Четырёхугольники: параллелограмм, ромб, трапеция

Планиметрия · Тема 37 / 46

Четырёхугольники: параллелограмм, ромб, трапеция

Этот урок пройдём через историю о саде: семья собирает во дворе деревянную рамку для грядки, разбивает цветник в форме трапеции и прокладывает дорожку на участке-параллелограмме. На каждом шаге понадобится свойство какого-то четырёхугольника: параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата и трапеции, средней линии и биссектрисы.

≈ 45 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 8материал 8 класса

После урока ты сможешь

• применять свойства и признаки параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата;
• использовать в ромбе формулу d₁² + d₂² = 4a²;
• находить среднюю линию трапеции и расстояние между серединами её диагоналей;
• видеть равнобедренный треугольник, отсекаемый биссектрисой, и разбивать трапецию на части.

Перед началом вспомни

• При параллельных прямых накрест лежащие углы равны, сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны (и наоборот).
• Теорема Пифагора и средняя линия треугольника: половина третьей стороны.

Содержание

1. ВведениеСитуация: прямоугольная ли рамка грядки?история и предположение
2. Глава 1Параллелограмм и его свойствасвойства · периметр · ДИМ 06.07.2025
3. Глава 2Прямоугольник, ромб и квадратсвойства диагоналей · лаборатория · ДИМ 05.07.2026
4. Глава 3Трапеция и её средняя линиясредняя линия · равнобедренная трапеция · ДИМ 12.07.2026
5. Глава 4Биссектриса отсекает равнобедренный треугольникнакрест лежащие углы · ДИМ 07.06.2026
6. Глава 5Разбиение четырёхугольника на частипараллельный перенос · ДИМ 02.03.2025
7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 3, с ответом и официальным пояснением
8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: прямоугольная ли рамка грядки?

История

Семья разбивает во дворе сад. Первое дело — деревянная рамка для грядки. Мастер отпиливает две доски по 4 м и две по 3 м и скрепляет их концами: противоположные доски равны. На глаз рамка кажется прямоугольной.

Угломера нет, но есть рулетка. Мастер измеряет обе диагонали от угла до угла: одна получается 5,2 м, другая 4,8 м. Что эти измерения говорят об углах рамки?

Противоположные доски равны: 4 м и 3 м. Диагонали 5,2 м и 4,8 м.Сначала предположи

Как ты думаешь, рамка прямоугольная? Выбери ответ — проверим вместе во 2-й главе.

Глава 1

Параллелограмм и его свойства

Замкнутая фигура из четырёх отрезков — четырёхугольник. Любой четырёхугольник диагональю делится на два треугольника, поэтому сумма его углов равна 2·180° = 360°. У рамки мастера противоположные доски равны — такой четырёхугольник является параллелограммом.

Определение

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

Свойства параллелограмма

1) противоположные стороны равны: AB = CD, BC = AD;2) противоположные углы равны, сумма соседних углов равна 180°;3) диагонали точкой пересечения делятся пополам: AO = OC, BO = OD;4) периметр: P = 2(a + b).

Соседние углы — внутренние односторонние при параллельных прямых, поэтому их сумма равна 180°.

Верны и обратные утверждения, по ним параллелограмм и распознают: четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны или диагонали точкой пересечения делятся пополам, — параллелограмм. Поэтому рамка мастера — параллелограмм.

Пример 1

Разность двух углов параллелограмма равна 40°. Найдите его углы.

1. Два неравных угла — соседние, их сумма 180°.Почему так?

   Противоположные углы равны, их разность была бы 0. Значит, речь о соседних углах.

2. x + (x − 40°) = 180°, откуда x = 110°.
3. Углы: 110°, 70°, 110°, 70°.
4. Ответ: 110°, 70°, 110°, 70°.

Проверь себя

Периметр параллелограмма 30 см, одна сторона на 3 см длиннее другой. Найдите большую сторону (см).

a + b = 15, a − b = 3.

На экзамене внутри параллелограмма часто «прячется» треугольник. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, а высота даёт прямой угол. В задании ниже высота делит сторону пополам — значит, она одновременно и медиана.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 06.07.2025

В параллелограмме ABCD высота, проведённая из вершины B к стороне AD, делит эту сторону пополам. Найдите AD, если AB=5 см и P_△ABD=17 см.

