Çoxbucaqlılar: bucaqlar və diaqonallar

Planimetriya · Mövzu 36 / 46

Çoxbucaqlılar: bucaqlar və diaqonallar

Bu dərsi bir tikinti hekayəsi ilə keçəcəyik: usta parkda düzgün səkkizbucaqlı çardaq tikir. Döşəmənin küncləri, tavandakı işıq çələngləri və ətrafdakı velosiped yolu bizi çoxbucaqlıların üç əsas düsturuna aparacaq: daxili bucaqların cəmi, xarici bucaqlar və diaqonalların sayı.

≈ 40 dəqiqə4 fəsil5 DİM tapşırığı8–9-cu sinif materialı

Bu dərsdən sonra bacaracaqsan

• çoxbucaqlının elementlərini tanımağı, qabarıq və düzgün çoxbucaqlını ayırd etməyi;
• daxili bucaqların cəmini 180°(n − 2) düsturu ilə tapmağı;
• xarici bucaqların cəmindən (360°) düzgün çoxbucaqlının tərəflərinin sayını tapmağı;
• bir təpədən (n − 3) və bütün (n(n − 3)/2) diaqonalların sayına aid DİM tapşırıqlarını həll etməyi.

Başlamazdan əvvəl xatırla

• Üçbucağın bucaqlarının cəmi 180°-dir.
• Qonşu bucaqların cəmi 180°-dir.
• Kvadrat tənliyi vuruqlara ayırmaqla həll etmək: n² − 3n − 18 = (n − 6)(n + 3).

Mündəricat

1. GirişSituasiya: çardağın küncühekayə və təxmin
2. Fəsil 1Çoxbucaqlı və onun elementləritəpə, tərəf, diaqonal · qabarıq və düzgün
3. Fəsil 2Daxili bucaqların cəmi180°·(n − 2) · laboratoriya · DİM 2025–2026
4. Fəsil 3Diaqonalların sayın(n − 3)/2 · DİM 15.03.2026, 09.03.2025
5. Fəsil 4Xarici bucaqlar və düzgün çoxbucaqlı360° · düzgün çoxbucaqlı · DİM 01.06.2025
6. YekunYadda saxlaqısa xülasə və tipik səhvlər
7. YekunMüstəqil iş6 tapşırıq, asandan çətinə

Giriş

Situasiya: çardağın küncü

Hekayə

Parkda usta düzgün səkkizbucaqlı çardaq tikir. Döşəmənin səkkiz tərəfi bərabərdir, künclərə dirəklər qoyulub. İndi kənar tirləri küncdə birləşdirmək lazımdır: bunun üçün usta hər küncdəki bucağı bilməlidir.

Bucaqölçən evdə qalıb. Usta deyir: “Hesablamaq olar!” Səkkizbucaqlının hər küncündəki bucaq neçə dərəcədir?

Düzgün səkkizbucaqlı: bütün tərəflər və bütün bucaqlar bərabərdir.Əvvəlcə təxmin et

Sənin fikrincə, hər küncdəki bucaq neçə dərəcədir? Təxminini seç: 2-ci fəsildə birlikdə hesablayacağıq.

Fəsil 1

Çoxbucaqlı və onun elementləri

Qapalı, özünü kəsməyən sınıq xətt müstəvidən bir hissə ayırır — bu fiqur çoxbucaqlıdır. Sınıq xəttin həlqələri onun tərəfləri, uc nöqtələri isə təpələridir. n təpəsi olan çoxbucaqlının n tərəfi və n bucağı var; onu n-bucaqlı adlandırırıq: üçbucaq, dördbucaqlı, beşbucaqlı, …

Tərif

Qonşu olmayan iki təpəni birləşdirən parça diaqonal adlanır. Çoxbucaqlı istənilən tərəfini saxlayan düz xəttin bir tərəfində yerləşirsə, o, qabarıq çoxbucaqlıdır (onun hər bucağı 180°-dən kiçikdir). Bütün tərəfləri və bütün bucaqları bərabər olan qabarıq çoxbucaqlı düzgün çoxbucaqlıdır.

