Комбинаторика: перестановки, размещения, сочетания, бином

Статистика, множества и вероятность · Тема 12 / 46

Комбинаторика: перестановки, размещения, сочетания, бином

Этот урок пройдём вместе со школьным весенним фестивалем: пятеро друзей фотографируются во дворе, выбирают мороженое и украшают сцену флажками. На каждом шаге возникает один и тот же вопрос — «сколькими способами?» Для ответа изучим правило умножения, перестановки, размещения, сочетания и бином Ньютона.

≈ 50 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 11материал 9–10 классов

После урока ты сможешь

• применять правила умножения и сложения;
• по тому, важен ли порядок, выбирать и вычислять перестановки, размещения и сочетания;
• считать расстановки с повторяющимися элементами и с условием «рядом»;
• решать задания на свойства биномиальных коэффициентов и на остатки с факториалами.

Перед началом вспомни

• Произведение натуральных чисел и признаки делимости.
• Степень: 2⁷ = 128; 2¹⁰ = 1024.
• Понятия множества и подмножества.

Содержание

1. ВведениеСитуация: сколько разных снимков?история и предположение
2. Глава 1Правила умножения и сложения«и» — умножай, «или» — складывай
3. Глава 2Перестановки и факториалn! · метод блоков · ДИМ 01.06.2025, 05.07.2026
4. Глава 3Размещения и сочетанияважен ли порядок · ДИМ 09.03.2026
5. Глава 4Перестановки с повторениямиn!/(k₁!·k₂!·…) · ДИМ 25.05.2025
6. Глава 5Бином Ньютона и треугольник Паскалябиномиальные коэффициенты · 2ⁿ · ДИМ 13.07.2025
7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 6, с ответом и официальным пояснением
8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: сколько разных снимков?

История

В школе проходит весенний фестиваль. Пятеро друзей хотят сфотографироваться на память на скамейке во дворе. На скамейке ровно пять мест, а фотограф каждый раз просит друзей поменяться местами: «Давайте снимем все возможные расстановки!»

Один снимок занимает 10 секунд. Друзья спрашивают: хватит ли времени, чтобы снять все расстановки? Для этого сначала нужно узнать: сколькими различными способами пятеро могут сесть на пять мест?

На скамейке 5 пронумерованных мест и 5 друзей: сколько разных расстановок?Сначала предположи

Как ты думаешь, сколькими способами пятеро друзей могут сесть на скамейку? Выбери ответ — посчитаем вместе во 2-й главе.

Глава 1

Правила умножения и сложения

Комбинаторика занимается одним вопросом: сколькими способами? Выписывать варианты по одному можно, только когда их мало. Когда вариантов много, пользуются двумя простыми правилами.

Правило умножения

Если первый выбор можно сделать m способами, а после него второй — n способами, то оба выбора вместе можно сделать m · n способами. Если выбор состоит из трёх и более этапов, числа способов всех этапов перемножаются.

Дерево выбора: от каждого бутерброда отходят две ветви, концов веток 3 · 2 = 6.Правило сложения

Если объект выбирается либо из первой группы (m способов), либо из второй (n способов) и общих элементов у групп нет, то выбор можно сделать m + n способами.

Коротко: «и» (и то, и другое) — умножаем; «или» (либо то, либо другое) — складываем. Например, на концерте фестиваля ученик может исполнить либо одну из 5 песен, либо одно из 3 стихотворений: 5 + 3 = 8 вариантов. Если же он должен исполнить и песню, и стихотворение: 5 · 3 = 15 вариантов.

Пример 1

Сколько существует трёхзначных чисел с различными цифрами?

1. «Строим» число в три этапа: сотни, десятки, единицы. Цифра сотен не может быть 0: 9 способов.Почему так?

   Запись, начинающаяся с 0, — не трёхзначное число (например, 052 = 52).

2. Цифра десятков: 0 уже можно, но нельзя цифру сотен: 9 способов. Единицы: отличны от первых двух: 8 способов.Почему так?

