Молекулярно-кинетическая теория. Законы идеального газа

Молекулярная физика · Тема 10 / 27

Молекулярно-кинетическая теория. Законы идеального газа

Этот урок пройдём вместе с учеником и его велопоездкой: вечером он накачивает шину в гараже, в полдень на горном плато поздно чувствует запах мангала, а вечером в долине видит, что закрытая бутылка смята. За каждым явлением стоит движение молекул — увидим его в анимациях, выведем газовые законы и решим задания ГЭЦ.

≈ 50 минутГлав: 5Заданий ГЭЦ: 6материал 10 класса

После урока ты сможешь

• объяснять основные положения МКТ и их доказательства (броуновское движение, диффузия);
• вычислять количество вещества, число, массу и концентрацию молекул;
• применять основное уравнение МКТ, формулы Ē = 1,5kT и p = nkT;
• решать задачи с уравнением Менделеева–Клапейрона и pV/T = const;
• узнавать и строить изопроцессы на диаграммах p–V, p–T, V–T и n–T.

Перед началом вспомни

• Масса, объём, плотность; 1 л = 10⁻³ м³, 1 кПа = 10³ Па.
• Давление: p = F/S; импульс mυ и II закон Ньютона F = Δp/Δt.
• Кинетическая энергия: E = mυ²/2.
• Прямая и обратная пропорциональность и их графики (прямая и гипербола).

Содержание

1. ВведениеСитуация: шину накачивают вечеромистория и предположение
2. Глава 1Основные положения МКТброуновское движение, диффузия
3. Глава 2Количество вещества, молярная масса, концентрацияν = m/M = N/NA, n = N/V
4. Глава 3Давление и температура идеального газаp = ⅓m₀nυ², Ē = 1,5kT, лаборатория
5. Глава 4Уравнение Менделеева–КлапейронаpV = νRT, pV/T = const · ГЭЦ 2025, 2026
6. Глава 5Изопроцессы и их графикиБойль–Мариотт, Гей-Люссак, Шарль · ГЭЦ 2025, 2026
7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ГЭЦ: 2, с ответом и официальным пояснением
8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: шину накачивают вечером

История

Вечер, тёплый гараж. Завтра ученик 10 класса с друзьями едет на велосипедах на горное плато. Он накачивает заднюю шину напольным насосом: при каждом нажатии воздух из цилиндра насоса вталкивается в шину, а стрелка манометра шаг за шагом поднимается.

Как невидимый воздух «давит» на стенки шины? Ученик доводит давление воздуха в шине до 300 кПа (абсолютное давление); в гараже 27 °C. Велосипед проведёт ночь во дворе, а утром ожидается мороз — −3 °C. Каким будет давление в шине утром?

При каждом нажатии в шину добавляется порция воздуха, и давление растёт на 20 кПа.Сначала предположи

Как ты думаешь, каким будет давление в шине утром на морозе (−3 °C)? Объём шины считай постоянным. Ответ рассчитаем в 5-й главе.

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно «заглянуть» внутрь газа: из чего состоит воздух, как движутся его частицы, что такое давление и температура. В этом уроке мы шаг за шагом построим молекулярно-кинетическую теорию (МКТ) и выведем из неё газовые законы.

Глава 1

Основные положения МКТ

Воздух в шине кажется сплошным, «текучим» веществом. Но ещё два века назад учёные пришли к выводу, что любое вещество состоит из очень маленьких частиц — молекул и атомов. Теорию, построенную на этой идее, называют молекулярно-кинетической теорией (МКТ).

Три основных положения МКТ

1) Все вещества состоят из частиц — молекул и атомов; между ними есть промежутки. 2) Частицы непрерывно и хаотически (беспорядочно) движутся; это движение называют тепловым. 3) Частицы взаимодействуют друг с другом: на малых расстояниях отталкиваются, на чуть больших — притягиваются.

Размер молекул около 10⁻¹⁰ м, поэтому их не видно даже в самый сильный оптический микроскоп. Откуда же мы знаем, что они движутся? В 1827 году ботаник Р. Броун, наблюдая в микроскоп пыльцу, взвешенную в воде, увидел, что частицы непрерывно и беспорядочно «пляшут». Дело не в том, что пыльца живая: её со всех сторон бьют молекулы воды, а удары никогда точно не уравновешены.

