Ehtimal nəzəriyyəsi: klassik ehtimal və birləşmələr

div class="hero">Statistika, çoxluqlar və ehtimal · Mövzu 13 / 46

Ehtimal nəzəriyyəsi: klassik ehtimal və birləşmələr

Bu dərsi stolüstü oyunlar kafesində keçəcəyik: dostlar zər atır, lotereyada iştirak edir və uduş çarxını fırladır. Hər oyunda eyni sual çıxacaq — “şansım nə qədərdir?” Ona cavab vermək üçün ehtimalın klassik tərifini, birləşmələrlə saymağı, toplama və vurma qaydalarını öyrənəcəyik.

≈ 50 dəqiqə4 fəsil12 DİM tapşırığı9–10-cu sinif materialı

Bu dərsdən sonra bacaracaqsan

• bərabər imkanlı nəticələri düzgün seçib P = m/n düsturunu tətbiq etməyi;
• mümkün və əlverişli halları ₙCₖ, ₙPₖ və vurma prinsipi ilə saymağı;
• uyuşmayan hadisələrin ehtimallarını toplamağı və əks hadisədən istifadə etməyi;
• asılı olmayan hadisələrin birgə baş verməsi ehtimalını tapmağı.

Başlamazdan əvvəl xatırla

• Kombinasiyalar: ₙCₖ = n!/(k!(n − k)!).
• Vurma prinsipi (“və” — vur).
• Kəsrlərin ixtisarı.

Mündəricat

1. GirişSituasiya: hansı cəm daha tez-tez düşür?hekayə və təxmin
2. Fəsil 1Təsadüfi hadisə və ehtimalın klassik tərifiP = m/n · nisbi tezlik · DİM 19.04.2026
3. Fəsil 2Ehtimalın hesablanmasında birləşmələrₙCₖ ilə saymaq · DİM 15.03.2026, 02.03.2025
4. Fəsil 3Uyuşmayan hadisələr və əks hadisəP(A) + P(B) · 1 − P(A) · DİM 05.07.2026
5. Fəsil 4Asılı olmayan hadisələrP(A) · P(B) · DİM 06.07.2025
6. Məşqİmtahan tapşırıqları ilə məşq7 DİM tapşırığı: cavab və rəsmi izah
7. YekunYadda saxlaqısa xülasə və tipik səhvlər
8. YekunMüstəqil iş6 tapşırıq, asandan çətinə

Giriş

Situasiya: hansı cəm daha tez-tez düşür?

Hekayə

Şənbə günü dostlar stolüstü oyunlar kafesinə gəlib. İlk oyunun qaydası sadədir: hər oyunçu iki zəri bir dəfə atır, xalların cəmi 7 olarsa, xal qazanır. Dostlardan biri narazıdır: “7 nə üçün? Cəm 2-dən 12-yə qədər 11 cür ola bilər, deməli hər cəmin şansı eynidir — 11-də bir.”

Kafenin sahibi gülümsəyir: “Oyunu bilərəkdən 7 üzərində qurmuşam.” Kim haqlıdır? Xalların cəminin 7 olması ehtimalı nəyə bərabərdir?

İki zər bir dəfə atılır: xalların cəminin 7 olması ehtimalı nədir?Əvvəlcə təxmin et

Sənin fikrincə, iki zər atılanda xalların cəminin 7 olması ehtimalı neçədir? Təxminini seç: 1-ci fəsildə birlikdə hesablayacağıq.

Fəsil 1

Təsadüfi hadisə və ehtimalın klassik tərifi

Zəri atmaq, kürə çıxarmaq, çarxı fırlatmaq — bunlar sınaqlardır. Sınağın nəticəsini əvvəlcədən dəqiq demək olmur. Sınaqda baş verə bilən və ya baş verməyə bilən hadisə təsadüfi hadisə adlanır (məsələn, “6 xal düşdü”). Hər sınaqda mütləq baş verən hadisə yəqin, heç vaxt baş verməyən hadisə isə mümkün olmayan hadisədir (bir zərdə “7 xal düşdü”).

Ehtimalın klassik tərifi

Sınağın bütün nəticələri bərabər imkanlı olsun və onların sayı n olsun. A hadisəsinə bu nəticələrdən m-i əlverişlidirsə, A hadisəsinin ehtimalı:

P(A) = m/n

Buradan 0 ≤ P(A) ≤ 1 alınır; yəqin hadisənin ehtimalı 1, mümkün olmayan hadisənin ehtimalı 0-dır. Ən vacib söz “bərabər imkanlı”dır: hesablamazdan əvvəl nəticələri elə seç ki, onların hər birinin şansı eyni olsun.