   Из 10 цифр вычитаем уже использованные.

3. Правило умножения: 9 · 9 · 8 = 648.
4. Ответ: 648.

Проверь себя

Сколько двузначных чисел можно записать цифрами 1, 2, 3, 4, 5 (цифры могут повторяться)?

Десятки: 5 способов, единицы: снова 5 способов.

Глава 2

Перестановки и факториал

Вернёмся к вопросу о скамейке. На первое место может сесть любой из 5 друзей, на второе — один из оставшихся 4, на третье — один из 3 и т. д. По правилу умножения 5 · 4 · 3 · 2 · 1. Такие произведения нужны так часто, что им дали название.

Определение

Произведение натуральных чисел от 1 до n называется n факториал: n! = 1 · 2 · 3 · … · n. Принято, что 0! = 1. Например, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720.

Число перестановок

Всевозможные расстановки n различных элементов в ряд называются перестановками. Их число:

ₙPₙ = Pₙ = n!

История

Пятеро друзей на скамейке: 5! = 120 различных расстановок. Если каждый снимок занимает 10 секунд, на все нужно 120 · 10 = 1200 с, то есть 20 минут. Друзья смеются: им хочется увидеть и остальной фестиваль, поэтому они выбирают лишь несколько снимков.

Самое полезное свойство при вычислениях с факториалами: n! = n · (n − 1)!. Поэтому отношение больших факториалов легко сокращается: 10! : 7! = 10 · 9 · 8 = 720. И ещё запомни: число k! делится на все натуральные числа от 1 до k, потому что все они входят в произведение множителями.

Пример 2

Двое из пяти друзей — сёстры, и они хотят сидеть рядом. Сколько возможно различных расстановок?

1. Считаем сестёр одним «блоком». Тогда расставляются 4 объекта: блок и 3 друга — 4! = 24.Почему так?

   Условие «рядом» образует блок: его можно считать одним человеком.

2. Внутри блока сёстры могут поменяться местами: 2! = 2.Почему так?

   Это разные снимки: одна из сестёр слева или справа.

3. Правило умножения: 4! · 2! = 24 · 2 = 48.
4. Ответ: 48.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 01.06.2025

В таблице дано количество книг по предметам. Зная, что все книги по каждому предмету различны, сколькими способами можно расставить все книги на полке так, чтобы книги одного предмета стояли рядом?Таблица: азербайджанский язык — 2; математика — 3; химия — 2; география — 1

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 360B) 576C) 720D) 144E) 288

1. Книги каждого предмета считаем одним блоком: 4 блока ставятся на полку 4! = 24 способами.Почему так?

   Книги одного предмета должны стоять рядом — это и образует блоки.

2. Внутри каждого блока книги различны и могут переставляться: 2!, 3!, 2!, 1!.Почему так?

   Порядок блоков и порядок внутри блоков не зависят друг от друга — правило умножения.

3. Произведение: 4! · 2! · 3! · 2! · 1! = 24 · 2 · 6 · 2 · 1 = 576.
4. Ответ: 576 (вариант B).

Официальное пояснение ДИМ (01.06.2025)

Если каждую группу из 2 различных книг по азербайджанскому языку, 3 различных по математике, 2 различных по химии и 1 по географии мысленно считать соответственно 1 книгой по азербайджанскому языку, 1 по математике … 1 по химии и 1 по географии, то эти четыре книги можно расставить на полке 4! различными способами. Но так как книги каждого предмета между собой различны, 2 книги по азербайджанскому языку, 3 по математике, 2 по химии и 1 по географии могут переставляться между собой соответственно 2!, 3!, 2! и 1! способами. Тогда по правилу умножения 2 различные книги по азербайджанскому языку, 3 различные по математике, 2 различные по химии и 1 по географии можно расставить на полке так, чтобы книги каждого предмета стояли рядом, 4!·2!·3!·2!·1! = 24·2·6·2·1 = 576 способами.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 05.07.2026

Найдите остаток от деления суммы 1! + 2! + 3! + ... + 10! на 6.