Анимация · броуновское движениеРазмеры не в масштабе: настоящая частица в тысячи раз больше молекулы. След частицы — ломаная беспорядочная линия: в каждый момент равнодействующая ударов молекул меняет направление.Броуновское движение

Беспорядочное движение мелких твёрдых частиц, взвешенных в жидкости или газе, — броуновское движение. Оно прямо доказывает хаотическое движение молекул. С ростом температуры броуновское движение усиливается.

Второе доказательство — диффузия: самопроизвольное проникновение частиц одного вещества между частицами другого. Утром сахар в чае или открытые в комнате духи постепенно распространяются по всему объёму, даже если никто не перемешивает. В модели ниже убирают перегородку между двумя газами.

Анимация · диффузия двух газовНикакая сила газы не перемешивает — достаточно хаотического движения молекул. Через некоторое время доля синего газа в правой половине становится около 50 % и такой остаётся. В газах диффузия идёт быстро, в жидкостях медленно, в твёрдых телах очень медленно; с ростом температуры она ускоряется.

Третье положение — взаимодействие — объясняет агрегатные состояния. В твёрдом теле молекулы очень близко, притяжение удерживает их на местах: тело сохраняет форму и объём. В жидкости молекулы тоже близко, но могут меняться местами: жидкость течёт, но сохраняет объём. В газе расстояния между молекулами в десятки раз больше их размеров, взаимодействия почти нет: газ заполняет весь сосуд и легко сжимается. Именно поэтому насосом в шину можно снова и снова «вместить» воздух.

Пример 1

Диаметр молекулы около 3·10⁻¹⁰ м. Сколько молекул поместится в один ряд длиной 1 мм?

1. Приводим единицы: 1 мм = 10⁻³ м.
2. Число = длина / диаметр: N = 10⁻³ / (3·10⁻¹⁰) ≈ 3,3·10⁶.Почему так?

   Молекулы выложены вплотную, каждая занимает отрезок, равный диаметру.

3. Ответ: около 3,3·10⁶ — больше 3 миллионов молекул.

Проверь себя

Диаметр молекулы 2·10⁻¹⁰ м. Сколько миллионов молекул поместится в ряд длиной 1 мм?

Разделите 10⁻³ м на 2·10⁻¹⁰ м и переведите в миллионы (10⁶).

Глава 2

Количество вещества, молярная масса, концентрация

Сколько молекул в стакане воды? Число настолько велико, что считать молекулы по одной бессмысленно. Поэтому в химии и физике молекулы считают «порциями». Одна порция — моль — столько частиц, сколько атомов в 12 г углерода.

Моль и молярная масса

Число частиц в одном моле — постоянная Авогадро: NA = 6,02·10²³ моль⁻¹. Количество вещества ν — отношение числа молекул в веществе к постоянной Авогадро (единица — моль). Масса одного моля вещества — молярная масса: M = Mr·10⁻³ кг/моль, где Mr — относительная молекулярная масса (из таблицы Менделеева).

ν = N/NA = m/M,   m₀ = M/NA

Здесь m — масса вещества, m₀ — масса одной молекулы. Например, для воды (H₂O) Mr = 2·1 + 16 = 18, значит M = 0,018 кг/моль; для воздуха (в основном смесь N₂ и O₂) среднее значение M ≈ 0,029 кг/моль, для азота 0,028 кг/моль.

Пример 2

В стакане 180 г воды. Сколько здесь молей воды и сколько молекул? Найдите массу одной молекулы воды.

1. Количество вещества: ν = m/M = 0,18 / 0,018 = 10 моль.Почему так?

   Массу берём в килограммах (0,18 кг), молярную массу — в кг/моль: единицы должны быть в одной системе.

2. Число молекул: N = ν·NA = 10 · 6,02·10²³ = 6,02·10²⁴.
3. Масса одной молекулы: m₀ = M/NA = 0,018 / 6,02·10²³ ≈ 3·10⁻²⁶ кг.Почему так?

   Один моль состоит из NA молекул и имеет массу M; деление даёт долю одной молекулы.

4. Ответ: 10 моль; 6,02·10²⁴ молекул; m₀ ≈ 3·10⁻²⁶ кг.

Для свойств газа важно не общее число молекул, а то, насколько «тесно» они расположены. Число молекул в единице объёма называют концентрацией: n = N/V (единица — м⁻³). При накачивании число молекул в шине растёт, а её объём почти не меняется — концентрация растёт. В анимации наоборот: число молекул постоянно, поршень меняет объём.

