Натуральные числа: разряды, делимость, НОД и НОК

Действительные числа · Тема 1 / 46

Натуральные числа: разряды, делимость, НОД и НОК

Этот урок пройдём через историю поездки: класс едет на поезде на экскурсию в горное село. Вопросы на вокзале, в вагоне и перед тоннелем приведут нас к главным темам о натуральных числах: разряды, делимость, простые множители, НОД и НОК, последняя цифра степени и задача на движение.

≈ 45 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 10материал 5–7 классов

После урока ты сможешь

• считать натуральные числа в промежутке и раскладывать число по разрядам;
• раскладывать число на простые множители, находить НОД и НОК, применять свойство НОД · НОК = a · b;
• находить последнюю цифру большой степени по периоду;
• решать задачи на движение поезда через тоннель.

Перед началом вспомни

• Таблица умножения и деление с остатком.
• Степень: aⁿ = a·a·…·a; (aᵏ)ᵖ = aᵏᵖ.
• 1 км = 1000 м, 1 ч = 60 мин.

Содержание

1. ВведениеСитуация: когда поезда снова отправятся вместе?история и предположение
2. Глава 1Натуральные числа, разряды и цифрысчёт в промежутке · разряды · запись цифрами
3. Глава 2Делимость, простые числа и простые множителипризнаки делимости · простые множители · ДИМ 13.07.2025
4. Глава 3НОД и НОКобщий делитель · общее кратное · ДИМ 06.07.2025
5. Глава 4Последняя цифра степенипериодичность · ДИМ 24.05.2026
6. Глава 5Задача на движение: поезд проходит тоннельs = v·t · длина поезда · ДИМ 15.03.2026
7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 5, с ответом и официальным пояснением
8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: когда поезда снова отправятся вместе?

История

Класс едет на экскурсию в горное село. Рано утром ученики пришли на вокзал и ждут на платформе. По обе стороны платформы стоят электрички: по левому пути поезда отправляются каждые 12 минут, по правому — каждые 18 минут.

В 08:00 поезда обоих путей отправились одновременно. Когда это случится снова, на табло не написано. Учитель спрашивает: в котором часу поезда двух путей в следующий раз отправятся одновременно?

Платформа, два пути и табло: поезда отправляются каждые 12 и каждые 18 минут.Сначала предположи

Как ты думаешь, в котором часу поезда в следующий раз отправятся вместе? Выбери ответ — посчитаем вместе в 3-й главе.

Глава 1

Натуральные числа, разряды и цифры

Числа 1, 2, 3, 4, …, которыми мы пользуемся при счёте, называются натуральными. Наименьшее натуральное число — 1, а наибольшего нет: за каждым натуральным числом следует число, на 1 большее. 0 не является натуральным числом.

Сколько чисел в промежутке?

Пусть a < b — натуральные числа. Количество натуральных чисел в промежутке:

a ≤ n ≤ b → b − a + 1a ≤ n < b или a < n ≤ b → b − aa < n < b → b − a − 1

Причина проста: количество подряд идущих чисел от a до b равно «последнее − первое + 1» (1, 2, 3 — три числа: 3 − 1 + 1). Если одна граница не входит, чисел на одно меньше, если не входят обе — на два.

Пример 1

Найдите количество натуральных чисел n, удовлетворяющих условию 12 < n ≤ 30.

1. Левая граница не входит, первое число — 13. Правая граница входит, последнее число — 30.
2. Количество: 30 − 13 + 1 = 18.Почему так?

   Количество подряд идущих чисел: последнее − первое + 1.

3. Короткий путь: одна граница входит, другая нет, поэтому 30 − 12 = 18.
4. Ответ: 18.

Проверь себя

Сколько натуральных чисел удовлетворяют условию 25 ≤ n ≤ 40?

Обе границы входят: b − a + 1.

Числа записывают десятью цифрами (0, 1, …, 9), а значение цифры зависит от её места — разряда. Справа налево идут разряды: единицы, десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч, миллионы и т. д. Разряды группируются по три в классы: класс единиц, класс тысяч, класс миллионов.

