Həndəsənin əsas anlayışları: parçalar, bucaqlar, paralel düz xətlər

div class="hero">Planimetriya · Mövzu 33 / 46

Həndəsənin əsas anlayışları: parçalar, bucaqlar, paralel düz xətlər

Bu dərsi bir tikinti hekayəsi ilə keçəcəyik: yeni məhəllədə küçə salınır. Qazıqlar arasındakı məsafələr, paralel küçələri kəsən prospekt və kranın oxu bizi həndəsənin ilk anlayışlarına aparacaq: parçalar, bucaqlar, paralel düz xətlər və proyeksiya.

≈ 45 dəqiqə6 fəsil10 DİM tapşırığı7–8-ci sinif materialı

Bu dərsdən sonra bacaracaqsan

• düz xətt üzərindəki parçaların uzunluqlarını toplamaq və çıxmaqla tapmağı;
• qonşu və qarşılıqlı bucaqların xassələrini tətbiq etməyi;
• paralel düz xətlər kəsənlə kəsiləndə alınan bucaqları tapmağı, köməkçi paralel düz xətt çəkməyi;
• uyğun tərəfləri paralel olan bucaqlara və parçanın proyeksiyasına aid DİM tapşırıqlarını həll etməyi.

Başlamazdan əvvəl xatırla

• Bir dəyişənli xətti tənliyi həll etmək: 2x − 26 = 124.
• Faiz: 80% — 0,8 hissə, 20% çox — 1,2 dəfə.
• Düzbucaqlı üçbucaqda 30°-nin qarşısındakı katet hipotenuzun yarısıdır.

Mündəricat

1. GirişSituasiya: dayanacaqlar arasındakı məsafəhekayə və təxmin
2. Fəsil 1Nöqtə, düz xətt, şüa və parçaparçaların toplanması · DİM 06.07.2025
3. Fəsil 2Bucaqlar: qonşu və qarşılıqlı bucaqlartənbölən · qonşu və qarşılıqlı bucaqlar · DİM 2025–2026
4. Fəsil 3Paralel düz xətlər və kəsənçarpaz, uyğun, birtərəfli bucaqlar · laboratoriya
5. Fəsil 4Köməkçi paralel düz xəttsınıq xətt · DİM 01.06.2025
6. Fəsil 5Uyğun tərəfləri paralel olan bucaqlarbərabər və ya cəmi 180° · DİM 24.05.2026
7. Fəsil 6Parçanın düz xəttə proyeksiyasıproyeksiya · DİM 12.07.2026
8. Məşqİmtahan tapşırıqları ilə məşq4 DİM tapşırığı: cavab və rəsmi izah
9. YekunYadda saxlaqısa xülasə və tipik səhvlər
10. YekunMüstəqil iş6 tapşırıq, asandan çətinə

Giriş

Situasiya: dayanacaqlar arasındakı məsafə

Hekayə

Şəhərin kənarında yeni məhəllə salınır. Mühəndis və usta gələcək küçənin xəttini çəkib, onun üzərində dörd qazıq vurublar: A, B, C və D. Bu nöqtələrdə avtobus dayanacaqları olacaq.

Çertyoj yağışda islanıb, üstündə yalnız üç ölçü oxunur: AC = 500 m, BD = 600 m, AD = 800 m. Usta soruşur: B və C dayanacaqları arasındakı məsafə nə qədərdir?

Qazıqlar bir düz xətt üzərindədir; məlum olan yalnız üç məsafədir.Əvvəlcə təxmin et

Sənin fikrincə, BC neçə metrdir? Təxminini seç: 1-ci fəsildə birlikdə hesablayacağıq.

Fəsil 1

Nöqtə, düz xətt, şüa və parça

Həndəsə ən sadə fiqurlardan başlayır: nöqtə və düz xətt. Onlar tərif olunmur, onları xassələri ilə tanıyırıq. Ən vacib xassə: iki nöqtədən bir və yalnız bir düz xətt keçir. Usta da küçənin xəttini iki qazıq arasında ip dartmaqla çəkir. Nöqtələri böyük hərflərlə (A, B), düz xətləri kiçik hərflərlə (a, b) və ya iki nöqtəsi ilə (AB) işarə edirik.

Tərif

Düz xəttin bir nöqtəsi onu iki hissəyə bölür; hər hissə həmin nöqtə ilə birlikdə şüa adlanır, nöqtə isə şüanın başlanğıcıdır. Düz xəttin iki nöqtəsi və onların arasındakı bütün nöqtələr parça əmələ gətirir; nöqtələr parçanın uclarıdır.

Düz xəttin sonu yoxdur, şüanın bir ucu var, parçanın iki ucu var.Parçaların toplanması

C nöqtəsi AB parçasının üzərindədirsə, onda AC + CB = AB. Parçanın orta nöqtəsi onu iki bərabər parçaya bölür.

Parçalara aid hər tapşırıqda əvvəlcə düz xətti çək və nöqtələri verilən ardıcıllıqla qeyd et. Sonra hər parçanı kiçik “kərpiclərin” cəmi kimi yaz. Ustanın sualında AC və BD parçaları bir-birini örtür: BC hər ikisinin içindədir.

