Самоиндукция. Энергия магнитного поля

Электромагнитная индукция · Тема 21 / 27

Самоиндукция. Энергия магнитного поля

Этот урок пройдём вместе с учеником, который летом проходит практику в автоэлектрической мастерской. Мастер показывает ему «запаздывающую» лампу, неоновую лампу, вспыхивающую от батареи 12 В, и катушку зажигания автомобиля. В каждом явлении увидим, как катушка препятствует изменению собственного тока и запасает энергию в магнитном поле, а затем решим задания ГЭЦ.

≈ 45 минутГлав: 4Заданий ГЭЦ: 4материал 11 класса

После урока ты сможешь

• объяснять явление самоиндукции и определять направление εsi по правилу Ленца;
• находить индуктивность по формуле L = Φ/I и знать, от чего она зависит;
• вычислять ЭДС самоиндукции по формуле εsi = −LΔI/Δt;
• вычислять энергию магнитного поля по формуле W = LI²/2 = ΦI/2 и узнавать выражения.

Перед началом вспомни

• Магнитный поток Φ = BS cos α и закон Фарадея ε = −ΔΦ/Δt (предыдущий урок).
• Правило Ленца.
• Закон Ома: I = U/R; параллельное соединение.
• Кинетическая энергия E = mυ²/2.

Содержание

1. ВведениеСитуация: запаздывающая лампаистория и предположение
2. Глава 1Явление самоиндукцииправило Ленца, электрическая «инерция»
3. Глава 2Индуктивность. ЭДС самоиндукцииL = Φ/I, ε = −LΔI/Δt · лаборатория
4. Глава 3Энергия магнитного поляW = LI²/2 = ΦI/2 · ГЭЦ 2025, 2026
5. Глава 4Превращение энергии и узнавание формулQ = W, 2W/I² = L, 2W/Φ = I · ГЭЦ 2025, 2026
6. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
7. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: запаздывающая лампа

История

Летом ученик 11 класса проходит практику в автоэлектрической мастерской. В первый день мастер зовёт его к верстаку. На панели — батарея 12 В, ключ и две одинаковые лампы. Лампа 1 соединена последовательно с большой катушкой с железным сердечником, лампа 2 — с реостатом; сопротивление реостата равно сопротивлению катушки.

Мастер замыкает ключ: лампа 2 загорается сразу, а лампа 1 чуть запаздывает и разгорается постепенно. При размыкании обе лампы гаснут не мгновенно, а на миг «дотлевают». Ученик удивлён: сопротивления ветвей одинаковы, напряжение одно и то же — почему же лампа 1 запаздывает?

Следи за лампами при замыкании ключа: какая загорается сразу, какая — с запаздыванием?Сначала предположи

Мастер вынимает из катушки железный сердечник и повторяет опыт. Как ты думаешь, как изменится запаздывание лампы 1? Проверим во 2-й главе.

Глава 1

Явление самоиндукции

Из прошлого урока ты знаешь: когда магнитный поток через катушку меняется, в ней возникает ЭДС индукции. Но поток не обязательно создаётся внешним магнитом. Собственный ток катушки тоже создаёт магнитное поле, и поток этого поля пронизывает её же витки. При замыкании ключа ток в ветви 1 начинает расти от нуля — вместе с ним растёт собственный поток катушки, и в этой же катушке возникает ЭДС индукции.

Определение

Возникновение ЭДС индукции в проводнике (катушке) вследствие изменения силы тока в этом же проводнике называют самоиндукцией. Эта ЭДС называется ЭДС самоиндукции (εsi).

По правилу Ленца индукционный ток препятствует вызвавшему его изменению. Здесь меняется собственный ток катушки. Значит:

Правило Ленца для самоиндукции

Когда ток растёт, εsi направлена против ЭДС источника и замедляет рост. Когда ток убывает, εsi направлена так же, как ток, и стремится его поддержать. Если ток постоянен, εsi = 0.

Анимация · замыкаем и размыкаем ключАнимация замедлена в 50 раз. При замыкании I₂ сразу равен 0,4 А, а I₁ растёт постепенно; в это время εsi отрицательна — направлена против батареи. При размыкании катушка поддерживает ток: он течёт по замкнутому контуру через обе лампы (в лампе 2 направление меняется) и постепенно затухает; в момент размыкания εsi ≈ 24 В — больше напряжения батареи.

Самоиндукцию можно сравнить с инерцией в механике: масса «сопротивляется» мгновенному изменению скорости тела, а катушка — мгновенному изменению тока. Поэтому в цепи с катушкой ток не может ни мгновенно появиться, ни мгновенно исчезнуть.

