Геометрическая оптика

Оптика · Тема 24 / 27

Геометрическая оптика

Этот урок пройдём вместе со школьником в один летний день: днём дно бассейна оказывается глубже, чем кажется, вечером при свече зеркало в прихожей показывает его не целиком, а ночью он мастерит проектор из обувной коробки. На каждом шаге изучим прямолинейное распространение света, законы отражения и преломления, построение изображений в зеркалах и линзах и решим задания ГЭЦ.

≈ 55 минутГлав: 5Заданий ГЭЦ: 5материал 9 класса

После урока ты сможешь

• объяснять тень, закон отражения и изображение в плоском зеркале;
• строить изображение в сферическом зеркале и тонкой линзе с помощью характерных лучей;
• рассчитывать по закону преломления, n = c/υ и предельному углу полного внутреннего отражения;
• решать задачи по формуле линзы 1/F = 1/d + 1/f и на увеличение;
• объяснять работу оптических приборов, глаза и очков.

Перед началом вспомни

• Подобные треугольники и пропорциональность их сторон.
• Синус и тангенс угла; sin 30° = 0,5.
• Скорость, путь и время: υ = s/t.

Содержание

1. ВведениеСитуация: монета на дне бассейнаистория и предположение
2. Глава 1Распространение и отражение светаисточники, тень, γ = α, плоское зеркало · ГЭЦ 07.06.2026
3. Глава 2Сферические зеркалаF = R/2, 1/F = 1/d + 1/f · ГЭЦ 01.06.2025
4. Глава 3Преломление света. Полное внутреннее отражениеsin α/sin β = n₂/n₁, n = c/υ, α₀ · ГЭЦ 13.07.2025
5. Глава 4Линзы. Построение изображения и формула линзыD = 1/F, 1/F = 1/d + 1/f · лаборатория · ГЭЦ 2025, 2026
6. Глава 5Оптические приборы и глазлупа, проектор, микроскоп; глаз и очки
7. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
8. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: монета на дне бассейна

История

Жаркий июльский день. Девятиклассник с другом пришёл в открытый бассейн. Глубина бассейна 2 м, вода совершенно прозрачная. Друг бросает в воду монету, и она медленно опускается на дно.

Школьник у края удивлён: монета на дне кажется совсем близкой — протяни руку и достанешь. Но когда друг ныряет за ней, оказывается, что дно вовсе не так близко. Вопрос: на какой глубине видна монета, лежащая на глубине 2 м, если смотреть сверху?

Монета опускается на дно. Оранжевая линия — луч от монеты к глазу; штриховая — направление, в котором «смотрит» глаз; штриховой кружок — где видна монета.Сначала предположи

Как ты думаешь, на какой глубине видна монета, лежащая на глубине 2 м, если смотреть сверху? Ответ рассчитаем в 3-й главе.

Причина этого «обмана» — изменение направления света на границе двух сред. Чтобы разобраться, сначала изучим, как свет распространяется и отражается, затем перейдём к преломлению, линзам, оптическим приборам и глазу. В этом уроке ты шаг за шагом научишься и строить изображение в линзе.

Глава 1

Распространение и отражение света

История

Тем же вечером дома гаснет свет. Мама зажигает свечу на консольном столике. Школьник смотрит в маленькое зеркало в прихожей: его высота всего 60 см, нижний край на высоте 1,05 м от пола. Рост школьника 1,70 м, глаза на высоте 1,60 м.

Ног в зеркале он не видит и думает: «Отойду подальше — и помещусь в зеркале целиком». Вопрос: увидит ли он себя полностью, если отойдёт? Какой минимальной высоты должно быть зеркало, чтобы был виден весь рост?

Школьник подходит к зеркалу и отходит. Золотые линии — линии взгляда из глаза к верхнему и нижнему краям зеркала.

Пламя свечи само излучает свет, а зеркало лишь отражает свет другого источника. Тела, излучающие собственный свет, называют источниками света. Они бывают естественными (Солнце, звёзды, молния, северное сияние, светлячок) и искусственными (свеча, лампа накаливания, светодиод, лазер). Луна, зеркало, стена — не источники: мы видим их в отражённом свете другого источника.