Hekayə

Yazırıq: AC = AB + BC, BD = BC + CD. Cəmləsək, AC + BD = (AB + BC + CD) + BC, yəni AC + BD = AD + BC. Deməli, BC = 500 + 600 − 800 = 300 m. B və C dayanacaqları arasında 300 m var.

Nümunə 1

A, B, C nöqtələri düz xətt üzərində bu ardıcıllıqla yerləşir: AB = 12 sm, BC = 8 sm. M və N nöqtələri AB və BC parçalarının orta nöqtələridir. MN parçasını tapın.

1. M nöqtəsi AB-nin ortasıdır: MB = 12 : 2 = 6 sm.Niyə belədir?

   Orta nöqtə parçanı iki bərabər hissəyə bölür.

2. N nöqtəsi BC-nin ortasıdır: BN = 8 : 2 = 4 sm.
3. B nöqtəsi M ilə N arasındadır, ona görə MN = MB + BN = 6 + 4 = 10 sm.Niyə belədir?

   M AB-nin, N isə BC-nin üzərindədir, B onları ayırır.

4. Cavab: 10 sm.

Özün yoxla

A, B, C, D nöqtələri düz xətt üzərində bu ardıcıllıqla yerləşir: AC = 9, BD = 11, AD = 15. BC parçasını tapın.

Ustanın düsturu: BC = AC + BD − AD.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 06.07.2025

AC parçasının uzunluğu CB-dən 4 sm böyükdür. CD isə DB-dən 2 dəfə kiçikdir. CD = 3 sm olarsa, AB parçasının uzunluğunu tapın.

Şəkildə nöqtələr düz xətt üzərində soldan sağa belə düzülüb: A, C, D, B.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 20 smB) 28 smC) 22 smD) 18 smE) 14 sm

1. “CD DB-dən 2 dəfə kiçikdir” — deməli, DB = 2·CD = 2·3 = 6 sm.Niyə belədir?

   Kiçik parça 2 dəfə artırılanda böyüyə bərabər olur.

2. D nöqtəsi C ilə B arasındadır: CB = CD + DB = 3 + 6 = 9 sm.
3. AC parçası CB-dən 4 sm böyükdür: AC = 9 + 4 = 13 sm.
4. C nöqtəsi A ilə B arasındadır: AB = AC + CB = 13 + 9 = 22 sm.Niyə belədir?

   AB bütün xəttdir; onu iki “kərpicə” böldük: AC və CB.

5. Cavab: 22 sm (C variantı).

DİM-in rəsmi izahı (06.07.2025)

Şərtə görə DB = 2·CD = 2·3=6 sm və CB = CD + DB = 3+6=9 sm. AC parçasının uzunluğu CB-dən 4 sm böyük olduğu üçün AC = CB + 4 = 9+4=13 sm. Beləliklə, AB = AC + CB = 13+9=22 sm.Mənbə: DİM izahı — 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

Fəsil 2

Bucaqlar: qonşu və qarşılıqlı bucaqlar

Eyni nöqtədən çıxan iki şüa bucaq əmələ gətirir: nöqtə bucağın təpəsi, şüalar onun tərəfləridir. Bucağı dərəcə ilə ölçürük. 90°-dən kiçik bucaq iti, 90°-lik bucaq düz, 90° ilə 180° arasındakı bucaq kor bucaqdır; tərəfləri bir düz xətt əmələ gətirən bucaq açıq bucaqdır, o 180°-dir.

Bucaqların toplanması

Bucağın təpəsindən onun daxilinə çəkilən şüa bucağı iki bucağa bölür və onların cəmi bütöv bucağa bərabərdir: ∠AOB = ∠AOC + ∠COB. Bucağı yarıya bölən şüa onun tənbölənidir.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 07.06.2026

124°-li bucağın təpə nöqtəsindən çıxan şüa onu dərəcə ölçülərinin fərqi 26° olan iki bucağa bölür. Böyük bucağın qiymətini tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 65°B) 62°C) 80°D) 55°E) 75°

1. Böyük bucağı x ilə işarə edirik; onda kiçik bucaq x − 26° olur.Niyə belədir?

   Fərq 26° olduğu üçün kiçik bucaq böyükdən 26° azdır.

2. Şüa bucağı iki hissəyə bölür, hissələrin cəmi 124°-dir: x + x − 26° = 124°, 2x = 150°, x = 75°.
3. Yoxlama: kiçik bucaq 75° − 26° = 49°; 75° + 49° = 124°, 75° − 49° = 26°.
4. Cavab: 75° (E variantı).

DİM-in rəsmi izahı (07.06.2026)

x + x − 26° = 124°; 2x = 150°; x = 75°.Mənbə: DİM izahı — 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

Tərif

Bir tərəfi ortaq olan, o biri tərəfləri isə bir-birini düz xəttə tamamlayan iki bucaq qonşu bucaqlar adlanır. Bir bucağın tərəfləri o biri bucağın tərəflərinin davamı olarsa, belə bucaqlar qarşılıqlı bucaqlar adlanır.

