Çoxluqlar: birləşmə, kəsişmə, fərq, Eyler-Venn diaqramı

Statistika, çoxluqlar və ehtimal · Mövzu 11 / 46

Çoxluqlar: birləşmə, kəsişmə, fərq, Eyler-Venn diaqramı

Bu dərsi məktəbdə bir günlə keçəcəyik: idman zalındakı dərnək halqaları, dəhlizdəki işarəli şkaflar və bufetdəki sendviçlər bizi çoxluqlara və Eyler-Venn diaqramına aparacaq. Kəsişmə, birləşmə və fərqi tapmağı, birləşmənin elementlərini saymağı və alt çoxluqların sayını hesablamağı öyrənəcəyik.

≈ 45 dəqiqə5 fəsil9 DİM tapşırığı6–8-ci sinif materialı

Bu dərsdən sonra bacaracaqsan

• çoxluğu elementləri ilə yazmağı, ∈, ⊂, ∅ işarələrini işlətməyi;
• iki çoxluğun kəsişməsini, birləşməsini və fərqini tapmağı;
• Eyler-Venn diaqramından hissələrin elementlərini və sayını oxumağı;
• n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) düsturu ilə məsələ həll etməyi;
• n elementli çoxluğun alt çoxluqlarının sayını (2ⁿ) tapmağı.

Başlamazdan əvvəl xatırla

• Natural ədədin bölənləri.
• Kəsrlər və faiz.
• Xətti tənlik və bərabərsizlik həlli.

Mündəricat

1. GirişSituasiya: halqalarda neçə şagird var?hekayə və təxmin
2. Fəsil 1Çoxluq, element, alt çoxluq∈, ∉, n(A), ∅, ⊂
3. Fəsil 2Kəsişmə, birləşmə, fərq∩, ∪, \ · laboratoriya · DİM 01.06.2025
4. Fəsil 3Eyler-Venn diaqramını oxumaqhissələr üzrə say · DİM 13.07.2025, 09.03.2026
5. Fəsil 4Birləşmənin elementlərinin sayın(A ∪ B) düsturu · DİM 19.04.2026, 02.03.2025
6. Fəsil 5Alt çoxluqların sayı2ⁿ · DİM 12.07.2026
7. Məşqİmtahan tapşırıqları ilə məşq3 DİM tapşırığı: cavab və rəsmi izah
8. YekunYadda saxlaqısa xülasə və tipik səhvlər
9. YekunMüstəqil iş6 tapşırıq, asandan çətinə

Giriş

Situasiya: halqalarda neçə şagird var?

Hekayə

Dərs ilində məktəbdə futbol və şahmat dərnəkləri açılıb. Bədən tərbiyəsi müəllimi sinfi idman zalına toplayır və döşəməyə iki ip halqa qoyur: futbola gedənlər sol halqaya, şahmata gedənlər sağ halqaya girməlidir. Halqalar kəsişir — hər ikisinə gedənlər ortada dayanır.

Sinifdə 30 şagird var. Futbola 18, şahmata 15 gedir, 4 şagird isə heç bir dərnəyə getmir və skamyada oturur. Ortada — hər iki halqanın içində neçə şagird dayanıb?

İki halqa iki çoxluqdur, kəsişmə — hər iki dərnəyə gedənlər.Əvvəlcə təxmin et

Sənin fikrincə, ortada neçə şagird dayanıb? Təxminini seç: 4-cü fəsildə birlikdə hesablayacağıq.

Fəsil 1

Çoxluq, element, alt çoxluq

Halqadakı şagirdlər, sinfin şagirdləri, 12-nin bölənləri — bunların hamısı çoxluqdur. Çoxluğu təşkil edən obyektlərə onun elementləri deyilir. Çoxluqlar böyük hərflə işarə olunur, elementləri fiqurlu mötərizədə sadalanır: A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}. “3 ədədi A çoxluğunun elementidir” belə yazılır: 3 ∈ A; “7 A-nın elementi deyil”: 7 ∉ A.