P_△ABD — периметр треугольника ABD.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 7 смB) 10 смC) 5 смD) 6 смE) 4 см

1. Рассмотрим треугольник ABD. BH — и высота (BH ⊥ AD), и медиана (AH = HD). Такой треугольник равнобедренный: BD = BA = 5.Почему так?

   Прямоугольные треугольники ABH и DBH равны по двум катетам (BH общий, AH = HD), значит, равны и гипотенузы: BA = BD.

2. Из периметра: AB + BD + AD = 17, откуда AD = 17 − 5 − 5 = 7.
3. Ответ: AD = 7 см (вариант A).

Официальное пояснение ДИМ (06.07.2025)

По условию в △ABD высота BH является также медианой. Это означает, что △ABD равнобедренный и BD = BA = 5. Так как P_△ABD=17, то AD = 17 − 5 − 5 = 7.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)

Глава 2

Прямоугольник, ромб и квадрат

У параллелограмма три особых вида. Каждый из них обладает всеми свойствами параллелограмма и, кроме того, своим собственным свойством.

Особые параллелограммы

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые. Его диагонали равны.Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны. Его диагонали перпендикулярны и делят его углы пополам.Квадрат — параллелограмм, который является и прямоугольником, и ромбом.

По диагоналям можно узнать фигуру.Признаки

Параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями — ромб.

История

Рамка мастера — параллелограмм, но её диагонали разные: 5,2 м ≠ 4,8 м. У прямоугольника диагонали должны быть равны, значит, рамка не прямоугольная: угол A примерно 85°. Мастер подталкивает угол рамки и останавливается, когда диагонали становятся равными. Теперь каждая диагональ 5 м: 3² + 4² = 5², углы прямые.

В лаборатории сторона a = 4 постоянна. Меняй сторону b и угол A и следи за диагоналями: при угле 90° диагонали становятся равными, а при b = 4 — перпендикулярными. Заметь ещё: сумма AC² + BD² не зависит от угла и всегда равна 2(a² + b²).

Лаборатория · меняй сторону и угол: когда параллелограмм становится прямоугольником, ромбом, квадратом?сторона b3угол A75°

Диагонали ромба делят его на четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты каждого — половины диагоналей, гипотенуза — сторона ромба. Отсюда получается формула, очень нужная на экзамене:

Ромб

(d₁/2)² + (d₂/2)² = a²  ⇔  d₁² + d₂² = 4a²

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 05.07.2026

Найдите сумму квадратов диагоналей ромба с периметром 12 см.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 40 см²B) 10 см²C) 36 см²D) 24 см²E) 28 см²

1. Все стороны ромба равны: P = 4a = 12, a = 3.
2. Диагонали перпендикулярны и делятся пополам, поэтому (d₁/2)² + (d₂/2)² = a².Почему так?

   Это теорема Пифагора для прямоугольного треугольника — четверти ромба.

3. Умножаем обе части на 4: d₁² + d₂² = 4a² = 4·9 = 36.Почему так?

   Сами диагонали знать не нужно: спрашивают только сумму их квадратов.

4. Ответ: 36 см² (вариант C).

Официальное пояснение ДИМ (05.07.2026)

Если обозначить диагонали ромба через d₁, d₂, а сторону — через a, то P = 4a = 12, a = 3, и так как d₁² + d₂² = 4a², то d₁² + d₂² = 4·3² = 4·9 = 36Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Диагонали ромба равны 10 и 24. Найдите сторону ромба.

Половины 5 и 12: a² = 25 + 144.

Глава 3

Трапеция и её средняя линия

История

Рамка готова, очередь цветника. Семья разбивает перед оградой клумбу в форме трапеции: передний край 10 м, задний 6 м, оба параллельны ограде.

Чтобы удобно было поливать цветы, посередине клумбы проложат гравийную дорожку, соединяющую середины боковых краёв. Какой длины будет дорожка?

Клумба-трапеция: основания 10 м и 6 м, дорожка соединяет середины боковых сторон.Определение

Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны, называется трапецией. Параллельные стороны — основания, две другие — боковые стороны. Трапеция с равными боковыми сторонами — равнобедренная.

Сумма двух углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180° (основания параллельны). В равнобедренной трапеции углы при основании равны, диагонали тоже равны; высота, проведённая из конца меньшего основания, отсекает от большего основания отрезок (a − b)/2.

a — большее, b — меньшее основание.Теорема (средняя линия)

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, — средняя линия — параллелен основаниям и равен их полусумме:

MN = (a + b)/2

История

Дорожка — средняя линия клумбы: (10 + 6)/2 = 8 м. Семья покупает 8 м бордюра, и не остаётся ни сантиметра лишнего.