Nümunə 1

Zər bir dəfə atılır. Sadə ədəd qədər xal düşməsi ehtimalını tapın.

1. Bərabər imkanlı nəticələr: 1, 2, 3, 4, 5, 6 — n = 6.Niyə belədir?

   Düzgün zərdə hər üzün düşmə şansı eynidir.

2. Əlverişli nəticələr: 2, 3, 5 — m = 3.Niyə belədir?

   1 sadə ədəd deyil.

3. P = 3/6 = 1/2.
4. Cavab: 1/2.

İndi kafedəki mübahisəyə qayıdaq. 2-dən 12-yə qədər 11 cəm bərabər imkanlı deyil: məsələn, cəm 2 yalnız (1; 1) ilə alınır, cəm 7 isə çox yolla. Bərabər imkanlı nəticələr zərlərin cütləridir: birinci zər 6 cür, ikinci zər 6 cür düşür, cəmi 6 · 6 = 36 nəticə.

36 bərabər imkanlı nəticə; cəmi 7 olanlar: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1).Hekayə

Cəmi 7 olan 6 nəticə var, ona görə P(7) = 6/36 = 1/6. Cəm 2 və ya 12 isə hərəsi yalnız bir nəticə ilə alınır: P = 1/36. Kafe sahibi haqlı idi: 7 ən tez-tez düşən cəmdir.

Ehtimal çoxlu sınaqda nə baş verəcəyini göstərir. Sınağı N dəfə təkrarlayıb A hadisəsinin k dəfə baş verdiyini saysaq, k/N nisbəti nisbi tezlik adlanır. Sınaqların sayı artdıqca nisbi tezlik ehtimala yaxınlaşır. Laboratoriyada bunu özün yoxla: əvvəl 10, sonra 1000 atış et.

Laboratoriya · iki zəri yüz dəfələrlə atİmtahanda belə soruşulurDİM · 19.04.2026

Surəti 15 olan düzgün olmayan kəsrlərdən təsadüfi seçilmiş birinin tam ədəd olması hadisəsinin ehtimalını tapın.

A) 4/15B) 8/15C) 11/15D) 7/15E) 2/5

1. Surəti 15 olan düzgün olmayan kəsrlər: 15/1, 15/2, …, 15/15. Onların sayı n = 15.Niyə belədir?

   Düzgün olmayan kəsrdə surət məxrəcdən kiçik deyil: məxrəc 1, 2, …, 15 ola bilər.

2. Kəsr o zaman tam ədəddir ki, məxrəc 15-in bölənidir: 1, 3, 5, 15 — m = 4.Niyə belədir?

   15 = 3 · 5, bölənləri: 1, 3, 5, 15.

3. P = 4/15.
4. Cavab: 4/15 (A variantı).

DİM-in rəsmi izahı (19.04.2026)

Surəti 15 olan düzgün olmayan kəsrlərin sayı 15-dir. Bu kəsrlərdən məxrəci 1, 3, 5 və 15 olanlar tam ədəd olur, belə ki p = 4/15.Mənbə: DİM izahı — 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF)

Özün yoxla

İki zər atılır. Xalların cəminin 10 olması ehtimalını tapın (kəsrlə yaza bilərsən).

Cədvəldə cəmi 10 olan xanaları say: (4; 6), (5; 5), (6; 4).

Fəsil 2

Ehtimalın hesablanmasında birləşmələr

Hekayə

Kafedə xeyriyyə lotereyası da var. Barabanda 12 kürə, onlardan 4-ü qızılı rəngli uduşlu kürədir. Dostlardan biri iki bilet alıb: aparıcı barabanı fırladıb təsadüfən iki kürə çıxaracaq — bunlar onun biletləridir. Hər iki kürənin uduşlu olması ehtimalı nə qədərdir?

Barabanda 12 kürə, 4-ü uduşludur; iki kürə çıxarılır.

Burada nəticələri bir-bir yazmaq çətindir — onları saymaq lazımdır. Bunun üçün əvvəlki dərsin düsturları işə yarayır. İki kürə eyni anda çıxarılır, sıra vacib deyil, ona görə bərabər imkanlı nəticələr — 12 kürədən iki elementli dəstlərdir.

Qayda

Elementlərin a-i birinci növ, qalan b-i ikinci növdürsə və təsadüfən k element seçilirsə: mümkün hallar n = a+bCk; seçilənlərdən i-i birinci, k − i-i ikinci növdən olması üçün əlverişli hallar m = aCi · bCk−i.

