Многоугольники: сумма внутренних углов, правильные многоугольники и диагонали

Выпуклый n-угольник можно разбить диагоналями из одной вершины на n − 2 треугольника. Сумма углов каждого треугольника 180°, поэтому сумма внутренних углов многоугольника: S = (n − 2)·180°. Многоугольник, у которого все стороны и углы равны, называется правильным, каждый его угол равен (n − 2)·180°/n.

Если взять по одному внешнему углу при каждой вершине, их сумма всегда 360°; у правильного многоугольника каждый внешний угол 360°/n. Число диагоналей: n(n − 3)/2 — из каждой вершины выходит n − 3 диагонали, и каждая считается дважды.

S = (n − 2)·180°сумма внутренних угловсумма внешних углов = 360°любой выпуклый многоугольникn(n − 3)/2число диагоналейменяй число сторон и способ показа ↓Каждая новая сторона — новый треугольник, +180°

Слева правильный n-угольник: разбиение из одной вершины на цветные треугольники, все диагонали (красные) или внешние углы (синий пунктир). Справа вычисления.

Число сторон, n6Показать

• Внутренний угол правильного многоугольника
• Внешний угол
• Число диагоналей

Задание 1 / 3○○○

Построй правильный многоугольник с углом 120°.

Настрой ползунки и кнопки…

Что показывает симуляция?

языком ползунков

• Шестиугольник делится на 4 треугольника: S = 4·180° = 720°, каждый угол 120°.
• Увеличь n на один: треугольников тоже на один больше, сумма растёт на 180°.
• Сумма внешних углов не зависит от n — всегда 360°.
• У десятиугольника 35 диагоналей.
• Без просветов плоскость могут покрыть только правильные треугольник, квадрат и шестиугольник.

Правильные многоугольники

таблица

n	Название	Сумма углов	Один угол	Диагонали
3	треугольник	180°	60°	0
4	квадрат	360°	90°	2
5	пятиугольник	540°	108°	5
6	шестиугольник	720°	120°	9
8	восьмиугольник	1080°	135°	20

Самые частые ошибки

красной ручкойСчитать сумму как n·180°

Треугольников не n, а n − 2: S = (n − 2)·180°.

Считать диагонали как n(n − 3)

Каждая диагональ считается с двух концов, поэтому делим на 2: n(n − 3)/2.

Считать сумму внешних углов зависящей от n

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника всегда 360°.

Разобранные задачи

сначала реши сам

Задача 1

Каждый внутренний угол правильного многоугольника 140°. Сколько у него сторон?

Показать решениеВнешний угол = 180° − 140° = 40°n = 360° / 40° = 9

Ответ: 9.

Задача 2

Сколько диагоналей у многоугольника с суммой внутренних углов 1440°?

Показать решение(n − 2)·180 = 1440 → n = 1010·7/2 = 35

Ответ: 35.

В реальной жизни: почему соты шестиугольные?

замощение правильными многоугольникамиПчёлы строят из воска шестиугольные ячейки

Угол правильного пятиугольника 108°: 360° не делится на 108 нацело, поэтому сложить паркет из пятиугольников без просветов нельзя. Это правило учитывают и при дизайне плитки и тротуарного камня.

Проверь себя: 5 тестовых заданий

5 вопросов

1Какова сумма внутренних углов пятиугольника?

2Чему равен один внутренний угол правильного шестиугольника?

3Какова сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника?

4Сколько диагоналей у шестиугольника?

5Открытый вопрос: какова сумма внутренних углов восьмиугольника в градусах? Запиши ответ числом.

Источник

Программа вступительных экзаменов ДИМ 2026: Математика → Планиметрия: многоугольники, сумма внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника, правильные многоугольники.