Сколько всего тысяч? Отбрось три цифры справа. Сколько сотен? Отбрось две цифры справа.

Внимание: «цифра в разряде тысяч» и «сколько всего тысяч в числе» — разные вопросы. В числе 4507216 в разряде тысяч стоит цифра 7, но всего в нём 4507 тысяч, потому что 4507216 = 4507·1000 + 216.

Над числом, цифры которого обозначены буквами, ставят черту: abc — число, у которого a сотен, b десятков и c единиц. Раскладываем его по разрядам: abc = 100a + 10b + c. Приписать цифру в конце числа — значит увеличить его в 10 раз и прибавить эту цифру:

ab4 = 10·ab + 4

Пример 2

Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если переставить цифры, число увеличится на 27. Найдите число.

1. Записываем число как ab: ab = 10a + b, обратное ba = 10b + a.
2. Разность: (10b + a) − (10a + b) = 9(b − a) = 27, откуда b − a = 3.Почему так?

   При перестановке цифр разность всегда делится на 9 — это хорошая проверка.

3. a + b = 11 и b − a = 3: b = 7, a = 4. Проверка: 74 − 47 = 27.
4. Ответ: 47.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 19.04.2026

Трёхзначное число оканчивается цифрой 4. Если вычеркнуть эту цифру, полученное двузначное число будет на 472 меньше данного. Найдите это трёхзначное число.

1. Обозначим искомое число ab4, а число после вычёркивания цифры — ab. По разрядам ab4 = 10·ab + 4.Почему так?

   При вычёркивании 4 цифры a и b сдвигаются на разряд вправо: сотни становятся десятками, десятки — единицами. Поэтому трёхзначное число на 4 больше, чем двузначное, умноженное на 10.

2. Условие: 10·ab + 4 − ab = 472, т. е. 9·ab = 468.
3. ab = 468 : 9 = 52, искомое число 524. Проверка: 524 − 52 = 472.
4. Ответ: 524.

Официальное пояснение ДИМ (19.04.2026)

a̅b̅4̅ − a̅b̅ = 472; 10·a̅b̅ + 4 − a̅b̅ = 472; 9·a̅b̅ = 468; a̅b̅ = 52; a̅b̅4̅ = 524Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)

Проверь себя

Трёхзначное число оканчивается цифрой 7. Если её вычеркнуть, полученное двузначное число будет на 349 меньше данного. Найдите трёхзначное число.

9·ab + 7 = 349.

Глава 2

Делимость, простые числа и простые множители

Если a = b·k (k — натуральное число), говорят, что a делится нацело на b; при этом b — делитель числа a, а a — кратное числа b. Например, число 57k делится на 57 при любом натуральном k.

Признаки делимости

на 2: последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8);на 5: последняя цифра 0 или 5; на 10: последняя цифра 0;на 4: число из двух последних цифр делится на 4;на 3 (на 9): сумма цифр делится на 3 (на 9).

Запомни ещё один факт: последняя цифра суммы и произведения зависит только от последних цифр слагаемых (множителей). Например, число 100k при любом натуральном k оканчивается на 0.

Определение

Число, у которого ровно два натуральных делителя (1 и само число), называется простым: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … Натуральное число, у которого больше двух делителей, — составное. 1 не является ни простым, ни составным; 2 — единственное чётное простое число.

Основная теорема арифметики

Каждое составное число можно записать в виде произведения простых множителей, и эта запись (без учёта порядка множителей) единственна.

Раскладывать можно, начиная с любых множителей, — результат всегда один и тот же.

На практике число делят на 2, пока делится, затем на 3, 5, 7 и т. д., а одинаковые множители собирают в степень: 360 = 2³·3²·5. Степень тоже раскладывается на простые множители: 9²ⁿ = (3²)²ⁿ = 3⁴ⁿ.

Внимание

В заданиях ДИМ под числом простых множителей понимают количество всех множителей с учётом повторений, т. е. сумму показателей в разложении: 360 = 2·2·2·3·3·5 — 6 простых множителей. Различных же простых множителей всего три: 2, 3, 5.