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 07.06.2026

Какой из источников является искусственным источником света?

A) молнияB) горящая свечаC) северное сияниеD) СолнцеE) звезда

1. Естественные источники излучают свет без участия человека: Солнце и звёзды, молния (электрический разряд в атмосфере), северное сияние (свечение атмосферы под действием заряженных частиц от Солнца).Почему так?

   Звёзды, как и Солнце, — огромные раскалённые газовые шары.

2. Свечу изготавливает и зажигает человек — это искусственный источник света.
3. Ответ: горящая свеча (вариант B).

Это же задание было и на экзамене 07.06.2026, IV группа специальностей (A81).

Официальное пояснение ГЭЦ (07.06.2026)

Из приведённых ответов только горящая свеча является искусственным источником света.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Прямолинейное распространение света

В однородной прозрачной среде свет распространяется прямолинейно. Линию, указывающую направление распространения света, называют световым лучом. Источник, размеры которого очень малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями, — точечный. Скорость света в вакууме c = 3·10⁸ м/с; в воздухе — практически такая же.

Самое простое доказательство прямолинейности — тень: за непрозрачное тело свет не попадает. Точечный источник даёт резкую тень. От протяжённого источника на экране образуются тень (туда не попадает свет ни от одной точки источника) и окружающая её полутень (свет попадает от части источника). Так объясняются солнечные и лунные затмения: в тени Луны Солнце затмевается полностью, в полутени — частично.

Анимация · тень и полутеньСначала точечная лампа, затем протяжённая (20 см). Размер тени находят из подобных треугольников: чем ближе диск к лампе, тем больше тень.Пример 1

На расстоянии 1 м от точечной лампы находится непрозрачный диск диаметром 20 см, экран — в 3 м от лампы (диск параллелен экрану). Каков диаметр тени на экране?

1. Лучи от лампы к краям диска идут до экрана по прямой и образуют два подобных треугольника.Почему так?

   Свет распространяется прямолинейно, поэтому граница тени задаётся этими лучами.

2. Из подобия: D/d = L/x.
3. D = 20 · 3/1 = 60 см.
4. Ответ: 60 см.

Проверь себя

В солнечный день тень столба высотой 1,5 м равна 2 м. В тот же момент тень соседнего дерева 8 м. Какова высота дерева (м)?

Солнечные лучи параллельны: h/8 = 1,5/2.

При падении на границу двух сред часть света отражается. От гладкой поверхности (зеркало, спокойная вода) параллельный пучок отражается параллельно — зеркальное отражение; от шероховатой (бумага, стена) рассеивается во все стороны — диффузное отражение. Именно благодаря ему мы видим предметы с любой стороны. Углы всегда отсчитывают от нормали (перпендикуляра) к поверхности.

Закон отражения света

Падающий луч, отражённый луч и нормаль к границе в точке падения лежат в одной плоскости; угол отражения равен углу падения.

γ = α

Изображение S′ точки S в плоском зеркале — пересечение продолжений отражённых лучей. Глазу кажется, что лучи исходят из S′.

Изображение в плоском зеркале мнимое (там пересекаются не сами лучи, а их продолжения), прямое, равное предмету и симметричное ему относительно зеркала: насколько предмет перед зеркалом, настолько изображение за ним. Правая рука в зеркале выглядит как левая.

Анимация · увидеть себя в зеркалеШкольник ходит вперёд и назад, но линии из глаза к краям зеркала всегда выделяют на изображении одну и ту же часть — от 0,5 м до головы.Пример 2

Глаза человека ростом 1,70 м находятся на высоте 1,60 м. Какова наименьшая высота настенного плоского зеркала и на какой высоте от пола должен быть его нижний край, чтобы он видел себя с головы до ног?

1. Изображение ног за зеркалом на том же расстоянии, на каком глаз перед ним. Линия взгляда из глаза к изображению ног пересекает плоскость зеркала ровно посередине: z = 1,60 : 2 = 0,80 м.Почему так?

   Подобные треугольники: расстояние глаз–зеркало — половина расстояния глаз–изображение, поэтому и разность высот делится пополам.