A) 5B) 1C) 3D) 4E) 2

1. Начиная с 3!, каждый факториал содержит множитель 1 · 2 · 3 = 6: 3! = 6, 4! = 4 · 6, … Значит, каждое из слагаемых 3!, 4!, …, 10! делится на 6.Почему так?

   Число k! делится на все числа от 1 до k; при k ≥ 3 — и на 6.

2. Сумма чисел, делящихся на 6, тоже делится на 6. Остаток дают только первые два слагаемых: 1! + 2! = 1 + 2 = 3.Почему так?

   Так как 3 < 6, число 3 и есть остаток.

3. Ответ: 3 (вариант C).

Официальное пояснение ДИМ (05.07.2026)

Так как каждое из слагаемых 3!, 4!, ..., 10! данного выражения содержит множитель 1·2·3, эти слагаемые делятся на 6 без остатка, тогда и их сумма делится на 6 без остатка. Значит, остаток от деления данной суммы на 6 равен 1! + 2! = 3.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите значение выражения 6! : 4!.

6! = 6 · 5 · 4!, поэтому 4! сокращается.

Глава 3

Размещения и сочетания

История

После фотосессии друзья подходят к киоску с мороженым. На прилавке 6 сортов мороженого. Каждый может взять в стаканчик по шарику двух разных сортов. Продавец шутит: «Если каждый день выбирать новый набор, на сколько дней хватит?»

Один из друзей сразу считает 6 · 5 = 30, а другой возражает: «В стаканчике неважно, какой шарик внизу!» Кто прав?

Киоск: 6 сортов, в стаканчик — 2 разных сорта.

Главный вопрос этой главы: важен ли порядок при выборе? В рожке шарики кладут один на другой: «клубника внизу, фисташка сверху» и «фисташка внизу, клубника сверху» — разные порции. А в стаканчике эти два выбора — один и тот же набор.

Определение

Если из n различных элементов выбрать k и расставить их по порядку, получится размещение. Набор из k элементов, выбранный без учёта порядка (подмножество), называется сочетанием.

Формулы

Число размещений и сочетаний (так записывают в заданиях ДИМ; в учебниках — Aₙᵏ и Cₙᵏ):

ₙPₖ = n!/(n − k)! = n(n − 1)…(n − k + 1)

ₙCₖ = ₙPₖ/k! = n!/(k!(n − k)!)

Формула сочетаний получается из размещений: каждый набор из k элементов можно упорядочить k! способами, поэтому число размещений делим на k!. В таблице ниже — все упорядоченные пары для рожка; каждый набор для стаканчика встречается в ней дважды.

Диагональ исключена (двух одинаковых шариков нет); 15 клеток выше диагонали — наборы для стаканчика.История

Каждый из друзей прав для своего вопроса: для рожка ₆P₂ = 6 · 5 = 30, а для стаканчика ₆C₂ = 30 : 2 = 15. Продавец смеётся: «Значит, со стаканчиком на 15 дней, а с рожком — на месяц!»

Пример 3

Сколькими способами можно выбрать из команды в 5 человек капитана и его заместителя? А двух равноправных представителей?

1. Капитан и заместитель — разные должности: порядок важен, это размещение: ₅P₂ = 5 · 4 = 20.Почему так?

   «A — капитан, B — заместитель» и «B — капитан, A — заместитель» — разные результаты.

2. Два представителя равноправны: порядок не важен, это сочетание: ₅C₂ = 20 : 2! = 10.Почему так?

   Каждая пара в размещениях посчитана дважды.

3. Ответ: 20 и 10.

