-dir.

Hekayə

Fənərlərin arasındakı qövs 80°-dir (fəvvarədən görünən mərkəzi bucaq). Uşaq ön sahildə harada dursa, fənərlərə daxilə çəkilmiş bucaq altında baxır, bu bucaq isə həmişə 80° : 2 = 40° olur. (Fənərlərin arasındakı qısa sahil qövsündən baxsaydı, bucaq 180° − 40° = 140° olardı.) Bucaq dəyişmir.

Laboratoriyada bunu özün yoxla: C nöqtəsini çevrə boyunca sürüşdür — bucaq eyni qalır. Sonra qövsü 180°-yə çatdır: AB diametr olur və bucaq düz bucağa çevrilir.

Laboratoriya · C nöqtəsini çevrə üzrə hərəkət etdirAB qövsü (∠AOB)80°C nöqtəsinin yeri30%Nümunə 2

Çevrəyə daxil edilmiş ABCD dördbucaqlısında ∠A = 70°, ∠B = 95°-dir. ∠C və ∠D-ni tapın.

1. Qarşı bucaqların cəmi 180°: ∠C = 180° − 70° = 110°.Niyə belədir?

   ∠A və ∠C birlikdə bütün çevrəyə (360°) söykənir, ona görə onların cəmi 360°-nin yarısıdır.

2. ∠D = 180° − 95° = 85°.
3. Cavab: ∠C = 110°, ∠D = 85°.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 13.07.2025

ABCD dördbucaqlısının xaricinə çevrə çəkilmişdir. ∠ABD=40°, ∠DAB=120° olarsa, ∠ACB-ni tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 40°B) 20°C) 25°D) 30°E) 35°

1. ADB üçbucağında: ∠ADB = 180° − (120° + 40°) = 20°.
2. ∠ACB və ∠ADB eyni AB qövsünə söykənir, deməli, ∠ACB = ∠ADB = 20°.Niyə belədir?

   Hər ikisi ◡AB-nin yarısıdır: ◡AB = 40°.

3. Cavab: 20° (B variantı).

DİM-in rəsmi izahı (13.07.2025)

ADB üçbucağından ∠ADB = 180° − (120° + 40°) = 20°. ∠ACB və ∠ADB çevrədə eyni qövsə söykənən daxilə çəkilmiş bucaqlar olduğu üçün konqruyentdirlər. Onda ∠ACB = 20°.Mənbə: DİM izahı — 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

Daxilə çəkilmiş bucaq 130°-lik qövsə söykənir. Bucağı tapın (dərəcə).

Qövsün yarısı.

Fəsil 3

Toxunan

Hekayə

Gölməçədən 10 m aralıda skamya var (OA = 10 m). Skamyadan gölməçəyə düz cığır çəkmək istəyirlər ki, o, sahilə yalnız bir nöqtədə — B-də toxunsun və suya girməsin. Gölməçənin radiusu 6 m-dir.

Cığır nə qədər uzun olacaq?

Cığır AB gölməçəyə B nöqtəsində toxunur; OB — radius.Tərif

Çevrə ilə yalnız bir ortaq nöqtəsi olan düz xətt toxunan, ortaq nöqtə isə toxunma nöqtəsi adlanır. Çevrəni iki nöqtədə kəsən düz xətt kəsəndir.

Toxunanın xassələri

1) toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radius toxunana perpendikulyardır: OB ⊥ AB;2) bir nöqtədən çəkilmiş iki toxunanın parçaları bərabərdir: AB = AB₁, mərkəz isə bucağın tənbölənində yerləşir;3) toxunan ilə toxunma nöqtəsindən çəkilmiş vətər arasındakı bucaq bu bucağın daxilindəki qövsün yarısına bərabərdir.

OBA üçbucağı düzbucaqlıdır: hipotenuz OA, katetlər R və AB.Hekayə

OBA üçbucağında B bucağı düzdür, ona görə AB = √(10² − 6²) = √64 = 8 m. Bu yenə 3, 4, 5 üçlüyüdür — 2 dəfə böyüdülmüş.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 05.07.2026

A nöqtəsindən radiusu 4 sm olan çevrəyə AB toxunanı və çevrənin mərkəzindən keçən AC kəsəni çəkilmişdir. ∠A=30° olarsa, AC parçasının uzunluğunu tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 11 smB) 9 smC) 14 smD) 10 smE) 12 sm

1. OB radiusunu çəkirik: OB ⊥ AB, OB = OC = 4.Niyə belədir?

   Toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radius toxunana perpendikulyardır.