Пример 2

Основания равнобедренной трапеции равны 4 и 10, боковая сторона 5. Найдите высоту.

1. Высота отсекает от большего основания отрезок (10 − 4)/2 = 3.Почему так?

   Высоты из двух концов меньшего основания отсекают посередине прямоугольник длиной b, а остаток a − b делится на две равные части.

2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза 5, катет 3: h = √(25 − 9) = 4.
3. Ответ: 4.

Свойство

Средняя линия делит диагонали пополам. Расстояние между серединами диагоналей равно полуразности оснований:

PQ = (a − b)/2

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 12.07.2026

Расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 2 см. Найдите длину большего основания, если меньшее основание трапеции равно 12 см.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 14 смB) 18 смC) 15 смD) 17 смE) 16 см

1. Проводим среднюю линию MN. Она пересекает диагонали AC и BD в их серединах — P и Q.Почему так?

   MN параллельна основаниям и проходит через середину AB; по теореме Фалеса она делит пополам и AC, и BD.

2. MP — средняя линия треугольника ABC: MP = BC/2 = 6.Почему так?

   Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.

3. MQ — средняя линия треугольника ABD: MQ = MP + PQ = 6 + 2 = 8, значит AD = 2·8 = 16.
4. Проверка по формуле: PQ = (16 − 12)/2 = 2.
5. Ответ: 16 см (вариант E).

Официальное пояснение ДИМ (12.07.2026)

Проведём среднюю линию MN трапеции ABCD. По теореме Фалеса средняя линия MN пересечёт диагонали трапеции соответственно в их серединах P и Q. Так как по свойству средней линии AD ∥ MN ∥ BC, отрезки MP и MQ будут соответственно средними линиями треугольников ABC и ABD. Так как BC=12, то MP = ½·BC = ½·12 = 6 и MQ = MP + PQ = 6 + 2 = 8 = ½·AD. Отсюда AD = 2·MQ = 2·8 = 16Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Средняя линия трапеции равна 9, расстояние между серединами диагоналей равно 3. Найдите большее основание.

a + b = 18, a − b = 6.

Глава 4

Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник

История

За садом у семьи есть участок в форме параллелограмма: AB = 6 м, AD = 10 м. Садовник прокладывает от угла A гравийную дорожку так, чтобы она делила угол A ровно пополам.

Дорожка упирается в ограду BC в точке E. Там поставят калитку. На каком расстоянии от угла C будет калитка?

Дорожка делит угол A пополам и доходит до ограды BC в точке E.

Посмотрим на углы, которые дорожка образует со сторонами. AE — биссектриса: ∠BAE = ∠EAD. С другой стороны, так как BC ∥ AD, то ∠BEA = ∠EAD — накрест лежащие углы. Значит, в треугольнике ABE два угла равны.

Свойство биссектрисы

Если биссектриса угла параллелограмма (или трапеции), прилежащего к основанию, пересекает противоположную сторону, она отсекает равнобедренный треугольник: BE = AB.

История

Значит, BE = AB = 6 м, и калитка будет в EC = 10 − 6 = 4 м от угла C. Садовник проверяет рулеткой: ровно 4 метра.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 07.06.2026

AK и BK — биссектрисы. Найдите периметр трапеции ABCD, если DC=7 см и AB=12 см.

На рисунке AB — нижнее (большее) основание, DC — верхнее; точка K лежит на DC.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 30 смB) 26 смC) 24 смD) 20 смE) 22 см

1. AK — биссектриса и DC ∥ AB, поэтому ∠DKA = ∠KAB = ∠DAK. Треугольник ADK равнобедренный: AD = DK.Почему так?

   ∠DKA и ∠KAB — накрест лежащие углы при параллельных DC ∥ AB и секущей AK.

2. Так же из биссектрисы BK: BC = CK.
3. Сумма боковых сторон: AD + BC = DK + CK = DC = 7.Почему так?

   Найти боковые стороны по отдельности нельзя, но это и не нужно: в периметр входит только их сумма.

4. Периметр: P = 12 + 7 + 7 = 26.
5. Ответ: 26 см (вариант B).

