Funksiyanın tədqiqi: artma, azalma və ekstremumlar

Törəmə funksiyanın necə dəyişdiyini göstərir: aralıqda f′(x) > 0 olarsa funksiya artır, f′(x) < 0 olarsa azalır. Törəmənin sıfır olduğu nöqtələr kritik (stasionar) nöqtələrdir.

Kritik nöqtədən keçəndə törəmə işarəsini “+”dan “−”ya dəyişirsə — bu maksimum, “−”dan “+”ya dəyişirsə — minimum nöqtəsidir. İşarə dəyişmirsə, ekstremum yoxdur (məsələn, f(x) = x³ üçün x = 0). Funksiyanı tədqiq etmək üçün: f′(x)-i tap → f′(x) = 0 həll et → işarələr cədvəlini qur.

f′ > 0 → artırf′ < 0 → azalır+ → − : max− → + : minf′(x₀) = 0kritik nöqtə — ekstremum ola biləra və b-ni dəyiş: f(x) = x³ + ax² + bx ↓div class="demo js-demo" aria-live="polite">f = x³ − 3x: x = −1 maksimum, x = 1 minimum

Yuxarıda f(x) = x³ + ax² + bx: yaşıl — artma, qırmızı — azalma aralıqları; qırmızı nöqtə — maksimum, göy — minimum. Aşağıda f′(x)-in işarələr cədvəli: “+” — artır, “−” — azalır.

a0b−3

• f′(x)
• Kritik nöqtələr (f′ = 0)
• Maksimum nöqtəsi
• Minimum nöqtəsi

Tapşırıq 1 / 3○○○

Funksiyanın heç bir ekstremumu olmasın.

Sürgüləri və düymələri tənzimlə…

Simulyasiyada nə görürsən?

sürgünün dili ilə

• f(x) = x³ − 3x: f′ = 3x² − 3, kritik nöqtələr ±1. x = −1 maksimum, x = 1 minimum.
• İşarələr cədvəlində “+ → −” keçidi maksimuma, “− → +” keçidi minimuma uyğun gəlir.
• b-ni artırıb müsbət et: kritik nöqtələr yox olur, funksiya bütün oxda artır.
• a = 0, b = 0: f(x) = x³ — kritik nöqtə x = 0 var, amma ekstremum yoxdur (işarə dəyişmir).
• a-nı dəyiş: ekstremum nöqtələri sağa-sola sürüşür, amma kub funksiyanın “dalğası” qalır.

Funksiyanı tədqiq etmə alqoritmi

addım-addım

Addım	Nə edirik	f(x) = x³ − 3x üçün
1	Törəməni tap	f′(x) = 3x² − 3
2	f′(x) = 0 tənliyini həll et	x = −1, x = 1
3	Aralıqlarda f′ işarəsini tap	(−∞; −1): +, (−1; 1): −, (1; +∞): +
4	Artma və azalma	artır: (−∞; −1] və [1; +∞), azalır: [−1; 1]
5	Ekstremumlar	xmax = −1, f = 2; xmin = 1, f = −2

Ən çox edilən səhvlər

qırmızı qələm“f′(x₀) = 0 olarsa, mütləq ekstremum var”

Bu, yalnız zəruri şərtdir. f(x) = x³ üçün f′(0) = 0, amma törəmə işarəsini dəyişmir — ekstremum yoxdur.

Maksimum nöqtəsini maksimum qiymətlə qarışdırmaq

Maksimum nöqtəsi — x-in qiymətidir (xmax), maksimum isə funksiyanın o nöqtədəki qiymətidir f(xmax).

İşarələri səhv müəyyən etmək

Hər aralıqdan bir nöqtə götürüb f′-ə qoymaq ən etibarlı üsuldur.

Həll olunmuş məsələlər

əvvəl özün həll et

Məsələ 1

f(x) = x³ − 12x funksiyasının ekstremum nöqtələrini tapın.

Həllini göstərf′(x) = 3x² − 12 = 0 → x = ±2işarələr: +, −, + → x = −2 maksimum, x = 2 minimum

Cavab: xmax = −2, xmin = 2.

Məsələ 2

f(x) = x³ + 3x funksiyasının ekstremumu varmı?

Həllini göstərf′(x) = 3x² + 3 > 0 bütün x üçünfunksiya həmişə artır — ekstremum yoxdur

Cavab: yoxdur.

v class="sect js-rl">

Real həyatda: kartondan ən böyük qutu

maksimum həcm30 × 30 sm kartonun künclərindən x × x kvadratlar kəsib qutu qatlayırıq

Ekstremum məsələləri həyatda tez-tez rast gəlinir: materialı ən az sərf edən qab, ən böyük sahəli hasar, ən qısa yol, ən çox gəlir gətirən qiymət. Hamısında eyni üsul işləyir: kəmiyyəti funksiya kimi yaz, törəməni sıfra bərabərləşdir, işarəni yoxla.

Özünü yoxla: 5 sınaq testi

5 sual

1Aralıqda f′(x) > 0-dırsa, funksiya necədir?

2Törəmə x₀ nöqtəsində işarəsini “+”dan “−”ya dəyişir. x₀ nədir?

3f(x) = x³ − 3x funksiyasının minimum nöqtəsi hansıdır?

4f(x) = x³ funksiyası üçün x = 0 nəyi göstərir?

5Açıq tipli: f(x) = x³ − 12x funksiyasının maksimum nöqtəsi x-in hansı qiymətidir? Cavabı rəqəmlə yaz.

Mənbə

DİM 2026 qəbul imtahanı proqramı: Riyaziyyat → Törəmə: törəmənin tətbiqi, funksiyanın artma və azalma aralıqları, ekstremum nöqtələri.

ction>