Пример 3

Число простых множителей числа x = 8ⁿ · 27 равно 9. Найдите n.

1. Раскладываем основания на простые множители: 8ⁿ = (2³)ⁿ = 2³ⁿ,  27 = 3³.Почему так?

   При возведении степени в степень показатели перемножаются: (aᵏ)ᵖ = aᵏᵖ.

2. Число множителей равно сумме показателей: 3n + 3 = 9, откуда n = 2.
3. Проверка: 8² · 27 = 1728 = 2⁶·3³ — 9 множителей.
4. Ответ: n = 2.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

Если число простых множителей числа x = 9²ⁿ · 25ᵐ равно 10, найдите сумму значений, которые может принимать m (n ∈ N, m ∈ N).

«Число простых множителей» считается с учётом повторений (см. блок «Внимание» выше).

A) 7B) 4C) 3D) 6E) 5

1. Раскладываем основания: 9 = 3², 25 = 5². Тогда x = (3²)²ⁿ · (5²)ᵐ = 3⁴ⁿ · 5²ᵐ.Почему так?

   Степень степени: показатели перемножаются.

2. Число простых множителей равно сумме показателей: 4n + 2·m = 10, т. е. 2n + m = 5.Почему так?

   3⁴ⁿ — это 4n множителей 3, а 5²ᵐ — это 2·m множителей 5.

3. n и m должны быть натуральными: при n = 1 получаем m = 3; при n = 2 получаем m = 1; при n = 3 выходит m = −1 — не натуральное.Почему так?

   Так как m ≥ 1, то 2n ≤ 4, т. е. n может быть только 1 или 2.

4. Сумма значений m: 3 + 1 = 4.
5. Ответ: 4 (вариант B).

Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)

x = 9²ⁿ · 25ᵐ = (3²)²ⁿ · (5²)ᵐ = 3⁴ⁿ · 5²ᵐ. По условию задания 4n + 2·m = 10. 2n + m = 5; если n = 1, то m = 3, если n = 2, то m = 1. Сумма значений m равна 3 + 1 = 4.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите число простых множителей числа 72 (с учётом повторений).

72 = 2³·3².

Глава 3

НОД и НОК

История

Поезд тронулся. В вагоне учитель открывает два ящика, купленные в дорогу: в одном 48 яблок, в другом 36 бутылок сока. Он хочет разделить класс на группы так, чтобы каждой группе досталось поровну яблок и поровну сока и ничего не осталось.

Какое наибольшее число групп можно составить и что получит каждая группа?

В проходе вагона два ящика: 48 яблок и 36 бутылок сока.

Число групп должно быть делителем и 48, и 36: ведь оба ящика нужно разделить без остатка. Такие числа называются общими делителями, а нам нужен наибольший из них.

Определение

Наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из чисел a и b, называется их наибольшим общим делителем (НОД). Наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из чисел a и b, называется их наименьшим общим кратным (НОК).

Правило

Разложи оба числа на простые множители. НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях; НОК — произведение всех встречающихся простых множителей в наибольших степенях.

Пример 4

Найдите НОД(48; 36) и НОК(48; 36).

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Раскладываем на простые множители: 48 = 2·2·2·2·3 = 2⁴·3, 36 = 2·2·3·3 = 2²·3².
2. Общие множители: 2, 2, 3. НОД = 2²·3 = 12.Почему так?

   2 есть в обоих, наименьший показатель 2 (у 36); 3 тоже в обоих, наименьший показатель 1.

3. Все множители в наибольших степенях: НОК = 2⁴·3² = 144.Почему так?

   НОК должен «покрыть» все множители обоих чисел: 2⁴ (из 48) и 3² (из 36).

4. Ответ: НОД = 12, НОК = 144.

История

Значит, учитель может составить не более 12 групп: каждой группе достанется 48 : 12 = 4 яблока и 36 : 12 = 3 бутылки сока. Если групп больше 12, то либо яблоки, либо сок поровну не разделить.

