Множества: объединение, пересечение, разность, диаграмма Эйлера–Венна

Статистика, множества и вероятность · Тема 11 / 46

Множества: объединение, пересечение, разность, диаграмма Эйлера–Венна

Этот урок пройдём вместе с одним школьным днём: обручи кружков в спортзале, отмеченные шкафчики в коридоре и сэндвичи в буфете приведут нас к множествам и диаграмме Эйлера–Венна. Научимся находить пересечение, объединение и разность, считать элементы объединения и число подмножеств.

≈ 45 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 9материал 6–8 классов

После урока ты сможешь

• записывать множество перечислением элементов, пользоваться знаками ∈, ⊂, ∅;
• находить пересечение, объединение и разность двух множеств;
• читать по диаграмме Эйлера–Венна элементы и количество элементов частей;
• решать задачи по формуле n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B);
• находить число подмножеств множества из n элементов (2ⁿ).

Перед началом вспомни

• Делители натурального числа.
• Дроби и проценты.
• Решение линейных уравнений и неравенств.

Содержание

1. ВведениеСитуация: сколько учеников в обручах?история и предположение
2. Глава 1Множество, элемент, подмножество∈, ∉, n(A), ∅, ⊂
3. Глава 2Пересечение, объединение, разность∩, ∪, \ · лаборатория · ДИМ 01.06.2025
4. Глава 3Чтение диаграммы Эйлера–Веннасчёт по частям · ДИМ 13.07.2025, 09.03.2026
5. Глава 4Число элементов объединенияформула n(A ∪ B) · ДИМ 19.04.2026, 02.03.2025
6. Глава 5Число подмножеств2ⁿ · ДИМ 12.07.2026
7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 3, с ответом и официальным пояснением
8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: сколько учеников в обручах?

История

В новом учебном году в школе открылись кружки футбола и шахмат. Учитель физкультуры собирает класс в спортзале и кладёт на пол два обруча из верёвки: кто ходит на футбол, встаёт в левый обруч, кто на шахматы — в правый. Обручи пересекаются — кто ходит на оба, стоит посередине.

В классе 30 учеников. На футбол ходят 18, на шахматы — 15, а 4 ученика не ходят ни в один кружок и сидят на скамейке. Сколько учеников стоит посередине — внутри обоих обручей?

Два обруча — два множества, пересечение — те, кто ходит в оба кружка.Сначала предположи

Как ты думаешь, сколько учеников стоит посередине? Выбери ответ — посчитаем вместе в 4-й главе.

Глава 1

Множество, элемент, подмножество

Ученики в обруче, ученики класса, делители числа 12 — всё это множества. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества обозначают заглавными буквами, а элементы перечисляют в фигурных скобках: A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}. «Число 3 — элемент множества A» записывают так: 3 ∈ A; «7 не является элементом A»: 7 ∉ A.

Определение

Число элементов конечного множества A обозначают n(A). Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым: ∅, n(∅) = 0. Порядок элементов в множестве не важен, и каждый элемент записывается один раз: {1; 2; 3} = {3; 1; 2}.

Подмножество

Если каждый элемент множества B является и элементом множества A, то B называется подмножеством A: B ⊂ A. Пустое множество и само A — подмножества A.

На диаграмме Эйлера–Венна множество изображают замкнутой фигурой, а все рассматриваемые элементы (универсальное множество U) — прямоугольником.Пример 1

A — множество натуральных делителей 12, B — множество чётных натуральных чисел, меньших 10. Перечислите элементы, найдите n(A) и n(B). Верно ли, что {2; 4} ⊂ A?

1. A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}, n(A) = 6.
2. B = {2; 4; 6; 8}, n(B) = 4.Почему так?

   «Меньше 10» — 10 не входит.

3. 2 ∈ A и 4 ∈ A, значит {2; 4} ⊂ A верно. Но B ⊄ A, так как 8 ∉ A.Почему так?

   Чтобы быть подмножеством, нужно проверить каждый элемент; достаточно одного «лишнего» элемента, чтобы подмножеством не быть.

4. Ответ: n(A) = 6, n(B) = 4; {2; 4} ⊂ A — верно.

Проверь себя

C — множество натуральных делителей числа 30. Найдите n(C).