Два свойства сокращают вычисления: ₙCₖ = ₙCₙ₋ₖ (выбрать k элементов — то же, что «отбросить» остальные n − k) и ₙC₀ = ₙCₙ = 1. Кроме того, число k-элементных подмножеств n-элементного множества равно ₙCₖ.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2026

В классе 24 ученика. Сколькими различными способами можно выбрать из них двух дежурных?

A) 288B) 576C) 240D) 276E) 96

1. Два дежурных выполняют одну обязанность: порядок не важен — сочетание, ₂₄C₂.Почему так?

   «A и B» и «B и A» — одна и та же пара дежурных.

2. Вычисляем: ₂₄C₂ = 24!/(22! · 2!) = (24 · 23)/2 = 276.
3. Ловушка: варианта 24 · 23 = 552 нет, но есть 576 = 24² — это ошибочный счёт, допускающий повторный выбор одного ученика и учёт порядка.Почему так?

   «Похожие» числа среди вариантов часто — результаты типичных ошибок.

4. Ответ: 276 (вариант D).

Официальное пояснение ДИМ (09.03.2026)

₂₄C₂ = 24!/(22!·2!) = 23·12 = 276.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

Проверь себя

Вычислите ₈C₃.

₈C₃ = (8 · 7 · 6)/(3 · 2 · 1).

Глава 4

Перестановки с повторениями

История

Идёт подготовка к вечернему концерту. Друзьям поручили натянуть над сценой верёвку и повесить флажки. В коробке 7 флажков: 3 синих, 2 красных и 2 жёлтых. Флажки одного цвета совершенно одинаковы.

Один из друзей говорит: «Флажков 7, значит, 7! = 5040 расстановок!» Другой сомневается: если поменять местами два синих флажка, никто со стороны разницы не заметит. Сколько же на самом деле разных гирлянд?

На верёвке 7 флажков: 3 синих, 2 красных, 2 жёлтых.

Когда некоторые элементы одинаковы, многие из 7! расстановок повторяются. В каждой видимой гирлянде синие флажки можно переставить между собой 3! способами, красные — 2!, жёлтые — 2!, и картина не изменится. Поэтому каждая гирлянда посчитана в списке из 7! ровно 3! · 2! · 2! = 24 раза.

Перестановки с повторениями

Если среди n элементов первый вид повторяется k₁ раз, второй — k₂ раз, …, последний — kₘ раз (k₁ + k₂ + … + kₘ = n), то число различных расстановок:

n!/(k₁! · k₂! · … · kₘ!)

История

Флажки: 7!/(3! · 2! · 2!) = 5040 : 24 = 210 различных гирлянд. Не 5040, а в 24 раза меньше! Друзья выбирают три самых красивых варианта и ставят их на голосование.

Пример 4

Сколько различных буквенных последовательностей («слов») можно получить перестановкой букв слова КАКАО?

1. Букв 5: К — 2 раза, А — 2 раза, О — 1 раз.
2. 5!/(2! · 2! · 1!) = 120 : 4 = 30.Почему так?

   Перестановка двух К или двух А не даёт нового слова.

3. Ответ: 30.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 25.05.2025

Сколько различных семизначных чисел, начинающихся с цифры 6, можно записать, переставляя цифры семизначного числа 2557776?

A) 70B) 60C) 90D) 30E) 50

1. На первое место ставится 6 — это место больше не меняется. Остальные 6 цифр: 2, 5, 5, 7, 7, 7.Почему так?

   Число должно начинаться с 6, поэтому расставляем только остальные 6 мест.

2. Среди этих шести цифр 5 повторяется дважды, 7 — трижды: 6!/(1! · 2! · 3!) = 720 : 12 = 60.Почему так?

   Ответ 6! = 720 считает перестановки двух пятёрок и трёх семёрок разными числами.

3. Ответ: 60 (вариант B).