Теперь вернёмся к вопросу на платформе. После 0-й минуты поезда левого пути отправляются на 12, 24, 36, 48, … минуте, а правого — на 18, 36, 54, … минуте. Момент общего отправления должен быть кратен и 12, и 18, а ближайший такой момент — это НОК.

История

12 = 2²·3, 18 = 2·3², значит НОК(12; 18) = 2²·3² = 36. Поезда снова отправятся вместе через 36 минут — в 08:36. Ответ 12 + 18 = 30 неверен (30 даже не делится на 12), а 12·18 = 216 хоть и общее кратное, но не наименьшее.

Свойство

Для любых двух натуральных чисел a и b:

НОД(a; b) · НОК(a; b) = a · b

Проверь: 12 · 144 = 1728 = 48 · 36. Причина: НОД берёт каждый общий множитель в меньшей степени, а НОК — в большей; в их произведении каждый простой множитель встречается столько же раз, сколько в a·b. Числа, НОД которых равен 1, называются взаимно простыми (например, 8 и 15); для них НОК(a; b) = a · b.

В лаборатории ты увидишь оба расписания на одной оси: сверху кратные a, снизу кратные b. Золотая линия показывает их первое совпадение — НОК. Начни с a = 12, b = 18, затем выбери взаимно простые числа (например, 8 и 15).

Лаборатория · два расписания на одной оси: найди НОКa (первый путь, мин)12b (второй путь, мин)18Так спрашивают на экзаменеДИМ · 06.07.2025

Вычислите значение выражения (104·240)/НОК(104; 240).

A) 6B) 4C) 3D) 2E) 8

1. По свойству 104 · 240 = НОД(104; 240) · НОК(104; 240). Разделив обе части на НОК, получаем, что выражение равно НОД(104; 240).Почему так?

   Свойство избавляет от вычисления большого произведения (104·240 = 24960) и НОК.

2. Раскладываем на простые множители: 104 = 2³·13, 240 = 2⁴·3·5.
3. Общий простой множитель только 2, наименьший показатель 3: НОД = 2³ = 8.
4. Ответ: 8 (вариант E).

Официальное пояснение ДИМ (06.07.2025)

По известному свойству НОД и НОК двух натуральных чисел можно записать (104·240)/НОК(104; 240) = НОД(104; 240). НОД(104; 240) же равен произведению общих простых множителей этих чисел. Так как 104 = 2·2·2·13 и 240 = 2·2·2·2·3·5, НОД(104; 240) = 2·2·2 = 8Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите НОК(a; b), если НОД(a; b) = 6 и a · b = 540.

НОД · НОК = a · b.

Глава 4

Последняя цифра степени

Вычислить большую степень трудно, а найти её последнюю цифру легко: последняя цифра произведения зависит только от последних цифр множителей. Выпишем последние цифры степеней подряд: 3¹ = 3, 3² = 9, 3³ = 27, 3⁴ = 81, 3⁵ = 243 — последние цифры 3, 9, 7, 1, 3, … повторяются.

Последние цифры повторяются периодически: период 4, 2 или 1.Правило

У степеней числа, оканчивающегося на 2, 3, 7 или 8, последние цифры повторяются через 4 шага. Раздели показатель на 4: если остаток r, то последняя цифра — r-й член периода, если остаток 0 — 4-й член. В частности, степени 3ᵏ и 7ᵏ с показателем, кратным 4, оканчиваются на 1.

Пример 5

Найдите последнюю цифру числа 2²⁰²⁶.

1. Последние цифры степеней 2: 2, 4, 8, 6 — период 4.
2. 2026 = 4·506 + 2, остаток 2.Почему так?

   Каждый полный период (4 шага) возвращает последнюю цифру на прежнее место, поэтому важен только остаток.

3. Последняя цифра — 2-й член периода, как у 2²: 4.
4. Ответ: 4.

Проверь себя

Найдите последнюю цифру числа 8³⁵.