2. Так же линия взгляда к макушке пересекает зеркало на высоте (1,60 + 1,70) : 2 = 1,65 м.
3. Высота зеркала: 1,65 − 0,80 = 0,85 м — ровно половина роста. Расстояние в ответ не входит!Почему так?

   Обе точки пересечения зависят только от высот, поэтому отход назад не меняет видимую часть.

4. Ответ: не менее 85 см; нижний край на высоте 80 см.

История

Вернёмся в прихожую. Глядя на нижний край зеркала (1,05 м), школьник видит точку своего изображения на высоте 2·1,05 − 1,60 = 0,5 м, а верхний край (1,65 м) приходится ровно на макушку. Значит, он видит себя от головы до колен, и отход назад не поможет. Чтобы увидеть весь рост, нужно зеркало высотой 85 см с нижним краем на высоте 80 см.

Проверь себя

Школьник приближается к плоскому зеркалу со скоростью 1 м/с. С какой скоростью (м/с) к нему приближается его изображение?

Изображение тоже приближается к зеркалу со скоростью 1 м/с, но с другой стороны.

Глава 2

Сферические зеркала

Мамино косметическое зеркало увеличивает лицо, а боковое зеркало автомобиля всё уменьшает, но показывает широкий обзор. Оба — сферические зеркала, части поверхности шара. Если свет отражается от внутренней поверхности сферы, зеркало вогнутое, от внешней — выпуклое.

Элементы сферического зеркала

Центр сферы O — центр кривизны зеркала (в заданиях ГЭЦ его называют также «оптическим центром»), середина зеркала T — полюс, прямая через O и T — главная оптическая ось, R = OT — радиус кривизны. Лучи, параллельные оси, после отражения от вогнутого зеркала собираются в главном фокусе F; фокусное расстояние F = R/2. У выпуклого зеркала в F пересекаются лишь продолжения отражённых лучей — фокус мнимый.

Вогнутое зеркало собирает свет (прожекторы, фонари, солнечные печи), выпуклое — рассеивает (автомобильные зеркала, зеркала на поворотах дорог).

Чтобы построить изображение точки, достаточно двух выходящих из неё лучей. Удобнее всего: 1) луч, параллельный оси, после отражения проходит через F; 2) луч через F после отражения идёт параллельно оси; 3) луч в полюс T отражается симметрично относительно оси; 4) луч через O отражается сам в себя. Положение изображения находят и по формуле зеркала:

Формула сферического зеркала

d — расстояние от предмета до зеркала, f — от изображения до зеркала, Γ — линейное увеличение (отношение размера изображения к размеру предмета). Для мнимого изображения f < 0, для выпуклого зеркала F < 0.

1/F = 1/d + 1/f,   Γ = |f|/d

Анимация · предмет приближается к вогнутому зеркалуСледи: d > 2F — изображение уменьшенное и перевёрнутое; d = 2F (точка O) — равное; F < d < 2F — увеличенное; d = F — изображения нет; d < F — мнимое, прямое, увеличенное (косметическое зеркало).Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 01.06.2025

Используя соответствующие лучи, постройте изображение данного предмета в вогнутом сферическом зеркале K (O – оптический центр зеркала, F – главный фокус, T – полюс).

Примечание: рисунок к этому заданию в экзаменационных материалах не напечатан; положение предмета восстановлено по рисунку ответа ГЭЦ — предмет стоит в точке O перпендикулярно главной оптической оси.

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Из точки A проводим луч параллельно главной оптической оси: после отражения он проходит через главный фокус F.Почему так?

   Это определение фокуса: параллельный оси пучок после отражения от вогнутого зеркала собирается в F.

2. Из A проводим второй луч через F: после отражения он идёт параллельно оси.Почему так?

   Обратимость световых лучей: если пройти путь первого луча в обратную сторону, луч через F выйдет параллельно.

3. Отражённые лучи пересекаются под точкой O в точке A′; перпендикуляр OA′ к оси — изображение предмета.
4. Проверим формулой: предмет в O, d = R = 2F; 1/f = 1/F − 1/(2F) = 1/(2F), откуда f = 2F = d, Γ = 1.Почему так?

   Это случай «d = 2F» из анимации.