Официальное пояснение ДИМ (25.05.2025)

В семизначном числе 2557776 две цифры 5 и три цифры 7. Если 6 стоит в начале, число перестановок остальных цифр будет 6!, но так как есть повторяющиеся цифры, применяя свойство перестановок с повторениями, получим число возможных расстановок 6!/(1!·2!·3!) = (6·5·4·3!)/(1·2·3!) = 60.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Сколько пятизначных чисел можно записать, используя все цифры 1, 1, 2, 2, 2?

5!/(2! · 3!).

Глава 5

Бином Ньютона и треугольник Паскаля

Самое красивое применение сочетаний — разложение степени суммы. Раскрывая (a + b)ⁿ = (a + b)(a + b)…(a + b), из каждой скобки берём либо a, либо b. Член aⁿ⁻ᵏbᵏ получается, когда b выбрано в k скобках из n, а это можно сделать ₙCₖ способами.

Бином Ньютона

Числа ₙC₀, ₙC₁, …, ₙCₙ называются биномиальными коэффициентами. В разложении n + 1 член.

(a + b)ⁿ = ₙC₀aⁿ + ₙC₁aⁿ⁻¹b + … + ₙCₖaⁿ⁻ᵏbᵏ + … + ₙCₙbⁿ

Пример 5

Раскройте (a + b)⁴.

1. Биномиальные коэффициенты: ₄C₀ = 1, ₄C₁ = 4, ₄C₂ = 6, ₄C₃ = 4, ₄C₄ = 1.
2. Показатель a убывает от 4 до 0, показатель b растёт от 0 до 4; в каждом члене сумма показателей равна 4.Почему так?

   Каждый член — произведение n = 4 множителей.

3. Ответ: (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

Если записать биномиальные коэффициенты треугольником, получится треугольник Паскаля: каждая строка начинается и заканчивается 1, а каждое число внутри равно сумме двух чисел над ним (ₙCₖ = ₙ₋₁Cₖ₋₁ + ₙ₋₁Cₖ). В лаборатории меняй n и k и следи за тремя свойствами: симметрией, правилом Паскаля и суммой чисел строки.

Лаборатория · треугольник Паскаля: меняй n и kn (степень бинома)6k (номер члена)2Свойства биномиальных коэффициентов

1) ₙCₖ = ₙCₙ₋ₖ — коэффициенты, равноудалённые от начала и конца, равны; если ₙCₖ = ₙCₘ, то либо k = m, либо k + m = n.2) Сумма биномиальных коэффициентов: ₙC₀ + ₙC₁ + … + ₙCₙ = 2ⁿ (положи в разложении a = b = 1).3) Наибольший коэффициент — у среднего члена: при чётном n средний член один (k = n/2), при нечётном n средних членов два, и их коэффициенты равны.

Внимание: «биномиальные коэффициенты» и «коэффициенты разложения» — не одно и то же. Например, в разложении (a + 2b)ⁿ коэффициент члена aⁿ⁻¹b равен 2n, а биномиальный коэффициент — ₙC₁ = n. Сумма всех коэффициентов разложения равна (1 + 2)ⁿ = 3ⁿ, а сумма биномиальных коэффициентов — по-прежнему 2ⁿ.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

Если сумма биномиальных коэффициентов в разложении бинома (a + 2b)ⁿ равна 128, найдите n.

A) 7B) 9C) 8D) 6E) 10

1. Биномиальные коэффициенты — это числа ₙC₀, ₙC₁, …, ₙCₙ; множитель 2 в 2b к ним не относится.Почему так?

   Спрашивают не о коэффициентах разложения, а о биномиальных коэффициентах.

2. Их сумма: 2ⁿ = 128 = 2⁷, откуда n = 7.
3. Ответ: 7 (вариант A).

Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)

Известно, что сумма биномиальных коэффициентов в разложении бинома n-й степени равна 2ⁿ. Тогда 2ⁿ=128; n=7Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Сумма биномиальных коэффициентов в разложении бинома (x + y)ⁿ равна 512. Найдите n.

2ⁿ = 512.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 15.03.2026

Вычислите значение выражения ₄P₄ + ₃P₃.