Hekayə

Mümkün hallar: ₁₂C₂ = 66. Hər iki kürənin uduşlu olması üçün əlverişli hallar: ₄C₂ = 6. Deməli, P = 6/66 = 1/11. Bir uduşlu, bir boş kürə: ₄C₁ · ₈C₁ = 32, ehtimal 32/66 = 16/33. Heç bir uduş: ₈C₂ = 28, ehtimal 28/66 = 14/33. Yoxlama: 6 + 32 + 28 = 66.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 15.03.2026

A və B çoxluqları üçün B ⊂ A, n(A) = 9 və n(B) = 4. A çoxluğundan təsadüfən seçilmiş iki elementin A \ B çoxluğuna daxil olması hadisəsinin ehtimalını tapın.

A) 5/18B) 4/15C) 4/21D) 5/12E) 7/24

1. B çoxluğu A-nın alt çoxluğudur, ona görə n(A \ B) = 9 − 4 = 5.Niyə belədir?

   A \ B — A-nın B-yə daxil olmayan elementləridir.

2. Mümkün hallar: 9 elementdən iki elementli dəstlər, n = ₉C₂ = 36. Əlverişli hallar: hər iki element A \ B-dən, m = ₅C₂ = 10.Niyə belədir?

   İki element eyni anda seçilir — sıra vacib deyil, kombinasiya.

3. P = 10/36 = 5/18.
4. Cavab: 5/18 (A variantı).

DİM-in rəsmi izahı (15.03.2026)

B çoxluğu A çoxluğunun altçoxluğu olduğundan şərtə görə 4 element B çoxluğuna daxil olduğundan, qalan 5 element A\B çoxluğuna daxil olacaqdır. A çoxluğundan təsadüfi olaraq seçilmiş iki elementin A \ B çoxluğuna daxil olması (M) hadisəsində əlverişli halların sayı n(M) = ₅C₂ = 5!/(3!·2!) = 10, mümkün halların sayı isə n = ₉C₂ = 9!/(7!·2!) = 36 olduğundan, ehtimalın tərifinə görə P(M) = n(M)/n = 10/36 = 5/18 alınar.Mənbə: DİM izahı — 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

İmtahanda belə soruşulurDİM · 02.03.2025

Diaqramda bir sinfin dərsdə iştirak edən və etməyən şagirdlərinin sayı haqqında məlumat verilmişdir. Sinif siyahısından təsadüfən seçilmiş iki şagirddən birinin dərsdə iştirak edən oğlan, digərinin isə dərsdə iştirak etməyən qız şagird olması hadisəsinin ehtimalını tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.A) 1/10B) 3/29C) 1/15D) 2/29E) 7/30

1. Diaqramdan: 15 + 1 + 12 + 2 = 30 şagird.Niyə belədir?

   Şagirdlər sinif siyahısından seçilir — iştirak edənlər də, etməyənlər də.

2. Əlverişli hallar: 15 iştirak edən oğlandan biri və 2 iştirak etməyən qızdan biri: m = ₁₅C₁ · ₂C₁ = 30.Niyə belədir?

   Vurma prinsipi: oğlan seçimi və qız seçimi bir-birindən asılı deyil.

3. Mümkün hallar: n = ₃₀C₂ = 30 · 29 : 2 = 435; P = 30/435 = 2/29.
4. Cavab: 2/29 (D variantı).

DİM-in rəsmi izahı (02.03.2025)

Diaqramdan görünür ki, sinifdə cəmi 30 şagird var. Bu şagirdlərdən dərsdə iştirak edən oğlanların sayı 15, dərsdə iştirak etməyən qızların sayı isə 2-dir. Sinif siyahısından təsadüfən seçilmiş iki şagirddən birinin dərsdə iştirak edən oğlan, digərinin isə dərsdə iştirak etməyən qız şagird olması hadisəsinin ehtimalı P = (₁₅C₁ · ₂C₁)/₃₀C₂ = 15·2/((30·29)/2) = 2/29 .Mənbə: DİM izahı — 02.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

Özün yoxla

Qutuda 5 ağ və 3 qara kürə var. Təsadüfən iki kürə götürülür. Hər ikisinin qara olması ehtimalını tapın.

₃C₂ / ₈C₂.

Fəsil 3

Uyuşmayan hadisələr və əks hadisə

Lotereyadan sonra dost soruşur: “Heç olmasa bir kürənin uduşlu olması ehtimalı nədir?” Bu hadisə iki halı birləşdirir: “düz bir uduş” və “iki uduş”. Belə hadisələri toplamaq olar, amma bir şərtlə.

Tərif

Bir sınaqda eyni vaxtda baş verə bilməyən hadisələr uyuşmayan hadisələr adlanır. A hadisəsi baş vermədikdə baş verən hadisə A-nın əks hadisəsi adlanır və Ā ilə işarə olunur.