Анимация · N постоянно, V меняетсяКогда объём уменьшается в 2 раза, концентрация растёт в 2 раза: в кубике-образце в среднем вдвое больше молекул. Концентрация газа постоянной массы зависит только от объёма.Проверь себя

Сколько молей вещества в 64 г кислорода (O₂, M = 0,032 кг/моль)?

ν = m/M; 64 г = 0,064 кг.

Глава 3

Давление и температура идеального газа

История

В полдень ученик с друзьями добрались до плато. Здесь прохладно — 7 °C. Вдали, в 20 м, кто-то разжёг мангал, но запах шашлыка доходит до ученика заметно позже.

Друг говорит: «На холоде молекулы воздуха движутся медленно, поэтому запах доходит поздно». Так ли это? С какой скоростью движутся молекулы азота (N₂), из которых в основном состоит воздух, при 7 °C, и почему запах приходит не сразу?

Дым поднимается и расплывается; в круге — зигзагообразный путь молекулы из-за столкновений.

Молекулы газа, ударяясь о стенку, оказывают на неё давление. Чтобы упростить расчёт, используют модель идеального газа: размерами молекул пренебрегают по сравнению с расстояниями между ними, а взаимодействуют молекулы только при столкновениях (упругих). При обычных условиях воздух очень близок к идеальному газу.

Анимация · одна молекула и стенкаПри упругом ударе модуль скорости не меняется, а направление меняется на противоположное: импульс молекулы меняется на 2m₀υ, стенка получает такой же импульс. Удары повторяются через время 2L/υ.

Средняя сила, с которой одна молекула действует на стенку, F = 2m₀υ / (2L/υ) = m₀υ²/L. Молекулы равноправно движутся по трём направлениям, поэтому в среднем лишь 1/3 их движения «направлена» на эту стенку. Сложив силы всех молекул и разделив на площадь стенки, получаем основное уравнение МКТ:

Основное уравнение МКТ

Давление идеального газа пропорционально концентрации молекул, массе одной молекулы и среднему квадрату скорости. Ē = m₀υ²/2 — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

p = ⅓·m₀nυ² = ⅔·n·Ē

Теперь температура. Опыт показывает, что у всех газов в тепловом равновесии средняя кинетическая энергия молекул одинакова — она и есть мера температуры. Поэтому в физике используют абсолютную температуру (шкала Кельвина): T = t + 273. T = 0 К (−273 °C) — абсолютный ноль: кинетическая энергия теплового движения минимальна, ниже температуры быть не может.

Температура и энергия молекул

Здесь k = 1,38·10⁻²³ Дж/К — постоянная Больцмана, R = kNA = 8,31 Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная. Подставив в основное уравнение, получаем p = nkT: давление зависит от концентрации и температуры, а не от рода газа.

Ē = (3/2)·kT,   p = nkT,   υкв = √(3kT/m₀) = √(3RT/M)

В лаборатории меняй температуру и объём 0,1 моль воздуха в сосуде. Следи за скоростью молекул, частотой ударов о стенки и давлением.

Лаборатория · температура, объём и давлениеАнимация · газ в сосуде с поршнемтемпература T300 Кобъём V2 лУвеличь T в 4 раза (150 К → 600 К): давление вырастет в 4 раза, а скорость молекул — только в 2 раза. Уменьши V в 2 раза: скорость не меняется, но удары учащаются, и давление растёт в 2 раза.Пример 3

Какова концентрация молекул воздуха при нормальных условиях (0 °C, 100 кПа)?

1. Абсолютная температура: T = 0 + 273 = 273 К.
2. Из p = nkT: n = p/(kT) = 10⁵ / (1,38·10⁻²³ · 273) ≈ 2,7·10²⁵ м⁻³.Почему так?

   В формулу подставляют только абсолютную температуру (К); давление — в Па.

3. Ответ: n ≈ 2,7·10²⁵ м⁻³ — 2,7·10¹⁹ молекул в каждом кубическом сантиметре.

История

Вернёмся на плато. Для азота M = 0,028 кг/моль, T = 7 + 273 = 280 К: υкв = √(3RT/M) = √(3 · 8,31 · 280 / 0,028) ≈ 500 м/с. Это больше скорости звука! Если бы молекула летела прямо, 20 м она пролетела бы за 0,04 с.