Xassələr

Qonşu bucaqların cəmi 180°-dir: α + β = 180°. Qarşılıqlı bucaqlar bərabərdir.

Qonşu bucaqlar birlikdə açıq bucaq əmələ gətirir; qarşılıqlı bucaqlar bir-birinin “güzgü əksidir”.

Qarşılıqlı bucaqların bərabərliyi qonşu bucaqlardan çıxır: şəkildə ∠1 + ∠2 = 180° və ∠3 + ∠2 = 180°, deməli ∠1 = ∠3.

Nümunə 2

Qonşu bucaqlardan biri digərindən 40° böyükdür. Böyük bucağı tapın.

1. Böyük bucaq x, kiçik bucaq x − 40° olsun.Niyə belədir?

   Fərq 40° olduğu üçün kiçik bucağı böyük bucaqla ifadə edirik.

2. Qonşu bucaqların cəmi 180°-dir: x + x − 40° = 180°, 2x = 220°, x = 110°.
3. Cavab: 110° (kiçik bucaq 70°).

Özün yoxla

İki düz xətt kəsişəndə alınan bucaqlardan ikisinin cəmi 250°-dir. Dörd bucaqdan ən kiçiyini tapın (dərəcə ilə).

Cəmi 250° olan iki bucaq qonşu ola bilməz (onların cəmi 180°-dir), deməli, onlar qarşılıqlıdır: hər biri 125°.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 13.07.2025

α və β qonşu bucaqları üçün uyğunluğu müəyyən edin.1. α − β > 20°2. 2α + 3β < 400°3. 2α − β < 30°a. β -nın ən böyük tam qiyməti 39°-dirb. α -nın ən kiçik tam qiyməti 101°-dirc. α -nın ən kiçik tam qiyməti 140°-dird. β -nın ən kiçik tam qiyməti 111°-dire. β -nın ən böyük tam qiyməti 79°-dir

1. α və β qonşu olduğu üçün α = 180° − β. Hər bərabərsizlikdə α-nı bununla əvəz edib yalnız β-nı saxlayırıq.Niyə belədir?

   Bir dəyişənli bərabərsizliyi həll etmək iki dəyişənlidən asandır.

2. 1) 180° − 2β > 20°, yəni β < 80°. β-nın ən böyük tam qiyməti 79° (e), onda α-nın ən kiçik tam qiyməti 180° − 79° = 101° (b).Niyə belədir?

   Bərabərsizlik ciddidir: β = 80° olmaz, ona görə tam qiymət 79°-dir. β kiçildikcə α böyüyür.

3. 2) 2(180° − β) + 3β < 400°, yəni 360° + β < 400°, buradan β < 40°. β-nın ən böyük tam qiyməti 39° (a). Onda α-nın ən kiçik tam qiyməti 141°-dir, ona görə c (140°) uyğun deyil.Niyə belədir?

   c variantı tələdir: α > 140° olduğu üçün 140° ola bilməz.

4. 3) 2(180° − β) − β < 30°, yəni 360° − 3β < 30°, buradan β > 110°. β-nın ən kiçik tam qiyməti 111° (d).
5. Cavab: 1 — b, e; 2 — a; 3 — d.

DİM-in rəsmi izahı (13.07.2025)

α və β qonşu bucaqlar olduğu üçün α=180° − β. 1. (180° − β) − β > 20° ⇒ β < 80°. Buradan β -nın ən böyük tam qiyməti 79° olur. Onda α-nın ən kiçik tam … 101° olacaq. 2. 2(180° − β) + 3β < 400°; 360° − 2β + 3β < 400° ⇒ β < 40°. Buradan β -nın ən böyük tam qiyməti 39° olur. Onda α-nın ən kiçik tam qiyməti 141° olacaq. 3. 2(180° − β) − β < 30°; 360° − 2β − β < 30° ⇒ β > 110°. Buradan β -nın ən kiçik tam qiyməti 111° olur. Onda α-nın ən böyük tam qiyməti 69° olacaq.Mənbə: DİM izahı — 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Fəsil 3

Paralel düz xətlər və kəsən

Hekayə

Küçə hazırdır, indi o, prospektə çevrilir və köhnə məhəlləyə uzanır. Köhnə məhəllənin iki küçəsi bir-birinə paraleldir, yeni prospekt isə hər ikisini maili kəsir. Birinci kəsişmədə usta prospektlə küçə arasındakı bucağı ölçür: 62°.

İkinci kəsişmədə küncə bordür daşı qoyulmalıdır, onun üçün şablon kəsmək lazımdır. Usta ikinci dəfə ölçmək istəmir: şəkildə “?” ilə göstərilən bucaq neçə dərəcədir?

İki paralel küçə və onları kəsən prospekt: birinci kəsişmədə 62°.Tərif

Bir müstəvidə yerləşən və kəsişməyən düz xətlər paralel düz xətlər adlanır: a ∥ b. Düz xəttin üzərində olmayan nöqtədən ona yalnız bir paralel düz xətt çəkmək olar.