Bu dərsdə bütün çoxbucaqlılar qabarıqdır.Bir təpədən diaqonallar

Qabarıq n-bucaqlının bir təpəsindən n − 3 diaqonal çıxır: diaqonalı təpənin özünə və iki qonşu təpəyə çəkmək olmaz.

Nümunə 1

Onbucaqlının bir təpəsindən neçə diaqonal çıxır? Onlar çoxbucaqlını neçə üçbucağa bölür?

1. Təpələr: 10. Təpənin özü və iki qonşusu çıxılır: 10 − 3 = 7.Niyə belədir?

   Qonşu təpələrə çəkilən parçalar diaqonal deyil, tərəfdir.

2. 7 diaqonal onbucaqlını 7 + 1 = 8 üçbucağa bölür.Niyə belədir?

   Hər diaqonal bir “kəsik” verir: k kəsik k + 1 hissə yaradır, yəni üçbucaqların sayı n − 2-dir.

3. Cavab: 7 diaqonal, 8 üçbucaq.

Özün yoxla

Qabarıq çoxbucaqlının bir təpəsindən 9 diaqonal çıxır. Onun neçə tərəfi var?

n − 3 = 9.

Fəsil 2

Daxili bucaqların cəmi

Bir təpədən çəkilən n − 3 diaqonal qabarıq n-bucaqlını n − 2 üçbucağa bölür. Bu üçbucaqların bütün bucaqları birlikdə çoxbucaqlının bucaqlarını tam doldurur, hər üçbucaqda isə bucaqların cəmi 180°-dir.

Altıbucaqlı: 3 diaqonal, 4 üçbucaq, 720°.Teorem

Qabarıq n-bucaqlının daxili bucaqlarının cəmi:

180°·(n − 2)

Düzgün n-bucaqlıda bütün bucaqlar bərabərdir, ona görə bir bucaq 180°·(n − 2) : n-dir. Laboratoriyada n-i dəyiş və bax: üçbucaqların sayı, bucaqların cəmi və bir bucaq necə dəyişir.

Laboratoriya · n-i dəyiş: bucaqlar və diaqonallartəpələrin sayı n8Hekayə

Səkkizbucaqlı üçün: 180°·(8 − 2) = 1080°. Səkkiz bərabər bucaq: 1080° : 8 = 135°. Usta hər tirin ucunu yarısı qədər — 67,5° bucaq altında kəsir və iki tir küncdə səliqə ilə birləşir.

Nümunə 2

Düzgün beşbucaqlının daxili bucağını tapın.

1. Bucaqların cəmi: 180°·(5 − 2) = 540°.
2. Bucaqlar bərabərdir: 540° : 5 = 108°.Niyə belədir?

   Düzgün çoxbucaqlının tərifinə görə bütün bucaqlar bərabərdir.

3. Cavab: 108°.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 13.07.2025

Bir təpədən çıxan diaqonallarının sayı 4 olan qabarıq çoxbucaqlının daxili bucaqlarının cəmini tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 1080°B) 720°C) 540°D) 800°E) 900°

1. Bir təpədən n − 3 diaqonal çıxır: n − 3 = 4, buradan n = 7.Niyə belədir?

   Təpənin özünə və iki qonşusuna diaqonal çəkilmir.

2. Yeddibucaqlı 7 − 2 = 5 üçbucağa bölünür.
3. 180°·(7 − 2) = 180°·5 = 900°.
4. Cavab: 900° (E variantı).

DİM-in rəsmi izahı (13.07.2025)

Məlumdur ki, qabarıq n-bucaqlıda bir təpədən n − 3 sayda diaqonal çıxır. Onda n − 3 = 4 ⇒ n = 7. Həmçinin məlumdur ki, qabarıq n-bucaqlının daxili bucaqlarının cəmi 180°(n − 2) düsturu ilə tapılır. 180°(7 − 2) = 180° · 5 = 900°Mənbə: DİM izahı — 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

İmtahanda belə soruşulurDİM · 19.04.2026

Daxili bucaqlarının cəmi 2160° olan qabarıq çoxbucaqlının bir təpədən çəkilən diaqonallarının sayını tapın.