Tərif

Sonlu A çoxluğunun elementlərinin sayı n(A) ilə işarə olunur. Heç bir elementi olmayan çoxluğa boş çoxluq deyilir: ∅, n(∅) = 0. Çoxluqda elementlərin sırası əhəmiyyətli deyil və hər element bir dəfə yazılır: {1; 2; 3} = {3; 1; 2}.

Alt çoxluq

B çoxluğunun hər bir elementi A çoxluğunun da elementidirsə, B-yə A-nın alt çoxluğu deyilir: B ⊂ A. Boş çoxluq və A-nın özü A-nın alt çoxluqlarıdır.

Eyler-Venn diaqramında çoxluq qapalı fiqurla, bütün baxılan elementlər (universal çoxluq U) düzbucaqlı ilə göstərilir.Nümunə 1

A — 12-nin natural bölənləri, B — 10-dan kiçik cüt natural ədədlər çoxluğudur. Elementləri sadalayın, n(A) və n(B)-ni tapın. {2; 4} ⊂ A doğrudurmu?

1. A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}, n(A) = 6.
2. B = {2; 4; 6; 8}, n(B) = 4.Niyə belədir?

   “10-dan kiçik” — 10 daxil deyil.

3. 2 ∈ A və 4 ∈ A, deməli {2; 4} ⊂ A doğrudur. Amma B ⊄ A, çünki 8 ∉ A.Niyə belədir?

   Alt çoxluq olmaq üçün hər element yoxlanmalıdır; bir “kənar” element kifayətdir ki, alt çoxluq olmasın.

4. Cavab: n(A) = 6, n(B) = 4; {2; 4} ⊂ A — doğrudur.

Özün yoxla

C — 30-un natural bölənləri çoxluğudur. n(C)-ni tapın.

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Fəsil 2

Kəsişmə, birləşmə, fərq

Hekayə

Dərnəklər üçün dəhlizdəki şkaflar işarələnib: idman dərnəyinə gedən şagirdin şkafında sarı dairə, musiqi dərnəyinə gedəninkində mavi kvadrat var. Bəzi şkaflarda ikisi də var, bəzilərində heç biri.

Cümə günü musiqi dərnəyinin konserti var, idman məşqi isə yalnız musiqiyə getməyənlər üçün keçiriləcək. Müəllim soruşur: hansı şkafların sahibləri yalnız idman dərnəyinə gedir?

Sarı dairə — A çoxluğu, mavi kvadrat — B çoxluğu.

Şəkildən oxuyuruq: A = {1; 3; 4; 7; 9; 12}, B = {3; 5; 7; 8; 12}. İki çoxluqdan yeni çoxluqlar düzəldən üç əsas əməl var.

Çoxluqlar üzərində əməllər

KəsişməA ∩ B — həm A-ya, həm də B-yə daxil olan elementlər;BirləşməA ∪ B — A-ya və ya B-yə (heç olmasa birinə) daxil olan elementlər;FərqA \ B — A-ya daxil olan, B-yə daxil olmayan elementlər.

Diqqət: A \ B və B \ A fərqli çoxluqlardır. Laboratoriyada əməli seç və diaqramda hansı hissənin rəngləndiyinə bax.

Laboratoriya · əməli seç: diaqramda hansı hissə rənglənir?Hekayə

Yalnız idman dərnəyinə gedənlər A \ B = {1; 4; 9} çoxluğudur: sarı dairəsi olan, mavi kvadratı olmayan şkaflar. Cümə günü məşqə 1, 4 və 9 nömrəli şkafların sahibləri gələcək. 3, 7 və 12 nömrəlilər (A ∩ B) konsertdədir.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 01.06.2025

B ⊂ A, B = {2; 5} və A \ B = {1; 3; 4} olarsa, A çoxluğunu tapın.

A) {1; 2; 4}B) {1; 3; 5}C) {2; 4; 5}D) {1; 2; 3; 4; 5}E) {3; 4; 5}

1. B ⊂ A olduğu üçün B-nin bütün elementləri A-dadır.Niyə belədir?

   Diaqramda B dairəsi bütövlükdə A-nın içindədir (yuxarıdakı şəkil).