История

Вернёмся к панели в мастерской. В момент замыкания на пути тока в ветви 2 только реостат, и ток устанавливается сразу. В ветви 1 рост тока создаёт в катушке ЭДС самоиндукции; она направлена против батареи и замедляет рост — лампа запаздывает. Когда ток установится, εsi = 0, катушка работает как обычный проводник, и лампы светят одинаково.

Пример 1

В цепи из анимации ЭДС батареи 12 В (внутренним сопротивлением пренебречь), сопротивление каждой лампы 24 Ом, сопротивление катушки и реостата — 6 Ом. Какова сила тока в ветви 1 спустя долгое время после замыкания?

1. «Спустя долгое время» ток постоянен: ΔI/Δt = 0, значит εsi = 0.Почему так?

   Самоиндукция проявляется только при изменении тока; при постоянном токе катушка — обычное сопротивление.

2. Сопротивление ветви: R₁ = 24 + 6 = 30 Ом.
3. I₁ = ε/R₁ = 12/30 = 0,4 А.Почему так?

   Ветви параллельны, на каждую приходится полное напряжение батареи.

4. Ответ: 0,4 А — как и в ветви 2.

Проверь себя

В той же цепи в момент размыкания через катушку ещё течёт ток 0,4 А. Он течёт по замкнутому контуру из обеих ветвей (24 + 6 + 24 + 6 Ом). Найдите модуль ЭДС самоиндукции (В) в момент размыкания.

Других источников в контуре нет: ε = I·R, R = 60 Ом.

Глава 2

Индуктивность. ЭДС самоиндукции

История

На следующий день мастер собирает новую цепь: катушка с железным сердечником, намотанная тонким проводом (сопротивление 30 Ом), через ключ подключена к батарее 12 В, а параллельно катушке включена маленькая неоновая лампа. Неоновая лампа загорается, только если напряжение больше 80 В.

Пока ключ замкнут, неон не горит — 12 В для него мало. Но в момент размыкания неон ярко вспыхивает оранжевым, а между контактами проскакивает искра. Мастер говорит: индуктивность катушки 0,5 Гн, ток 0,4 А, ключ разрывает ток примерно за 2 мс. Как от батареи 12 В получается напряжение больше 80 В?

Следи за неоном и контактами в момент размыкания.

Индукция магнитного поля, созданного собственным током катушки, пропорциональна току. Поэтому и собственный магнитный поток через катушку пропорционален току. Коэффициент пропорциональности — главная характеристика катушки.

Определение

Отношение собственного магнитного потока через контур к силе тока называют индуктивностью контура: L = Φ/I. Единица индуктивности в СИ — генри: 1 Гн = 1 Вб/А. Индуктивность 1 Гн имеет контур, в котором при токе 1 А возникает собственный поток 1 Вб.

Теперь применим закон Фарадея к собственному потоку: ε = −ΔΦ/Δt. Если L постоянна, ΔΦ = L·ΔI. Отсюда:

ЭДС самоиндукции

ЭДС самоиндукции равна произведению индуктивности катушки на скорость изменения силы тока; знак «−» выражает правило Ленца. Отсюда 1 Гн = 1 В·с/А = 1 Ом·с.

εsi = −L·ΔI/Δt

Анимация · от графика тока к графику ЭДСКогда ток растёт (ΔI/Δt = 2 А/с), εsi = −1 В, когда постоянен — 0, когда вдвое быстрее убывает (−4 А/с) — +2 В. ЭДС зависит не от самого тока, а от скорости его изменения: на 2–4 с ток наибольший, но εsi = 0.История

Секрет неона: ключ разрывает ток 0,4 А за очень короткое время — около Δt = 0,002 с. Тогда |εsi| = L·|ΔI|/Δt = 0,5 · 0,4 / 0,002 = 100 В. Это напряжение возникает на концах катушки, а значит, и на подключённом параллельно ей неоне: 100 В > 80 В, неон вспыхивает. Батарея даёт 12 В, но катушка «отвечает» на быстрое изменение тока большой ЭДС. Искра между контактами — работа этого же напряжения.

Пример 2

Ток в катушке за 0,1 с равномерно возрастает от 2 А до 6 А, при этом в катушке возникает ЭДС самоиндукции 8 В. Найдите индуктивность катушки и её собственный магнитный поток при токе 6 А.