İki düz xətti üçüncü düz xətt — kəsən — kəsəndə səkkiz bucaq alınır. Onları cüt-cüt adlandırırlar. Düz xətlərin arasında qalan bucaqlar daxili, kənarda qalanlar xarici bucaqlardır.

Səkkiz bucaq: 1–4 a düz xəttində, 5–8 b düz xəttində.Bucaq cütlərinin adları

daxili çarpaz bucaqlar: 3 və 5, 4 və 6 (kəsənin müxtəlif tərəflərində, düz xətlərin arasında);uyğun bucaqlar: 1 və 5, 2 və 6, 3 və 7, 4 və 8 (hər düz xəttdə “eyni yerdə”);daxili birtərəfli bucaqlar: 4 və 5, 3 və 6 (kəsənin bir tərəfində, düz xətlərin arasında).

Paralel düz xətlərin xassəsi və əlaməti

İki paralel düz xətt kəsənlə kəsiləndə: daxili çarpaz bucaqlar bərabərdir, uyğun bucaqlar bərabərdir, daxili birtərəfli bucaqların cəmi 180°-dir. Tərsinə, bu bərabərliklərdən biri ödənirsə, düz xətlər paraleldir.

Laboratoriyada bunu yoxla: kəsəni fırlat — bütün bucaqlar dəyişir, amma bərabərliklər qalır. Sonra b düz xəttini azca əy: düz xətlər paralel olmayan kimi bərabərliklər pozulur.

Laboratoriya · kəsəni fırlat, bucaqları müqayisə etkəsənin a ilə bucağı62°b düz xəttinin meyli (0° — a ∥ b)0°Hekayə

Prospekt kəsəndir, iki küçə isə paralel düz xətlərdir. 62°-lik bucaq birinci küçədə, küçələrin arasında, prospektin sağ tərəfindədir; “?” bucağı ikinci küçədə, yenə küçələrin arasında və prospektin sağ tərəfindədir. Deməli, onlar daxili birtərəfli bucaqlardır: ? = 180° − 62° = 118°. Usta şablonu 118°-lik kəsir.

Nümunə 3

İki paralel düz xətt kəsənlə kəsilib. Daxili çarpaz bucaqlardan birinin üç misli o birinin iki mislindən 50° böyükdür. Bu bucaqları tapın.

1. Paralel düz xətlərdə daxili çarpaz bucaqlar bərabərdir: hər ikisini x ilə işarə edirik.Niyə belədir?

   Şərtdəki “biri” və “o biri” əslində eyni ölçülü bucaqlardır.

2. Şərt: 3x = 2x + 50°, buradan x = 50°.
3. Cavab: hər biri 50°.

Özün yoxla

İki paralel düz xətt kəsənlə kəsiləndə alınan daxili birtərəfli bucaqlardan biri digərindən 30° böyükdür. Böyük bucağı tapın (dərəcə ilə).

x + (x − 30°) = 180°.

Fəsil 4

Köməkçi paralel düz xətt

Çox vaxt iki paralel düz xəttin arasında “sınıq xətt” olur və onun təpəsindəki bucaq soruşulur. Kəsən yoxdursa, onu özün yarat: təpədən verilən düz xətlərə paralel köməkçi düz xətt çək. O, təpədəki bucağı iki hissəyə bölür və hər hissə artıq tanış bucaq cütünün üzvü olur.

Köməkçi xətt üsulu

d₁ ∥ d₂, sınıq xəttin V təpəsi onların arasındadır. V-dən d₃ ∥ d₁ çəksək, təpədəki bucaq iki daxili çarpaz bucağın cəminə bərabər olur: ∠V = ∠1 + ∠2.

d₃ hər iki paralelə paraleldir; ∠1 və ∠2 V nöqtəsində “təkrarlanır”.Nümunə 4

d₁ ∥ d₂. Sınıq xəttin hissələri d₁ ilə 40°, d₂ ilə 35° bucaq əmələ gətirir (şəkildəki kimi). V təpəsindəki bucağı tapın.

1. V-dən d₃ ∥ d₁ ∥ d₂ çəkirik.Niyə belədir?

   Paralel düz xətlər arasında bucaqları “daşımağın” yeganə yolu kəsəndir; köməkçi xətt onu yaradır.

2. Yuxarı hissə d₁ ilə daxili çarpaz bucaqdır: 40°. Aşağı hissə d₂ ilə daxili çarpaz bucaqdır: 35°.
3. ∠V = 40° + 35° = 75°.
4. Cavab: 75°.

Özün yoxla

d₁ ∥ d₂. Sınıq xəttin hissələri d₁ ilə 28°, d₂ ilə 47° bucaq əmələ gətirir (yuxarıdakı şəkildəki kimi). V təpəsindəki bucağı tapın (dərəcə ilə).

∠V = ∠1 + ∠2.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 01.06.2025

Uyğunluğu müəyyən edin (d₁ ∥ d₂). … a. α = 110°b. α + β = 160°c. α = 130°d. α + β = 220°e. α = 120°

1, 2, 3 — aşağıdakı şəkillərdir. Hər addımda uyğun şəkildə köməkçi d₃ düz xətti görünür.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.

