Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора

Планиметрия · Тема 35 / 46

Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора

Этот урок пройдём через историю: в новой квартире идёт ремонт, и мастер на каждом шагу встречает прямоугольный треугольник. Каждую идею сначала увидим в его работе, а потом узнаем, как её спрашивают на экзамене ДИМ.

≈ 40 минутГлав: 6Заданий ДИМ: 5материал 7–8 классов

После урока ты сможешь

• находить катеты и гипотенузу по теореме Пифагора;
• определять по сторонам, прямоугольный, остроугольный или тупоугольный треугольник;
• сразу записывать стороны треугольников с углами 30° и 45°;
• решать задания ДИМ на sin, cos, tg и медиану к гипотенузе.

Перед началом вспомни

• Сумма углов треугольника равна 180°.
• Площадь квадрата со стороной a равна a².
• При a > 0 √(a²) = a.

Содержание

1. ВведениеСитуация: прямой ли угол?история и предположение
2. Глава 1Элементы прямоугольного треугольникакатеты, гипотенуза, острые углы
3. Глава 2Теорема Пифагоратеорема, обратная теорема, тройки
4. Глава 3Нахождение катетаb = √(c² − a²)
5. Глава 4Прямоугольные треугольники с углами 30° и 45°особые треугольники · ДИМ 19.04.2026
6. Глава 5Синус, косинус и тангенс острого углаопределения · ДИМ 15.03.2026
7. Глава 6Медиана и высота, проведённые к гипотенузеДИМ 24.05.2026, 13.07.2025
8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: прямой ли угол?

История

В новой квартире ремонтируют кухню. Мастер начал укладывать плитку на пол, но через несколько рядов остановился: в углу плитки ложатся неровно, между ними остаются клиновидные щели.

Плитка ложится ровно, только если угол между стенами прямой (90°). Угломера у мастера нет, есть только рулетка. Он отмеряет от угла 3 м вдоль левой стены и 4 м вдоль правой и ставит метки. Расстояние между метками — 5,2 м.

Мастер может измерить только три расстояния: вдоль двух стен и между метками.Сначала предположи

Каким, по-твоему, получился угол? Выбери ответ — проверим его вместе во 2-й главе.

Глава 1

Элементы прямоугольного треугольника

Угол, две метки и натянутая между ними рулетка образуют треугольник. Будь угол прямым, треугольник был бы прямоугольным. Сначала назовём его части.

Определение

Треугольник, у которого один угол равен 90°, называется прямоугольным. Стороны, образующие прямой угол, — катеты, сторона напротив прямого угла — гипотенуза.

В этом уроке обычно ∠C = 90°, BC = a, AC = b, AB = c.

Сразу запомни два факта. Первый: сумма острых углов равна 90°: α + β = 180° − 90°. Второй: гипотенуза всегда самая длинная сторона, потому что лежит против наибольшего угла (90°).

Проверь себя

В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, ∠A = 35°. Сколько градусов ∠B?

Сумма острых углов равна 90°.

Глава 2

Теорема Пифагора

Чтобы ответить на вопрос мастера, нужно знать, как связаны стороны прямоугольного треугольника. Эту связь даёт теорема Пифагора.

Теорема (Пифагор)

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

a² + b² = c²

Теорему можно «увидеть» через площади: если построить квадраты на сторонах, сумма площадей двух меньших квадратов в точности равна площади большего. Проверь это сам: меняй угол между a и b.

Лаборатория · меняй угол, сравнивай площадиa3b4угол между a и b90°Обратная теорема

Если для сторон треугольника выполняется c² = a² + b², то треугольник прямоугольный и прямой угол лежит против стороны c. Если c — наибольшая сторона, то при c² < a² + b² треугольник остроугольный, а при c² > a² + b² — тупоугольный.

История

Измерения мастера: 3² + 4² = 9 + 16 = 25, а между метками 5,2² = 27,04. Так как 27,04 > 25, угол больше 90° (тупой). Мастер решает класть плитку не по стене, а по вспомогательной линии на полу: проводит её так, чтобы между метками было 5 м. Тогда 3² + 4² = 5², т. е. эта линия образует со стеной прямой угол.

