Теория вероятностей: классическая вероятность и комбинаторика

Статистика, множества и вероятность · Тема 13 / 46

Теория вероятностей: классическая вероятность и комбинаторика

Этот урок пройдём в кафе настольных игр: друзья бросают кубики, участвуют в лотерее и крутят призовое колесо. В каждой игре возникает один и тот же вопрос — «каковы мои шансы?» Чтобы ответить на него, изучим классическое определение вероятности, подсчёт через комбинаторику, правила сложения и умножения.

≈ 50 минутГлав: 4Заданий ДИМ: 12материал 9–10 классов

После урока ты сможешь

• правильно выбирать равновозможные исходы и применять формулу P = m/n;
• считать все и благоприятные исходы через ₙCₖ, ₙPₖ и правило умножения;
• складывать вероятности несовместных событий и пользоваться противоположным событием;
• находить вероятность совместного наступления независимых событий.

Перед началом вспомни

• Сочетания: ₙCₖ = n!/(k!(n − k)!).
• Правило умножения («и» — умножай).
• Сокращение дробей.

Содержание

1. ВведениеСитуация: какая сумма выпадает чаще?история и предположение
2. Глава 1Случайное событие и классическое определение вероятностиP = m/n · относительная частота · ДИМ 19.04.2026
3. Глава 2Комбинаторика при вычислении вероятностейподсчёт через ₙCₖ · ДИМ 15.03.2026, 02.03.2025
4. Глава 3Несовместные и противоположные событияP(A) + P(B) · 1 − P(A) · ДИМ 05.07.2026
5. Глава 4Независимые событияP(A) · P(B) · ДИМ 06.07.2025
6. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 7, с ответом и официальным пояснением
7. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
8. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: какая сумма выпадает чаще?

История

В субботу друзья пришли в кафе настольных игр. Правило первой игры простое: каждый бросает два кубика один раз и получает очко, если сумма равна 7. Один из друзей недоволен: «Почему 7? Сумма может быть от 2 до 12 — это 11 вариантов, значит, у каждой суммы шанс одинаковый — один из 11».

Хозяин кафе улыбается: «Я нарочно построил игру на семёрке». Кто прав? Чему равна вероятность того, что сумма очков равна 7?

Два кубика бросают один раз: какова вероятность, что сумма очков равна 7?Сначала предположи

Как ты думаешь, какова вероятность того, что при броске двух кубиков сумма очков равна 7? Выбери ответ — посчитаем вместе в 1-й главе.

Глава 1

Случайное событие и классическое определение вероятности

Бросить кубик, вынуть шар, раскрутить колесо — всё это испытания. Точно предсказать их результат нельзя. Событие, которое в испытании может произойти, а может и не произойти, называется случайным (например, «выпало 6 очков»). Событие, которое происходит в каждом испытании, — достоверное, а которое не происходит никогда, — невозможное (на одном кубике «выпало 7 очков»).

Классическое определение вероятности

Пусть все исходы испытания равновозможны и их число равно n. Если событию A благоприятствуют m из них, то вероятность события A:

P(A) = m/n

Отсюда 0 ≤ P(A) ≤ 1; вероятность достоверного события равна 1, невозможного — 0. Главное слово здесь — «равновозможные»: перед подсчётом выбери исходы так, чтобы шансы у них были одинаковы.

Пример 1

Кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет простое число очков.

1. Равновозможные исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6 — n = 6.Почему так?

   У правильного кубика шансы всех граней одинаковы.

2. Благоприятные исходы: 2, 3, 5 — m = 3.Почему так?

   1 не является простым числом.

3. P = 3/6 = 1/2.
4. Ответ: 1/2.

Вернёмся к спору в кафе. 11 сумм от 2 до 12 не равновозможны: например, сумма 2 получается только как (1; 1), а сумма 7 — многими способами. Равновозможные исходы — это пары очков: первый кубик падает 6 способами, второй — 6 способами, всего 6 · 6 = 36 исходов.

36 равновозможных исходов; сумма 7: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1).История

Исходов с суммой 7 — шесть, поэтому P(7) = 6/36 = 1/6. А суммы 2 и 12 получаются каждая только одним исходом: P = 1/36. Хозяин кафе был прав: 7 — самая частая сумма.

Вероятность показывает, что будет происходить при многих испытаниях. Если повторить испытание N раз и событие A произошло k раз, то отношение k/N называется относительной частотой. С ростом числа испытаний относительная частота приближается к вероятности. Проверь это в лаборатории: сначала 10 бросков, потом 1000.