5. Ответ: изображение действительное, перевёрнутое, равное предмету, в точке O (на рисунке OA′).

Официальное пояснение ГЭЦ (01.06.2025)

Луч из точки A предмета, идущий параллельно главной оптической оси,после отражения от вогнутого зеркала проходит через главный фокус. Второй луч,проходящий через точку главного фокуса, после отражения от вогнутого зеркалаидёт параллельно главной оптической оси. Точка A′ пересечения отражённыхлучей — изображение точки A.Перпендикуляр, проведённый из этой точки к главной оптической оси,является изображением предмета.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Пример 3

Фокусное расстояние вогнутого косметического зеркала 40 см. Лицо находится в 20 см от зеркала. Где получается изображение и каково оно?

1. Из формулы зеркала: 1/f = 1/F − 1/d = 1/40 − 1/20 = −1/40.
2. f = −40 см: знак минус показывает, что изображение мнимое и находится за зеркалом.Почему так?

   Лицо ближе фокуса (d < F), отражённые лучи расходятся, пересекаются лишь их продолжения.

3. Увеличение: Γ = |f|/d = 40/20 = 2 — изображение прямое и увеличенное в 2 раза.
4. Ответ: за зеркалом в 40 см; мнимое, прямое, увеличенное в 2 раза.

У выпуклого зеркала изображение при любом положении предмета мнимое, прямое и уменьшенное. Поэтому боковые зеркала автомобиля выпуклые: предметы мельче, зато обзор шире (отсюда надпись «предметы ближе, чем кажутся»).

Проверь себя

Фокусное расстояние вогнутого зеркала 10 см, предмет в 30 см от зеркала. На каком расстоянии (см) от зеркала получится изображение?

1/f = 1/10 − 1/30.

Глава 3

Преломление света. Полное внутреннее отражение

Вернёмся к бассейну. При переходе из воздуха в воду и из воды в воздух свет на границе меняет направление — преломляется. Причина: скорость света в разных средах разная. Оптическую плотность среды показывает абсолютный показатель преломленияn = c/υ — отношение скорости света в вакууме к скорости в среде. Для воздуха n ≈ 1, для воды 4/3 ≈ 1,33, для стекла ≈ 1,5, для алмаза 2,42.

Закон преломления света

Падающий луч, преломлённый луч и нормаль к границе в точке падения лежат в одной плоскости; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления — постоянная для двух данных сред величина, относительный показатель преломления второй среды относительно первой:

sin α / sin β = n₂/n₁ = υ₁/υ₂

Вывод: при переходе из оптически менее плотной среды в более плотную (n₂ > n₁) луч приближается к нормали, β < α; из более плотной в менее плотную — удаляется от неё. Частота света при преломлении не меняется, а скорость и длина волны в среде в n раз меньше, чем в вакууме.

Пример 4

Луч падает из воздуха на стекло (n = √3) под углом 60°. Найдите угол преломления и угол между отражённым и преломлённым лучами.

1. Закон преломления: sin β = sin 60°/√3 = (√3/2)/√3 = 0,5, значит β = 30°.
2. Отражённый луч образует с поверхностью угол 90° − 60° = 30°, преломлённый — 90° − 30° = 60°; угол между ними: 30° + 60° = 90°.Почему так?

   Отражённый луч над поверхностью, преломлённый — под ней; из развёрнутого угла вычитаем углы отражения и преломления: 180° − 60° − 30°.

3. Ответ: 30°; 90°.

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 13.07.2025

Показано преломление светового луча, переходящего из среды 1 в среду 2. Какие соотношения между абсолютными показателями преломления (n) сред и скоростями света (v) в средах верны?

Рисунок меняется вместе с шагами.A) n₁>n₂ ; v₁>v₂B) n₁>n₂ ; v₁<v₂C) n₁<n₂ ; v₁<v₂D) n₁>n₂ ; v₁=v₂E) n₁<n₂ ; v₁>v₂

1. На рисунке преломлённый луч ближе к нормали: угол преломления меньше угла падения, β < α.
2. Закон преломления: sin α/sin β = n₂/n₁. Так как β < α, то sin α > sin β, значит n₁ < n₂.Почему так?