1. Cəm düsturundan: 180°·(n − 2) = 2160°, n − 2 = 2160 : 180 = 12, n = 14.Niyə belədir?

   n − 2 — üçbucaqların sayıdır: 2160°-də 12 dənə 180° var.

2. Bir təpədən diaqonallar: n − 3 = 14 − 3 = 11.Niyə belədir?

   Sual bütün diaqonallar haqqında deyil, yalnız bir təpədən çəkilənlər haqqındadır — n(n − 3)/2 = 77 yazmaq səhv olardı.

3. Cavab: 11.

DİM-in rəsmi izahı (19.04.2026)

Qabarıq çoxbucaqlının daxili bucaqlarının cəmi 180⁰·(n − 2) düsturu ilə hesablanır. 180⁰·(n − 2) = 2160⁰; n − 2 = 2160:180; n − 2 = 12; n = 14. Qabarıq çoxbucaqlının bir təpədən çıxan diaqonallarının sayı … (n − 3) =14-3=11Mənbə: DİM izahı — 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF)

Özün yoxla

Qabarıq çoxbucaqlının daxili bucaqlarının cəmi 1440°-dir. Onun neçə tərəfi var?

180°·(n − 2) = 1440°.

Fəsil 3

Diaqonalların sayı

Hekayə

Çardağın tavan çərçivəsi hazırdır. Axşam bayram olacaq, usta çərçivənin hər küncündən qonşu olmayan bütün künclərə işıq çələngi çəkmək istəyir. Bir küncdən artıq beş çələng çəkib.

Mağazaya getməzdən əvvəl hesablamaq lazımdır: cəmi neçə çələng lazımdır?

Çələnglər səkkizbucaqlının diaqonallarıdır.

Hər təpədən n − 3 diaqonal çıxır, təpə isə n dənədir. Amma n·(n − 3) hasilində hər diaqonal iki dəfə sayılır — onun hər iki ucundan. Ona görə 2-yə bölürük.

Teorem

Qabarıq n-bucaqlının diaqonallarının sayı:

n·(n − 3) / 2

Altıbucaqlının 9 diaqonalı var; qırmızılar bir təpədən çıxanlardır.Hekayə

Səkkizbucaqlı çərçivə üçün: 8·(8 − 3)/2 = 8·5/2 = 20. Usta 20 çələng alır — 40 yox, çünki A-dan B-yə çəkilən çələng B-dən A-ya çəkilənlə eynidir.

Nümunə 3

Qabarıq yeddibucaqlının neçə diaqonalı var?

1. 7·(7 − 3)/2 = 7·4/2 = 14.
2. Cavab: 14.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 15.03.2026

Düzbucaqlının diaqonallarının sayını tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 1B) 2C) 5D) 3E) 4

1. Düzbucaqlı dördbucaqlıdır: n = 4.Niyə belədir?

   Düzbucaqlının düz bucaqları cavaba təsir etmir: diaqonalların sayı yalnız təpələrin sayından asılıdır.

2. 4·(4 − 3)/2 = 2: AC və BD.
3. Cavab: 2 (B variantı).

DİM-in rəsmi izahı (15.03.2026)

Çoxbucaqlının diaqonallarının sayı n·(n − 3)/2 düsturu ilə tapıldığından düzbucaqlının diaqonallarının sayı 4·(4 − 3)/2 = 2 olar.Mənbə: DİM izahı — 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

İmtahanda belə soruşulurDİM · 09.03.2025

Diaqonallarının sayı 9 olan qabarıq çoxbucaqlının tərəflərinin sayını tapın.

A) 5B) 8C) 6D) 7E) 9

1. Düstura görə: n(n − 3)/2 = 9, yəni n(n − 3) = 18.
2. Kvadrat tənlik: n² − 3n − 18 = 0, (n − 6)(n + 3) = 0; kökləri n = 6, n = −3.Niyə belədir?

   Tez yol: n və n − 3 fərqi 3 olan natural ədədlərdir, hasilləri 18-dir: 6·3 = 18, deməli n = 6.

