Статистические характеристики: среднее, медиана, мода, размах

Статистика, множества и вероятность · Тема 10 / 46

Статистические характеристики: среднее, медиана, мода, размах

Этот урок пройдём вместе со школьным кружком боулинга: «средний результат» на табло, список проката обуви и диаграмма продаж в кафе приведут нас к статистическим характеристикам. Научимся находить среднее, медиану, моду и размах, сравнивать их и читать диаграммы.

≈ 40 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 2материал 6–9 классов

После урока ты сможешь

• находить среднее арифметическое и по правилу «сумма = количество · среднее» вычислять недостающее число;
• находить медиану при нечётном и чётном количестве чисел;
• находить моду и медиану по таблице частот;
• находить размах и объяснять влияние выброса;
• переходить от столбчатой диаграммы к круговой и вычислять угол и площадь сектора.

Перед началом вспомни

• Расположение чисел по возрастанию.
• Дроби и проценты: отношение части к целому.
• Площадь круга: S = πr²; полный угол 360°.

Содержание

1. ВведениеСитуация: что говорит «средний результат»?история и предположение
2. Глава 1Среднее арифметическоеопределение · сумма = количество · среднее
3. Глава 2Медиананечётное и чётное количество
4. Глава 3Мода и таблица частотмода · таблица частот · ДИМ 25.05.2025
5. Глава 4Размах и выбросыR = max − min · выброс · свойства
6. Глава 5Столбчатые и круговые диаграммыстолбчатая · угол и площадь сектора · ДИМ 05.07.2026
7. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
8. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: что говорит «средний результат»?

История

Школьный кружок боулинга готовится к районному турниру. В команде 5 игроков. После тренировки на табло зала появляется надпись: «Средний результат команды — 150 очков». Капитан радуется: «Значит, мы все играем около 150!»

Тренер улыбается и спрашивает: как вы думаете, сколько из пяти игроков на самом деле набрали больше 150 очков?

Табло показывает только среднее, а не отдельные результаты.Сначала предположи

Как ты думаешь, сколько игроков набрали больше 150 очков? Выбери ответ — проверим вместе во 2-й главе.

Глава 1

Среднее арифметическое

Статистика позволяет кратко описать набор чисел несколькими числами. Их называют статистическими характеристиками: среднее арифметическое, медиана, мода, размах. Самая знакомая из них — среднее арифметическое.

Определение

Средним арифметическим n чисел называется частное от деления их суммы на n:

x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) : n

Пример 1

На тренировке игроки набрали: 130, 120, 240, 135, 125. Найдите средний результат команды.

1. Складываем все результаты: 130 + 120 + 240 + 135 + 125 = 750.
2. Делим на число игроков: x̄ = 750 : 5 = 150.Почему так?

   Среднее — это сколько очков досталось бы каждому, если бы сумму «поделили» поровну.

3. Ответ: 150 — число на табло верное.

Из определения следует полезное правило: x₁ + … + xₙ = n · x̄, т. е. сумма чисел = количество · среднее. По нему можно найти «недостающее» число.

Пример 2

Средний результат игрока за 4 игры был 130. После 5-й игры среднее стало 136. Сколько очков он набрал в 5-й игре?

1. Сумма за 4 игры: 4 · 130 = 520.Почему так?

   Сумма = количество · среднее.

2. Сумма за 5 игр: 5 · 136 = 680.
3. 5-я игра: 680 − 520 = 160.
4. Ответ: 160 очков.

Проверь себя

Среднее арифметическое 6 чисел равно 8. Пять из них: 5, 7, 9, 10, 6. Найдите шестое число.

Сумма должна быть 6 · 8 = 48.

Глава 2

Медиана

Мы убедились, что среднее посчитано верно. Но прав ли капитан? Чтобы проверить, расставим числа по порядку и посмотрим на то, что стоит посередине.

Определение

Медианой (Me) ряда называется число, стоящее посередине, когда числа расположены по возрастанию. Если количество чисел n нечётно, медиана — число на (n + 1)/2-м месте; если n чётно, медиана — среднее арифметическое двух средних чисел (на n/2-м и (n/2 + 1)-м местах).