   На промежутке от 0° до 90° синус возрастает вместе с углом.

3. Скорость: υ = c/n — в среде с большим показателем свет идёт медленнее: v₁ > v₂.
4. Ответ: n₁ < n₂; v₁ > v₂ (вариант E).

Это же задание было и на экзамене 13.07.2025, IV группа специальностей (A67).

Официальное пояснение ГЭЦ (13.07.2025)

По закону преломления света sin α/sin β = n₂/n₁. При переходе света из менее плотнойсреды в более плотную β < α, поэтомупо данным рисунка n₁<n₂. Так как скорость света в средеυ = c/n, получаем v₁>v₂.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Посмотрим на фонарь на дне бассейна. При переходе из воды в воздух луч удаляется от нормали; с ростом угла падения угол преломления растёт быстрее и доходит до 90°. При больших углах преломлённого луча нет вовсе — весь свет отражается.

Анимация · преломление и полное внутреннее отражениеС ростом угла падения преломлённый луч слабеет, отражённый усиливается; после 48,6° преломлённый луч исчезает.Полное внутреннее отражение

Если при переходе света из оптически более плотной среды в менее плотную угол падения больше предельного угла α₀, преломлённого луча нет, свет отражается целиком — полное внутреннее отражение. Предельный угол находят из условия sin α₀ = n₂/n₁; при выходе в воздух sin α₀ = 1/n. Для воды α₀ ≈ 48,6°, для стекла ≈ 41,8°, для алмаза ≈ 24,4° (отсюда «игра» алмаза).

Плоскопараллельная пластина смещает луч, призма отклоняет его к основанию, а световод за счёт полного внутреннего отражения ведёт свет на километры (интернет-кабели, эндоскоп).Проверь себя

Каков предельный угол полного внутреннего отражения (в градусах) при выходе света в воздух из вещества с показателем преломления 2?

sin α₀ = 1/n = 0,5.

Наконец, вопрос о бассейне. Узкий пучок лучей от точки на дне, преломившись на поверхности, расширяется; глаз видит точку пересечения продолжений лучей. Луч переходит из воды в воздух: α — угол падения в воде, β — угол преломления в воздухе, sin α/sin β = 1/n. При малых углах sin ≈ tg, поэтому при наблюдении сверху кажущаяся глубина:

h = H·tg α/tg β ≈ H·sin α/sin β = H/n

Анимация · кажущаяся глубинаПо мере наполнения изображение монеты поднимается: кажущаяся глубина всегда примерно 3/4 настоящей.История

Ответ для бассейна: h = H/n = 2 : 4/3 = 1,5 м. То есть бассейн глубиной 2 м сверху кажется глубиной 1,5 м. А если смотреть наклонно, дно кажется ещё ближе (во вводной анимации монета была видна примерно на 1,3 м). Поэтому прыгать в незнакомую воду, решив «тут мелко», опасно.

Глава 4

Линзы. Построение изображения и формула линзы

История

Ночью школьник решает устроить дома кинотеатр. В передней стенке обувной коробки он вырезает отверстие, вставляет туда лупу с фокусным расстоянием 20 см, а внутрь кладёт телефон с максимальной яркостью. Стена находится в 1,8 м от линзы.

Когда гаснет свет, на стене появляется картинка с экрана, но размытая. Школьник двигает телефон в коробке вперёд и назад, и в одном положении картинка вдруг становится резкой. Вопрос: на каком расстоянии от линзы должен быть телефон, во сколько раз увеличится картинка и почему телефон надо положить вверх ногами?

Телефон движется в коробке; картинка на стене резкая только в одном положении.Линза и её элементы

Прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими (или сферической и плоской) поверхностями, — линза. Линза, толщина которой много меньше радиусов кривизны, — тонкая. Стеклянная линза, у которой края тоньше середины (выпуклая), в воздухе собирающая, у которой середина тоньше (вогнутая), — рассеивающая. Центр линзы O — оптический центр (луч через него не преломляется), точка, где собираются лучи, параллельные оси (или их продолжения), — главный фокус F. Величина, обратная фокусному расстоянию, — оптическая сила: D = 1/F, единица — диоптрия (1 дптр = 1 м⁻¹). У собирающей линзы D > 0, у рассеивающей D < 0.