3. Tərəflərin sayı natural ədəddir, deməli n = 6. Yoxlama: altıbucaqlının 9 diaqonalı var (yuxarıdakı şəkil).
4. Cavab: 6 (C variantı).

DİM-in rəsmi izahı (09.03.2025)

Qabarıq çoxbucaqlının diaqonallarının sayı n(n − 3)/2 düsturu ilə hesablanır.n(n − 3)/2 = 9n(n − 3) = 18n² − 3n − 18 = 0(n − 6)(n + 3) = 0n₁ = 6; n₂ = −3Qabarıq çoxbucaqlının tərəflərinin sayı natural olduğundan doğru cavab n=6 olacaq.Mənbə: DİM izahı — 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

Özün yoxla

Qabarıq çoxbucaqlının diaqonallarının sayı tərəflərinin sayından 2 dəfə çoxdur. Onun neçə tərəfi var?

n(n − 3)/2 = 2n → n − 3 = 4.

Fəsil 4

Xarici bucaqlar və düzgün çoxbucaqlı

Hekayə

Çardağın ətrafında velosiped yolu salınıb: o da düzgün çoxbucaqlı şəklindədir. Usta yolu yoxlamaq üçün velosipedlə bir dövrə vurur. O, hər küncdə sükanı eyni bucaq qədər — 30° döndərir və dövrəni başladığı yerdə, başladığı istiqamətdə bitirir.

Yolun neçə küncü var?

Hər küncdə dönmə bucağı — çoxbucaqlının xarici bucağıdır.Tərif

Çoxbucaqlının bir tərəfini təpədən o yana uzadanda bu davamla qonşu tərəf arasında alınan bucaq həmin təpədəki xarici bucaqdır. Xarici və daxili bucaq qonşu bucaqlardır: onların cəmi 180°-dir.

Hər təpədə bir xarici bucaq götürülür.Teorem

Qabarıq çoxbucaqlının (hər təpədə bir götürülmüş) xarici bucaqlarının cəmi tərəflərin sayından asılı deyil və 360°-dir. Düzgün n-bucaqlıda bir xarici bucaq 360° : n, daxili bucaq 180° − 360° : n-dir.

Hesabla yoxlayaq: hər təpədə daxili və xarici bucaq birlikdə 180° verir, n təpədə isə 180°·n. Bundan daxili bucaqların cəmini (180°(n − 2)) çıxsaq, xarici bucaqların cəmi qalır: 180°·n − 180°(n − 2) = 360°. Velosipedçi bunu hiss edir: bir tam dövrədə o, cəmi bir tam dövr — 360° dönür.

Hekayə

Usta hər küncdə 30° dönür, bütün dönmələrin cəmi isə 360°-dir: n = 360° : 30° = 12. Yolun 12 küncü var, hər daxili bucağı 180° − 30° = 150°.

Nümunə 4

Düzgün çoxbucaqlının daxili bucağı 140°-dir. Onun neçə tərəfi var?

1. Xarici bucaq: 180° − 140° = 40°.Niyə belədir?

   Xarici bucaqla işləmək daha asandır: onların cəmi həmişə 360°-dir.

2. n = 360° : 40° = 9.
3. Cavab: 9.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 01.06.2025

Xarici bucağı 36° olan düzgün çoxbucaqlının neçə diaqonalı var?

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.

1. Düzgün çoxbucaqlının xarici bucaqları bərabərdir, cəmi 360°-dir: n = 360° : 36° = 10.Niyə belədir?

   Xarici bucaqların cəmi n-dən asılı olmadığı üçün bir xarici bucaq tərəflərin sayını dərhal verir.