2. ABO düzbucaqlı üçbucağında OB kateti 30°-li bucağın qarşısındadır: AO = 2·OB = 8.Niyə belədir?

   30°-li bucağın qarşısındakı katet hipotenuzun yarısıdır.

3. Kəsən mərkəzdən keçir: AC = AO + OC = 8 + 4 = 12.
4. Cavab: 12 sm (E variantı).

DİM-in rəsmi izahı (05.07.2026)

Məlumdur ki, toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radius (OB) toxunana perpendikulyardır. OB ⊥ AB OB = OC = 4 30° bucaq qarşısındakı katet hipotenuzun yarısı olduğundan : AO = 2·OB = 2·4 = 8 AC = AO + OC = 8 + 4 = 12Mənbə: DİM izahı — 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF)

İmtahanda belə soruşulurDİM · 19.04.2026

CD çevrəyə toxunan, CA isə kəsəndir. DB vətəri ADC bucağının tənböləni və ∠ACD = 36° olarsa, ∠CAD-ni tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.

1. Tənbölən ADC bucağını yarıya bölür: ∠CDB = ∠ADB = x işarə edək.
2. ∠CDB — toxunan ilə DB vətəri arasındakı bucaqdır: ∠CDB = ½◡DB. ∠DAB — eyni qövsə söykənən daxilə çəkilmiş bucaqdır: ∠DAB = ½◡DB. Deməli, ∠DAB = x.Niyə belədir?

   Toxunan-vətər bucağı və daxilə çəkilmiş bucaq eyni qövsün yarısıdır.

3. ACD üçbucağının bucaqları: ∠A = x, ∠D = 2x, ∠C = 36°. Cəm: x + 2x + 36° = 180°, x = 48°.Niyə belədir?

   Yoxlama: 48° + 96° + 36° = 180°.

4. Cavab: ∠CAD = 48°.

DİM-in rəsmi izahı (19.04.2026)

∠CDB = ∠ADB = x; { ∠CDB = (1/2)∪DB; ∠DAB = (1/2)∪DB } ⇒ ∠DAB = x; ΔACD ⇒ x + 2x + 36⁰ = 180⁰; 3x = 144⁰; x = 48⁰Mənbə: DİM izahı — 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF)

Özün yoxla

Çevrə xaricindəki A nöqtəsindən çəkilmiş toxunanın uzunluğu 12, A-dan mərkəzə qədər məsafə 13-dür. Radiusu tapın.

R² = 13² − 12².

Fəsil 4

Kəsənlər: bucaqlar və parçalar

Hekayə

Gölməçənin yanındakı E darvazasından suyun üstündən düz taxta körpü salınıb. Darvazadan sahilə (C nöqtəsinə) qədər 4 m, körpünün su üstündəki hissəsi CD isə 5 m-dir.

Darvazadan sahil boyu başqa bir düz cığır da gedir və gölməçəyə T nöqtəsində toxunur. Gölməçənin radiusunu bilmədən ET cığırının uzunluğunu tapmaq olarmı?

EC = 4 m, CD = 5 m; ET — toxunan.Teorem (toxunan və kəsən)

Çevrə xaricindəki E nöqtəsindən ET toxunanı və çevrəni A və B-də kəsən kəsən çəkilibsə, toxunanın kvadratı kəsənin bütün uzunluğu ilə xarici hissəsinin hasilinə bərabərdir. İki kəsən üçün də hasillər bərabərdir:

ET² = EA · EB = EC · ED

EA — kəsənin xarici hissəsi, EB — bütün kəsən.Hekayə

Körpüyə görə: kəsənin xarici hissəsi EC = 4, bütün kəsən ED = 4 + 5 = 9. Onda ET² = 4 · 9 = 36, ET = 6 m. Radius lazım olmadı!

Kəsənlər arasındakı bucaq

İki kəsən arasındakı bucaq təpəsi çevrədən xaricdədirsə, kəsənlər arasında qalan qövslərin fərqinin yarısına; təpəsi çevrənin daxilindədirsə (iki vətər kəsişir), qövslərin cəminin yarısına bərabərdir:

∠E = (◡AB − ◡CD)/2,   ∠E = (◡AB + ◡CD)/2

Nümunə 3

Çevrə xaricindəki nöqtədən çəkilmiş iki kəsən çevrədən 140° və 40°-lik qövslər ayırır. Kəsənlər arasındakı bucağı tapın.