Лаборатория · бросай два кубика сотни разТак спрашивают на экзаменеДИМ · 19.04.2026

Найдите вероятность того, что случайно выбранная из неправильных дробей с числителем 15 дробь является целым числом.

A) 4/15B) 8/15C) 11/15D) 7/15E) 2/5

1. Неправильные дроби с числителем 15: 15/1, 15/2, …, 15/15. Их количество n = 15.Почему так?

   В неправильной дроби числитель не меньше знаменателя: знаменатель может быть 1, 2, …, 15.

2. Дробь — целое число, когда знаменатель — делитель 15: 1, 3, 5, 15 — m = 4.Почему так?

   15 = 3 · 5, делители: 1, 3, 5, 15.

3. P = 4/15.
4. Ответ: 4/15 (вариант A).

Официальное пояснение ДИМ (19.04.2026)

Число неправильных дробей с числителем 15 равно 15. Из этих дробей целыми числами являются те, знаменатель которых 1, 3, 5 и 15, так что p = 4/15.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)

Проверь себя

Бросают два кубика. Найдите вероятность того, что сумма очков равна 10 (можно записать дробью).

Найди в таблице клетки с суммой 10: (4; 6), (5; 5), (6; 4).

Глава 2

Комбинаторика при вычислении вероятностей

История

В кафе проходит и благотворительная лотерея. В барабане 12 шаров, из них 4 — золотые выигрышные. Один из друзей купил два билета: ведущий раскрутит барабан и случайно вынет два шара — это и будут его билеты. Какова вероятность того, что оба шара выигрышные?

В барабане 12 шаров, 4 выигрышных; вынимают два шара.

Здесь исходы трудно выписать по одному — их нужно сосчитать. Для этого пригодятся формулы прошлого урока. Два шара вынимают одновременно, порядок не важен, поэтому равновозможные исходы — двухэлементные наборы из 12 шаров.

Правило

Если a элементов первого вида и b — второго, а случайно выбирают k элементов, то число всех исходов n = a+bCk; число благоприятных исходов для того, чтобы среди выбранных i было первого вида и k − i — второго, равно m = aCi · bCk−i.

История

Всех исходов: ₁₂C₂ = 66. Благоприятных для того, чтобы оба шара были выигрышными: ₄C₂ = 6. Значит, P = 6/66 = 1/11. Один выигрышный и один пустой: ₄C₁ · ₈C₁ = 32, вероятность 32/66 = 16/33. Ни одного выигрыша: ₈C₂ = 28, вероятность 28/66 = 14/33. Проверка: 6 + 32 + 28 = 66.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 15.03.2026

Для множеств A и B: B ⊂ A, n(A) = 9 и n(B) = 4. Найдите вероятность того, что два элемента, случайно выбранные из множества A, принадлежат множеству A \ B.

A) 5/18B) 4/15C) 4/21D) 5/12E) 7/24

1. B — подмножество A, поэтому n(A \ B) = 9 − 4 = 5.Почему так?

   A \ B — элементы A, не входящие в B.

2. Все исходы: двухэлементные наборы из 9 элементов, n = ₉C₂ = 36. Благоприятные: оба элемента из A \ B, m = ₅C₂ = 10.Почему так?

   Два элемента выбираются одновременно — порядок не важен, сочетания.

3. P = 10/36 = 5/18.
4. Ответ: 5/18 (вариант A).

Официальное пояснение ДИМ (15.03.2026)

Так как B — подмножество A и по условию 4 элемента принадлежат B, остальные 5 элементов принадлежат A\B. Для события (M) «два элемента, случайно выбранные из A, принадлежат A \ B» число благоприятных исходов n(M) = ₅C₂ = 5!/(3!·2!) = 10, а число всех исходов n = ₉C₂ = 9!/(7!·2!) = 36, поэтому по определению вероятности P(M) = n(M)/n = 10/36 = 5/18.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 02.03.2025

На диаграмме дано число присутствующих и отсутствующих на уроке учеников одного класса. Найдите вероятность того, что из двух учеников, случайно выбранных по списку класса, один — присутствующий на уроке мальчик, а другой — отсутствующая девочка.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 1/10B) 3/29C) 1/15D) 2/29E) 7/30

1. По диаграмме: 15 + 1 + 12 + 2 = 30 учеников.Почему так?