Значит, друг ошибается: молекулы и на холоде очень быстрые. Но молекула запаха каждую секунду миллиарды раз сталкивается с молекулами воздуха и меняет направление — её путь зигзагообразный, как в круге. Только за счёт диффузии запах шёл бы 20 м месяцами; в основном его приносят слабый ветер и потоки воздуха.

Проверь себя

Найдите среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы газа при 27 °C. Ответ запишите в единицах 10⁻²¹ Дж.

Ē = 1,5·k·T, T = 300 К.

Проверь себя

Абсолютная температура газа увеличилась в 4 раза. Во сколько раз увеличилась средняя квадратичная скорость молекул?

υкв ∝ √T.

Глава 4

Уравнение Менделеева–Клапейрона

История

Под вечер — обратный путь. На плато (примерно на высоте 2 км) ученик плотно закрутил крышку пустой пластиковой бутылки. Объём воздуха в ней 1,4 л, давление 80 кПа, температура 7 °C. Друзья спускаются по серпантину в долину.

В долине у дома теплее — 27 °C, а давление 100 кПа. Достав бутылку из рюкзака, ученик видит, что она смята. Каков теперь объём воздуха в бутылке?

Давление, температура и объём воздуха в бутылке во время спуска.

В уравнение p = nkT подставим n = N/V и N = νNA: pV = νNAkT = νRT. Это уравнение состояния идеального газа — оно связывает три макроскопических параметра газа (p, V, T).

Уравнение Менделеева–Клапейрона

Уравнение состояния для идеального газа произвольной массы. Если масса постоянна (газ не выходит из сосуда), при переходе из одного состояния в другое отношение pV/T не меняется — это объединённый газовый закон (уравнение Клапейрона).

pV = (m/M)·RT,   p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂

Пример 4

Размеры комнаты 5 м × 4 м × 3 м, давление воздуха 100 кПа, температура 27 °C. Найдите массу воздуха в комнате (M = 0,029 кг/моль).

1. Объём: V = 5·4·3 = 60 м³; температура: T = 300 К.
2. Из уравнения состояния: m = pVM/(RT) = 10⁵ · 60 · 0,029 / (8,31 · 300) ≈ 70 кг.Почему так?

   Все величины в СИ: Па, м³, кг/моль, К — тогда масса получается в кг.

3. Ответ: около 70 кг — как масса взрослого человека.

История

Вопрос о бутылке. Масса воздуха не меняется, поэтому объединённый газовый закон: V₂ = V₁·(p₁/p₂)·(T₂/T₁) = 1,4 · (80/100) · (300/280) = 1,2 л. Рост давления уменьшает объём, нагрев немного увеличивает; в итоге воздух занимает на 0,2 л меньше, и наружный воздух сминает мягкую бутылку.

Уравнением состояния можно пользоваться и графически. Записав V = (νR/p)·T, видим: при постоянном давлении график V(T) — прямая через начало координат, изобара. Её наклон νR/p: чем больше давление, тем положе изобара. Поэтому, чтобы сравнить давления двух состояний на диаграмме V–T, достаточно провести через каждую точку прямую из начала координат.

Анимация · давление на диаграмме V–TКогда точка идёт из 1 в 2, изобара становится всё более пологой — давление растёт. В цилиндре: объём уменьшается в 3 раза, температура растёт в 2 раза, поэтому удары и учащаются, и усиливаются: p = 6p₁.Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 13.07.2025

Дан график зависимости объёма идеального газа постоянной массы от абсолютной температуры. Вычислите отношение давления, соответствующего точке 2, к давлению, соответствующему точке 1 (p₂/p₁).

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 6B) 2/3C) 1,5D) 4E) 1/6

1. По графику: в состоянии 1 T₁ = T₀, V₁ = 3V₀; в состоянии 2 T₂ = 2T₀, V₂ = V₀.
2. Масса постоянна, поэтому p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂, откуда p₂/p₁ = (V₁/V₂)·(T₂/T₁).Почему так?

   Давление прямо пропорционально температуре и обратно — объёму: p ∝ T/V.

3. Расчёт: p₂/p₁ = 3 · 2 = 6.Почему так?

   Проверка: изобара через 2 намного положе изобары через 1 — давление больше.

4. Ответ: 6 (вариант A).