Прямоугольные треугольники с целыми сторонами часто встречаются на экзамене. Их называют пифагоровыми тройками: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25 и кратные им, например 6, 8, 10.

Пример 1

Экран телевизора имеет ширину 48 см и высоту 36 см. Найдите диагональ экрана.

1. Ширина, высота и диагональ экрана образуют прямоугольный треугольник; диагональ — гипотенуза.Почему так?

   Экран — прямоугольник: угол между шириной и высотой равен 90°. Диагональ лежит против этого прямого угла.

2. Записываем теорему Пифагора: d² = 48² + 36² = 2304 + 1296 = 3600.
3. d = √3600 = 60.Почему так?

   Это тройка 3, 4, 5, увеличенная в 12 раз: 36 = 3·12, 48 = 4·12, значит d = 5·12.

4. Ответ: 60 см.

Проверь себя

Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12.

c² = 25 + 144.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 02.03.2025

Отношение одного катета прямоугольного треугольника к гипотенузе равно 4:5, периметр равен 48 см. Найдите длину гипотенузы.

1. Записываем отношение через вспомогательную переменную: катет 4k, гипотенуза 5k.Почему так?

   Отношение 4:5 задаёт не сами стороны, а их отношение; общий множитель обозначаем k.

2. Второй катет: √(25k² − 16k²) = 3k.Почему так?

   Это снова тройка 3, 4, 5, увеличенная в k раз.

3. Периметр: 3k + 4k + 5k = 12k = 48, откуда k = 4.
4. Ответ: гипотенуза 5k = 20 см.

Официальное пояснение ДИМ (02.03.2025)

По условию один катет прямоугольного треугольника равен 4k, а гипотенуза — 5k. Применив теорему Пифагора, находим, что второй катет равен 3k. Таким образом, P = 3k + 4k + 5k = 12k = 48 ⇒ 5k = 20.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

Глава 3

Нахождение катета

История

Плитка готова, теперь очередь полки. Её нужно повесить на самом верху стены, у потолка. Мастер прислоняет к стене лестницу длиной 5 м. Чтобы она не скользила, нижний конец он ставит в 1,4 м от стены.

Пол и стена образуют прямой угол, а лестница лежит против этого прямого угла. Вопрос: до какой высоты стены достаёт лестница?

Стена, пол и лестница образуют прямоугольный треугольник: лестница — гипотенуза.

Здесь известны гипотенуза (лестница) и один катет (расстояние по полу), ищем второй катет. Выражаем его из теоремы Пифагора:

Правило

b = √(c² − a²)

Когда ищем катет, квадраты вычитаются, когда гипотенузу — складываются.

Пример 2

Решим задачу о лестнице: c = 5 м, a = 1,4 м.

1. Стена, пол и лестница образуют прямоугольный треугольник; лестница — гипотенуза.Почему так?

   Стена перпендикулярна полу.

2. h² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04.
3. h = √23,04 = 4,8.Почему так?

   Проверка: 4,8² + 1,4² = 23,04 + 1,96 = 25 = 5².

4. Ответ: лестница достаёт до высоты 4,8 м.

Проверь себя

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17, один из катетов — 8. Найдите второй катет.

b² = 289 − 64.

Глава 4

Прямоугольные треугольники с углами 30° и 45°

История

В квартире есть мансарда. Лестницу наверх мастер делает сам. Линия, проходящая через края ступеней, имеет длину 6 м и образует с полом угол 30°.

На какой высоте пол мансарды находится над полом нижнего этажа? На этот раз мастер даже не возводит в квадрат: отвечает с одного взгляда. Как?

Линия лестницы — гипотенуза, а искомая высота — катет против угла 30°.

В некоторых прямоугольных треугольниках стороны можно записать сразу по углам, без вычислений. На экзамене это большая экономия времени.

Свойство

Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. В равнобедренном прямоугольном треугольнике (углы по 45°) гипотенуза в √2 раз больше катета.