A) 18B) 25C) 30D) 40E) 10Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 30 (вариант C).

По формуле ₙPₙ = n! = n·(n−1)·(n−2)·....·2·1 находим, что 4!+ 3! = 4·3·2·1+3·2·1 = 24+6 = 30.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

ДИМ · 24.05.2026

Найдите остаток от деления числа a = ₁₀P₃ · ₇P₇ + 225 на 100.

Здесь ₙPₖ — число размещений: ₙPₖ = n!/(n − k)!.

A) 43B) 75C) 53D) 25E) 32Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 25 (вариант D).

a = ₁₀P₃ · ₇P₇ + 225 = 10!/(10 − 3)! · 7! + 225 = … 10! + 225 … = 9·8·7·6·4·3·100 + 225. В этой сумме остаток от деления первого слагаемого на 100 равен 0, остаток от деления второго слагаемого на 100 равен 25. … В этом случае остаток от деления суммы на 100 равен 0+25=25.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)

ДИМ · 19.04.2026

Вычислите (₅P₅ · (₆C₃ + ₆C₄))/₇P₃.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 20.

По формулам ₙPₙ = n! , ₙPₖ = n!/(n − k)! , ₙCₖ = n!/((n − k)!·k!) получаем (₅P₅ · (₆C₃ + ₆C₄))/₇P₃ = (5!·(6!/((6−3)!·3!) + 6!/((6−4)!4!)))/(7!/(7−3)!) = (5!·(6!/(3!·3!) + 6!/(2!·4!)))/(7!/4!) = (120·((4·5·6)/(1·2·3) + (5·6)/(1·2)))/(7·6·5) = (120·(20+15))/210 = 20Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)

ДИМ · 07.06.2026

Найдите число всех трёхэлементных подмножеств множества целых чисел, входящих в область определения функции y = log₇(x − 2) + log₈(8 − x).

A) 16B) 2C) 8D) 10E) 5Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 10 (вариант D).

Найдём область определения функции y = log₇(x − 2) + log₈(8 − x): {x − 2 > 0; 8 − x > 0} ⇒ {x > 2; x < 8}; D(f)=(2;8). A = {3; 4; 5; 6; 7} — множество целых чисел из области определения. Тогда число трёхэлементных подмножеств ₅C₃ = 5!/(2!·3!) = 5·4/2 = 10.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

ДИМ · 06.07.2025

Если в разложении бинома (a + b)ⁿ наибольшими биномиальными коэффициентами являются ₙC₄ и ₙC₅, найдите n.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 9.

Известно, что в разложении бинома наибольший биномиальный коэффициент — это биномиальный коэффициент среднего члена. У биномов нечётной степени два средних члена, и их биномиальные коэффициенты равны между собой. Здесь же ₙC₄ и ₙC₅ — наибольшие биномиальные коэффициенты. Значит, ₙC₄ = ₙC₅. А это равенство возможно только при n = 9.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)

ДИМ · 12.07.2026

Из биномиальных коэффициентов разложения бинома (a + b)ⁿ случайно выбирают два. Если вероятность того, что оба выбранных биномиальных коэффициента отличны от единицы, равна 0,4, найдите n.

Вероятность = число благоприятных исходов / число всех исходов (следующий урок: «Теория вероятностей»).

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 5.