Официальное пояснение ГЭЦ (13.07.2025)

По уравнению состояния идеального газа pV = (m/M)RT. Отсюдаp₂/p₁ = (V₁/V₂)·(T₂/T₁) = (3V₀/V₀)·(2T₀/T₀) = 6.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, IV группа специальностей (PDF)

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 07.06.2026

Давление одноатомного идеального газа данной массы в состоянии, соответствующем точке K диаграммы, равно 20 кПа. Определите давление газа в состояниях, соответствующих точкам M и N (V — объём газа, T — абсолютная температура, деления одинаковые).

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 20 кПа / 40 кПаB) 40 кПа / 20 кПаC) 10 кПа / 20 кПаD) 20 кПа / 10 кПаE) 20 кПа / 20 кПа

1. Продолжение отрезка KM проходит через начало координат: T/V = const. Масса постоянна, поэтому pV/T = const, значит на KM p = const: p_M = p_K = 20 кПа.Почему так?

   Прямая через начало координат — пропорциональность: V ∝ T, т. е. изобарный процесс.

2. MN — вертикальный отрезок: V = const (изохора), температура уменьшается с 4 до 2 делений — в 2 раза.
3. В изохорном процессе p ∝ T: p_N = p_M · T_N/T_M = 20 · 2/4 = 10 кПа.Почему так?

   В вариантах сначала давление в M, затем в N. Проверка: p ∝ T/V — в K 1/1, в N 2/4, т. е. p_N = p_K/2.

4. Ответ: 20 кПа и 10 кПа (вариант D).

Это же задание было и на экзамене 07.06.2026, IV группа специальностей (A78).

Официальное пояснение ГЭЦ (07.06.2026)

Согласно уравнению состояния идеального газа данной массы, на участке KM диаграммы (pV/T = const) объём газа прямо пропорционален температуре, поэтому p = const. Поэтому давление, соответствующее точке M диаграммы, p_M = p_K = 20 кПа. Однако на участке MN диаграммы происходит изохорное (V = const) охлаждение. При изохорном охлаждении давление прямо пропорционально температуре, т. е. при уменьшении температуры в два раза давление тоже уменьшается в 2 раза. Поэтому давление, соответствующее точке N, в два раза меньше давления в точке M, т. е. P_N = P_M/2 = 20/2 = 10 кПа.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

В сосуде 4 моль идеального газа, объём 0,0831 м³, температура 250 К. Найдите давление газа в кПа.

p = νRT/V; результат разделите на 1000.

Глава 5

Изопроцессы и их графики

Часто один из трёх параметров газа остаётся постоянным. Для газа постоянной массы такие процессы называют изопроцессами, а их законы получаются из объединённого газового закона «сокращением» одного параметра. В анимации газ проходит замкнутый цикл: изобарное нагревание, изохорное охлаждение и изотермическое сжатие.

Анимация · три изопроцесса в одном циклеСледи за цветом: оранжевый — изобара, синий — изохора, бирюзовый — изотерма. Изотермический процесс на диаграмме p–V — гипербола, а на диаграммах p–T и V–T — вертикальный отрезок.

Процесс	Закон	p–V	p–T	V–T
изотермический, T = const	Бойля–Мариотта: pV = const	гипербола	вертикаль	вертикаль
изобарный, p = const	Гей-Люссака: V/T = const	горизонталь	горизонталь	прямая через начало
изохорный, V = const	Шарля: p/T = const	вертикаль	прямая через начало	горизонталь

На экзамене спрашивают и зависимость концентрации от температуры (диаграмма n–T). Так как n = N/V, в изохорном процессе n = const (горизонталь), в изотермическом при росте объёма n убывает (вертикаль вниз). В изобарном же из p = nkT получаем n = p/(kT) ∝ 1/T — график гипербола.

Пример 5

Выход насоса зажат пальцем. В цилиндре 300 см³ воздуха под давлением 100 кПа. Поршень медленно вдвигают до объёма 100 см³. С каким давлением воздух давит на палец?

1. Сжатие медленное, воздух обменивается теплом с окружающей средой — температура не меняется: изотермический процесс.Почему так?

   При быстром сжатии воздух нагрелся бы, и закон выполнялся бы неточно.

2. Закон Бойля–Мариотта: p₂ = p₁V₁/V₂ = 100 · 300/100 = 300 кПа.
3. Ответ: 300 кПа — объём уменьшился в 3 раза, давление выросло в 3 раза.