Период для 8: 8, 4, 2, 6; 35 = 4·8 + 3.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 24.05.2026

m ∈ N, n ∈ N. Если последняя цифра произведения 3¹⁶⁺⁵ᵐ · 7⁴⁺³ⁿ равна 1, найдите наименьшее значение суммы (m + n).

A) 2B) 6C) 4D) 3E) 5

1. Разделяем показатели: 3¹⁶⁺⁵ᵐ · 7⁴⁺³ⁿ = 3¹⁶ · 7⁴ · 3⁵ᵐ · 7³ⁿ.
2. 16 и 4 делятся на 4, поэтому 3¹⁶ и 7⁴ оканчиваются на 1. Значит, произведение 3⁵ᵐ · 7³ⁿ тоже должно оканчиваться на 1.Почему так?

   Умножение на число, оканчивающееся на 1, не меняет последнюю цифру.

3. Период для 3: 3, 9, 7, 1; для 7: 7, 9, 3, 1. Пары последних цифр с произведением, оканчивающимся на 1: (3; 7), (9; 9), (7; 3), (1; 1). В каждой паре остатки показателей 5·m и 3·n при делении на 4 одинаковы.Почему так?

   3·7 = 21, 9·9 = 81, 7·3 = 21, 1·1 = 1. В каждой паре обе цифры стоят на одинаковых местах своих периодов.

4. Проверяем малые суммы. m + n = 2: (1; 1) — 5 и 3, остатки 1 и 3, различны. m + n = 3: (1; 2) — 5 и 6, остатки 1 и 2; (2; 1) — 10 и 3, остатки 2 и 3, различны. m + n = 4: (1; 3) — 5 и 9, остатки 1 и 1, подходит.
5. Ответ: m + n = 4 (вариант C).

Официальное пояснение ДИМ (24.05.2026)

Разложив при m ∈ N, n ∈ N выражение 3¹⁶⁺⁵ᵐ · 7⁴⁺³ⁿ на множители, получим 3¹⁶⁺⁵ᵐ · 7⁴⁺³ⁿ = 3¹⁶ · 3⁵ᵐ · 7⁴ · 7³ⁿ. Чтобы высказать суждение о последней цифре произведения, сначала нужно определить последние цифры степеней 3 и 7. … Так как 3¹⁶ = (3⁴)⁴ и 7⁴ оканчиваются на 1, для того чтобы данное произведение оканчивалось на 1, произведение 3⁵ᵐ · 7³ⁿ должно оканчиваться на 1. Это возможно, когда последние цифры значений 3⁵ᵐ и 7³ⁿ соответственно (3 и 7), (7 и 3), (9 и 9), (1 и 1). Для этого остатки от деления 5·m и 3·n на 4 должны быть одинаковыми, т. е. (1 и 1), (2 и 2), (3 и 3), либо 5·m и 3·n должны делиться на 4 без остатка. При парах (m; n) = (1, 1), (1, 2), (2, 1) остатки от деления 5·m и 3·n на 4 различны. Значит, чтобы последняя цифра данного произведения была 1, наименьшие значения (m и n) соответственно (1 и 3), (2 и 2), (3 и 1) и (4 и 4); сумма m + n при этом равна 1+3=4, 2+2=4, 3+1=4, 4+4=8. Таким образом, наименьшее значение суммы m + n равно 4.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)

Глава 5

Задача на движение: поезд проходит тоннель

История

В конце пути поезд подъезжает к горе. Впереди тоннель длиной 480 м. Проводник говорит, что длина поезда 120 м, а в тоннеле его скорость будет 36 км/ч.

Один из учеников готовит секундомер: сколько секунд пройдёт с момента, когда голова поезда въедет в тоннель, до момента, когда поезд полностью из него выйдет?

Поезд (120 м) со скоростью 36 км/ч подъезжает к тоннелю длиной 480 м.

Основная формула задач на движение — s = v · t: путь = скорость · время. Перед вычислением согласуй единицы: 1 км = 1000 м, 1 ч = 60 мин = 3600 с. Например, 36 км/ч = 36000 м : 3600 с = 10 м/с.