Сначала упорядочи, потом ищи середину. При чётном количестве «средних» чисел два.История

Расставляем результаты по порядку: 120, 125, 130, 135, 240. Медиана Me = 130, а среднее x̄ = 150. Из пяти игроков выше 150 только один — тот, кто набрал 240. Этот один рекорд «тянет» среднее вверх, а медиана точнее показывает типичного игрока. Капитан ошибался.

Пример 3

Найдите медиану чисел 14, 9, 21, 12, 17, 10.

1. Располагаем по возрастанию: 9, 10, 12, 14, 17, 21.Почему так?

   Без упорядочивания медиану не найти: в данном порядке посередине случайные 21 и 12.

2. n = 6 — чётное: посередине 3-е и 4-е числа — 12 и 14.Почему так?

   При чётном количестве ровно посередине нет числа, поэтому берут среднее двух соседних.

3. Me = (12 + 14) : 2 = 13.
4. Ответ: 13.

Проверь себя

Найдите медиану чисел 7, 3, 9, 4, 12, 8, 5.

Упорядочи: 3, 4, 5, 7, 8, 9, 12.

Глава 3

Мода и таблица частот

История

В день турнира кружок помогает на стойке проката обуви. Зал хочет заказать новую обувь. Сотрудник с утра записывал выданные размеры: 38, 40, 41, 40, 39, 40, 42, 38, 40, 41.

Какого размера нужно закупить больше? Средний размер 39,9 здесь бесполезен — такой обуви не бывает.

Полки расставлены по размерам, на стойке — сегодняшний список.Определение

Модой (Mo) ряда называется число, которое встречается в нём чаще всего. У ряда может быть несколько мод (если несколько чисел повторяются одинаковое наибольшее число раз) или не быть моды вовсе (если все числа встречаются по одному разу).

Сколько раз число встречается, называют его частотой. Данные удобно собрать в таблицу частот: в одном столбце значение, в другом — частота. Находя медиану по таблице, представляй числа «развёрнутыми»: каждое значение повторяется столько раз, какова его частота.

Пример 4

Составьте таблицу частот для списка со стойки и найдите моду, медиану и среднее.

1. Считаем: 38 — 2 раза, 39 — 1, 40 — 4, 41 — 2, 42 — 1; всего n = 10.
2. Наибольшая частота 4 — у размера 40: Mo = 40.Почему так?

   Мода — не сама частота (4), а значение, которое повторяется чаще всего (40).

3. n = 10, медиана — среднее чисел на 5-м и 6-м местах. По порядку 38, 38, 39 — первые три места, места 4–7 занимает 40: Me = (40 + 40) : 2 = 40.Почему так?

   Последовательно складывая частоты, находим, какие места занимает каждое значение.

4. Среднее: x̄ = (38·2 + 39·1 + 40·4 + 41·2 + 42·1) : 10 = 399 : 10 = 39,9.
5. Ответ: Mo = 40, Me = 40, x̄ = 39,9. Залу нужно закупить больше обуви 40-го размера.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 25.05.2025

Результаты игроков лиги по боулингу и число игроков, показавших одинаковый результат, приведены в таблице. Найдите разность медианы и моды данных результатов.

Таблица — как в задании ДИМ: левый столбец — результат, правый — число игроков с таким результатом.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 20B) 25C) 15D) 10E) 5

1. Складываем частоты: всего 2 + 3 + 1 + 2 + 4 + 2 = 14 результатов.Почему так?

   В таблице 6 строк, но чисел 14 — медиану ищут по 14 результатам, а не по 6 строкам.

2. Находим места по возрастанию (таблица идёт по убыванию, начинаем снизу): 125 — 1–2, 130 — 3–6, 135 — 7–8, …Почему так?

   Не путайся в порядке таблицы: для медианы числа должны идти по возрастанию (или убыванию).

3. n = 14 — чётное: медиана — среднее 7-го и 8-го чисел: Me = (135 + 135) : 2 = 135.
4. Больше всего игроков (4) показали 130: Mo = 130. Разность: 135 − 130 = 5.Почему так?