2. A iki hissədən ibarətdir: B-yə daxil olanlar və olmayanlar (A \ B): A = (A \ B) ∪ B.Niyə belədir?

   Hər element ya B-dədir, ya da B-də deyil — üçüncü hal yoxdur.

3. A = {1; 3; 4} ∪ {2; 5} = {1; 2; 3; 4; 5}.
4. Cavab: {1; 2; 3; 4; 5} (D variantı).

DİM-in rəsmi izahı (01.06.2025)

B ⊂ A olduğundan A = (A \ B) ∪ B olar. Beləliklə, A = (A \ B) ∪ B = {1;3;4} ∪ {2;5} = {1;2;3;4;5}Mənbə: DİM izahı — 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

Şkaflar üçün n(A ∪ B)-ni tapın.

6 + 5 elementdən ortaq 3-ü iki dəfə sayılmamalıdır.

Fəsil 3

Eyler-Venn diaqramını oxumaq

İki kəsişən dairə müstəvini (düzbucaqlını) dörd hissəyə bölür: yalnız A (A \ B), yalnız B (B \ A), hər ikisi (A ∩ B) və heç biri. DİM tapşırıqlarında diaqramın hissələrində çox vaxt elementlərin özü yox, onların sayı yazılır. Onda hər çoxluğun elementlərinin sayı uyğun hissələrin cəmidir:

Hissələr üzrə say

n(A) = n(A \ B) + n(A ∩ B),   n(A ∪ B) = n(A \ B) + n(A ∩ B) + n(B \ A)

Üç çoxluq olduqda da qayda eynidir: tələb olunan hissələri tap və elementlərini say. Kəsişməyən dairələrin kəsişməsi boş çoxluqdur: A ∩ C = ∅ olarsa, A \ C = A.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 13.07.2025

Eyler-Venn diaqramına əsasən n(A \ C) + n(B ∩ C) cəmini tapın.

Diaqram: A və B kəsişir, B və C kəsişir, A ilə C kəsişmir. Yalnız A-da 77, 67; A ∩ B-də 4, 7; yalnız B-də 8, 11, 13, 20; B ∩ C-də 25, 9, 14; yalnız C-də 1, 10, 24, 32.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 9B) 6C) 5D) 7E) 4

1. A və C dairələri kəsişmir: A ∩ C = ∅, ona görə A \ C = A = {77; 67; 4; 7}.Niyə belədir?

   A-dan C-nin elementlərini çıxmaq lazımdır, amma A-da C-nin heç bir elementi yoxdur. A ∩ B-dəki 4 və 7 də A-ya aiddir!

2. B və C-nin ortaq hissəsi: B ∩ C = {25; 9; 14}.Niyə belədir?

   Yalnız iki dairənin hər ikisinin içində olan rəqəmlər.

3. n(A \ C) + n(B ∩ C) = 4 + 3 = 7.
4. Cavab: 7 (D variantı).

DİM-in rəsmi izahı (13.07.2025)

n(A \ C) = 4, n(B ∩ C) = 3; 4+3=7Mənbə: DİM izahı — 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

İmtahanda belə soruşulurDİM · 09.03.2026

Eyler-Venn diaqramında A və B çoxluqlarının elementlərinin sayı verilmişdir. n(A∩B) > n(B\A) olarsa, x-in natural qiymətləri üçün n(A\B)-nin ala biləcəyi ən kiçik və ən böyük qiymətlərin cəmini tapın.

1. Şərt: n(A ∩ B) > n(B \ A), yəni 3x + 4 > 19 − 2x.Niyə belədir?

   Hissələrin adını diaqramdan oxuyuruq: kəsişmə 3x + 4, yalnız B 19 − 2x.

2. Buradan 5x > 15, x > 3.
3. Hər hissədəki say natural ədəd olmalıdır: 19 − 2x > 0, x < 9,5.Niyə belədir?

   Bu ikinci şərti unutmaq asandır: diaqramın hər ifadəsi elementlərin sayıdır, mənfi və ya sıfır ola bilməz.