1. Şəkil 1. β ilə 30° qarşılıqlı bucaqlardır: β = 30°. Təpədən d₃ ∥ d₁ çəkirik: aşağı hissə x = 30° (30° ilə daxili çarpaz), yuxarı hissə y = 80° − 30° = 50°. d₁-də z = 50° (y ilə daxili çarpaz), α isə z ilə qonşudur: α = 180° − 50° = 130°. Deməli, α + β = 160°.Niyə belədir?

   Birinci şəklə iki cavab uyğundur: c (α = 130°) və b (α + β = 160°).

2. Şəkil 2. β ilə 50° qonşudur: β = 130°. α-nın təpəsindən d₃ ∥ d₂ çəkirik; o, α-nı x və y hissələrinə bölür: tərəfləri uyğun olaraq paralel olduğu üçün x = 70°, y = 50°. Deməli, α = 70° + 50° = 120°.Niyə belədir?

   Burada α + β = 250° alınır, bu siyahıda yoxdur; ona görə yalnız e uyğundur.

3. Şəkil 3. β ilə 60° qonşudur: β = 120°. Təpədən d₃ ∥ d₂ çəkirik: y = 60° (60° ilə daxili çarpaz), x = 180° − 40° − 60° = 80°. α ilə x daxili birtərəfli bucaqlardır: α = 180° − 80° = 100°. Deməli, α + β = 220°.
4. “a” (α = 110°) heç bir şəklə uyğun deyil.
5. Cavab: 1 — b, c; 2 — e; 3 — d.

DİM-in rəsmi izahı (01.06.2025)

1) β və 30° qarşılıqlı bucaqlar olduğundan β = 30°. d₁ ∥ d₂ ∥ d₃ çəkək. x və 30° daxili çarpaz bucaqlar olduğundan x=30° və x+y=80° olduğundan y=80° – 30°=50°. Eyni qayda ilə y və z daxili çarpaz bucaqlar olduğundan z=50° olar. α və z qonşu bucaqlar olduğundan α=180° – 50°=130° olar. 1-bc2) β və 50° qonşu bucaqlar olduğundan β = 180° − 50° = 130°. d₁ ∥ d₂ ∥ d₃ çəkək. x və 70°, y və 50° uyğun tərəfləri paralel olan bucaqlar olduğundan x=70° və y=50° olar. Sonuncudan α=x+y olduğundan α=70°+50°=120° olar. 2-e3) β və 60° qonşu bucaqlar olduğundan β = 180° − 60° = 120°. d₁ ∥ d₂ ∥ d₃ çəkək. y və 60° daxili çarpaz bucaqlar olduğundan y=60° olar. x=180° – 40° – y=180° – 40° – 60°=80° olar. α və x daxili birtərəfli bucaqlar olduğundan α=180° – x=180° – 80°=100°. 3-dMənbə: DİM izahı — 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Fəsil 5

Uyğun tərəfləri paralel olan bucaqlar

İki bucağın birinci tərəfləri bir-birinə, ikinci tərəfləri də bir-birinə paralel olarsa, belə bucaqlara uyğun tərəfləri paralel olan bucaqlar deyilir. Onların arasındakı əlaqəni bir tərəfi uzadıb kəsən almaqla sübut edirlər: hər iki bucaq eyni bucağa ya bərabər, ya da qonşu olur.

Teorem

Uyğun tərəfləri paralel olan bucaqlar ya bərabərdir, ya da onların cəmi 180°-dir. Hər ikisi iti və ya hər ikisi kor olarsa (eyniadlı bucaqlar), onlar bərabərdir; biri iti, o biri kor olarsa (müxtəlif adlı bucaqlar), cəmi 180°-dir.

Sol: tərəflər eyni istiqamətdədir — bucaqlar bərabərdir. Sağ: bir cüt tərəf əks istiqamətdədir — cəmi 180°.

İmtahanda əsas sual budur: bucaqlar bərabərdir, yoxsa cəmi 180°-dir? Şərtdə bucaqlar fərqlidirsə (biri o birindən böyükdür, nisbəti 1 deyil), onlar bərabər ola bilməz — deməli, cəmi 180°-dir.

Nümunə 5

Uyğun tərəfləri paralel olan iki bucağın nisbəti 4 : 5-dir. Böyük bucağı tapın.

1. Nisbət 1 deyil, bucaqlar fərqlidir, ona görə bərabər ola bilməz; cəmi 180°-dir.Niyə belədir?

   Teoremdə yalnız iki hal var: bərabərlik və ya cəm 180°.

2. Bucaqlar 4k və 5k: 9k = 180°, k = 20°.
3. Böyük bucaq 5·20° = 100°.
4. Cavab: 100°.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 24.05.2026

Uyğun tərəfləri paralel olan bucaqlardan biri digərindən 42° kiçikdir. Böyük bucağın dərəcə ölçüsünü tapın.