Toplama qaydası

Uyuşmayan A və B hadisələri üçün: P(A və ya B) = P(A) + P(B). Əks hadisə üçün: P(Ā) = 1 − P(A).

Nümunə 2

Barabandan (12 kürə, 4 uduşlu) iki kürə çıxarılır. Heç olmasa bir kürənin uduşlu olması ehtimalını tapın.

1. I yol: “düz bir uduş” və “iki uduş” uyuşmayan hadisələrdir: P = 32/66 + 6/66 = 38/66 = 19/33.Niyə belədir?

   İki kürə həm “düz bir”, həm də “iki” uduşlu ola bilməz.

2. II yol: əks hadisə “heç bir uduş yoxdur”: P(Ā) = 28/66 = 14/33, onda P = 1 − 14/33 = 19/33.Niyə belədir?

   “Heç olmasa bir” sözləri görəndə əvvəlcə əks hadisəni yoxla — çox vaxt daha qısadır.

3. Cavab: 19/33.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 05.07.2026

Bu mağazadan təsadüfi olaraq seçilən iki telefonun eyni markadan olması hadisəsinin ehtimalını tapın.

Situasiya (DİM): Barqrafda mağazadakı A və B markalı telefonların və printerlərin sayı haqqında məlumat verilmişdir. A markalı telefonun B markalı telefondan 10% ucuz, A markalı printerin B markalı printerdən 20% baha olmağına baxmayaraq, A markalı telefon və printerin qiymətləri cəmi B markalı telefon və printerin qiymətləri cəminə bərabərdir.

1. Mümkün hallar: 36 telefondan ikisi, n = ₃₆C₂ = 36 · 35 : 2 = 630.Niyə belədir?

   Telefonlar eyni anda seçilir — kombinasiya.

2. “Eyni marka” — ya hər ikisi A, ya da hər ikisi B. Bu hadisələr uyuşmur, hallar toplanır: m = ₁₆C₂ + ₂₀C₂ = 120 + 190 = 310.Niyə belədir?

   “və ya” — toplama; ₁₆C₂ · ₂₀C₂ hasili dörd telefon seçimini sayardı.

3. P = 310/630 = 31/63.
4. Cavab: 31/63.

DİM-in rəsmi izahı (05.07.2026)

Mağazada olan bütün telefonlardan təsadüfən ikisinin seçilməsi üçün mümkün halların sayı: ₃₆C₂ = 36!/(2!·34!) = 36·35/2 = 18·35 = 630 Şərtə əsasən hər iki telefon A markalı və ya B markalı olmalıdır, yəni əlverişli halların sayı: ₁₆C₂ + ₂₀C₂ = 16!/(2!·14!) + 20!/(2!·18!) = 16·15/2 + 20·19/2 = … 8·15 + 10·19 = 310 Hadisənin baş vermə ehtimalı: p = 310/630 = 31/63Mənbə: DİM izahı — 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF)

Özün yoxla

Zər iki dəfə atılır. Heç olmasa bir dəfə 6 xal düşməsi ehtimalını tapın.

Əks hadisə: heç bir 6 yoxdur — 5 · 5 = 25 nəticə 36-dan.

Fəsil 4

Asılı olmayan hadisələr

Hekayə

Axşam kafedə əsas oyun başlayır — uduş çarxı. Çarx 8 bərabər sektora bölünüb, onlardan 2-si qızılı rənglidir. Baş mükafatı almaq üçün çarxı iki dəfə fırlatmaq lazımdır və hər iki dəfə göstərici qızılı sektorda dayanmalıdır.

Dostlardan biri hesablayır: “Bir dəfədə şans 2/8, iki dəfədə — iki qat çox, 4/8.” Bu düzgündürmü?

Uduş çarxı: 8 sektor, 2-si qızılı; çarx iki dəfə fırladılır.Tərif

Hadisələrdən birinin baş verməsi digərinin ehtimalını dəyişmirsə, onlar asılı olmayan hadisələr adlanır. Məsələn, çarxın birinci fırlanmasının nəticəsi ikinciyə təsir etmir.

Vurma qaydası

Asılı olmayan A və B hadisələrinin birgə baş verməsi ehtimalı:

P(A və B) = P(A) · P(B)

Səbəbi vurma prinsipidir: birinci sınağın n₁ nəticəsindən m₁-i, ikincinin n₂ nəticəsindən m₂-i əlverişlidirsə, cütlərin sayı n₁n₂, əlverişli cütlər isə m₁m₂ olur. Ehtimallar ancaq uyuşmayan hadisələr üçün toplanır.