1. Təpə çevrədən xaricdədir, ona görə qövslərin fərqinin yarısını götürürük.Niyə belədir?

   Böyük qövs bucağı “açır”, kiçik qövs isə onu “bağlayır” — fərq yaranır.

2. (140° − 40°)/2 = 50°.
3. Cavab: 50°.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 15.03.2026

Çevrə xaricindəki A nöqtəsindən çevrəyə AB toxunanı və AD kəsəni çəkilmişdir. ∠BAD = 90°, AB = √5 sm, AC = 1 sm olarsa, çevrənin radiusunu tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.

1. Toxunan və kəsən haqqında teorem: AB² = AC · AD, buradan 5 = 1·(1 + CD).Niyə belədir?

   AC — kəsənin xarici hissəsi, AD — bütün kəsən.

2. CD = 4. Mərkəzdən vətərə OM perpendikulyarı çəkirik: CM = MD = 2.
3. OBAM düzbucaqlıdır, ona görə OM = AB = √5.Niyə belədir?

   B, A və M-də düz bucaqlar var: OB ⊥ AB (toxunan), ∠BAD = 90° (şərt), OM ⊥ AD (çəkdik).

4. OMD üçbucağında: R² = OM² + MD² = 5 + 4 = 9, R = 3.
5. Cavab: 3 sm.

DİM-in rəsmi izahı (15.03.2026)

I üsul: Çevrə xaricində götürülmüş A nöqtəsindən çevrəyə çəkilmiş AB toxunanı və AD kəsəninin parçalarının xassəsinə görə AB² = AC · AD. Şərtə görə AB = √5 sm, AC = 1 sm olduğu nəzərə alınarsa, məlum xassəyə görə (√5)² = 1·(1 + CD) → 5 = 1 + CD → CD = 4 (sm) alınar. Çevrənin mərkəzindən CD vətərinə perpendikulyar çəkilərsə, CD vətəri yarı bölünür: CM = MD = 2 sm. Toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radius toxunana perpendikulyar olduğundan OBAM dördbucaqlısı düzbucaqlıdır. Ona görə də OM ≅ BA, yəni OM = √5 sm. Üçbucaq OMD-də Pifaqor teoreminə görə OD² = OM² + MD² = (√5)² + 2² = 9 → OD = 3 (sm). Deməli, çevrənin radiusu 3 sm-dir. …Mənbə: DİM izahı — 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

Özün yoxla

E nöqtəsindən çəkilmiş kəsənin xarici hissəsi 4, bütün uzunluğu 25-dir. E-dən çəkilmiş toxunanın uzunluğunu tapın.

ET² = 4 · 25.

Fəsil 5

İsbat tapşırıqları

DİM-in yazılı hissəsində çevrəyə aid isbat tapşırıqları olur. İsbat — əvvəlcədən məlum faktlardan (tərif, teorem, şərt) addım-addım məntiqi nəticə çıxarmaqdır. Faydalı plan: 1) şəkli çək və naməlum bucağı bir hərflə işarə et; 2) bərabər radiusları axtar — onlar bərabəryanlı üçbucaqlar verir; 3) xarici bucaq, daxilə çəkilmiş bucaq və qövs xassələri ilə hər bucağı bu hərflə ifadə et; 4) tələb olunan bərabərliyi yaz.

Xatırla

Üçbucağın xarici bucağı ona qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.

İsbat nümunəsiDİM · 07.06.2026

Mərkəzi O nöqtəsində olan çevrəyə onun xaricində götürülmüş C nöqtəsindən CA və CE kəsənləri çəkilmişdir. CD = AO olarsa, ∠ACE = (1/3)·∠AOE olduğunu isbat edin.

Şəkildə AB diametri C nöqtəsinə qədər uzadılıb; D nöqtəsi C-yə yaxındır.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.

1. ∠ACE = γ işarə edək. OD = AO = CD olduğundan ODC üçbucağı bərabəryanlıdır: ∠DOC = ∠DCO = γ.Niyə belədir?

   OD — radiusdur, ona görə OD = AO; şərtə görə isə CD = AO.