4. x natural: x = 4, 5, …, 9. n(A \ B) = 2x + 5 ən kiçik 2·4 + 5 = 13, ən böyük 2·9 + 5 = 23 qiymət alır; cəm 13 + 23 = 36.
5. Cavab: 36.

DİM-in rəsmi izahı (09.03.2026)

Şərtə görə 3x+4>19–2x olur. Bu bərabərsizliyin həlli 5x>15, x>3 alınır. … 19–2x>0, x<9,5 olur. 3<x<9,5 şərtini ödəyən ən kiçik … ədəd x=4, ən böyük natural ədəd x=9-dur. n(A\B) = 2x+5 -in ala biləcəyi ən kiçik qiymət 2·4+5=13, ən böyük qiymət 2·9+5=23-dür. Buradan 13+23=36 olur.Mənbə: DİM izahı — 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

Özün yoxla

Həmin diaqramda x = 5 olarsa, n(A ∪ B) neçədir?

Üç hissəni topla: 15 + 19 + 9.

Fəsil 4

Birləşmənin elementlərinin sayı

İndi idman zalındakı suala qayıdaq. A ilə B-nin elementlərini sadəcə toplasaq, kəsişmədəki hər element iki dəfə — bir dəfə A-da, bir dəfə B-də — sayılar. Bu artıq sayılanı çıxmaq lazımdır:

Birləşmənin elementlərinin sayı

İstənilən iki sonlu A və B çoxluğu üçün:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

Hamısı U çoxluğundadırsa, heç birinə daxil olmayanların sayı: n(U) − n(A ∪ B).

Hekayə

Halqalarda dayananlar: n(F ∪ Ş) = 30 − 4 = 26. Düstura görə 26 = 18 + 15 − n(F ∩ Ş), buradan n(F ∩ Ş) = 33 − 26 = 7. Ortada 7 şagird dayanır: yalnız futbola 18 − 7 = 11, yalnız şahmata 15 − 7 = 8 gedir. Yoxlama: 11 + 7 + 8 + 4 = 30. “3” cavabı (33 − 30) skamyadakı 4 şagirdi unutmaqdan gəlir.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 19.04.2026

Qrupdakı 20 tələbədən 15-i riyaziyyatdan, 16-sı fizikadan məqbul qiymət alıb. 3 tələbə bu fənlərin heç birindən məqbul qiymət almayıb. Tələbələrin neçə faizi hər iki fəndən məqbul qiymət alıb?

A) 70B) 60C) 55D) 75E) 50

1. Heç olmasa bir fəndən məqbul alanlar: n(R ∪ F) = 20 − 3 = 17.Niyə belədir?

   Qrupdakı 20 tələbədən heç birini almayan 3 nəfər birləşməyə daxil deyil.

2. Düsturdan kəsişməni tapırıq: n(R ∩ F) = 15 + 16 − 17 = 14.Niyə belədir?

   15 + 16 = 31 > 17 — fərq məhz iki dəfə sayılanlardır.

3. Faiz: 14 : 20 · 100% = 70%.
4. Cavab: 70% (A variantı).

DİM-in rəsmi izahı (19.04.2026)

Məsələni həll etmək üçün n(R ∪ F) = n(R) + n(F) − n(R ∩ F) düsturundan istifadə edə bilərik. Burada n(R) – riyaziyyat fənnindən məqbul qiymət alan tələbələrin sayı, uyğun olaraq n(F) fizikadan məqbul qiymət alan tələbələrin sayıdır. n(R ∪ F) riyaziyyat və ya fizikadan məqbul alanların, n(R ∩ F) həm riyaziyyat, həm də fizikadan məqbul alan tələbələrin sayını göstərir. n(R ∪ F) = 20 − 3 = 17; n(R ∩ F) = n(R) + n(F) − n(R ∪ F); n(R ∩ F) = 15 + 16 − 17 = 14; (14/20) · 100% = 70%Mənbə: DİM izahı — 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF)

İmtahanda belə soruşulurDİM · 02.03.2025

Bir məktəbin bütün müəllim kollektivinin 1/4-i Şuşaya, 4/5-ü Xankəndiyə, 2-si isə hər iki şəhərə səfər etdi. Bu kollektivdə neçə müəllim var?