Hekayə

Bir fırlanmada qızılı sektorun ehtimalı 2/8 = 1/4. Fırlanmalar asılı deyil, ona görə P = 1/4 · 1/4 = 1/16 — 16-da bir şans. Dostun “4/8” hesabı səhv idi: o, ehtimalları topladı. Heç olmasa bir dəfə qızılı düşməsi isə 1 − (3/4)² = 7/16 olur.

Nümunə 3

Zər iki dəfə atılır. Hər iki dəfə cüt xal düşməsi ehtimalını tapın.

1. Bir atışda cüt xal (2, 4, 6): 3/6 = 1/2.
2. Atışlar asılı deyil: P = 1/2 · 1/2 = 1/4.Niyə belədir?

   Yoxlama cədvəllə: 36 nəticədən 3 · 3 = 9-u əlverişlidir, 9/36 = 1/4.

3. Cavab: 1/4.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 06.07.2025

Oyun zamanı hər komandanın baş məşqçisi meydançadakı 2 oyunçusunu eyni anda əvəz etmək üçün ehtiyat oyunçular arasından ikisini təsadüfi olaraq seçir. Seçilən oyunçulardan M komandasında hər ikisinin, N komandasında isə yalnız birinin milli oyunçu olması hadisəsinin ehtimalını tapın.

Situasiya (DİM): … Meydançada M və N komandalarının hər birinin 11 oyunçusu var və onların yaşlarının ədədi ortası uyğun olaraq 24 və 26-ya bərabərdir.Meydançadan kənarda M komandasının 3 xarici və 3 milli, N komandasının isə 2 xarici və 4 milli ehtiyat oyunçusu var.

1. M komandası: 6 ehtiyatdan ikisi seçilir, hər ikisinin milli olması: P(A) = ₃C₂/₆C₂ = 3/15 = 1/5.Niyə belədir?

   M-də 6 ehtiyatdan 3-ü millidir: əlverişli hallar ₃C₂ = 3, mümkün hallar ₆C₂ = 15.

2. N komandası: biri milli, biri xarici: P(B) = ₄C₁ · ₂C₁/₆C₂ = 8/15.Niyə belədir?

   N-də 4 milli və 2 xarici ehtiyat oyunçu var.

3. Məşqçilər bir-birindən asılı olmadan seçir: P = 1/5 · 8/15 = 8/75.Niyə belədir?

   Komandaların seçimi bir-birinə təsir etmir — vurma qaydası.

4. Cavab: 8/75.

DİM-in rəsmi izahı (06.07.2025)

Şərtə görə M və N komandalarının hər birində 6 ehtiyat oyunçu var. Odur ki, hər bir baş məşqçi eyni zamanda əvəz etmək üçün 2 oyunçunu ehtiyat oyunçular arasından ₆C₂ üsulla seçə bilər.M komandasında əvəz olunan hər iki oyunçunun milli olması hadisəsini A ilə işarə edək. A hadisəsi üçün mümkün halların sayı ₆C₂ -yə, əlverişli halların sayı isə ₃C₂ -yə bərabərdir. Odur ki, P(A) = ₃C₂/₆C₂ = 3/15 olar.N komandasında əvəz olunan iki oyunçudan birinin milli, o birinin xarici olması hadisəsini B ilə işarə edək. B hadisəsi üçün mümkün halların sayı ₆C₂ -yə, əlverişli halların sayı isə ₄C₁·₂C₁ -yə bərabərdir. Odur ki, P(B) = … (4·2)/15 = 8/15 olar.Bizə isə A və B-nin eyni zamanda baş verməsi hadisəsinin, yəni A∩B hadisəsinin ehtimalı lazımdır.P(A∩B) = P(A)·P(B) = (3/15)·(8/15) = 8/(5·15) = 8/75 .Mənbə: DİM izahı — 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

Diqqət: kürələr bir-bir, geri qaytarılmadan çıxarılanda ikinci çıxarışın ehtimalı birincidən asılıdır. Məsələn, barabandan (12 kürə, 4 uduşlu) ardıcıl iki kürə: 4/12 · 3/11 = 12/132 = 1/11 — yenə 1/11 alınır, kombinasiyalarla hesabdakı kimi.

Özün yoxla

Atıcı hədəfi 0,8 ehtimalla vurur. O, iki dəfə atəş açır. Hər iki atəşin hədəfə dəyməsi ehtimalını tapın.

Atəşlər asılı deyil: 0,8 · 0,8.

Məşq

İmtahan tapşırıqları ilə məşq

DİM · 09.03.2026

a̅b̅ ikirəqəmli ədədləri üçün √(a̅b̅) natural ədəd olarsa, belə a̅b̅ ədədləri arasından təsadüfi seçilmiş bir ədədin tək ədəd olması hadisəsinin ehtimalını tapın.