A) 66°B) 111°C) 132°D) 122°E) 57°

1. Bucaqlardan biri o birindən 42° kiçikdir, deməli, onlar bərabər deyil, cəmi 180°-dir.Niyə belədir?

   Bərabər bucaqların fərqi 0° olardı.

2. Böyük bucaq x, kiçik bucaq x − 42°: x + x − 42° = 180°, 2x = 222°, x = 111°.
3. Yoxlama: kiçik bucaq 69°, 111° + 69° = 180°.
4. Cavab: 111° (B variantı).

DİM-in rəsmi izahı (24.05.2026)

Uyğun tərəfləri paralel olan bucaqlar şərtə görə bərabər deyil. Deməli, onların cəmi 180°-dir. Böyük bucağın dərəcə ölçüsü x ilə işarə etdikdə, kiçik bucaq x-42° olar. Onda x+x-42°=180°, buradan x=111°Mənbə: DİM izahı — 24.05.2026, II ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

Uyğun tərəfləri paralel olan iki bucağın cəmi 110°-dir. Bucaqlardan birini tapın (dərəcə ilə).

Cəm 180° deyil — deməli, bucaqlar bərabərdir.

Fəsil 6

Parçanın düz xəttə proyeksiyası

Hekayə

Prospektin kənarına işıq dirəkləri qoyulur. Yük maşınının üstündəki kranın oxunun uzunluğu 16 m-dir, usta onu üfüqə 60° bucaq altında qaldırıb. Dirək oxun ucundan şaquli asılıb.

Dirəyin çuxuru hazır olmalıdır. Çuxur kranın oxunun əsasından üfüqi istiqamətdə neçə metr aralıda qazılmalıdır?

Oxun yerə “kölgəsi” — onun üfüqi düz xəttə proyeksiyasıdır.Tərif

Nöqtədən düz xəttə endirilmiş perpendikulyarın oturacağı həmin nöqtənin düz xəttə proyeksiyasıdır. AB parçasının uclarının proyeksiyaları A₁ və B₁ olarsa, A₁B₁ parçası AB-nin proyeksiyası adlanır.

AC ∥ a çəkəndə proyeksiya ABC düzbucaqlı üçbucağının katetinə çevrilir.Proyeksiyanın uzunluğu

AB parçası düz xəttlə α bucağı əmələ gətirirsə, onun proyeksiyası A₁B₁ = AB·cos α. Xüsusən, 60°-də proyeksiya parçanın yarısıdır (bu, “30°-nin qarşısındakı katet hipotenuzun yarısıdır” xassəsidir — Pifaqor teoremi dərsinə bax), parça düz xəttə paraleldirsə proyeksiya ona bərabərdir, perpendikulyardırsa nöqtəyə çevrilir.

Hekayə

Kranın oxu hipotenuz, onun proyeksiyası isə 60°-li bucağa bitişik katetdir: 16·cos 60° = 16·0,5 = 8 m. Çuxur oxun əsasından üfüqi istiqamətdə 8 m aralıda qazılır.

Nümunə 6

Uzunluğu 12 sm olan AB parçasının A ucu a düz xətti üzərindədir və AB a ilə 30° bucaq əmələ gətirir. AB-nin a-ya proyeksiyasını və B nöqtəsindən a-ya qədər məsafəni tapın.

1. B-dən a-ya BH perpendikulyarını endiririk; ABH düzbucaqlı üçbucaqdır, AH — proyeksiyadır.Niyə belədir?

   Perpendikulyar ən qısa məsafədir və proyeksiyanın ucunu verir.

2. BH 30°-li bucağın qarşısındakı katetdir: BH = 12 : 2 = 6 sm.Niyə belədir?

   30°-nin qarşısındakı katet hipotenuzun yarısıdır.

3. Pifaqor teoremi: AH = √(144 − 36) = √108 = 6√3 sm (və ya 12·cos 30° = 6√3).
4. Cavab: proyeksiya 6√3 sm, məsafə 6 sm.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 12.07.2026

a ∥ b , AC=31 sm, α = β = 60° olarsa, AB parçasının b düz xətti üzərindəki proyeksiyasını tapın.

Şəkildə C və A nöqtələri a üzərində, B nöqtəsi b üzərindədir; β — b-nin sol hissəsi ilə BC arasındakı, α — BA ilə b-nin sağ hissəsi arasındakı bucaqdır.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 10 smB) 21 smC) 25 smD) 15,5 smE) 15,1 sm

1. B nöqtəsindəki üç bucaq (β, ∠CBA, α) birlikdə açıq bucaq əmələ gətirir: ∠CBA = 180° − 60° − 60° = 60°.Niyə belədir?

   b düz xəttinin B nöqtəsində açıq bucağı 180°-dir.

2. a ∥ b olduğu üçün ∠ACB = β = 60° və ∠BAC = α = 60° (daxili çarpaz bucaqlar). ABC üçbucağının bütün bucaqları 60°-dir — o, bərabərtərəflidir: AB = AC = 31 sm.Niyə belədir?

   CB və AB kəsənlərdir; β ilə ∠ACB, α ilə ∠BAC kəsənin müxtəlif tərəflərində, paralellərin arasındadır.