2. ∠EDO — ODC üçbucağının xarici bucağıdır: ∠EDO = γ + γ = 2γ.Niyə belədir?

   Xarici bucaq qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.

3. EOD üçbucağı da bərabəryanlıdır (OE = OD): ∠OED = ∠ODE = 2γ.
4. ∠AOE — EOC üçbucağının xarici bucağıdır: ∠AOE = ∠OEC + ∠OCE = 2γ + γ = 3γ.Niyə belədir?

   A, O, C bir düz xətt üzərindədir, ona görə ∠AOE ∠EOC-yə qonşudur.

5. Nəticə: ∠AOE = 3·∠ACE, yəni ∠ACE = (1/3)·∠AOE. İsbat olundu.

DİM-in rəsmi izahı (07.06.2026)

İsbat: I üsul: ∠ACE = α, ∠AOE = β işarə edək. △ODC bərabəryanlı olduğu üçün ∠DOB = α ⇒ ◡BmD = α; ∠AOE = β olduğu üçün ◡AnE = β olar. Məlumdur ki, ∠ACE = (◡AnE − ◡BmD)/2, yəni α = (β − α)/2. Buradan α = (1/3)β ⇒ ∠ACE = (1/3)∠AOE alınır. …Mənbə: DİM izahı — 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

Yuxarıdakı şəkildə ∠AOE = 75° olarsa, ∠ACE neçə dərəcədir?

∠ACE = ∠AOE : 3.

Məşq

İmtahan tapşırıqları ilə məşq

DİM · 24.05.2026

Perimetri 24 sm olan düzgün altıbucaqlının daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusunu tapın.

A) 3 smB) 4 smC) √3 smD) 2√3 smE) 2 smCavab və DİM izahı

Cavab: 2√3 sm (D variantı).

Düzgün altıbucaqlının tərəfinin uzunluğu a = 24/6 = 4. ∠AOB = 60° … Onda △AOB –bərabərtərəflidir və OK bu üçbucağın hündürlüyü olur. OK = h = a√3/2 = r. Onda daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu isə r = a√3/2 = 4√3/2 = 2√3Mənbə: DİM izahı — 24.05.2026, II ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 09.03.2026

Şəkildə verilənlərə görə α bucağını tapın.

A) 30°B) 20°C) 40°D) 60°E) 50°Cavab və DİM izahı

Cavab: 40° (C variantı).

Eyni qövsə söykənən daxilə çəkilmiş bucaqlar bərabər olduğundan α=40° olur.Mənbə: DİM izahı — 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

DİM · 09.03.2025

ABC üçbucağının AB və AC tərəfləri mərkəzi O nöqtəsində olan çevrəyə uyğun olaraq K və C nöqtələrində toxunur. ∠ABC=40° olarsa, KmC qövsünün dərəcə ölçüsünü tapın.

Şəkildə O mərkəzi BC üzərindədir (izah bundan istifadə edir); m — KC qövsünün A tərəfindəki hissəsidir.

Açıq tapşırıq: cavabı özün yaz.

Cavab və DİM izahı

Cavab: 130°

I üsul: Toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radius toxunana perpendikulyardır: OK ⊥ AB . BKO düzbucaqlı üçbucağından∠BOK = 50°, ∠KOC = 180° − 50° = 130°∠KOC KmC qövsünə uyğun mərkəzi bucaq olduğundan KmC qövsünün dərəcə ölçüsü 130° − dir. …Mənbə: DİM izahı — 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

DİM · 12.07.2026

Çevrə xaricindəki E nöqtəsindən çevrəyə EB kəsəni və EC toxunanı çəkilmişdir. EB=16 sm, EA=8 sm olarsa, EC parçasının uzunluğunu tapın.

A) 6 smB) 16√2 smC) 8 smD) 8√2 smE) 4√2 smCavab və DİM izahı

Cavab: 8√2 sm (D variantı).

Çevrə xaricindəki nöqtədən çevrəyə çəkilmiş kəsən və toxunan parçalar haqqında teoremə əsasən məsələnin verilənlərinə görə EC² = EB·EA = 16·8 münasibətini yaza bilərik. Buradan EC = 8√2 .Mənbə: DİM izahı — 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 25.05.2025

◡AB : ◡BC : ◡CD : ◡DA = 12 : 8 : 2 : 3 olarsa, AEB bucağının dərəcə ölçüsünü tapın.