Açıq tapşırıq: cavabı özün yaz.

Cavab və DİM izahı

Cavab: 0,5.

Verilmiş şərti ödəyən ikirəqəmli ədədlər 16, 25, 36, 49, 64 və 81-dir. Bunlardan tək ədədlərin sayı 3 olur. Mümkün halların sayı 6, əlverişli halların sayı 3 olduğundan P = 3/6 = 0,5 olur.Mənbə: DİM izahı — 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

DİM · 01.06.2025

(x² + 2x − 15)/|x + 5| ≤ 0 bərabərsizliyinin tam həllər çoxluğundan təsadüfi seçilmiş bir ədədin mənfi ədəd olmaması hadisəsinin ehtimalını tapın.

Açıq tapşırıq: cavabı özün yaz.

Cavab və DİM izahı

Cavab: 0,5.

x ≠ −5 şərti daxilində |x + 5| > 0 olduğundan x² + 2x − 15 ≤ 0 olar. Sonuncu bərabərsizliyi intervallar üsulunun köməyi ilə həll edək: (x + 5)(x − 3) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−5; 3]. x ≠ −5 şərtini də nəzərə alsaq (x² + 2x − 15)/|x + 5| ≤ 0 bərabərsizliyinin həlli (−5; 3] olar. Deməli, verilmiş bərabərsizliyin tam həllər çoxluğu {−4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3} -dür. Bütün mümkün halların sayı n = 8, əlverişli halların sayı m = 4 olduğundan ehtimalın klassik tərifinə əsasən soruşulan hadisənin ehtimalı P = m/n = 4/8 = 0,5 olar.Mənbə: DİM izahı — 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 12.07.2026

Tələbənin fərqli rəngli 5 köynəyi var. O, eyni köynəyi ardıcıl iki gün geyinmir. Tələbə hər gün ancaq bir köynək geyinərsə, beş gün ərzində bu köynəkləri neçə müxtəlif üsulla geyinə bilər?

Açıq tapşırıq: cavabı özün yaz.

Cavab və DİM izahı

Cavab: 1280.

Tələbə ilk gün fərqli rəngli köynəklərdən hər hansı birini seçə bildiyindən, seçim üsullarının sayı 5 olacaqdır. Tələbə eyni köynəyi ardıcıl iki gün geyinmədiyindən hər növbəti gün köynəklərin seçim üsullarının sayı 4 olacaqdır. Kombinatorikanın vurma prinsipinə görə tələbə 5 gün ərzində 5 fərqli rəngli köynəyi 5·4·4·4·4=1280 üsulla geyinə bilər.Mənbə: DİM izahı — 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 25.05.2025

Sandığın qapağının açılması üçün təyin edilmiş parolun rəqəmlərinin müxtəlif olması hadisəsinin ehtimalını tapın.

Situasiya (DİM): … Sandığın qapağının açılması üçün 4 rəqəmli parol təyin edildi.

Açıq tapşırıq: cavabı özün yaz.

Cavab və DİM izahı

Cavab: 63/125.

Tapşırığın həlli zamanı kombinatorikanın elementlərindən istifadə olunur. Belə ki, parolun təyin edilməsi zamanı hər bir rəqəm 10 üsul ilə seçilə bildiyindən mümkün halların sayı n = 10⁴ üsul ilə müəyyən edilir. Digər tərəfdən seçilmiş dörd rəqəmin müxtəlif olması üçün əlverişli halların sayı n(A) = ₁₀P₄ = 10·9·8·7 ədədinə bərabər olur. Ehtimalın klassik tərifinə əsasən A hadisəsinin başvermə ehtimalı P(A) = n(A)/n = ₁₀P₄/10⁴ = (10·9·8·7)/10⁴ = (10·9·8·7)/(10·10³) = (9·8·7)/1000 = 63/125 kimi tapılır.Mənbə: DİM izahı — 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 13.07.2025

Səkkizbucaqlı prizmanın təpə nöqtələrindən ixtiyari ikisi təsadüfən seçilir. Seçilən bu iki təpə nöqtənin prizmanın hər hansı diaqonalının uc nöqtələri olması hadisəsinin ehtimalını tapın.

A) 11/32B) 5/16C) 3/4D) 3/11E) 1/3Cavab və DİM izahı

Cavab: 1/3 (E variantı).