1. Скорость изменения тока: ΔI/Δt = (6 − 2)/0,1 = 40 А/с.
2. L = |εsi|/(ΔI/Δt) = 8/40 = 0,2 Гн.Почему так?

   Работаем с модулями; знак «−» показывает лишь направление.

3. Φ = L·I = 0,2 · 6 = 1,2 Вб.
4. Ответ: L = 0,2 Гн; Φ = 1,2 Вб.

От чего зависит индуктивность? Для длинной катушки (соленоида) L = μμ₀N²S/l, где N — число витков, S — площадь сечения, l — длина катушки, μ — магнитная проницаемость сердечника. Значит, L зависит только от устройства катушки: при увеличении числа витков в 2 раза L растёт в 4 раза; железный сердечник увеличивает L в сотни раз. От тока и напряжения L не зависит (формула L = Φ/I позволяет вычислить L, но не «определяет» её).

Индуктивность определяет и то, как быстро устанавливается ток. В лаборатории меняй L и R: ток достигает примерно 63% наибольшего значения за время τ = L/R. Чем больше L, тем дольше «запаздывание».

Лаборатория · ток в цепи с катушкойАнимация · меняй L и Rиндуктивность L, Гн0.5сопротивление цепи R, Ом30τ = L/R = 16,7 мс; Imax = ε/R = 0,4 А; Wmax = LImax²/2 = 0,04 Дж. Увеличь L в 2 раза — ток установится вдвое медленнее, а Imax не изменится.Модель замедлена в 40 раз: 100 мс ключ замкнут, затем он отключает катушку от батареи и замыкает её на лампу. Пунктир — касательная в начале: она достигает уровня Imax ровно в момент τ.История

Мастер вынимает железный сердечник и повторяет опыт. Индуктивность катушки без сердечника во много раз меньше (μ ≈ 1), значит, и τ = L/R во много раз меньше: лампа 1 загорается почти одновременно с лампой 2. Запаздывание уменьшается.

Проверь себя

В катушке индуктивностью 0,2 Гн ток за 0,05 с равномерно убывает от 3 А до нуля. Найдите модуль ЭДС самоиндукции (В).

|ε| = L·|ΔI|/Δt.

Глава 3

Энергия магнитного поля

История

В конце недели в мастерскую пригоняют автомобиль, который плохо заводится. Чтобы проверить новую катушку зажигания, мастер подключает её на верстаке к аккумулятору и к контрольной свече. Индуктивность первичной обмотки катушки 4 мГн, ток в ней 5 А. В момент, когда электронный ключ разрывает ток, между электродами свечи проскакивает голубая искра.

Мастер объясняет: энергию искры аккумулятор не отдаёт напрямую — сначала она накапливается в магнитном поле катушки, а при разрыве тока переходит в искру. Какая наибольшая энергия может прийтись на одну искру?

Ток нарастает и прерывается — на свече проскакивает искра.

Когда ток растёт, в катушке возникает εsi, направленная против батареи. Чтобы увеличить ток, источник должен совершать работу против этой ЭДС. Эта работа не пропадает: она запасается в магнитном поле катушки в виде энергии. При размыкании эта энергия возвращается — зажигает лампу, создаёт искру.

Вычислим работу. За малое время Δt источник совершает работу ΔA = |εsi|·I·Δt. Учитывая, что |εsi|·Δt = L·ΔI, получаем ΔA = L·I·ΔI = Φ·ΔI. Это площадь узкой полоски шириной ΔI и высотой Φ под графиком Φ(I). Сложив все полоски, получим, что работа равна площади треугольника под прямой Φ = LI:

Анимация · энергия — площадь под графиком Φ(I)При росте тока от 0 до 5 А площадь треугольника и столбик энергии растут: W = ΦI/2. При разрыве тока запасённая энергия переходит в искру на свече.Энергия магнитного поля

Энергия магнитного поля катушки индуктивностью L, по которой течёт ток I:

W = LI²/2 = ΦI/2 = Φ²/(2L)

Аналогия с механикой завершается: кинетическая энергия равна mυ²/2, энергия магнитного поля — LI²/2. Индуктивность играет роль «массы», сила тока — «скорости». При увеличении тока в 2 раза энергия растёт в 4 раза.

История

Ответ для катушки зажигания: W = LI²/2 = 0,004 · 5² / 2 = 0,05 Дж. При разрыве тока эта энергия через вторичную обмотку передаётся на свечу и превращается в искру (часть уходит в теплоту в проводах) — на одну искру приходится не более 0,05 Дж. Кажется, что это мало, но вся энергия выделяется примерно за тысячную долю секунды, поэтому искры хватает, чтобы воспламенить топливно-воздушную смесь.