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Глава 2

Пересечение, объединение, разность

История

Для кружков отмечены шкафчики в коридоре: у ученика спортивного кружка на шкафчике жёлтый круг, у ученика музыкального — синий квадрат. На некоторых шкафчиках есть оба знака, на некоторых — ни одного.

В пятницу у музыкального кружка концерт, а тренировка будет только для тех, кто не ходит на музыку. Учитель спрашивает: владельцы каких шкафчиков ходят только в спортивный кружок?

Жёлтый круг — множество A, синий квадрат — множество B.

Читаем по рисунку: A = {1; 3; 4; 7; 9; 12}, B = {3; 5; 7; 8; 12}. Есть три основные операции, которые из двух множеств строят новые.

Операции над множествами

ПересечениеA ∩ B — элементы, принадлежащие и A, и B;ОбъединениеA ∪ B — элементы, принадлежащие A или B (хотя бы одному из них);РазностьA \ B — элементы, принадлежащие A, но не принадлежащие B.

Внимание: A \ B и B \ A — разные множества. В лаборатории выбери операцию и посмотри, какая часть диаграммы закрашивается.

Лаборатория · выбери операцию: какая часть диаграммы закрашивается?История

Ходят только в спортивный кружок — это множество A \ B = {1; 4; 9}: шкафчики с жёлтым кругом, но без синего квадрата. В пятницу на тренировку придут владельцы шкафчиков 1, 4 и 9. Владельцы 3, 7 и 12 (A ∩ B) будут на концерте.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 01.06.2025

Если B ⊂ A, B = {2; 5} и A \ B = {1; 3; 4}, найдите множество A.

A) {1; 2; 4}B) {1; 3; 5}C) {2; 4; 5}D) {1; 2; 3; 4; 5}E) {3; 4; 5}

1. Так как B ⊂ A, все элементы B лежат в A.Почему так?

   На диаграмме круг B целиком внутри A (рисунок выше).

2. A состоит из двух частей: элементы, входящие в B, и не входящие (A \ B): A = (A \ B) ∪ B.Почему так?

   Каждый элемент либо в B, либо не в B — третьего не дано.

3. A = {1; 3; 4} ∪ {2; 5} = {1; 2; 3; 4; 5}.
4. Ответ: {1; 2; 3; 4; 5} (вариант D).

Официальное пояснение ДИМ (01.06.2025)

Так как B ⊂ A, A = (A \ B) ∪ B. Таким образом, A = (A \ B) ∪ B = {1;3;4} ∪ {2;5} = {1;2;3;4;5}Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите n(A ∪ B) для шкафчиков.

Из 6 + 5 элементов общие 3 нельзя считать дважды.

Глава 3

Чтение диаграммы Эйлера–Венна

Два пересекающихся круга делят прямоугольник на четыре части: только A (A \ B), только B (B \ A), оба (A ∩ B) и ни одного. В заданиях ДИМ в частях диаграммы часто записаны не сами элементы, а их количество. Тогда число элементов каждого множества — сумма соответствующих частей:

Счёт по частям

n(A) = n(A \ B) + n(A ∩ B),   n(A ∪ B) = n(A \ B) + n(A ∩ B) + n(B \ A)

С тремя множествами правило то же: найди нужные части и посчитай их элементы. Пересечение непересекающихся кругов — пустое множество: если A ∩ C = ∅, то A \ C = A.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

По диаграмме Эйлера–Венна найдите сумму n(A \ C) + n(B ∩ C).

Диаграмма: A и B пересекаются, B и C пересекаются, A и C — нет. Только в A: 77, 67; в A ∩ B: 4, 7; только в B: 8, 11, 13, 20; в B ∩ C: 25, 9, 14; только в C: 1, 10, 24, 32.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 9B) 6C) 5D) 7E) 4

1. Круги A и C не пересекаются: A ∩ C = ∅, поэтому A \ C = A = {77; 67; 4; 7}.Почему так?

   Из A нужно убрать элементы C, но в A их нет. Числа 4 и 7 из A ∩ B тоже принадлежат A!

2. Общая часть B и C: B ∩ C = {25; 9; 14}.Почему так?

   Только числа, лежащие внутри обоих кругов.

3. n(A \ C) + n(B ∩ C) = 4 + 3 = 7.
4. Ответ: 7 (вариант D).

Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)

n(A \ C) = 4, n(B ∩ C) = 3; 4+3=7Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2026

На диаграмме Эйлера–Венна указано число элементов множеств A и B. Если n(A∩B) > n(B\A), найдите сумму наименьшего и наибольшего значений, которые может принимать n(A\B) при натуральных значениях x.

1. Условие: n(A ∩ B) > n(B \ A), т. е. 3x + 4 > 19 − 2x.Почему так?

   Названия частей читаем по диаграмме: пересечение 3x + 4, только B 19 − 2x.

2. Отсюда 5x > 15, x > 3.
3. Число в каждой части должно быть натуральным: 19 − 2x > 0, x < 9,5.Почему так?

   Это второе условие легко забыть: каждое выражение на диаграмме — число элементов, оно не может быть отрицательным или нулём.

4. x натуральное: x = 4, 5, …, 9. n(A \ B) = 2x + 5 принимает наименьшее значение 2·4 + 5 = 13, наибольшее 2·9 + 5 = 23; сумма 13 + 23 = 36.
5. Ответ: 36.

Официальное пояснение ДИМ (09.03.2026)

По условию 3x+4 > 19–2x. Решение этого неравенства: 5x > 15, x > 3. … 19–2x > 0, x < 9,5. Наименьшее … число, удовлетворяющее условию 3 < x < 9,5, — x=4, наибольшее натуральное число — x=9. Наименьшее значение, которое может принимать n(A\B) = 2x+5, равно 2·4+5=13, наибольшее — 2·9+5=23. Отсюда 13+23=36.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

Проверь себя

Чему равно n(A ∪ B) на той же диаграмме при x = 5?

Сложи три части: 15 + 19 + 9.

Глава 4

Число элементов объединения

Теперь вернёмся к вопросу в спортзале. Если просто сложить числа элементов A и B, каждый элемент пересечения будет посчитан дважды — один раз в A и один раз в B. Лишнее нужно вычесть:

Число элементов объединения

Для любых двух конечных множеств A и B:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

Если все элементы лежат в U, то число не входящих ни в одно: n(U) − n(A ∪ B).

История

Стоят в обручах: n(Ф ∪ Ш) = 30 − 4 = 26. По формуле 26 = 18 + 15 − n(Ф ∩ Ш), откуда n(Ф ∩ Ш) = 33 − 26 = 7. Посередине стоят 7 учеников: только на футбол ходят 18 − 7 = 11, только на шахматы — 15 − 7 = 8. Проверка: 11 + 7 + 8 + 4 = 30. Ответ «3» (33 − 30) получается, если забыть 4 учеников на скамейке.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 19.04.2026

Из 20 студентов группы 15 получили удовлетворительную оценку по математике, 16 — по физике. 3 студента не получили удовлетворительной оценки ни по одному из этих предметов. Сколько процентов студентов получили удовлетворительную оценку по обоим предметам?

A) 70B) 60C) 55D) 75E) 50

1. Получили «зачёт» хотя бы по одному предмету: n(R ∪ F) = 20 − 3 = 17.Почему так?

   Трое, не сдавшие ни одного предмета, в объединение не входят.

2. Из формулы находим пересечение: n(R ∩ F) = 15 + 16 − 17 = 14.Почему так?

   15 + 16 = 31 > 17 — разность и есть посчитанные дважды.

3. Процент: 14 : 20 · 100% = 70%.
4. Ответ: 70% (вариант A).

Официальное пояснение ДИМ (19.04.2026)

Для решения задачи можно воспользоваться формулой n(R ∪ F) = n(R) + n(F) − n(R ∩ F). Здесь n(R) — число студентов, получивших удовлетворительную оценку по математике, соответственно n(F) — число студентов, получивших удовлетворительную оценку по физике. n(R ∪ F) показывает число получивших удовлетворительную оценку по математике или по физике, n(R ∩ F) — и по математике, и по физике. n(R ∪ F) = 20 − 3 = 17; n(R ∩ F) = n(R) + n(F) − n(R ∪ F); n(R ∩ F) = 15 + 16 − 17 = 14; (14/20) · 100% = 70%Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 02.03.2025

1/4 всего педагогического коллектива школы посетили Шушу, 4/5 — Ханкенди, а 2 человека — оба города. Сколько учителей в этом коллективе?

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Пусть в коллективе x учителей. В Шушу ездили x/4, в Ханкенди — 4x/5, в оба города — 2.Почему так?