Məlumdur ki, n-bucaqlı prizmada 2n sayda təpə nöqtə, n(n − 3) sayda diaqonal olur. Onda, səkkizbucaqlı prizmanın 16 təpə nöqtəsi, 40 diaqonalı olur. Tapşırığın şərtindəki hadisənin ehtimalını P(A) ilə işarə etsək, P(A) = 40/₁₆C₂ = 40/((16·15)/2) = 40/120 = 1/3.Mənbə: DİM izahı — 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 07.06.2026

Koordinat müstəvisində ixtiyari üçü bir düz xətt üzərində olmayan 10 nöqtə verilmişdir. Təpələri bu nöqtələrdə olan bütün mümkün üçbucaqlardan biri təsadüfi seçilir. Həmin üçbucağın hər üç təpəsinin müxtəlif rüblərdə yerləşməsi ehtimalını tapın.

Şəkildə: I rübdə 4 nöqtə (A, B, C, D), II rübdə 2 (E, F), III rübdə 3 (K, M, N), IV rübdə 1 nöqtə (P).

Açıq tapşırıq: cavabı özün yaz.

Cavab və DİM izahı

Cavab: 5/12.

Məlumdur ki, P(A) = m/n, burada A – təsadüfi seçilən üçbucağın bütün təpələrinin müxtəlif rüblərdə yerləşməsi hadisəsi, n- mümkün hallar sayı, m- A hadisəsi üçün əlverişli hallar sayıdır. Aydındır ki, n = ₁₀C₃ = 10!/(7!·3!) = (10·9·8)/3! = 120. Əlverişli hallar bütün təpələrin müxtəlif rüblərdə yerləşməsi hallarıdır. 1) Təpə nöqtələri I, II, III rüblərdə olan mümkün üçbucaqların sayı m₁ = 4·2·3 = 24. 2) Təpələri I, II, IV rüblərdə olan mümkün üçbucaqların sayı m₂ = 4·2·1 = 8. 3) Təpələri I, III, IV rüblərdə olan mümkün üçbucaqların sayı m₃ = 4·3·1 = 12. 4) Təpələri II, III, IV rüblərdə olan mümkün üçbucaqların sayı olduğundan m₄ = 2·3·1 = 6 alarıq. Onda m=24+8+12+6=50; P(A) = 50/120 = 5/12Mənbə: DİM izahı — 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 09.03.2025

Supermarketdə keçirilən uduş kampaniyası çərçivəsində müştəriyə hər birində 5 AZN, 10 AZN və 20 AZN dəyərində alış-veriş kuponlarından yalnız biri olmaqla 28 zərf təqdim olunur. 20 AZN-lik kuponların sayı 10 AZN-lik kuponların sayından 2 dəfə az, 5 AZN-lik kuponların sayından isə 16 ədəd azdır. Müştərinin təsadüfi seçdiyi 2 zərfdəki kuponların ümumilikdə 30 AZN dəyərində olması hadisəsinin ehtimalını tapın.

Açıq tapşırıq: cavabı özün yaz.

Cavab və DİM izahı

Cavab: 1/21.

20 AZN-lik kuponların sayı- x10 AZN-lik kuponların sayı- 2x5 AZN-lik kuponların sayı- x + 16x + 2x + x + 16 = 284x + 16 = 284x = 12x = 3Deməli, 20 AZN-lik kuponların sayı-310 AZN-lik kuponların sayı-65 AZN-lik kuponların sayı- 19I üsul: İki ədəd zərf seçmək üçün mümkün halların sayı ₂₈C₂-ə bərabərdir. İki zərfdə ümumilikdə 30 AZN məbləğində kupon olması üçün 1 ədəd 20 AZN-lik, 1 ədəd 10 AZN-lik kupon olan zərflər seçilməlidir. Onda əlverişli halların sayı ₃C₁·₆C₁ olar.p = (₃C₁·₆C₁)/₂₈C₂ = (3·6)/(14·27) = 1/21II üsul: 30 AZN-lik uduş üçün iki hal mümkündür: Birinci 20AZN-lik, sonra 10AZN-lik kuponun seçilməsi və ya birinci 10AZN-lik, sonra 20AZN-lik kuponun seçilməsi.p = (3/28)·(6/27) + (6/28)·(3/27) = 1/21Mənbə: DİM izahı — 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

Yekun

Yadda saxla

• Klassik tərif: P(A) = m/n; n — bərabər imkanlı bütün nəticələr, m — əlverişlilər; 0 ≤ P ≤ 1.
• İki zərin 36 nəticəsi var; cəmlər bərabər imkanlı deyil: P(7) = 1/6, P(12) = 1/36.
• Seçimdə: mümkün hallar a+bCk, əlverişli aCi · bCk−i.
• Uyuşmayan hadisələr: P(A) + P(B) (“və ya”).
• Əks hadisə: P(Ā) = 1 − P(A) — “heç olmasa bir” suallarında rahatdır.
• Asılı olmayan hadisələr: P(A) · P(B) (“və”).
• Nisbi tezlik k/N sınaqların sayı artdıqca ehtimala yaxınlaşır.