История

Теперь вопрос из введения. Объём шины почти не меняется — изохорный процесс, закон Шарля: p₂ = p₁·T₂/T₁. Абсолютные температуры: T₁ = 27 + 273 = 300 К, T₂ = −3 + 273 = 270 К. Тогда p₂ = 300 · 270/300 = 270 кПа.

Утром ученик действительно увидел на манометре 270 кПа. Внимание: если считать по Цельсию (27 → −3), давление вышло бы отрицательным — в газовых законах температуру всегда берут в кельвинах.

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 13.07.2025

Процессы, проводимые над идеальным газом постоянной массы, даны в координатах p, T (p — давление, T — абсолютная температура). Изобразите эти процессы в координатах p, V (V — объём).

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. 1 → 2: p = const, T растёт — изобарное нагревание; V ∝ T, объём растёт. На p–V — горизонталь вправо.Почему так?

   Горизонталь и на p–T, и на p–V означает постоянное давление.

2. 2 → 3: прямая проходит через начало — p/T = const, т. е. V = const: изохорное нагревание, p растёт. На p–V — вертикаль вверх (V₃ = V₂).Почему так?

   На диаграмме p–T каждая прямая через начало координат — изохора.

3. 3 → 4: T = const, p растёт — изотермическое сжатие; pV = const, V уменьшается. На p–V — дуга гиперболы вверх-влево.Почему так?

   При постоянной температуре во сколько раз растёт давление, во столько же раз уменьшается объём.

4. 4 → 1: снова прямая через начало — изохорное охлаждение (V₄ = V₁): на p–V вертикаль вниз, возвращаемся в точку 1. Цикл замкнулся.
5. Ответ: на диаграмме p–V: 1 → 2 горизонтально вправо, 2 → 3 вертикально вверх (при V₂), 3 → 4 по гиперболе вверх-влево, 4 → 1 вертикально вниз (при V₁).

Официальное пояснение ГЭЦ (13.07.2025)

Процесс 1-2 — изобарное нагревание (расширение), 2-3 — изохорноенагревание, 3-4 — изотермическое сжатие, 4-1 — изохорное охлаждение. Изобразим этипроцессы в координатах p, V.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Анимация · цикл ГЭЦ на двух диаграммахЧисловая модель: T₂ = 2T₁, T₃ = T₄ = 3T₁. По какой линии точка идёт на диаграмме p–T, тот же процесс (того же цвета) рисуется и на диаграмме p–V.Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 12.07.2026

Идеальный газ данной массы сначала изобарно охлаждают, а затем изотермически расширяют. Изобразите эти процессы на графике зависимости концентрации молекул газа от его температуры. Обоснуйте ответ, используя соответствующие формулы.

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Изобарное охлаждение: p = nkT = const, значит n = p/(kT) ∝ 1/T. При уменьшении T концентрация n растёт: по гиперболе справа снизу налево вверх.Почему так?

   Охлаждаясь при постоянном давлении, газ сжимается: те же молекулы собираются в меньшем объёме.

2. Изотермическое расширение: T = const, V растёт, N не меняется, поэтому n = N/V убывает: вертикаль вниз.Почему так?

   Если T постоянна, на диаграмме n–T точка может двигаться только по вертикали.

3. Ответ: на диаграмме n–T сначала по гиперболе влево вверх, затем вертикально вниз.

Официальное пояснение ГЭЦ (12.07.2026)

Согласно формуле p = nkT, выражающей связь давления с концентрацией и абсолютной температурой, в изобарном процессе (p = const) концентрация обратно пропорциональна температуре. Поэтому при изобарном охлаждении по мере уменьшения температуры концентрация растёт. При изотермическом же расширении температура остаётся постоянной, объём растёт, и по формуле n = N/V концентрация уменьшается.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

При постоянном давлении 2 л газа нагревают от 300 К до 450 К. Найдите конечный объём газа (л).

Закон Гей-Люссака: V₂ = V₁·T₂/T₁.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

Эти задания взяты из экзаменов ГЭЦ. Сначала реши сам, затем открой «Ответ и пояснение ГЭЦ».

ГЭЦ · 01.06.2025

При постоянном объёме абсолютную температуру идеального газа данной массы уменьшили в 3 раза, при этом его давление уменьшилось на 500 Па. Каким было начальное давление газа?

A) 1000 ПаB) 900 ПаC) 600 ПаD) 750 ПаE) 850 ПаОтвет и пояснение ГЭЦ

Ответ: 750 Па (вариант D).