   Каждый учитель побывал хотя бы в одном городе — так понимается «весь коллектив»; значит, n(Ш ∪ Х) = x.

2. Только в Шушу: x/4 − 2, только в Ханкенди: 4x/5 − 2.
3. Сумма трёх частей — весь коллектив: (x/4 − 2) + (4x/5 − 2) + 2 = x, т. е. x/20 = 2.Почему так?

   x/4 + 4x/5 = 5x/20 + 16x/20 = 21x/20; 21x/20 − 2 = x.

4. x = 40. Проверка: в Шушу 10, в Ханкенди 32 учителя, 10 + 32 − 2 = 40.
5. Ответ: 40 учителей.

Официальное пояснение ДИМ (02.03.2025)

Пусть число учителей всего коллектива школы равно x. Тогда число учителей, посетивших только Шушу, равно ((1/4)x − 2), а только Ханкенди — ((4/5)x − 2). Тогда ((1/4)x − 2) + ((4/5)x − 2) + 2 = x ⇒ (1/20)x = 2 ⇒ x = 40.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

Пример 2

Из 40 туристов 25 знают английский, 18 — русский, 7 знают оба языка. Сколько туристов не знают ни одного из этих языков?

1. n(А ∪ Р) = 25 + 18 − 7 = 36.
2. Не знают ни одного: 40 − 36 = 4.Почему так?

   Все туристы = объединение + ни одного.

3. Ответ: 4 туриста.

Проверь себя

В классе 28 учеников: 16 играют в баскетбол, 14 — в волейбол, 5 — в обе игры. Сколько учеников не играют ни в одну?

Объединение: 16 + 14 − 5 = 25.

Глава 5

Число подмножеств

История

После уроков класс идёт в буфет. Буфетчица делает сэндвичи: в хлеб можно положить любые из четырёх добавок — сыр, помидор, огурец, оливки. Каждая добавка либо есть, либо нет; можно и простой сэндвич без добавок.

Один из учеников предлагает: «Давайте каждый день есть разный сэндвич!» Сколько дней подряд сэндвичи не будут повторяться?

Каждый сэндвич — это подмножество множества добавок.

Каждый сэндвич — подмножество множества {сыр; помидор; огурец; оливки}: пустое подмножество — простой сэндвич, само множество — сэндвич со всем. Значит, вопрос такой: сколько подмножеств у множества из 4 элементов?

Все подмножества множества из 3 элементов: пустое множество и само множество тоже считаются.Теорема

Число подмножеств множества из n элементов равно 2ⁿ. Причина: для каждого элемента два варианта — входит в подмножество или нет; для n элементов 2 · 2 · … · 2 = 2ⁿ вариантов.

n(A) = n  ⇒  число подмножеств = 2ⁿ

История

Для 4 добавок есть 2⁴ = 16 разных сэндвичей — больше двух недель каждый день новый сэндвич! Один из них без добавок, один — со всеми четырьмя.

Пример 3

Сколько подмножеств множества {1; 2; 3; 4} содержат элемент 1?

1. Элемент 1 обязательно входит — для него выбора нет.Почему так?

   Выбор «входит/не входит» остаётся только для остальных элементов.

2. Каждый из оставшихся элементов 2, 3, 4 входит или нет: 2³ = 8.
3. Ответ: 8 (половина всех 16 подмножеств).

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 12.07.2026

Для множеств A и B выполняются условия n(A) = 3, n(B) = 6 и A ∩ B ≠ ∅. Какое наибольшее число подмножеств может иметь множество A ∪ B?

A) 256B) 128C) 64D) 1024E) 512

1. Из условия A ∩ B ≠ ∅ следует n(A ∩ B) ≥ 1.Почему так?

   В непустом множестве есть хотя бы один элемент.

2. n(A ∪ B) = 3 + 6 − n(A ∩ B) ≤ 3 + 6 − 1 = 8.Почему так?

   Чем меньше пересечение, тем больше объединение.

3. В объединении не более 8 элементов, число подмножеств — не более 2⁸ = 256.
4. Ответ: 256 (вариант A).