   Учеников выбирают из списка класса — и присутствующих, и отсутствующих.

2. Благоприятные исходы: один из 15 присутствующих мальчиков и одна из 2 отсутствующих девочек: m = ₁₅C₁ · ₂C₁ = 30.Почему так?

   Правило умножения: выбор мальчика и выбор девочки независимы.

3. Всех исходов: n = ₃₀C₂ = 30 · 29 : 2 = 435; P = 30/435 = 2/29.
4. Ответ: 2/29 (вариант D).

Официальное пояснение ДИМ (02.03.2025)

По диаграмме видно, что в классе всего 30 учеников. Из них присутствующих на уроке мальчиков 15, а отсутствующих девочек 2. Вероятность того, что из двух учеников, случайно выбранных по списку класса, один — присутствующий мальчик, а другой — отсутствующая девочка, P = (₁₅C₁ · ₂C₁)/₃₀C₂ = 15·2/((30·29)/2) = 2/29.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

Проверь себя

В коробке 5 белых и 3 чёрных шара. Наугад вынимают два шара. Найдите вероятность того, что оба чёрные.

₃C₂ / ₈C₂.

Глава 3

Несовместные и противоположные события

После лотереи друг спрашивает: «Какова вероятность, что хотя бы один шар выигрышный?» Это событие объединяет два случая: «ровно один выигрыш» и «два выигрыша». Такие события можно складывать, но при одном условии.

Определение

События, которые не могут произойти одновременно в одном испытании, называются несовместными. Событие, которое происходит тогда и только тогда, когда A не происходит, называется противоположным событию A и обозначается Ā.

Правило сложения

Для несовместных событий A и B: P(A или B) = P(A) + P(B). Для противоположного события: P(Ā) = 1 − P(A).

Пример 2

Из барабана (12 шаров, 4 выигрышных) вынимают два шара. Найдите вероятность того, что хотя бы один шар выигрышный.

1. 1-й способ: «ровно один выигрыш» и «два выигрыша» несовместны: P = 32/66 + 6/66 = 38/66 = 19/33.Почему так?

   Два шара не могут быть одновременно «ровно с одним» и «с двумя» выигрышами.

2. 2-й способ: противоположное событие «нет ни одного выигрыша»: P(Ā) = 28/66 = 14/33, тогда P = 1 − 14/33 = 19/33.Почему так?

   Видишь слова «хотя бы один» — сначала проверь противоположное событие: часто так короче.

3. Ответ: 19/33.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 05.07.2026

Найдите вероятность того, что два телефона, случайно выбранные в этом магазине, одной марки.

Ситуация (ДИМ, перевод): На столбчатой диаграмме приведены данные о количестве телефонов и принтеров марок A и B в магазине. Несмотря на то, что телефон марки A на 10% дешевле телефона марки B, а принтер марки A на 20% дороже принтера марки B, сумма цен телефона и принтера марки A равна сумме цен телефона и принтера марки B.

1. Все исходы: два телефона из 36, n = ₃₆C₂ = 36 · 35 : 2 = 630.Почему так?

   Телефоны выбирают одновременно — сочетания.

2. «Одной марки» — либо оба A, либо оба B. Эти события несовместны, исходы складываются: m = ₁₆C₂ + ₂₀C₂ = 120 + 190 = 310.Почему так?

   «или» — сложение; произведение ₁₆C₂ · ₂₀C₂ считало бы выбор четырёх телефонов.

3. P = 310/630 = 31/63.
4. Ответ: 31/63.

Официальное пояснение ДИМ (05.07.2026)

Число всех исходов для случайного выбора двух телефонов из всех телефонов магазина: ₃₆C₂ = 36!/(2!·34!) = 36·35/2 = 18·35 = 630. По условию оба телефона должны быть марки A или марки B, т. е. число благоприятных исходов: ₁₆C₂ + ₂₀C₂ = 16!/(2!·14!) + 20!/(2!·18!) = 16·15/2 + 20·19/2 = … 8·15 + 10·19 = 310. Вероятность события: p = 310/630 = 31/63Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 6 очков.

Противоположное событие: ни одной шестёрки — 5 · 5 = 25 исходов из 36.

Глава 4

Независимые события

История

Вечером в кафе начинается главная игра — призовое колесо. Колесо разделено на 8 равных секторов, 2 из них золотые. Чтобы получить главный приз, колесо нужно раскрутить дважды, и оба раза указатель должен остановиться на золотом секторе.