Слева: треугольник 30°, 60°, 90°. Справа: треугольник 45°, 45°, 90°.

Причина первого свойства проста: если разрезать равносторонний треугольник высотой пополам, получатся два треугольника с углами 30°, 60°, 90°; катет против 30° — половина стороны равностороннего треугольника, то есть половина гипотенузы.

История

Секрет мастера: высота — катет против угла 30°, поэтому она равна половине гипотенузы: h = 6 : 2 = 3 м.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 19.04.2026

В треугольнике a=8, α=30°, γ=60°. Найдите c.

На рисунке сторона a лежит против угла α, сторона c — против угла γ.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 8B) 8√2C) 4√3D) 8√3E) 16

1. Третий угол: β = 180° − 30° − 60° = 90°. Треугольник прямоугольный.Почему так?

   Так как α + γ = 90°, оставшийся угол прямой.

2. Внимание: c — не гипотенуза! Гипотенуза лежит против прямого угла (β). Сторона a лежит против угла α = 30°, значит гипотенуза равна 2a = 16.Почему так?

   Решай не по букве, а по положению прямого угла: в этом ловушка задания.

3. c — второй катет: c² = 16² − 8² = 256 − 64 = 192 = 64·3.
4. Ответ: c = 8√3 (вариант D).

Официальное пояснение ДИМ (19.04.2026)

Так как α + γ = 90⁰, треугольник прямоугольный; по свойству катета, лежащего против угла 30°, гипотенуза треугольника равна 16. По теореме Пифагора c² = 16² − 8² = 256 − 64 = 192 = 64·3 ⇒ c = 8√3Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)

Проверь себя

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 30°, катет против него равен 7. Найдите гипотенузу.

Катет против угла 30° равен половине гипотенузы.

Глава 5

Синус, косинус и тангенс острого угла

В прямоугольном треугольнике острый угол полностью определяет отношения сторон. Этим отношениям дали названия:

Стороны называются по отношению к углу α: «противолежащий» и «прилежащий» катет.Определения

sin α = противолежащий катет / гипотенуза,   cos α = прилежащий катет / гипотенуза,   tg α = противолежащий катет / прилежащий катет.

Самая частая ошибка — называть стороны относительно не того угла. Поэтому каждый раз сначала найди вершину угла, потом укажи катет «напротив» и катет «рядом».

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 15.03.2026

В треугольнике ABC ∠C=90°. Вычислите cosα·tanβ.

На рисунке α — угол при вершине B, β — при вершине A; BC = a, AC = b, AB = c. (tan — другое обозначение tg.)

A) bc/a²B) a²/(bc)C) ac/b²D) ab/c²E) a/(bc)

1. Угол α — при вершине B. Прилежащий к нему катет BC = a, значит cos α = a/c.Почему так?

   Прилежащий катет выходит из вершины угла; из B выходит катет BC.

2. Угол β — при вершине A. Противолежащий катет BC = a, прилежащий AC = b, значит tg β = a/b.
3. Произведение: (a/c)·(a/b) = a²/(bc).
4. Ответ: a²/(bc) (вариант B).

Официальное пояснение ДИМ (15.03.2026)

Так как cosα = a/c, tanβ = a/b, то cosα · tanβ = (a/c)·(a/b) = a²/(bc)Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

Проверь себя

В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, AC = 6, BC = 8. Найдите sin A (десятичной дробью).

Против угла A лежит катет BC; сначала найди гипотенузу.

Глава 6

Медиана и высота, проведённые к гипотенузе

Свойство

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы: BM = AM = MC = AC/2. Ведь точка M — центр описанной окружности.

M — середина гипотенузы; точка M равноудалена от A, B и C.

Биссектриса прямого угла делит его на два угла по 45°. Задания, где эти факты сочетаются с высотой, часто встречаются у ДИМ.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 24.05.2026

Угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равен 20°. Найдите градусную меру большего острого угла этого треугольника.

1. Прямой угол при вершине C, CD — высота, CE — биссектриса. Биссектриса делит прямой угол пополам: ∠ECA = 45°.
2. ∠DCA = ∠ECA − ∠DCE = 45° − 20° = 25°.Почему так?