Açıq tapşırıq: cavabı özün yaz.

Cavab və DİM izahı

Cavab: 72°

◡AB : ◡BC : ◡CD : ◡DA = 12 : 8 : 2 : 3 ◡AB = 12k, ◡BC = 8k, ◡CD = 2k, ◡DA = 3k. Qövslərin dərəcə ölçülərinin cəmi 360° olduğundan 12k + 8k + 2k + 3k = 360⁰ → 25k = 360⁰ → k = 360⁰/25 = 72⁰/5 ∠AEB = (◡AB − ◡CD)/2 = (12k − 2k)/2 = 10k/2 = 5k = 5·72⁰/5 = 72⁰Mənbə: DİM izahı — 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 06.07.2025

A nöqtəsindən çevrəyə AB toxunanı və AC kəsəni çəkilmişdir. AM = 3√3 sm, ◡BnM : ◡MkC = 1 : 2 və AB ⊥ BC olarsa, çevrənin radiusunu tapın.

A) 3√3 smB) 6√3 smC) 9 smD) 9√3 smE) 6 smCavab və DİM izahı

Cavab: 9 sm (C variantı).

Şərtə görə AB ⊥ BC. Məlumdur ki, B toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radius da AB-yə perpendikulyardır. Buradan alınır ki, həmin radius BC-nin üzərinə düşür, yəni çevrənin O mərkəzi BC-nin ortasındadır. Deməli, BC çevrənin diametridir. Onda ◡BnM + ◡MkC = 180⁰. Şərtə görə ◡BnM : ◡MkC = 1 : 2. Burada ◡BnM = x işarə etsək, ◡MkC = 2x olar. Bunları ◡BnM + ◡MkC = 180⁰ bərabərliyində nəzərə alsaq, x + 2x = 180⁰ və x = ◡BnM = 60⁰ alarıq. Onda daxilə çəkilmiş bucaq olduğu üçün ∠ACB = 30⁰ və ∠CAB = 60⁰ olar. CB = 2R işarə etsək, △ACB-də AB = 2R/√3 və AC = 4R/√3 alarıq. Çevrədə kəsən və toxunanlar arasında metrik münasibəti (AB² = AM·AC) nəzərə alsaq, (2R/√3)² = 3√3·(4R/√3) olar. Buradan isə R = 9 alarıq.Mənbə: DİM izahı — 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 01.06.2025

Mərkəzi O nöqtəsində olan çevrədə AB ∥ CD, BO ⊥ OC olarsa, CD vətərinin mərkəzdən olan məsafəsinin AB vətərinin yarısına bərabər olduğunu isbat edin.

Açıq tapşırıq: cavabı özün yaz.

Cavab və DİM izahı

Cavab: isbat tapşırığıdır — tam isbat aşağıdakı DİM izahındadır.

I üsul: O nöqtəsindən keçməklə AB və CD vətərlərinə perpendikulyar düz xətt çəkək və onun AB və CD vətərləri ilə kəsişmə nöqtələrini uyğun olaraq E və F ilə işarə edək. EBO üçbucağında ∠B = α və ∠EOB = β işarə etsək, α + β = 90° olduğundan FCO üçbucağında da ∠C = β və ∠FOC = α olar. OB ≅ OC = R olduğundan üçbucaqların konqruyentliyinin BTB əlamətinə görə ΔEBO ≅ ΔFOC olar. Deməli, OF ≅ EB. Digər tərəfdən çevrənin O mərkəzindən AB vətərinə çəkilən perpendikulyar bu vətəri yarıya böldüyündən AE ≅ EB. EB = AB/2 və OF ≅ EB olduğundan OF = AB/2 olduğunu tapa bilərik. …Mənbə: DİM izahı — 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Yekun

Yadda saxla

• Mərkəzi bucaq = qövs; daxilə çəkilmiş bucaq = ½ qövs.
• Eyni qövsə söykənən daxilə çəkilmiş bucaqlar bərabərdir; diametrə söykənən bucaq 90°-dir.
• Daxil edilmiş dördbucaqlıda ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°.
• Vətər: (a/2)² + d² = R²; mərkəzdən perpendikulyar vətəri yarıya bölür.
• Radius toxunma nöqtəsində toxunana perpendikulyardır; bir nöqtədən iki toxunan bərabərdir.
• Toxunan və kəsən: ET² = EA · EB.
• Kəsənlər arası bucaq: xaricdə (◡₁ − ◡₂)/2, daxildə (◡₁ + ◡₂)/2.
• Düzgün altıbucaqlı: R = a, r = a√3/2.