Один из друзей считает: «За один раз шанс 2/8, за два раза — вдвое больше, 4/8». Верно ли это?

Призовое колесо: 8 секторов, 2 золотых; колесо крутят дважды.Определение

События называются независимыми, если наступление одного из них не меняет вероятность другого. Например, результат первого вращения колеса не влияет на второе.

Правило умножения

Вероятность совместного наступления независимых событий A и B:

P(A и B) = P(A) · P(B)

Причина — правило умножения: если в первом испытании из n₁ исходов благоприятны m₁, а во втором из n₂ — m₂, то всего пар n₁n₂, а благоприятных пар m₁m₂. Складывать вероятности можно только для несовместных событий.

История

Вероятность золотого сектора при одном вращении 2/8 = 1/4. Вращения независимы, поэтому P = 1/4 · 1/4 = 1/16 — один шанс из 16. Расчёт друга «4/8» был неверен: он сложил вероятности. А вероятность хотя бы одного золотого сектора равна 1 − (3/4)² = 7/16.

Пример 3

Кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпадет чётное число очков.

1. При одном броске чётное число (2, 4, 6): 3/6 = 1/2.
2. Броски независимы: P = 1/2 · 1/2 = 1/4.Почему так?

   Проверка по таблице: из 36 исходов благоприятны 3 · 3 = 9, 9/36 = 1/4.

3. Ответ: 1/4.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 06.07.2025

Во время игры главный тренер каждой команды, чтобы одновременно заменить 2 игроков на поле, случайно выбирает двоих среди запасных. Найдите вероятность того, что среди выбранных в команде M оба, а в команде N только один являются игроками сборной.

Ситуация (ДИМ, перевод): … На поле у каждой из команд M и N по 11 игроков, и средний арифметический возраст их игроков равен соответственно 24 и 26.За пределами поля у команды M 3 запасных игрока-легионера и 3 запасных игрока сборной, а у команды N — 2 легионера и 4 игрока сборной.

1. Команда M: из 6 запасных выбирают двоих, оба — игроки сборной: P(A) = ₃C₂/₆C₂ = 3/15 = 1/5.Почему так?

   В M из 6 запасных 3 — игроки сборной: благоприятных исходов ₃C₂ = 3, всех ₆C₂ = 15.

2. Команда N: один игрок сборной, один легионер: P(B) = ₄C₁ · ₂C₁/₆C₂ = 8/15.Почему так?

   В N 4 запасных игрока сборной и 2 легионера.

3. Тренеры выбирают независимо друг от друга: P = 1/5 · 8/15 = 8/75.Почему так?

   Выбор в одной команде не влияет на другую — правило умножения.

4. Ответ: 8/75.

Официальное пояснение ДИМ (06.07.2025)

По условию в каждой из команд M и N 6 запасных игроков. Поэтому каждый главный тренер может выбрать 2 игроков для одновременной замены среди запасных ₆C₂ способами.Обозначим через A событие «оба заменяющих игрока команды M — игроки сборной». Для события A число всех исходов равно ₆C₂, а число благоприятных — ₃C₂. Поэтому P(A) = ₃C₂/₆C₂ = 3/15.Обозначим через B событие «из двух заменяющих игроков команды N один — игрок сборной, другой — легионер». Для события B число всех исходов равно ₆C₂, а число благоприятных — ₄C₁·₂C₁. Поэтому P(B) = … (4·2)/15 = 8/15.Нам же нужна вероятность одновременного наступления A и B, т. е. события A∩B.P(A∩B) = P(A)·P(B) = (3/15)·(8/15) = 8/(5·15) = 8/75.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)

Внимание: когда шары вынимают по одному, не возвращая, вероятность для второго шара зависит от первого. Например, два шара подряд из барабана (12 шаров, 4 выигрышных): 4/12 · 3/11 = 12/132 = 1/11 — снова 1/11, как и при подсчёте через сочетания.

Проверь себя

Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8. Он стреляет дважды. Найдите вероятность того, что оба выстрела попадут в цель.

Выстрелы независимы: 0,8 · 0,8.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 09.03.2026

Для двузначных чисел a̅b̅ значение √(a̅b̅) — натуральное число. Найдите вероятность того, что число, случайно выбранное среди таких чисел a̅b̅, нечётное.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 0,5.