   Точка D лежит между A и E: высота ближе к A, чем биссектриса.

3. В прямоугольном треугольнике ACD (∠D = 90°) сумма острых углов 90°: ∠A = 90° − 25° = 65°; тогда ∠B = 25°.
4. Ответ: больший острый угол равен 65°.

Официальное пояснение ДИМ (24.05.2026)

CD ⊥ AB, CE — биссектриса. Тогда ∠ECA = ∠ECB = 45°, ∠DCE = 20°. Значит, ∠DCA = 45° − 20° = 25° … То есть градусная мера большего острого угла равна 65°.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)

Пример доказательстваДИМ · 13.07.2025

Докажите, что высота, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, один из углов которого равен 15°, в 4 раза меньше гипотенузы.

1. В ABC ∠B = 90°, ∠C = 15°. BM — медиана к гипотенузе, BD — высота. По свойству медианы BM = CM = AC/2.
2. Треугольник BMC равнобедренный (BM = CM), поэтому ∠MBC = ∠C = 15°. ∠BMD — внешний угол этого треугольника: ∠BMD = 15° + 15° = 30°.Почему так?

   Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

3. В прямоугольном треугольнике BMD катет BD лежит против угла 30°: BD = BM/2 = (AC/2)/2.
4. Итог: BD = AC/4, что и требовалось доказать.

Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)

Обозначим данный в задаче треугольник ABC. Пусть BM — медиана, проведённая к гипотенузе AC, BD — высота … Тогда AM = CM = BM = AC/2. В ΔBMC BM = CM, поэтому ∠MBC = 15°. Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, ∠BMD = 30°. Так как в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, из прямоугольного треугольника BMD получаем BD = BM/2 = (AC/2)/2 = AC/4.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Найдите медиану, проведённую к гипотенузе, если гипотенуза равна 14.

Медиана равна половине гипотенузы.

Итоги

Запомни

• Пифагор: a² + b² = c²; гипотенуза — сторона против прямого угла, самая длинная.
• Катет: b = √(c² − a²); гипотенуза: c = √(a² + b²).
• Обратная теорема: c² = a² + b² → прямой, c² < a² + b² → острый, c² > a² + b² → тупой угол.
• Тройки: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 и кратные им.
• Катет против 30° равен c/2; в треугольнике с углом 45° c = a√2.
• sin = противолеж./гип., cos = прилеж./гип., tg = противолеж./прилеж..
• Медиана к гипотенузе = c/2; биссектриса прямого угла делит его на углы по 45°.

Типичные ошибки

c = a + b

Складываются не стороны, а их квадраты: при катетах 3 и 4 c = 5, а не 7.

c — всегда гипотенуза

Гипотенузу определяй не по букве, а по положению прямого угла (см. задание 19.04.2026).

Теорема Пифагора верна для любого треугольника

Только для прямоугольного. Для остальных треугольников используют теорему косинусов.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 9 и 12:

√(81 + 144) = √225 = 15.

2 · Уровень 1

Какие числа могут быть сторонами прямоугольного треугольника?

25 + 144 = 169 = 13².

3 · Уровень 2

Треугольник со сторонами 4, 5, 6:

6² = 36 < 4² + 5² = 41.

4 · Уровень 2

Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 6√2. Найдите катет.

c = a√2 → a = 6.

5 · Уровень ДИМ

Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4, медиана к гипотенузе равна 10. Найдите меньший катет.

Гипотенуза 2·10 = 20 = 5k, k = 4, меньший катет 3k = 12.

6 · Уровень ДИМ

Один острый угол прямоугольного треугольника 30°, гипотенуза 12. Длина большего катета:

Меньший катет 6, больший √(144 − 36) = √108 = 6√3.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 80; B-80, C-80, D-80
2. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 30; B-30, C-30, D-30
3. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 72; B-66, C-71, D-62
4. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 73; B-68, C-62, D-64
5. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 24; B-25, C-26, D-26

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.