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.

1. Kollektivdə x müəllim olsun. Şuşaya x/4, Xankəndiyə 4x/5 müəllim gedib, 2 nəfər hər ikisinə.Niyə belədir?

   Hər müəllim ən azı bir şəhərə gedib — “bütün kollektiv” ifadəsindən belə başa düşülür; deməli, n(Ş ∪ X) = x.

2. Yalnız Şuşaya: x/4 − 2, yalnız Xankəndiyə: 4x/5 − 2.
3. Üç hissənin cəmi bütün kollektivdir: (x/4 − 2) + (4x/5 − 2) + 2 = x, yəni x/20 = 2.Niyə belədir?

   x/4 + 4x/5 = 5x/20 + 16x/20 = 21x/20; 21x/20 − 2 = x.

4. x = 40. Yoxlama: Şuşaya 10, Xankəndiyə 32 müəllim, 10 + 32 − 2 = 40.
5. Cavab: 40 müəllim.

DİM-in rəsmi izahı (02.03.2025)

Məktəbin bütün müəllim kollektivinin sayı x olsun. Onda yalnız Şuşaya səfər etmiş müəllimlərin sayı ((1/4)x − 2), yalnız Xankəndiyə səfər etmiş müəllimlərin sayı ((4/5)x − 2) olar. Onda ((1/4)x − 2) + ((4/5)x − 2) + 2 = x ⇒ (1/20)x = 2 ⇒ x = 40.Mənbə: DİM izahı — 02.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

Nümunə 2

40 turistdən 25-i ingilis, 18-i rus dilini bilir, 7-si hər iki dili bilir. Neçə turist bu dillərin heç birini bilmir?

1. n(İ ∪ R) = 25 + 18 − 7 = 36.
2. Heç birini bilməyənlər: 40 − 36 = 4.Niyə belədir?

   Bütün turistlər = birləşmə + heç biri.

3. Cavab: 4 turist.

Özün yoxla

Sinifdə 28 şagird var: 16-sı basketbol, 14-ü voleybol oynayır, 5-i hər ikisini. Neçə şagird heç birini oynamır?

Birləşmə: 16 + 14 − 5 = 25.

Fəsil 5

Alt çoxluqların sayı

Hekayə

Dərslərdən sonra sinif bufetə gedir. Bufetçi sendviç hazırlayır: çörəyə dörd əlavədən istədiyini qoymaq olar — pendir, pomidor, xiyar, zeytun. Hər əlavə ya var, ya yox; heç bir əlavəsiz sadə sendviç də olar.

Şagirdlərdən biri deyir: “Gəlin hər gün fərqli sendviç yeyək!” Neçə gün ərzində heç bir sendviç təkrarlanmaz?

Hər sendviç əlavələr çoxluğunun bir alt çoxluğudur.

Hər sendviç {pendir; pomidor; xiyar; zeytun} çoxluğunun bir alt çoxluğudur: boş alt çoxluq — sadə sendviç, çoxluğun özü — hər şeyli sendviç. Deməli, sual belədir: 4 elementli çoxluğun neçə alt çoxluğu var?

3 elementli çoxluğun bütün alt çoxluqları: boş çoxluq və çoxluğun özü də sayılır.Teorem

n elementli çoxluğun alt çoxluqlarının sayı 2ⁿ-dir. Səbəb: hər element üçün iki seçim var — alt çoxluğa daxildir və ya deyil; n element üçün 2 · 2 · … · 2 = 2ⁿ seçim.

n(A) = n  ⇒  alt çoxluqların sayı = 2ⁿ

Hekayə

4 əlavə üçün 2⁴ = 16 müxtəlif sendviç var — iki həftədən çox hər gün yeni sendviç! Onlardan biri heç bir əlavəsiz, biri isə dörd əlavəlidir.