Фокус собирающей линзы действительный (пересекаются сами лучи), рассеивающей — мнимый (пересекаются продолжения).Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 01.06.2025

В каком случае главный фокус линзы действительный, а изображение источника света S — мнимое?

A)B)C)D)E)

1. Главный фокус действительный — значит линза собирающая. Варианты A, D, E с рассеивающей линзой отпадают.Почему так?

   У рассеивающей линзы в фокусе пересекаются не сами лучи, а их продолжения.

2. Если в собирающей линзе предмет дальше фокуса (B: d > F), преломлённые лучи пересекаются сами — изображение действительное.
3. Если предмет между фокусом и линзой (C: d < F), преломлённые лучи расходятся, изображение мнимое. Например, F = 1, d = 0,5: 1/f = 1 − 2 = −1, f = −1 < 0.Почему так?

   Именно так работает лупа.

4. Ответ: вариант C (собирающая линза, S между фокусом и линзой).

Официальное пояснение ГЭЦ (01.06.2025)

Главный фокус собирающей линзы действительный. В собирающейлинзе, если предмет расположен между фокусом и линзой,его изображение мнимое.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, IV группа специальностей (PDF)

Для построения изображения точки достаточно двух из трёх характерных лучей: 1) луч, параллельный оси, после преломления проходит через фокус (у рассеивающей — его продолжение); 2) луч через оптический центр не преломляется; 3) луч через фокус (у рассеивающей — направленный в фокус) после преломления идёт параллельно оси. Положение и размер изображения рассчитывают по формуле тонкой линзы:

Формула тонкой линзы

d — расстояние от предмета до линзы, f — от линзы до изображения. Для рассеивающей линзы F < 0, для мнимого изображения f < 0. Γ — линейное увеличение: отношение высоты изображения к высоте предмета.

1/F = 1/d + 1/f = D,   Γ = H/h = |f|/d

Лаборатория · построение изображения в линзеАнимация · меняй оптическую силу линзы и положение предметарасстояние от предмета до линзы d35 смоптическая сила линзы D5 дптрЖёлтые точки — свет, бегущий вдоль лучей. Приближай предмет к фокусу собирающей линзы: изображение удаляется и растёт; за фокусом оно становится мнимым. У рассеивающей линзы изображение всегда мнимое, прямое и уменьшенное.

Запомни случаи, которые ты видел в лаборатории (собирающая линза): d > 2F — действительное, перевёрнутое, уменьшенное (фотоаппарат, глаз); d = 2F — действительное, перевёрнутое, равное; F < d < 2F — действительное, перевёрнутое, увеличенное (проектор); d = F — изображения нет; d < F — мнимое, прямое, увеличенное (лупа).

Пример 5

Найдите оптическую силу собирающей линзы с фокусным расстоянием 20 см. Где получится изображение предмета, находящегося в 30 см от линзы, и во сколько раз оно больше предмета?

1. Оптическая сила: D = 1/0,2 м = 5 дптр.
2. Из формулы линзы: 1/f = 1/20 − 1/30 = 1/60, f = 60 см.Почему так?

   Приводим дроби к общему знаменателю: 3/60 − 2/60 = 1/60.

3. Увеличение: Γ = 60/30 = 2; f > 0 — изображение действительное и перевёрнутое.
4. Ответ: 5 дптр; за линзой в 60 см, увеличено в 2 раза.

История

Вернёмся к проектору. Стена — место изображения: f = 1,8 м, F = 0,2 м. Из формулы линзы 1/d = 1/0,2 − 1/1,8 = 5 − 0,556 = 4,44 м⁻¹, то есть d = 0,225 м = 22,5 см. Увеличение Γ = f/d = 1,8/0,225 = 8: экран высотой 7 см на стене становится 56 см. Изображение действительное и перевёрнутое, поэтому, чтобы картинка на стене была прямой, телефон кладут вверх ногами. Если телефон чуть ближе или дальше, резкое изображение получается за стеной или перед ней, а на стене видны размытые пятна.