   Мода — результат с наибольшей частотой (130), а не сама частота (4).

5. Ответ: 5 (вариант E).

Официальное пояснение ДИМ (25.05.2025)

Результаты, данные в таблице, располагаются в порядке возрастания:125, 125, 130, 130, 130, 130, 135, 135, 140, 145, 145, 145, 150, 150Так как количество результатов чётное, в качестве медианы находят среднее арифметическое двух средних значений: (135 + 135)/2 = 135.В качестве моды берётся число, которое повторяется среди результатов чаще всего. То есть мода равна 130. Таким образом, разность медианы и моды равна 135–130 = 5.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Оценки в классе: «3» — у 2 учеников, «4» — у 5, «5» — у 3. Найдите среднюю оценку (десятичной дробью).

(3·2 + 4·5 + 5·3) : 10.

Глава 4

Размах и выбросы

Определение

Разность между наибольшим и наименьшим числами ряда называется размахом (R): R = x_max − x_min. Он показывает, насколько числа «разбросаны».

В команде по боулингу R = 240 − 120 = 120. Такая большая разность показывает, что один игрок сильно отличается от остальных. Такое значение называют выбросом. Выброс сильно меняет среднее и размах, а медиану почти не меняет. В лаборатории меняй результат 5-го игрока и следи за двумя линиями.

Лаборатория · меняй один результат: как движутся среднее и медиана?результат 5-го игрока240

Как видишь, пока 5-й результат не меньше 130, медиана остаётся равной 130, а среднее растёт вместе с ним. Будь 5-й результат 140, и среднее, и медиана равнялись бы 130.

Свойство

Если ко всем числам прибавить одно и то же число c, то среднее, медиана и мода увеличатся на c, а размах не изменится. Если все числа умножить на k > 0, все четыре характеристики тоже умножатся на k.

Пример 5

На турнире каждому игроку добавили 10 бонусных очков. Каковы стали среднее, медиана и размах команды (120, 125, 130, 135, 240)?

1. Новые результаты: 130, 135, 140, 145, 250.
2. Среднее и медиана увеличиваются на 10: x̄ = 160, Me = 140.Почему так?

   Проверка: 800 : 5 = 160.

3. Размах: 250 − 130 = 120 — не изменился.Почему так?

   Наибольшее и наименьшее числа увеличиваются одинаково, а их разность сохраняется.

4. Ответ: x̄ = 160, Me = 140, R = 120.

Проверь себя

Каждое число ряда 4, 7, 7, 10, 12 умножили на 3. Каков размах нового ряда?

Прежний R = 12 − 4 = 8.

Глава 5

Столбчатые и круговые диаграммы

История

После турнира команда сидит в кафе при зале. На экране на стене дневные продажи показаны столбчатой диаграммой: чай 24, кофе 6, сок 18, вода 12 стаканов.

Управляющий кафе хочет показать те же данные на соседней доске круговой диаграммой. Каким должен быть угол сектора «чай»?

Столбчатая диаграмма показывает количества, круговая — доли.

На столбчатой диаграмме каждая величина изображается столбиком: высота столбика — значение величины. На круговой диаграмме круг принимается за целое (100%), и каждой величине отводится сектор, пропорциональный её доле.

Сектор

Если доля величины p = часть : целое, то угол и площадь соответствующего сектора:

α = p · 360°,   Ssektor = p · πr²

История

Всего продано 24 + 6 + 18 + 12 = 60 стаканов. Доля чая 24 : 60 = 2/5, значит угол сектора «чай» 2/5 · 360° = 144°. На один стакан приходится 360° : 60 = 6°: сок 108°, вода 72°, кофе 36°. Проверка: 144° + 108° + 72° + 36° = 360°.

Углы секторов пропорциональны долям; в сумме 360°.Так спрашивают на экзаменеДИМ · 05.07.2026

Если все данные столбчатой диаграммы изобразить с помощью круговой диаграммы радиусом 5 см, какой будет площадь сектора (в см²), отведённого телефонам марки A?