2. Hər təpədən 10 − 3 = 7 diaqonal çıxır.
3. 10·(10 − 3)/2 = 35.
4. Cavab: 35.

DİM-in rəsmi izahı (01.06.2025)

Məlumdur ki, düzgün çoxbucaqlının xarici bucaqlarının hər biri konqruyentdir və cəmləri də 360° -dir. Onda onun tərəflərinin sayı n = 360°/36° = 10 -dur. n-bucaqlının diaqonallarının sayı n · (n − 3)/2 düsturu ilə hesablandığından, düzgün 10-bucaqlının diaqonallarının sayı 10 · (10 − 3)/2 = 35 olar.Mənbə: DİM izahı — 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

Qabarıq çoxbucaqlının daxili bucaqlarının cəmi xarici bucaqlarının cəmindən 3 dəfə çoxdur. Onun neçə tərəfi var?

180°(n − 2) = 3·360°.

Yekun

Yadda saxla

• Diaqonal — qonşu olmayan iki təpəni birləşdirən parçadır; bir təpədən n − 3 diaqonal çıxır.
• Bir təpədən çəkilən diaqonallar n-bucaqlını n − 2 üçbucağa bölür.
• Daxili bucaqların cəmi: 180°·(n − 2).
• Xarici bucaqların cəmi həmişə 360°; daxili + xarici = 180°.
• Düzgün n-bucaqlı: xarici bucaq 360° : n, daxili bucaq 180°(n − 2) : n.
• Bütün diaqonalların sayı: n(n − 3)/2.

Tipik səhvlər

“Bir təpədən n − 1 diaqonal çıxır”

Diaqonal təpənin özünə və iki qonşu təpəyə çəkilmir: n − 3.

“Diaqonalların sayı n(n − 3)-dür”

Hər diaqonal iki ucundan iki dəfə sayılıb, ona görə 2-yə bölürük: n(n − 3)/2.

“Xarici bucaqların cəmi tərəflərin sayından asılıdır”

Qabarıq çoxbucaqlının xarici bucaqlarının cəmi həmişə 360°-dir.

“Daxili bucaqların cəmi 180°·n-dir”

Çoxbucaqlı n deyil, n − 2 üçbucağa bölünür: 180°·(n − 2).

Yekun

Müstəqil iş

Tapşırıqlar asandan çətinə düzülüb. Əvvəl özün həll et, sonra variantı seç; izah cavabdan sonra açılır.

1 · 1-ci səviyyə

Qabarıq altıbucaqlının daxili bucaqlarının cəmi:

180°·(6 − 2) = 720°.

2 · 1-ci səviyyə

Qabarıq onbirbucaqlının neçə diaqonalı var?

11·(11 − 3)/2 = 44.

3 · 2-ci səviyyə

Düzgün altıbucaqlının daxili bucağı:

720° : 6 = 120°.

4 · 2-ci səviyyə

Düzgün çoxbucaqlının daxili bucağı 160°-dir. Onun neçə tərəfi var?

Xarici bucaq 20°: 360° : 20° = 18.

5 · DİM səviyyəsi

Diaqonallarının sayı tərəflərinin sayına bərabər olan qabarıq çoxbucaqlının neçə tərəfi var?

n(n − 3)/2 = n → n − 3 = 2 → n = 5.

6 · DİM səviyyəsi

Daxili bucaqlarının cəmi 1260° olan qabarıq çoxbucaqlının neçə diaqonalı var?

n − 2 = 7 → n = 9; 9·6/2 = 27.

İmtahan tapşırıqları və rəsmi izahlar — DİM:

1. 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF) — Qabarıq çoxbucaqlı (A variantı, 71; B-71, C-65, D-66)
2. 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Çoxbucaqlılar. Dördbucaqlılar (A variantı, 26; B-23, C-24, D-26)
3. 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Çoxbucaqlılar. Dördbucaqlılar (A variantı, 3; B-18, C-17, D-11)
4. 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — Dördbucaqlılar (A variantı, 69; B-69, C-64, D-72)
5. 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF) — Qabarıq çoxbucaqlının daxili və xarici bucaqlarının cəmi (A variantı, 76; B-76, C-76, D-76)

Hekayə, səhnələr, nümunələr, “Özün yoxla” və “Müstəqil iş” tapşırıqları bizimdir, DİM-ə aid deyil. DİM tapşırıqları və izahları mənbədəki kimi verilib; “…” işarəsi buraxılmış hissəni göstərir.