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 13.07.2025

Сила тока в катушке 5 А, энергия её магнитного поля 50 Дж. Вычислите индуктивность катушки.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 8 ГнB) 2 ГнC) 4 ГнD) 5 ГнE) 10 Гн

1. Формула энергии: W = LI²/2.Почему так?

   Энергия магнитного поля катушки пропорциональна индуктивности и квадрату тока.

2. Выразим L: L = 2W/I².Почему так?

   Умножаем обе части на 2 и делим на I².

3. L = 2 · 50 / 5² = 100/25 = 4 Гн.
4. Ответ: 4 Гн (вариант C).

Это же задание было и на экзамене 13.07.2025, IV группа специальностей (A72).

Официальное пояснение ГЭЦ (13.07.2025)

Энергия магнитного поля выражается формулой W = LI²/2.Отсюда L = 2W/I² = 2·50 Дж/25 А² = 4 ГнИсточник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 12.07.2026

Сила тока в катушке 1,5 А, а магнитный поток через неё 20 Вб. Вычислите энергию магнитного поля катушки.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 10 ДжB) 30 ДжC) 5 ДжD) 15 ДжE) 20 Дж

1. Даны поток и ток, L не дана. Подставим L = Φ/I в формулу W = LI²/2: W = (Φ/I)·I²/2 = ΦI/2.Почему так?

   Выбирай форму записи энергии через данные величины: (L, I), (Φ, I) или (Φ, L).

2. W = 20 · 1,5 / 2 = 15 Дж.
3. Проверка: L = 20/1,5 ≈ 13,3 Гн, W = 13,3 · 1,5²/2 ≈ 15 Дж.Почему так?

   Тот же результат — формулы эквивалентны.

4. Ответ: 15 Дж (вариант D).

Это же задание было и на экзамене 12.07.2026, IV группа специальностей (A65).

Официальное пояснение ГЭЦ (12.07.2026)

По формуле энергии магнитного поля катушки с током W = ΦI/2 = (20 Вб · 1,5 А)/2 = 15 Дж.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

По катушке индуктивностью 0,6 Гн течёт ток 2 А. Найдите энергию её магнитного поля (Дж).

W = LI²/2.

Глава 4

Превращение энергии и узнавание формул

Куда уходит запасённая энергия? Отключим катушку из 1-й главы (L = 0,5 Гн, I = 0,4 А) от батареи и замкнём на лампу. Ток постепенно убывает, лампа на миг светится. На сколько убывает энергия катушки, столько же теплоты выделяется в лампе — закон сохранения энергии.

Анимация · магнитная энергия превращается в теплотуАнимация замедлена в 50 раз. При убывании тока столбик Wмаг = LI²/2 опускается, а столбик Q поднимается; их сумма всегда 0,04 Дж.Пример 3

По катушке индуктивностью 0,5 Гн течёт ток 0,4 А. Катушку отключают от источника и замыкают на лампу. Какое количество теплоты выделится в лампе до полного прекращения тока? Сопротивлением катушки пренебречь.

1. Вся теплота выделяется за счёт энергии магнитного поля катушки: Q = W.Почему так?

   Других источников в контуре нет; энергия переходит только из поля в лампу.

2. W = LI²/2 = 0,5 · 0,4² / 2 = 0,04 Дж.
3. Ответ: 0,04 Дж.

На экзамене часто спрашивают: «какая величина определяется этим выражением?» В таких вопросах достаточно подставить формулу энергии в подходящей форме. Помни три формы: W = LI²/2 = ΦI/2 = Φ²/(2L). Из них следует:

Выражения, получаемые из энергии

2W/I² → L;   2W/Φ → I;   2W/I → Φ;   Φ²/(2W) → L;   √(2W/L) → I.

Плотность энергии магнитного поля — это энергия в единице объёма: w = W/V = B²/(2μ₀μ) (Дж/м³) — не путай её с этими выражениями.

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 07.06.2026

Какая физическая величина определяется выражением 2W/I² (I — сила тока, W — энергия магнитного поля катушки)?

Рисунок меняется вместе с шагами.A) магнитный потокB) сопротивление проводникаC) индуктивность катушкиD) плотность энергии магнитного поляE) индукция магнитного поля

1. Подставим W = LI²/2 в выражение: 2W/I² = 2·(LI²/2)/I².Почему так?

   В выражении есть I² — значит, энергию нужно записать через L и I.