Tipik səhvlər

“Ehtimal — əlverişli halların sayıdır”

Əlverişli halların sayını mümkün halların sayına bölmək lazımdır: ehtimal 1-dən böyük ola bilməz.

“İki zərin cəmi 11 cür olur, deməli P(7) = 1/11”

Cəmlər bərabər imkanlı deyil. Bərabər imkanlı nəticələr 36 cütdür: P(7) = 6/36.

“Eyni marka: ₁₆C₂ · ₂₀C₂”

“A və ya B markası” — uyuşmayan hallar toplanır: ₁₆C₂ + ₂₀C₂ = 310.

“İki fırlanmada şans iki qat artır: 2/8 + 2/8”

“Hər iki dəfə” — asılı olmayan hadisələrin birgə baş verməsidir, ehtimallar vurulur: 1/4 · 1/4 = 1/16.

Yekun

Müstəqil iş

Tapşırıqlar asandan çətinə düzülüb. Əvvəl özün həll et, sonra variantı seç; izah cavabdan sonra açılır.

1 · 1-ci səviyyə

Surəti 12 olan düzgün olmayan kəsrlərdən təsadüfi seçilmiş birinin tam ədəd olması ehtimalını tapın.

12 kəsr; məxrəc 1, 2, 3, 4, 6, 12 olanlar tam ədəddir: 6/12 = 1/2.

2 · 1-ci səviyyə

Zər bir dəfə atılır. 4-dən çox xal düşməsi ehtimalını tapın.

Əlverişli: 5 və 6; 2/6 = 1/3.

3 · 2-ci səviyyə

Sinifdə 12 oğlan və 8 qız var. Təsadüfən seçilən iki şagirdin hər ikisinin qız olması ehtimalını tapın.

₈C₂/₂₀C₂ = 28/190 = 14/95.

4 · 2-ci səviyyə

Üçrəqəmli parolun (hər rəqəm 0–9) rəqəmlərinin müxtəlif olması ehtimalını tapın.

₁₀P₃/10³ = 720/1000 = 18/25.

5 · DİM səviyyəsi

Altıbucaqlı prizmanın təpələrindən ikisi təsadüfən seçilir. Onların prizmanın diaqonalının ucları olması ehtimalını tapın.

12 təpə, n(n − 3) = 6 · 3 = 18 diaqonal; 18/₁₂C₂ = 18/66 = 3/11.

6 · DİM səviyyəsi

Qutuda 5 ağ və 10 qara şar var. Təsadüfən iki şar götürülür. İki şarın eyni rəngli olması ehtimalını tapın.

(₅C₂ + ₁₀C₂)/₁₅C₂ = (10 + 45)/105 = 55/105 = 11/21.

İmtahan tapşırıqları və rəsmi izahlar — DİM:

1. 02.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF) — Ehtimal nəzəriyyəsi (A variantı, 66; B-68, C-65, D-69)
2. 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF) — Ehtimal nəzəriyyəsi (A variantı, 81; B-81, C-81, D-81)
3. 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — Ehtimal nəzəriyyəsi (A variantı, 30; B-30, C-30, D-30)
4. 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Ehtimal nəzəriyyəsi (A variantı, 24; B-24, C-23, D-24)
5. 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — Ehtimal nəzəriyyəsi (A variantı, 30; B-30, C-30, D-30)
6. 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Ehtimal nəzəriyyəsi (A variantı, 12; B-19, C-10, D-6)
7. 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — Ehtimal nəzəriyyəsi (A variantı, 77; B-76, C-74, D-75)
8. 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — Ehtimal nəzəriyyəsi (A variantı, 70; B-61, C-69, D-73)
9. 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF) — Hadisənin ehtimalı (A variantı, 66; B-73, C-68, D-66)
10. 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Ehtimal nəzəriyyəsi (A variantı, 29; B-29, C-29, D-29)
11. 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF) — Situasiya (A variantı, 30; B-30, C-30, D-30)
12. 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Ehtimal nəzəriyyəsi (A variantı, 25; B-23, C-23, D-25)

Hekayə, səhnələr, nümunələr, “Özün yoxla” və “Müstəqil iş” tapşırıqları bizimdir, DİM-ə aid deyil. DİM tapşırıqları və izahları mənbədəki kimi verilib; “…” işarəsi buraxılmış hissəni göstərir.