Официальное пояснение ДИМ (12.07.2026)

Из условия A ∩ B ≠ ∅ получаем, что n(A ∩ B) ≥ 1. Учитывая это неравенство, на основании свойства о числе элементов объединения двух конечных множеств можно записать n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) ≤ 3 + 6 − 1 = 8. При n(A ∩ B) = 1 n(A ∪ B) = 8 наибольшее. Так как число возможных подмножеств множества из n элементов равно 2ⁿ, в рассматриваемом случае множество A ∪ B может иметь не более 2⁸ = 256 подмножеств.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Сколько подмножеств у множества из 5 элементов?

2⁵.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 07.06.2026

Даны множества A={7; 8; 9} и B={1; 8; 9}. Найдите множество A∩B.

A) {1; 8}B) {7; 8; 9}C) {1; 9}D) {7; 9}E) {8; 9}Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: {8; 9} (вариант E).

A∩B={8; 9}Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

ДИМ · 15.03.2026

Даны множества A={1; 2; 3; 4; 5; 6} и B={2; 4; 6; 8; 10}. Найдите A\B.

A) {8; 10}B) {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10}C) ∅D) {1; 3; 5}E) {2; 4; 6}Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: {1; 3; 5} (вариант D).

Элементы множества A\B принадлежат только A и не принадлежат B. Поэтому A \ B = {1; 3; 5}.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

ДИМ · 09.03.2025

Если для множеств A и B с непустым пересечением n(A \ B) = 6 и n(B \ A) = 4, найдите наименьшее значение n(A ∪ B).

Подсказка: n(A ∪ B) = n(A \ B) + n(A ∩ B) + n(B \ A) (глава 3).

A) 9B) 8C) 13D) 11E) 12Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 11 (вариант D).

n(A ∪ B) = … = 6 + 4 + x = 10 + xA ∩ B ≠ ∅ ⇒ x ≥ 1Тогда наименьшее значение n(A ∪ B) равно 10+1=11.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

Итоги

Запомни

• a ∈ A — элемент; n(A) — число элементов; ∅ — пустое множество.
• B ⊂ A: каждый элемент B лежит в A.
• A ∩ B — в обоих; A ∪ B — хотя бы в одном; A \ B — в A, но не в B.
• Если B ⊂ A, то A = (A \ B) ∪ B.
• n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = n(A \ B) + n(A ∩ B) + n(B \ A)
• Не входят ни в одно: n(U) − n(A ∪ B).
• У множества из n элементов 2ⁿ подмножеств (включая ∅ и само множество).

Типичные ошибки

n(A ∪ B) = n(A) + n(B)

Пересечение посчитано дважды, его нужно вычесть: 15 + 16 − 14 = 17.

A \ B = B \ A

Разность не симметрична: для шкафчиков A \ B = {1; 4; 9}, B \ A = {5; 8}.

«Объединение — это весь класс»

Не забывай тех, кто не входит ни в одно: в объединении 30 − 4 = 26 учеников, а не 30.

«У множества из 3 элементов 6 подмножеств»

Пустое множество и само множество тоже подмножества: 2³ = 8.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Если A = {2; 4; 6; 8} и B = {4; 8; 12}, то A ∪ B:

Все элементы, лежащие хотя бы в одном, каждый по одному разу.

2 · Уровень 1

Если A = {a; b; c; d} и B = {b; d; e}, то A \ B:

Лежат в A, но не в B: a и c.

3 · Уровень 2

Если n(A) = 12, n(B) = 9, n(A ∪ B) = 17, то n(A ∩ B):

12 + 9 − 17 = 4.

4 · Уровень 2

Сколько подмножеств у множества {1; 2; 3; 4; 5; 6}?

2⁶ = 64.

5 · Уровень ДИМ

Если n(A \ B) = 5, n(B \ A) = 7, n(A ∪ B) = 15, то n(A):

n(A ∩ B) = 15 − 5 − 7 = 3; n(A) = 5 + 3 = 8.

6 · Уровень ДИМ

3/5 из 50 учеников изучают английский, половина — немецкий, 6 учеников изучают оба языка. Сколько учеников не изучают ни один из этих языков?

30 + 25 − 6 = 49; 50 − 49 = 1.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 82; B-82, C-82, D-82
2. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 62; B-61, C-67, D-67
3. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 9; B-11, C-12, D-12
4. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 9; B-13, C-15, D-5
5. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 85; B-85, C-85, D-85
6. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 64; B-67, C-61, D-68
7. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 68; B-72, C-67, D-62
8. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 16; B-11, C-20, D-13
9. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 15; B-13, C-20, D-9

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.