Правило

Когда поезд длиной ℓ полностью проходит тоннель (мост) длиной L — с момента въезда головы до момента выхода хвоста, — каждая точка поезда, например самая задняя, проходит путь ℓ + L.

В начале задняя точка отстаёт от входа в тоннель на ℓ, в конце — находится у выхода.История

Задняя точка проходит 120 + 480 = 600 м. Так как 36 км/ч = 10 м/с, получаем t = 600 : 10 = 60 с, т. е. ровно 1 минуту. Секундомер ученика тоже показал 60 с. Если забыть про длину поезда, получится 480 : 10 = 48 с — ошибка на 12 секунд.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 15.03.2026

Расстояние между конечной точкой первого из двух тоннелей длиной 500 м и 300 м и начальной точкой второго равно 15 км. Через сколько минут после того, как поезд длиной 200 м, идущий со скоростью 64 км/ч, начал въезжать в I тоннель, он полностью выйдет из II тоннеля?

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Проследим за самой задней точкой поезда. В начале голова поезда у входа в I тоннель, а задняя точка — на 200 м позади входа.
2. В конце задняя точка у выхода из II тоннеля. За это время она проходит 200 + 500 + 15000 + 300 = 16000 м = 16 км.Почему так?

   15 км = 15000 м: перед сложением все длины нужно записать в одних единицах.

3. Время: t = 16 : 64 = 0,25 ч = 0,25 · 60 мин = 15 мин.Почему так?

   Скорость дана в км/ч, поэтому путь удобно взять в км, а затем перевести часы в минуты.

4. Ответ: 15 мин.

Официальное пояснение ДИМ (15.03.2026)

С момента, когда поезд длиной 200 м въезжает в I тоннель, до момента, когда он полностью выходит из II тоннеля, самая задняя точка поезда проходит расстояние 200 + 500 + 15000 + 300 = 16000 (м). Таким образом, поезд проходит расстояние 16 км со скоростью 64 км/ч за время 16:64 = 0,25 (ч) = 15 (мин).Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

Проверь себя

Поезд длиной 300 м идёт со скоростью 54 км/ч по мосту длиной 900 м. Сколько секунд пройдёт с момента, когда голова поезда въедет на мост, до момента, когда поезд полностью сойдёт с него?

54 км/ч = 15 м/с; путь 300 + 900.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 09.03.2026

Найдите количество натуральных чисел n, удовлетворяющих условию 17 ≤ n < 23.

A) 4B) 8C) 6D) 5E) 7Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 6 (вариант C).

Количество натуральных чисел, удовлетворяющих этому условию, равно 23–17=6.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

ДИМ · 12.07.2026

Сколько тысяч содержится в числе 1389214?

A) 13B) 1389C) 9000D) 13892E) 138Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 1389 (вариант B).

Согласно разложению 1389214=1389 ·10³+214, в числе 1389 тысяч.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

ДИМ · 01.06.2025

Число равно сумме трёх натуральных чисел, из которых первое делится нацело на 57, второе — на 24, а третье — на 19, причём полученные частные равны. Найдите последнюю цифру данного числа.

A) 5B) 0C) 7D) 9E) 4Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 0 (вариант B).

Обозначим данное число через a. По условию число a равно сумме таких чисел x, y и z, что x = 57k, y = 24k, z = 19k. Отсюда a = x + y + z = 57k + 24k + 19k = 100k. Это означает, что при любом натуральном значении k последняя цифра числа a будет 0.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

ДИМ · 05.07.2026

Если число простых множителей числа a = 4²ⁿ · 9ᵐ равно 12, найдите сумму значений, которые может принимать m (n ∈ N, m ∈ N).

Простые множители считаются с учётом повторений (глава 2).

A) 4B) 9C) 7D) 6E) 8Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 6 (вариант D): n = 1, m = 4 и n = 2, m = 2.