Так спрашивают на экзаменеГЭЦ · 12.07.2026

В тонкой собирающей линзе получено действительное изображение предмета, увеличенное в 4 раза. Если расстояние между предметом и его изображением 2,5 м, вычислите фокусное расстояние линзы.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 40 смB) 20 смC) 80 смD) 50 смE) 30 см

1. Изображение действительное — по другую сторону линзы, поэтому расстояние между предметом и изображением d + f = 2,5 м.Почему так?

   Мнимое изображение было бы по ту же сторону, что и предмет, и такую сумму записать было бы нельзя.

2. Увеличение: Γ = f/d = 4, отсюда f = 4d; 5d = 2,5 м, d = 0,5 м, f = 2 м.
3. Формула линзы: 1/F = 1/0,5 + 1/2 = 2,5 м⁻¹, F = 0,4 м = 40 см.
4. Ответ: 40 см (вариант A).

Это же задание было и на экзамене 12.07.2026, IV группа специальностей (A64).

Официальное пояснение ГЭЦ (12.07.2026)

Линейное увеличение линзы Γ = f/d.Отсюда f = Γd = 4d. Так как f + d = 2,5 м,4d + d = 2,5 м и d = 0,5 м,f = 2,5 м − d = 2,5 м − 0,5 м = 2 м. В формуле тонкой линзы записываем 1/F = 1/d + 1/f = 1/0,5 м + 1/2 м, и отсюдаF = 0,4 м = 40 см.Источник: пояснение ГЭЦ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Каково фокусное расстояние (в сантиметрах) линзы с оптической силой −4 дптр? (Запиши со знаком.)

F = 1/D = −0,25 м.

Глава 5

Оптические приборы и глаз

Все оптические приборы собраны из линз и зеркал и используют один из случаев, рассмотренных выше:

• Лупа — короткофокусная собирающая линза, предмет между фокусом и линзой: изображение мнимое, прямое, увеличенное. Увеличение Γ ≈ 25 см/F (25 см — расстояние наилучшего зрения); например, лупа с F = 5 см увеличивает в 5 раз.
• Фотоаппарат — объектив даёт действительное, перевёрнутое, уменьшенное изображение на матрице (d > 2F).
• Проектор — слайд или экран в промежутке F < d < 2F: на экране действительное, перевёрнутое, увеличенное изображение (наш проектор из коробки).
• Микроскоп — объектив даёт увеличенное действительное изображение малого предмета, окуляр рассматривает его как лупа; общее увеличение Γ = Γ₁·Γ₂.
• Телескоп (рефрактор) — длиннофокусный объектив и короткофокусный окуляр; угловое увеличение Γ = F₁/F₂.

Самый совершенный оптический прибор — глаз. Свет проходит роговицу и зрачок, попадает на хрусталик (живую двояковыпуклую линзу) и даёт на сетчатке действительное, перевёрнутое, уменьшенное изображение; мозг его «переворачивает». Расстояние от хрусталика до сетчатки не меняется (около 17 мм), поэтому, чтобы чётко видеть предметы на разных расстояниях, мышцы глаза меняют кривизну хрусталика, а значит, его оптическую силу, — это аккомодация. Для нормального глаза расстояние наилучшего зрения — 25 см.

Анимация · глаз, близорукость, дальнозоркость и очкиВ нормальном глазу хрусталик утолщается при взгляде на близкий предмет (58,8 → 62,8 дптр). В близоруком глазу изображение далёкого предмета перед сетчаткой, в дальнозорком изображение близкого — за ней; подходящие очки возвращают изображение на сетчатку.Недостатки зрения и очки

Близорукость (миопия): глаз даёт изображение далёкого предмета перед сетчаткой; дальняя точка ясного зрения близко. Исправляется рассеивающими очками: D = −1/dдальн. Дальнозоркость: изображение близкого предмета получается за сетчаткой; ближняя точка ясного зрения дальше 25 см. Исправляется собирающими очками: D = 1/0,25 − 1/dближн.

Пример 6

Дальняя точка ясного зрения близорукого глаза — 20 см. Какова должна быть оптическая сила очков, чтобы ясно видеть вдаль? (Расстоянием между очками и глазом пренебречь.)