Tipik səhvlər

“Daxilə çəkilmiş bucaq qövsə bərabərdir”

Qövsə mərkəzi bucaq bərabərdir; daxilə çəkilmiş bucaq onun yarısıdır (fənərlər 80° deyil, 40° altında görünür).

“ET² = EA · AB”

Xarici hissə bütün kəsənə vurulur: ET² = EA · EB, burada EB = EA + AB (körpüdə 4 · 9, 4 · 5 yox).

“Kəsənlər arasındakı bucaq qövslərin cəminin yarısıdır”

Bu, təpə çevrənin daxilində olanda doğrudur. Təpə xaricdədirsə — fərqin yarısıdır.

“Toxunan ilə radius istənilən bucaq əmələ gətirə bilər”

Toxunma nöqtəsində həmişə 90°: bu düz bucaq demək olar ki, hər toxunan tapşırığının açarıdır.

Yekun

Müstəqil iş

Tapşırıqlar asandan çətinə düzülüb. Əvvəl özün həll et, sonra variantı seç; izah cavabdan sonra açılır.

1 · 1-ci səviyyə

Daxilə çəkilmiş bucaq 110°-lik qövsə söykənir. Bucaq neçə dərəcədir?

Qövsün yarısı: 110° : 2 = 55°.

2 · 1-ci səviyyə

Radiusu 5 olan çevrəyə mərkəzdən 13 məsafədəki nöqtədən toxunan çəkilib. Toxunanın uzunluğu:

√(169 − 25) = 12.

3 · 2-ci səviyyə

Çevrəyə daxil edilmiş ABCD dördbucaqlısında ∠A = 75°. ∠C-ni tapın.

180° − 75° = 105°.

4 · 2-ci səviyyə

Radiusu 10 olan çevrədə uzunluğu 16 olan vətər mərkəzdən hansı məsafədədir?

√(100 − 64) = 6.

5 · DİM səviyyəsi

E nöqtəsindən çəkilmiş kəsən çevrəni A və B-də kəsir (A — E-yə yaxın), EA = 4, AB = 5. E-dən çəkilmiş toxunanın uzunluğu:

ET² = EA · EB = 4 · 9 = 36.

6 · DİM səviyyəsi

Çevrənin iki vətəri daxildə kəsişir və 100° və 40°-lik qövslər ayırır. Vətərlər arasındakı bucaq:

(100° + 40°)/2 = 70°.

İmtahan tapşırıqları və rəsmi izahlar — DİM:

1. 02.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF) — Çevrə (A variantı, 67; B-61, C-62, D-66)
2. 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF) — [sənəddə verilməyib] (A variantı, 82; B-82, C-82, D-82)
3. 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — Çevrə (A variantı, 23; B-26, C-24, D-26)
4. 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Çevrə və dairə (A variantı, 30; B-30, C-30, D-30)
5. 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — Çevrə. Dairə (A variantı, 2; B-19, C-10, D-20)
6. 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Çevrə və dairə (A variantı, 21; B-21, C-18, D-7)
7. 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — Çevrə və dairə (A variantı, 67; B-70, C-73, D-62)
8. 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — Çevrə və dairə (A variantı, 82; B-82, C-82, D-82)
9. 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF) — Düz xətlə çevrənin qarşılıqlı vəziyyəti: toxunan və kəsən (A variantı, 83; B-83, C-83, D-83)
10. 24.05.2026, II ixtisas qrupu (PDF) — Çevrə və dairə (A variantı, 4; B-6, C-22, D-15)
11. 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Çevrə və dairə (A variantı, 30; B-30, C-30, D-30)
12. 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF) — Çevrə və dairə (A variantı, 12; B-13, C-4, D-16)
13. 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Çevrə və dairə (A variantı, 17; B-16, C-9, D-21)

Hekayə, səhnələr, nümunələr, “Özün yoxla” və “Müstəqil iş” tapşırıqları bizimdir, DİM-ə aid deyil. DİM tapşırıqları və izahları mənbədəki kimi verilib; “…” işarəsi buraxılmış hissəni göstərir.