Если записать число a в виде произведения простых множителей: a = 4²ⁿ · 9ᵐ = (2²)²ⁿ · (3²)ᵐ = 2⁴ⁿ · 3²ᵐ. Здесь число простых множителей 4n + 2·m = 12, 2n + m = 6 … 4 + 2 = 6Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)

ДИМ · 07.06.2026

Для взаимно простых натуральных чисел a и b НОК(a; b) = 126 и a + b = 23. Найдите значение выражения a² + b².

A) 289B) 277C) 269D) 261E) 265Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 277 (вариант B).

Так как a и b — взаимно простые числа, НОК(a,b) = a · b. По условию {ab = 126; a + b = 23}. Известно, что эта система имеет решение. Поэтому a² + b² = (a + b)² − 2ab = 23² − 2·126 = 529 − 252 = 277.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Итоги

Запомни

• Счёт в промежутке: a ≤ n ≤ b → b − a + 1; если одна граница не входит → b − a.
• «Сколько всего тысяч?» — отбрось три цифры справа: 4507216 = 4507·10³ + 216.
• Запись цифрами: abc = 100a + 10b + c, ab4 = 10·ab + 4.
• Число простых множителей считается с повторениями: 3⁴ⁿ·5²ᵐ → 4n + 2·m множителей.
• НОД — общие множители в меньших степенях, НОК — все множители в больших степенях; НОД · НОК = a · b.
• Для взаимно простых чисел НОК(a; b) = a · b.
• У степеней чисел, оканчивающихся на 2, 3, 7, 8, период 4: раздели показатель на 4 и смотри на остаток.
• Поезд полностью проходит тоннель: путь ℓ + L, время t = s : v.

Типичные ошибки

«В промежутке 17 ≤ n < 23 находится 23 − 17 + 1 = 7 чисел»

23 не входит: 17, 18, …, 22 — всего 6 чисел. «+1» пишут, только когда входят обе границы.

«В числе 4507216 — 7 тысяч»

7 — цифра в разряде тысяч. Всего в числе 4507 тысяч.

«Число простых множителей — это число различных простых множителей»

В заданиях ДИМ повторяющиеся тоже учитываются: у 360 = 2³·3²·5 шесть простых множителей, а не три.

«Проходя тоннель, поезд проходит путь, равный длине тоннеля»

Пока поезд полностью не выйдет, он проходит ещё и свою длину: s = ℓ + L.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Количество натуральных чисел, удовлетворяющих условию 25 < n ≤ 40:

26, 27, …, 40: одна граница не входит, 40 − 25 = 15.

2 · Уровень 1

Сколько всего десятков тысяч в числе 6038152?

Отбрасываем четыре цифры справа: 6038152 = 603·10⁴ + 8152.

3 · Уровень 2

Чему равен НОД(84; 126)?

84 = 2²·3·7, 126 = 2·3²·7; НОД = 2·3·7 = 42.

4 · Уровень 2

Последняя цифра числа 7²⁰²⁶:

Период для 7: 7, 9, 3, 1; 2026 = 4·506 + 2, последняя цифра 9.

5 · Уровень ДИМ

Для взаимно простых натуральных a и b НОК(a; b) = 40 и a + b = 13. Значение выражения a² + b²:

ab = НОК = 40; a² + b² = 13² − 2·40 = 169 − 80 = 89.

6 · Уровень ДИМ

Поезд длиной 150 м идёт со скоростью 72 км/ч. Сколько секунд пройдёт с момента въезда его головы в тоннель длиной 450 м до момента, когда поезд полностью выйдет из тоннеля?

72 км/ч = 20 м/с; (150 + 450) : 20 = 30 с.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 16; B-22, C-14, D-4
2. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 13; B-13, C-13, D-8
3. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 17; B-9, C-8, D-22
4. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 65; B-67, C-62, D-66
5. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 75; B-78, C-74, D-75
6. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 77; B-77, C-77, D-78
7. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 18; B-18, C-5, D-6
8. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 17; B-18, C-1, D-9
9. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 14; B-12, C-13, D-7
10. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 12; B-14, C-6, D-7

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.