1. Очки должны давать мнимое изображение бесконечно далёкого предмета на 20 см, где глаз видит ясно: d = ∞, f = −0,2 м.Почему так?

   Изображение мнимое (по ту же сторону, что и предмет), поэтому f отрицательно.

2. Формула линзы: D = 1/d + 1/f = 0 + 1/(−0,2) = −5 дптр.
3. Ответ: −5 дптр (рассеивающие очки) — близорукий глаз из анимации.

Проверь себя

Ближняя точка ясного зрения дальнозоркого глаза — 50 см. Какова должна быть оптическая сила очков (в дптр), чтобы читать с 25 см?

D = 1/0,25 − 1/0,5.

Итоги

Запомни

• В однородной среде свет распространяется прямолинейно; тень и полутень — следствие этого; c = 3·10⁸ м/с.
• Закон отражения: γ = α (углы отсчитываются от нормали). Изображение в плоском зеркале мнимое, прямое, равное, симметричное; для полного роста нужно зеркало в половину роста.
• Сферическое зеркало: F = R/2; 1/F = 1/d + 1/f.
• Закон преломления: sin α/sin β = n₂/n₁; n = c/υ; при переходе в более плотную среду луч приближается к нормали.
• Полное внутреннее отражение — только при переходе в менее плотную среду: sin α₀ = 1/n; кажущаяся глубина h ≈ H/n.
• Линза: D = 1/F, 1/F = 1/d + 1/f, Γ = |f|/d; для рассеивающей линзы и мнимого изображения знак минус.
• Близорукость исправляют рассеивающими, дальнозоркость — собирающими очками.

Типичные ошибки

Если отойти от зеркала, в маленьком зеркале увижу себя целиком

Видимая часть не зависит от расстояния: для полного роста зеркало должно быть в половину роста.

Угол падения — угол между лучом и поверхностью

Углы падения, отражения и преломления отсчитываются от нормали. Угол 30° с поверхностью означает угол падения 60°.

Полное внутреннее отражение бывает и при переходе света из воздуха в воду

Только при переходе из оптически более плотной среды в менее плотную и при α > α₀.

В формуле линзы все расстояния пишутся положительными

Фокус рассеивающей линзы (F < 0) и расстояние до мнимого изображения (f < 0) берутся со знаком минус.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Угол падения 35°. Угол между падающим и отражённым лучами:

Угол отражения тоже 35°; угол между лучами 35° + 35° = 70°.

2 · Уровень 1

Линза с оптической силой −4 дптр:

D < 0 — рассеивающая; F = 1/D = −0,25 м.

3 · Уровень 2

Свет выходит из стекла (n = 1,5) в воздух. Синус предельного угла полного внутреннего отражения:

sin α₀ = 1/n = 1/1,5 = 2/3.

4 · Уровень 2

Фокусное расстояние вогнутого зеркала 15 см, предмет в 30 см от зеркала. Изображение:

d = 2F (центр кривизны): 1/f = 1/15 − 1/30 = 1/30, f = 30 см, Γ = 1.

5 · Уровень ГЭЦ

Собирающая линза даёт действительное изображение, равное предмету; расстояние между предметом и изображением 80 см. Оптическая сила линзы:

Γ = 1 ⇒ d = f = 40 см = 2F ⇒ F = 20 см, D = 1/0,2 = 5 дптр.

6 · Уровень ГЭЦ

Дальняя точка ясного зрения близорукого глаза — 40 см. Оптическая сила очков для зрения вдаль:

Рассеивающие очки: D = −1/0,4 = −2,5 дптр.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ГЭЦ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 60; B-60, C-60, D-60
2. 01.06.2025, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 82; B-61, C-61, D-77
3. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 32; B-43, C-35, D-51
4. 13.07.2025, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 67; B-65, C-67, D-78
5. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 49; B-31, C-50, D-45
6. 07.06.2026, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 81; B-64, C-70, D-82
7. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 49; B-51, C-33, D-40
8. 12.07.2026, IV группа специальностей (PDF) — вариант A, 64; B-62, C-65, D-71

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ГЭЦ. Задания и пояснения ГЭЦ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.