Известно, что в разложении бинома (a + b)ⁿ = Σ₍ₖ₌₀₎ⁿ ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ · bᵏ биномиальные коэффициенты ₙCₖ = n!/(k!(n − k)!) равны 1 только при k=0 и k=n: ₙC₀ = ₙCₙ = 1. Значит, для выбранных биномиальных коэффициентов ₙCₖ условие «отличен от единицы» выполняется при 1 ≤ k ≤ n−1. Тогда число благоприятных исходов по условию задачи равно ₙ₋₁C₂, а число всех возможных исходов — ₙ₊₁C₂. По определению вероятности и условию P = ₙ₋₁C₂/ₙ₊₁C₂ = ((n − 1)·(n − 2)/2)/((n + 1)·n/2) = (n − 1)·(n − 2)/((n + 1)·n) = 0,4. Отсюда (n − 1)(n − 2) = 0,4n(n + 1), или n² − 3n + 2 = 0,4n² + 0,4n, 0,6n² − 3,4n + 2 = 0, умножим обе части на 5. 3n² − 17n + 10 = 0, n₁,₂ = (17 ± √(289 − 120))/6, n₁ = (17 − 13)/6 = 4/6 = 2/3, n₂ = (17 + 13)/6 = 30/6 = 5, n ∈ N ⇒ n = 5.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Итоги

Запомни

• Правило умножения: числа способов этапов перемножаются («и»); правило сложения: числа способов в непересекающихся группах складываются («или»).
• Перестановки: ₙPₙ = n!; 0! = 1, n! = n · (n − 1)!.
• Порядок важен — размещение ₙPₖ = n!/(n − k)!; не важен — сочетание ₙCₖ = n!/(k!(n − k)!).
• Условие «рядом»: считай блок одним элементом, затем переставь элементы внутри блока.
• Перестановки с повторениями: n!/(k₁! · k₂! · … · kₘ!).
• ₙCₖ = ₙCₙ₋ₖ; сумма биномиальных коэффициентов 2ⁿ; наибольший коэффициент — у среднего члена.
• При k ≥ 3 число k! делится на 6, при k ≥ 5 — на 10.

Типичные ошибки

«Выбор двух дежурных — это размещение: 24 · 23»

Дежурные равноправны, порядок не важен: ₂₄C₂ = 552 : 2 = 276.

«Повторяющиеся цифры тоже считаются разными»

Перестановка двух пятёрок не даёт нового числа: n! нужно разделить на факториалы повторений.

«В (a + 2b)ⁿ сумма биномиальных коэффициентов равна 3ⁿ»

3ⁿ — сумма всех коэффициентов разложения. Биномиальные коэффициенты — это ₙCₖ, их сумма всегда 2ⁿ.

«0! = 0»

Принято, что 0! = 1; например, ₙCₙ = n!/(n! · 0!) = 1.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

В классе 18 учеников. Сколькими способами можно выбрать из них двух представителей?

₁₈C₂ = 18 · 17 : 2 = 153.

2 · Уровень 1

Вычислите значение выражения ₅P₅ − ₄P₄.

5! − 4! = 120 − 24 = 96.

3 · Уровень 2

Сколькими способами можно расставить на полке 3 разные книги по математике и 2 разные по физике так, чтобы книги одного предмета стояли рядом?

Блоки 2!, внутри 3! и 2!: 2 · 6 · 2 = 24.

4 · Уровень 2

Сумма биномиальных коэффициентов в разложении (x + y)ⁿ равна 64. Найдите n.

2ⁿ = 64 → n = 6.

5 · Уровень ДИМ

Найдите остаток от деления суммы 1! + 2! + 3! + … + 20! на 10.

Слагаемые начиная с 5! делятся на 10; 1 + 2 + 6 + 24 = 33, остаток 3.

6 · Уровень ДИМ

Сколькими способами из 8 человек можно выбрать комиссию из председателя и двух равноправных членов?

Председатель — 8 способов, два члена из оставшихся 7 — ₇C₂ = 21 способ: 8 · 21 = 168.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 22; B-20, C-1, D-1
2. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 6; B-13, C-6, D-21
3. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 24; B-26, C-23, D-23
4. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 7; B-2, C-21, D-14
5. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 70; B-68, C-69, D-69
6. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 66; B-68, C-68, D-61
7. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 74; B-74, C-74, D-74
8. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 12; B-21, C-13, D-12
9. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 13; B-10, C-17, D-12
10. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 1; B-11, C-15, D-6
11. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 29; B-29, C-29, D-29

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.