3. A-dan b-yə AH perpendikulyarını endiririk; AB-nin b-yə proyeksiyası BH-dir: BH = AB·cos 60° = 31·0,5 = 15,5 sm.
4. Cavab: 15,5 sm (D variantı).

DİM-in rəsmi izahı (12.07.2026)

A nöqtəsindən b düz xəttinə perpendikulyar endirək, perpendikulyarın oturacağını H ilə işarə edək. α = β = 60° olduğundan, ∠CBA = 60°. a ∥ b -dən α = ∠BAC = β = ∠ACB = 60° , yəni △ABC bərabərtərəflidir, AB=AC=31. Onda AB parçasının b düz xəttinə proyeksiyası düzbucaqlı AHB üçbucağının BH kateti olacaq. Beləliklə, BH = AB·cosα = AC·cos60° = 31·0,5 = 15,5 .Mənbə: DİM izahı — 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

Uzunluğu 18 olan parça düz xəttlə 60° bucaq əmələ gətirir. Onun bu düz xəttə proyeksiyasını tapın.

18·cos 60° = 18·0,5.

Məşq

İmtahan tapşırıqları ilə məşq

DİM · 05.07.2026

A, B, C və D nöqtələri yazıldığı ardıcıllıqla düz xətt üzərində qeyd olunub. AD = 81 sm, CD = 36 sm və AB = 39 sm olarsa, BC parçasının uzunluğunu tapın.

A) 12 smB) 18 smC) 24 smD) 9 smE) 6 smCavab və DİM izahı

Cavab: 6 sm (E variantı).

A, B, C, D nöqtələrini eyni bir düz xətt üzərində ardıcıl qeyd etdikdə : Buradan BC = AD − (AB + CD) BC = 81 − (39 + 36) = 81 − 75 = 6 (sm)Mənbə: DİM izahı — 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 09.03.2025

Uyğun tərəfləri paralel olan iki bucaqdan biri o birinin 80%-ni təşkil edir. Böyük bucağın dərəcə ölçüsünü tapın.

Açıq tapşırıq: cavabı özün yaz.

Cavab və DİM izahı

Cavab: 100°.

Uyğun tərəfləri paralel olan bucaqların xassəsinə görə onlar ya bir-birinə bərabərdir, ya da onların cəmi 180° -dir. Bu bucaqlardan biri digərinin 80 %-nə bərabər olduğundan onlar bərabər ola bilməz.{ α + β = 180° ; α = 0,8β } ⇒ β + 0,8β = 180° ⇒⇒ 1,8β = 180° ⇒ β = 100°Mənbə: DİM izahı — 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

DİM · 25.05.2025

Uyğun tərəfləri paralel olan α və β bucaqları üçün uyğunluğu müəyyən edin.1. α : β = 2 : 32. α : β = 5 : 43. α = 3βa. bucaqların fərqi 90°-dirb. bucaqların fərqi 36°-dirc. bucaqların fərqi 40°-dird. bucaqlardan kiçiyi 80°-dire. bucaqlardan böyüyü 135°-dir

Açıq tapşırıq: cavabı özün yaz.

Cavab və DİM izahı

Cavab: 1 — b; 2 — d; 3 — a, e.

Uyğun tərəfləri paralel olan bucaqlar ya konqruyentdir, ya da dərəcə ölçülərinin cəmi 180⁰-yə bərabərdir.1. α : β = 2 : 3 → α = 2k, β = 3kα + β = 5k = 180⁰ → k = 36α = 72⁰, β = 108⁰ … 2. α : β = 5 : 4 → α = 5k, β = 4kα + β = 9k = 180⁰ → k = 20⁰α = 100⁰, β = 80⁰3. α = 3β → α = 3k, β = kα + β = 4k = 180⁰ → k = 45⁰α = 135⁰, β = 45⁰α − β = 90⁰Mənbə: DİM izahı — 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 09.03.2026

α və β uyğun tərəfləri paralel olan müxtəlif adlı, γ və φ isə uyğun tərəfləri paralel olan eyniadlı bucaqlardır. γ-nın dərəcə ölçüsü α-nın dərəcə ölçüsündən 20% az, φ-nin dərəcə ölçüsü β-nın dərəcə ölçüsündən 20% çox olarsa, α və β-nın hər birinin dərəcə ölçüsünü tapın.

Eyniadlı bucaqlar — ikisi də iti və ya ikisi də kor; müxtəlif adlı — biri iti, o biri kor (5-ci fəsil).

Açıq tapşırıq: cavabı özün yaz.

Cavab və DİM izahı

Cavab: α = 108°, β = 72°.