Двузначные числа, удовлетворяющие условию, — 16, 25, 36, 49, 64 и 81. Из них нечётных 3. Так как число всех исходов 6, а благоприятных 3, P = 3/6 = 0,5.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

ДИМ · 01.06.2025

Найдите вероятность того, что число, случайно выбранное из множества целых решений неравенства (x² + 2x − 15)/|x + 5| ≤ 0, не является отрицательным.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 0,5.

При условии x ≠ −5 имеем |x + 5| > 0, поэтому x² + 2x − 15 ≤ 0. Решим последнее неравенство методом интервалов: (x + 5)(x − 3) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−5; 3]. С учётом условия x ≠ −5 решение неравенства (x² + 2x − 15)/|x + 5| ≤ 0 есть (−5; 3]. Значит, множество целых решений данного неравенства — {−4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3}. Так как число всех исходов n = 8, а благоприятных m = 4, по классическому определению вероятности искомая вероятность P = m/n = 4/8 = 0,5.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

ДИМ · 12.07.2026

У студента 5 рубашек разного цвета. Одну и ту же рубашку он не надевает два дня подряд. Сколькими различными способами он может носить эти рубашки в течение пяти дней, если каждый день надевает только одну рубашку?

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 1280.

Так как в первый день студент может выбрать любую из рубашек разного цвета, число способов выбора равно 5. Так как одну и ту же рубашку он не надевает два дня подряд, в каждый следующий день число способов выбора рубашки равно 4. По правилу умножения комбинаторики студент может носить 5 рубашек разного цвета в течение 5 дней 5·4·4·4·4=1280 способами.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

ДИМ · 25.05.2025

Найдите вероятность того, что цифры пароля, установленного для открытия крышки сундука, различны.

Ситуация (ДИМ, перевод): … Для открытия крышки сундука был установлен 4-значный пароль.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 63/125.

При решении задания используются элементы комбинаторики. Так как при установке пароля каждая цифра может быть выбрана 10 способами, число всех исходов n = 10⁴. С другой стороны, число благоприятных исходов для того, чтобы четыре выбранные цифры были различны, равно n(A) = ₁₀P₄ = 10·9·8·7. По классическому определению вероятности вероятность события A находится так: P(A) = n(A)/n = ₁₀P₄/10⁴ = (10·9·8·7)/10⁴ = (10·9·8·7)/(10·10³) = (9·8·7)/1000 = 63/125.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)

ДИМ · 13.07.2025

Из вершин восьмиугольной призмы случайно выбирают две. Найдите вероятность того, что выбранные две вершины являются концами какой-либо диагонали призмы.

A) 11/32B) 5/16C) 3/4D) 3/11E) 1/3Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 1/3 (вариант E).

Известно, что у n-угольной призмы 2n вершин и n(n − 3) диагоналей. Тогда у восьмиугольной призмы 16 вершин и 40 диагоналей. Обозначив вероятность события из условия задания через P(A), получаем P(A) = 40/₁₆C₂ = 40/((16·15)/2) = 40/120 = 1/3.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

ДИМ · 07.06.2026

На координатной плоскости даны 10 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Из всех возможных треугольников с вершинами в этих точках случайно выбирают один. Найдите вероятность того, что все три вершины этого треугольника лежат в разных четвертях.

На рисунке: в I четверти 4 точки (A, B, C, D), во II — 2 (E, F), в III — 3 (K, M, N), в IV — 1 точка (P).

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 5/12.

Известно, что P(A) = m/n, где A — событие «все вершины случайно выбранного треугольника лежат в разных четвертях», n — число всех исходов, m — число исходов, благоприятных для A. Ясно, что n = ₁₀C₃ = 10!/(7!·3!) = (10·9·8)/3! = 120. Благоприятные исходы — случаи, когда все вершины лежат в разных четвертях. 1) Число треугольников с вершинами в I, II, III четвертях m₁ = 4·2·3 = 24. 2) С вершинами в I, II, IV четвертях m₂ = 4·2·1 = 8. 3) С вершинами в I, III, IV четвертях m₃ = 4·3·1 = 12. 4) Для треугольников с вершинами во II, III, IV четвертях получаем m₄ = 2·3·1 = 6. Тогда m=24+8+12+6=50; P(A) = 50/120 = 5/12Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

ДИМ · 09.03.2025

В рамках розыгрыша в супермаркете покупателю предлагают 28 конвертов, в каждом из которых лежит только один из купонов на покупки стоимостью 5 AZN, 10 AZN и 20 AZN. Купонов по 20 AZN в 2 раза меньше, чем купонов по 10 AZN, и на 16 меньше, чем купонов по 5 AZN. Найдите вероятность того, что купоны в 2 конвертах, случайно выбранных покупателем, в сумме стоят 30 AZN.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 1/21.