Ситуация (ДИМ, перевод): На столбчатой диаграмме приведены данные о количестве телефонов и принтеров марок A и B в магазине. Несмотря на то, что телефон марки A на 10% дешевле телефона марки B, а принтер марки A на 20% дороже принтера марки B, сумма цен телефона и принтера марки A равна сумме цен телефона и принтера марки B.

1. По диаграмме складываем все товары: 16 + 28 + 20 + 16 = 80 шт.Почему так?

   Круговая диаграмма изображает «все данные», поэтому целое — сумма всех четырёх столбиков.

2. Доля телефонов марки A: p = 16 : 80 = 1/5.
3. Площадь сектора — 1/5 площади круга: S = 1/5 · π · 5² = 5π.Почему так?

   И угол, и площадь сектора пропорциональны доле; угол 1/5 · 360° = 72°.

4. Ответ: 5π см².

Официальное пояснение ДИМ (05.07.2026)

Запишем данные столбчатой диаграммы в виде таблицы: … По собранным данным в магазине всего 80 единиц указанных товаров. Телефонов марки A — 16 штук, это 1/5 часть всех товаров. Поэтому площадь соответствующего сектора составляет 1/5 площади круга. S_сектор = (1/5)·S_круг = (1/5)πr² = (1/5)π·5² = 5π (см²)Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)

Проверь себя

В опросе участвовали 80 учеников. На круговой диаграмме угол сектора «шахматы» равен 90°. Сколько учеников выбрали шахматы?

90° — это 1/4 круга.

Итоги

Запомни

• Среднее: x̄ = (x₁ + … + xₙ) : n; сумма = количество · среднее.
• Медиана: сначала упорядочи; n нечётное — среднее число, n чётное — среднее двух средних чисел.
• Мода — значение, которое встречается чаще всего (а не сама частота); их может быть несколько или не быть вовсе.
• В таблице частот количество чисел — сумма частот; место медианы находят, последовательно складывая частоты.
• Размах: R = x_max − x_min.
• Выброс сдвигает среднее, а медиану почти не меняет. При прибавлении c ко всем числам R не меняется.
• Сектор: α = p · 360°, S = p · πr².

Типичные ошибки

«Медиана — число в середине данного списка»

Сначала числа нужно упорядочить: медиана ряда 14, 9, 21, 12, 17, 10 равна 13, а не (21 + 12) : 2.

«При чётном количестве медиана — одно из средних чисел»

Берут среднее арифметическое двух средних чисел: (12 + 14) : 2 = 13.

«Мода — это наибольшая частота»

Мода — само значение: в таблице по боулингу Mo = 130, а не 4 (число игроков).

«Среднее всегда показывает типичное значение»

Выброс тянет среднее: для 120, 125, 130, 135, 240 x̄ = 150, но больше 150 лишь один результат; медиана 130 точнее.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Среднее арифметическое чисел 4, 8, 10, 14:

36 : 4 = 9.

2 · Уровень 1

Медиана чисел 5, 11, 9, 1, 3, 7:

1, 3, 5, 7, 9, 11 → (5 + 7) : 2 = 6.

3 · Уровень 2

Сумма моды и размаха ряда 3, 7, 7, 2, 9, 7, 2:

Mo = 7, R = 9 − 2 = 7; 7 + 7 = 14.

4 · Уровень 2

Среднее 5 чисел равно 20. Если убрать из них число 40, каким станет среднее оставшихся?

Сумма 100; (100 − 40) : 4 = 15.

5 · Уровень ДИМ

За тест «2» получили 3 ученика, «3» — 5, «4» — 8, «5» — 4. Найдите разность медианы и среднего.

n = 20, 10-е и 11-е — 4, Me = 4; x̄ = 73 : 20 = 3,65; 4 − 3,65 = 0,35.

6 · Уровень ДИМ

В опросе участвовали 120 учеников. На круговой диаграмме радиусом 6 см площадь сектора «футбол» равна 9π см². Сколько учеников выбрали футбол?

Доля: 9π : 36π = 1/4; 120 : 4 = 30.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 12; B-13, C-15, D-19
2. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 28; B-28, C-28, D-28

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.