α və β uyğun tərəfləri paralel olan müxtəlif adlı bucaqlar olduğundan α+β=180°, γ və φ uyğun tərəfləri paralel olan eyniadlı bucaqlar olduğundan γ=φ olur. Şərtə görə γ=0,8α, φ=1,2β. Buradan 0,8α=1,2β alınır. α=1,5β, 1,5β+β=180°, β=72°, α=108° olur.Mənbə: DİM izahı — 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

Yekun

Yadda saxla

• C nöqtəsi AB üzərindədirsə, AC + CB = AB; örtülən parçalar üçün BC = AC + BD − AD.
• Şüa bucağı iki hissəyə bölür: ∠AOB = ∠AOC + ∠COB; tənbölən bucağı yarıya bölür.
• Qonşu bucaqlar: α + β = 180°; qarşılıqlı bucaqlar bərabərdir.
• a ∥ b olduqda: çarpaz və uyğun bucaqlar bərabərdir, daxili birtərəfli bucaqların cəmi 180°-dir.
• Paralellər arasındakı sınıq xəttin təpəsindən köməkçi paralel çək: ∠V = ∠1 + ∠2.
• Uyğun tərəfləri paralel olan bucaqlar ya bərabərdir (eyniadlı), ya da cəmi 180°-dir (müxtəlif adlı).
• Proyeksiya: A₁B₁ = AB·cos α; 60°-də — parçanın yarısı.

Tipik səhvlər

“Örtülən parçaları sadəcə toplamaq olar: AC + BD = AD”

AC + BD = AD + BC: ortaq hissə BC iki dəfə sayılır. Şəkil çək: BC = AC + BD − AD.

“Qonşu bucaqların cəmi 90°-dir”

Qonşu bucaqlar açıq bucaq əmələ gətirir, cəmi 180°-dir: α = 180° − β.

“Uyğun tərəfləri paralel olan bucaqlar həmişə bərabərdir”

Ya bərabərdir, ya da cəmi 180°-dir. Biri o birinin 80%-i olarsa, bərabər ola bilməz — deməli, cəmi 180°-dir.

“Parçanın proyeksiyası parçanın özünə bərabərdir”

Proyeksiya düzbucaqlı üçbucağın katetidir: AB·cos α; 60°-də parçanın yarısıdır.

Yekun

Müstəqil iş

Tapşırıqlar asandan çətinə düzülüb. Əvvəl özün həll et, sonra variantı seç; izah cavabdan sonra açılır.

1 · 1-ci səviyyə

Qonşu bucaqlardan biri o birindən 4 dəfə böyükdür. Kiçik bucağı tapın.

x + 4x = 180° → x = 36°.

2 · 1-ci səviyyə

Qarşılıqlı bucaqların cəmi 130°-dir. Onlardan birinə qonşu olan bucağı tapın.

Qarşılıqlı bucaqlar bərabərdir: hər biri 65°; qonşu bucaq 180° − 65° = 115°.

3 · 2-ci səviyyə

İki paralel düz xətt kəsənlə kəsiləndə alınan daxili birtərəfli bucaqların nisbəti 2 : 7-dir. Kiçik bucağı tapın.

2k + 7k = 180° → k = 20°, kiçik bucaq 40°.

4 · 2-ci səviyyə

Uyğun tərəfləri paralel olan iki bucağın nisbəti 7 : 11-dir. Böyük bucağı tapın.

Bərabər deyil → 18k = 180°, k = 10°, böyük bucaq 110°.

5 · DİM səviyyəsi

d₁ ∥ d₂. Paralellər arasındakı sınıq xəttin hissələri d₁ ilə 35°, d₂ ilə 47° daxili çarpaz bucaq əmələ gətirir. Sınıq xəttin təpəsindəki bucaq:

Köməkçi paralel: ∠V = 35° + 47° = 82°.

6 · DİM səviyyəsi

Uzunluğu 10 olan AB parçası düz xəttlə 30° bucaq əmələ gətirir. AB-nin bu düz xəttə proyeksiyası:

10·cos 30° = 10·√3/2 = 5√3.

İmtahan tapşırıqları və rəsmi izahlar — DİM:

1. 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF) — Həndəsənin ilk anlayışları (A variantı, 77; B-74, C-78, D-76)
2. 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — Həndəsənin əsas anlayışları (A variantı, 27; B-27, C-27, D-27)
3. 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Həndəsənin əsas anlayışları (A variantı, 27; B-27, C-27, D-27)
4. 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — Həndəsənin əsas anlayışları (A variantı, 22; B-14, C-22, D-2)
5. 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Həndəsənin əsas anlayışları (A variantı, 27; B-27, C-27, D-27)
6. 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — Uyğun tərəfləri paralel olan bucaqlar (A variantı, 82; B-82, C-82, D-82)
7. 24.05.2026, II ixtisas qrupu (PDF) — Həndəsənin əsas anlayışları (A variantı, 17; B-16, C-17, D-18)
8. 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Həndəsənin əsas anlayışları (A variantı, 2; B-1, C-8, D-8)
9. 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF) — Həndəsənin əsas anlayışları (A variantı, 6; B-14, C-9, D-5)
10. 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Həndəsənin əsas anlayışları (A variantı, 14; B-7, C-5, D-15)

Hekayə, səhnələr, nümunələr, “Özün yoxla” və “Müstəqil iş” tapşırıqları bizimdir, DİM-ə aid deyil. DİM tapşırıqları və izahları mənbədəki kimi verilib; “…” işarəsi buraxılmış hissəni göstərir.