Nümunə 3

{1; 2; 3; 4} çoxluğunun 1 elementini saxlayan neçə alt çoxluğu var?

1. 1 elementi mütləq daxildir — onun üçün seçim yoxdur.Niyə belədir?

   “Daxildir/deyil” seçimi yalnız qalan elementlər üçün qalır.

2. Qalan 2, 3, 4 elementlərinin hər biri ya daxildir, ya yox: 2³ = 8.
3. Cavab: 8 (bütün 16 alt çoxluğun yarısı).

İmtahanda belə soruşulurDİM · 12.07.2026

A və B çoxluqları üçün n(A) = 3, n(B) = 6 və A ∩ B ≠ ∅ şərtləri ödənir. A ∪ B çoxluğunun ən çox neçə alt çoxluğu ola bilər?

A) 256B) 128C) 64D) 1024E) 512

1. A ∩ B ≠ ∅ şərtindən n(A ∩ B) ≥ 1.Niyə belədir?

   Boş olmayan çoxluqda ən azı bir element var.

2. n(A ∪ B) = 3 + 6 − n(A ∩ B) ≤ 3 + 6 − 1 = 8.Niyə belədir?

   Kəsişmə nə qədər kiçikdirsə, birləşmə o qədər böyükdür.

3. Birləşmədə ən çoxu 8 element var, alt çoxluqların sayı ən çoxu 2⁸ = 256.
4. Cavab: 256 (A variantı).

DİM-in rəsmi izahı (12.07.2026)

A ∩ B ≠ ∅ şərtindən alırıq ki, n(A ∩ B) ≥ 1 . Bu bərabərsizliyi nəzərə alaraq, sonlu elementli iki çoxluğun birləşməsinin elementlərinin sayı haqqında xassəyə əsasən n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) ≤ 3 + 6 − 1 = 8 olduğunu yaza bilərik. n(A ∩ B) = 1 olduqda n(A ∪ B) = 8 ən böyük olur. n elementli çoxluğun mümkün alt çoxluqlarının sayı 2ⁿ sayda olduğundan baxılan halda A ∪ B çoxluğunun ən çoxu 2⁸ = 256 alt çoxluğu ola bilər.Mənbə: DİM izahı — 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

5 elementli çoxluğun neçə alt çoxluğu var?

2⁵.

Məşq

İmtahan tapşırıqları ilə məşq

DİM · 07.06.2026

A={7; 8; 9} və B={1; 8; 9} çoxluqları verilmişdir. A∩B çoxluğunu tapın.

A) {1; 8}B) {7; 8; 9}C) {1; 9}D) {7; 9}E) {8; 9}Cavab və DİM izahı

Cavab: {8; 9} (E variantı).

A∩B={8; 9}Mənbə: DİM izahı — 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 15.03.2026

A={1; 2; 3; 4; 5; 6} və B={2; 4; 6; 8; 10} çoxluqları verilmişdir. A\B-ni tapın.

A) {8; 10}B) {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10}C) ∅D) {1; 3; 5}E) {2; 4; 6}Cavab və DİM izahı

Cavab: {1; 3; 5} (D variantı).

A\B çoxluğuna aid olan elementlər yalnız A-ya aid olur və B –yə aid olmur. Ona görə də, A \ B = {1; 3; 5}.Mənbə: DİM izahı — 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

DİM · 09.03.2025

Kəsişməsi boş olmayan A və B çoxluqları üçün n(A \ B) = 6 və n(B \ A) = 4 olarsa, n(A ∪ B)-nin ən kiçik qiymətini tapın.

İpucu: n(A ∪ B) = n(A \ B) + n(A ∩ B) + n(B \ A) (3-cü fəsil).