2. 2 и I² сокращаются: 2W/I² = L.
3. Это индуктивность катушки (C).
4. Ответ: индуктивность катушки (вариант C).

Это же задание было и на экзамене 07.06.2026, IV группа специальностей (A68).

Официальное пояснение ГЭЦ (07.06.2026)

Чтобы выяснить, какой физической величиной определяется выражение 2W/I², подставим в это выражение формулуW = LI²/2.Тогда2W/I² = (2·LI²/2)/I² = L.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 01.06.2025

Какая физическая величина определяется выражением 2W/Φ (Φ — магнитный поток, W — энергия магнитного поля)?

Рисунок меняется вместе с шагами.A) индукция магнитного поляB) сила токаC) индуктивностьD) плотность энергии магнитного поляE) площадь контура

1. В выражении есть Φ — запишем энергию через поток и ток: W = ΦI/2.Почему так?

   Из W = LI²/2 и Φ = LI: W = (LI)·I/2 = ΦI/2.

2. 2W/Φ = 2·(ΦI/2)/Φ = I.
3. Это сила тока (B).
4. Ответ: сила тока (вариант B).

Официальное пояснение ГЭЦ (01.06.2025)

2W/Φ = (2 · ΦI/2)/Φ = I.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Энергия магнитного поля катушки 2 Дж, магнитный поток через неё 4 Вб. Найдите силу тока (А) в катушке.

I = 2W/Φ.

Итоги

Запомни

• Самоиндукция — возникновение ЭДС в катушке при изменении её собственного тока.
• При росте тока εsi направлена против него, при убывании — так же, как ток; ток не появляется и не исчезает мгновенно.
• Индуктивность: L = Φ/I; единица 1 Гн = 1 Вб/А = 1 Ом·с.
• εsi = −L·ΔI/Δt — ЭДС зависит не от самого тока, а от скорости его изменения.
• L зависит только от устройства катушки: L = μμ₀N²S/l; железный сердечник сильно увеличивает L.
• Энергия магнитного поля: W = LI²/2 = ΦI/2 = Φ²/(2L).
• Выражения: 2W/I² = L, 2W/Φ = I.

Типичные ошибки

Если по катушке течёт большой постоянный ток, ЭДС самоиндукции тоже большая

εsi зависит от скорости изменения тока. При постоянном токе ΔI = 0 и εsi = 0.

Раз L = Φ/I, при росте тока индуктивность уменьшается

При росте тока Φ растёт во столько же раз, отношение не меняется. L зависит от устройства катушки (N, S, l, сердечник).

При увеличении тока в 2 раза энергия магнитного поля тоже растёт в 2 раза

W = LI²/2 — энергия пропорциональна квадрату тока: растёт в 4 раза.

При размыкании напряжение в цепи не может превысить напряжение батареи

При очень быстром разрыве тока εsi = LΔI/Δt может достигать сотен вольт — вспыхивает неон, между контактами проскакивает искра.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Какова единица индуктивности в СИ?

1 Гн = 1 Вб/А; вебер — единица потока, тесла — индукции, фарад — ёмкости.

2 · Уровень 1

Когда в катушке возникает ЭДС самоиндукции?

Самоиндукция — возникновение ЭДС из-за изменения собственного тока.

3 · Уровень 2

В катушке индуктивностью 0,3 Гн ток за 0,1 с равномерно изменяется на 2 А. Модуль ЭДС самоиндукции:

|ε| = LΔI/Δt = 0,3 · 2 / 0,1 = 6 В.

4 · Уровень 2

Силу тока в катушке увеличили в 2 раза. Как изменится энергия её магнитного поля?

W = LI²/2: I² растёт в 4 раза.

5 · Уровень ГЭЦ

При токе 2 А магнитный поток через катушку 0,6 Вб. Энергия магнитного поля катушки:

W = ΦI/2 = 0,6 · 2 / 2 = 0,6 Дж.

6 · Уровень ГЭЦ

Энергия магнитного поля катушки индуктивностью 2 Гн равна 9 Дж. Сила тока в катушке:

I = √(2W/L) = √(2 · 9 / 2) = 3 А.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ГЭЦ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 43; B-50, C-32, D-50
2. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 52; B-36, C-40, D-35
3. 13.07.2025, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 72; B-68, C-69, D-70
4. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 51; B-50, C-50, D-35
5. 07.06.2026, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 68; B-61, C-67, D-78
6. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 50; B-45, C-40, D-43
7. 12.07.2026, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 65; B-82, C-79, D-70

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ГЭЦ. Задания и пояснения ГЭЦ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.