При постоянном объёме давление идеального газа данной массы прямо пропорционально егоабсолютной температуре. По условиюT₂ = T₁/3, поэтому p₂ = p₁/3. Подставив это выражение в данноев условии выражение p₂ = p₁ − 500, вычисляют начальное значениедавления газа.Таким образом, p₁/3 = p₁ − 500 и p₁ = 750 Па.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Это же задание было и на экзамене 01.06.2025, IV группа специальностей (A61).

ГЭЦ · 12.07.2026

Какой процесс соответствует изохорному охлаждению идеального газа данной массы (n — концентрация газа, T — абсолютная температура)?

A) 1-4B) 1-5C) 1-3D) 1-6E) 1-2Ответ и пояснение ГЭЦ

Ответ: 1-6 (вариант D).

Так как масса газа постоянна, число его молекул тоже постоянно. В изохорном процессе объём газа постоянен, поэтому концентрация молекул газапо формуле n = N/V тоже будет постоянной. При изохорном охлаждении газа его температура уменьшается.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, IV группа специальностей (PDF)

Итоги

Запомни

• МКТ: вещество состоит из молекул, они хаотически движутся и взаимодействуют; доказательства — броуновское движение и диффузия.
• ν = m/M = N/NA, m₀ = M/NA, n = N/V; NA = 6,02·10²³ моль⁻¹.
• Основное уравнение МКТ: p = ⅓m₀nυ² = ⅔nĒ.
• T = t + 273; Ē = 1,5kT; p = nkT; υкв = √(3RT/M) — скорость пропорциональна √T.
• Менделеев–Клапейрон: pV = (m/M)RT; при постоянной массе p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂.
• Изотермический: pV = const; изобарный: V/T = const; изохорный: p/T = const.
• На диаграмме V–T изобара, на p–T изохора — прямые через начало; чем положе прямая, тем больше соответствующее давление (объём).

Типичные ошибки

В газовых законах температуру можно брать в градусах Цельсия

Используется только абсолютная температура (К): переход 27 °C → −3 °C не делает давление «отрицательным», а как 300 К → 270 К уменьшает его на 10 %.

Если температура выросла в 4 раза, скорость молекул тоже растёт в 4 раза

С температурой пропорциональна средняя кинетическая энергия, а скорость — √T: рост в 4 раза увеличивает скорость в 2 раза.

Количество вещества (ν) и концентрация (n) — одно и то же

ν — число молей (общее число молекул / NA), n — число молекул в единице объёма (м⁻³). У газа постоянной массы ν не меняется, а n меняется с объёмом.

На диаграмме V–T более крутая изобара соответствует большему давлению

Наклон равен νR/p: чем больше давление, тем положе изобара. Крутая изобара — малое давление.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Что доказывает броуновское движение?

Удары молекул, бьющих частицу со всех сторон, не уравновешены — молекулы хаотически движутся.

2 · Уровень 1

Сколько кельвинов составляет 27 °C?

T = 27 + 273 = 300 К.

3 · Уровень 2

Сколько молей в 88 г углекислого газа (CO₂, M = 44 г/моль)?

ν = m/M = 88/44 = 2.

4 · Уровень 2

При постоянной температуре объём газа уменьшили в 4 раза. Давление:

Закон Бойля–Мариотта: pV = const.

5 · Уровень ГЭЦ

Абсолютная температура газа увеличилась в 4 раза. Средняя квадратичная скорость молекул:

υ = √(3RT/M) ∝ √T; √4 = 2.

6 · Уровень ГЭЦ

Давление газа постоянной массы выросло в 2 раза, объём — в 3 раза. Начальная температура 300 К. Конечная температура:

T₂ = T₁·(p₂/p₁)·(V₂/V₁) = 300·2·3 = 1800 К.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ГЭЦ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 36; B-45, C-40, D-49
2. 01.06.2025, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 61; B-66, C-79, D-62
3. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 60; B-60, C-60, D-60
4. 13.07.2025, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 66; B-79, C-73, D-69
5. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 36; B-50, C-35, D-32
6. 07.06.2026, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 78; B-67, C-72, D-64
7. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 60; B-60, C-60, D-60
8. 12.07.2026, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 75; B-81, C-68, D-79

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ГЭЦ. Задания и пояснения ГЭЦ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.