A) 9B) 8C) 13D) 11E) 12Cavab və DİM izahı

Cavab: 11 (D variantı).

n(A ∪ B) = … = 6 + 4 + x = 10 + xA ∩ B ≠ ∅ ⇒ x ≥ 1Onda n(A ∪ B)-nin ən kiçik qiyməti 10+1=11 olar.Mənbə: DİM izahı — 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

Yekun

Yadda saxla

• a ∈ A — element; n(A) — elementlərin sayı; ∅ — boş çoxluq.
• B ⊂ A: B-nin hər elementi A-dadır.
• A ∩ B — hər ikisində; A ∪ B — heç olmasa birində; A \ B — A-da, B-də yox.
• B ⊂ A olarsa, A = (A \ B) ∪ B.
• n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = n(A \ B) + n(A ∩ B) + n(B \ A)
• Heç birinə daxil olmayanlar: n(U) − n(A ∪ B).
• n elementli çoxluğun 2ⁿ alt çoxluğu var (∅ və çoxluğun özü daxil).

Tipik səhvlər

n(A ∪ B) = n(A) + n(B)

Kəsişmə iki dəfə sayılır, onu çıxmaq lazımdır: 15 + 16 − 14 = 17.

A \ B = B \ A

Fərq simmetrik deyil: şkaflar üçün A \ B = {1; 4; 9}, B \ A = {5; 8}.

“Birləşmə — bütün sinifdir”

Heç birinə daxil olmayanları unutma: 30 − 4 = 26 şagird birləşmədədir, 30 yox.

“3 elementli çoxluğun 6 alt çoxluğu var”

Boş çoxluq və çoxluğun özü də alt çoxluqdur: 2³ = 8.

Yekun

Müstəqil iş

Tapşırıqlar asandan çətinə düzülüb. Əvvəl özün həll et, sonra variantı seç; izah cavabdan sonra açılır.

1 · 1-ci səviyyə

A = {2; 4; 6; 8} və B = {4; 8; 12} olarsa, A ∪ B:

Heç olmasa birində olan bütün elementlər, hər biri bir dəfə.

2 · 1-ci səviyyə

A = {a; b; c; d} və B = {b; d; e} olarsa, A \ B:

A-da olub B-də olmayanlar: a və c.

3 · 2-ci səviyyə

n(A) = 12, n(B) = 9, n(A ∪ B) = 17 olarsa, n(A ∩ B):

12 + 9 − 17 = 4.

4 · 2-ci səviyyə

{1; 2; 3; 4; 5; 6} çoxluğunun neçə alt çoxluğu var?

2⁶ = 64.

5 · DİM səviyyəsi

n(A \ B) = 5, n(B \ A) = 7, n(A ∪ B) = 15 olarsa, n(A):

n(A ∩ B) = 15 − 5 − 7 = 3; n(A) = 5 + 3 = 8.

6 · DİM səviyyəsi

50 şagirdin 3/5 hissəsi ingilis, yarısı alman dilini öyrənir, 6 şagird hər iki dili öyrənir. Neçə şagird bu dillərin heç birini öyrənmir?

30 + 25 − 6 = 49; 50 − 49 = 1.

İmtahan tapşırıqları və rəsmi izahlar — DİM:

1. 02.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF) — Çoxluqlar (A variantı, 82; B-82, C-82, D-82)
2. 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF) — Çoxluqlar (A variantı, 62; B-61, C-67, D-67)
3. 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Çoxluqlar (A variantı, 9; B-11, C-12, D-12)
4. 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Çoxluqlar (A variantı, 9; B-13, C-15, D-5)
5. 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — Çoxluqlar (A variantı, 85; B-85, C-85, D-85)
6. 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — Çoxluq (A variantı, 64; B-67, C-61, D-68)
7. 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF) — Çoxluqların birləşməsi, kəsişməsi, fərqi və onların xassələri (A variantı, 68; B-72, C-67, D-62)
8. 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Çoxluqlar (A variantı, 16; B-11, C-20, D-13)
9. 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Çoxluqlar (A variantı, 15; B-13, C-20, D-9)

Hekayə, səhnələr, nümunələr, “Özün yoxla” və “Müstəqil iş” tapşırıqları bizimdir, DİM-ə aid deyil. DİM tapşırıqları və izahları mənbədəki kimi verilib; “…” işarəsi buraxılmış hissəni göstərir.