Число купонов по 20 AZN — xЧисло купонов по 10 AZN — 2xЧисло купонов по 5 AZN — x + 16x + 2x + x + 16 = 284x + 16 = 284x = 12x = 3Значит, купонов по 20 AZN — 3купонов по 10 AZN — 6купонов по 5 AZN — 19I способ: число всех исходов при выборе двух конвертов равно ₂₈C₂. Чтобы в двух конвертах в сумме были купоны на 30 AZN, нужно выбрать конверты с 1 купоном на 20 AZN и 1 купоном на 10 AZN. Тогда число благоприятных исходов равно ₃C₁·₆C₁.p = (₃C₁·₆C₁)/₂₈C₂ = (3·6)/(14·27) = 1/21II способ: для выигрыша на 30 AZN возможны два случая: сначала выбран купон на 20 AZN, затем на 10 AZN, или сначала на 10 AZN, затем на 20 AZN.p = (3/28)·(6/27) + (6/28)·(3/27) = 1/21Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

Итоги

Запомни

• Классическое определение: P(A) = m/n; n — все равновозможные исходы, m — благоприятные; 0 ≤ P ≤ 1.
• У двух кубиков 36 исходов; суммы не равновозможны: P(7) = 1/6, P(12) = 1/36.
• При выборе: всех исходов a+bCk, благоприятных aCi · bCk−i.
• Несовместные события: P(A) + P(B) («или»).
• Противоположное событие: P(Ā) = 1 − P(A) — удобно в вопросах «хотя бы один».
• Независимые события: P(A) · P(B) («и»).
• Относительная частота k/N с ростом числа испытаний приближается к вероятности.

Типичные ошибки

«Вероятность — это число благоприятных исходов»

Число благоприятных исходов нужно разделить на число всех исходов: вероятность не может быть больше 1.

«Сумма двух кубиков бывает 11 видов, значит P(7) = 1/11»

Суммы не равновозможны. Равновозможные исходы — 36 пар: P(7) = 6/36.

«Одной марки: ₁₆C₂ · ₂₀C₂»

«Марка A или марка B» — несовместные случаи складываются: ₁₆C₂ + ₂₀C₂ = 310.

«За два вращения шанс удваивается: 2/8 + 2/8»

«Оба раза» — совместное наступление независимых событий, вероятности перемножаются: 1/4 · 1/4 = 1/16.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Найдите вероятность того, что случайно выбранная неправильная дробь с числителем 12 является целым числом.

12 дробей; целые — со знаменателем 1, 2, 3, 4, 6, 12: 6/12 = 1/2.

2 · Уровень 1

Кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет больше 4 очков.

Благоприятные: 5 и 6; 2/6 = 1/3.

3 · Уровень 2

В классе 12 мальчиков и 8 девочек. Найдите вероятность того, что оба случайно выбранных ученика — девочки.

₈C₂/₂₀C₂ = 28/190 = 14/95.

4 · Уровень 2

Найдите вероятность того, что цифры трёхзначного пароля (каждая цифра 0–9) различны.

₁₀P₃/10³ = 720/1000 = 18/25.

5 · Уровень ДИМ

Из вершин шестиугольной призмы случайно выбирают две. Найдите вероятность того, что они — концы диагонали призмы.

12 вершин, n(n − 3) = 6 · 3 = 18 диагоналей; 18/₁₂C₂ = 18/66 = 3/11.

6 · Уровень ДИМ

В коробке 5 белых и 10 чёрных шаров. Наугад берут два шара. Найдите вероятность того, что они одного цвета.

(₅C₂ + ₁₀C₂)/₁₅C₂ = (10 + 45)/105 = 55/105 = 11/21.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 66; B-68, C-65, D-69
2. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 81; B-81, C-81, D-81
3. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 30; B-30, C-30, D-30
4. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 24; B-24, C-23, D-24
5. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 30; B-30, C-30, D-30
6. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 12; B-19, C-10, D-6
7. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 77; B-76, C-74, D-75
8. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 70; B-61, C-69, D-73
9. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 66; B-73, C-68, D-66
10. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 29; B-29, C-29, D-29
11. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 30; B-30, C-30, D-30
12. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 25; B-23, C-23, D-25

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.