Официальное пояснение ДИМ (07.06.2026)

Биссектрисы AK и BK отсекают от трапеции равнобедренные треугольники △ADK и △BCK. Поэтому AD=DK и BC=CK. Отсюда получаем AD+BC=DK+CK=DC=7. Тогда: P_ABCD = (AB + CD) + (AD + BC) = 12 + 7 + 7 = 26.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E. BE = 7, EC = 3. Найдите периметр параллелограмма.

AB = BE = 7, BC = 10.

Глава 5

Разбиение четырёхугольника на части

В трудных заданиях трапецию приходится разбивать на знакомые фигуры. Самый полезный приём — провести из конца меньшего основания отрезок, параллельный боковой стороне. Тогда трапеция делится на параллелограмм и треугольник; стороны треугольника — две боковые стороны и разность оснований.

Пример 3

Основания трапеции равны 5 и 11, боковые стороны 8 и 10. Найдите высоту трапеции.

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Проводим из C CE ∥ AB. ABCE — параллелограмм: AE = BC = 5, CE = AB = 8.Почему так?

   Обе пары противоположных сторон параллельны: BC ∥ AE и CE ∥ AB.

2. Стороны треугольника ECD: ED = 11 − 5 = 6, CE = 8, CD = 10. Так как 6² + 8² = 10², угол E прямой.Почему так?

   Теорема, обратная теореме Пифагора.

3. CE перпендикулярен основанию, значит, это высота трапеции: h = 8.
4. Ответ: 8.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 02.03.2025

В трапеции ABCD AB = 6 см, CD = 8 см. Найдите P_ABCD, если отрезок CE делит эту трапецию на ромб и прямоугольный треугольник.

На рисунке BC — верхнее основание, точка E на AD, CE проведён штриховой линией.

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. ABCE — ромб, поэтому все его стороны равны: BC = CE = AE = AB = 6.Почему так?

   В ромбе все четыре стороны равны, а AB = 6 дано.

2. ECD — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине C: ED = √(6² + 8²) = 10.Почему так?

   Прямой угол не может быть при D: тогда гипотенуза CE = 6 была бы короче катета CD = 8. Будь он при E, ромб был бы квадратом, а рисунок этого не показывает. Поэтому пояснение ДИМ берёт ∠ECD = 90°.

3. Большее основание: AD = 6 + 10 = 16. Периметр: P = 6 + 6 + 8 + 16 = 36.
4. Ответ: 36 см.

Официальное пояснение ДИМ (02.03.2025)

Так как отрезок CE делит трапецию ABCD на ромб и прямоугольный треугольник, то AB = BC = CE = AE = 6 (см). Из прямоугольного треугольника ECD по теореме Пифагора ED = √(EC² + CD²) = √(6² + 8²) = 10 (см).Таким образом, P_ABCD = 36 см.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

Проверь себя

Основания трапеции равны 7 и 12, боковые стороны 3 и 4. Найдите высоту трапеции.

Стороны треугольника 3, 4, 5 — он прямоугольный; высота = 3·4/5.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 09.03.2026

Найдите периметр прямоугольника шириной 40 и длиной k.

A) P = 2(40 + 2k)B) P = 2(40 + k)C) P = 2(20 + k)D) P = 2(20 + 2k)E) P = 2(80 + 2k)Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: P = 2(40 + k) (вариант B).

Так как периметр прямоугольника со сторонами a и b равен P=2(a+b), находим P = 2(40 + k).Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

ДИМ · 25.05.2025

Боковая сторона равнобедренной трапеции с периметром 20 м равна её средней линии. Найдите боковую сторону трапеции.

A) 4 мB) 10 мC) 5 мD) 6 мE) 3 мОтвет и пояснение ДИМ

Ответ: 5 м (вариант C).

Пусть в равнобедренной трапеции ABCD AD=a, BC=b. Так как по условию боковые стороны равны средней линии, тоAB = CD = c = (a + b)/2.Если учесть эти факты в формуле периметра, … 2c + 2c = 4c = 20AB = CD = c = 5Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)

ДИМ · 24.05.2026

В конгруэнтных равносторонних треугольниках ABC и CDE O и O₁ — точки пересечения медиан. Точка C лежит на отрезке AE, BO = 4√3. Найдите среднюю линию трапеции AOO₁E.

В равностороннем треугольнике медианы являются также высотами и биссектрисами; точка пересечения O находится на 2/3 медианы от вершины, поэтому AO = BO.

A) 22B) 17C) 16D) 15E) 18Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 18 (вариант E).

I способ: Так как O — точка пересечения медиан треугольника ABC, то AO = BO = 4√3. Так как ∠OAM = 30°, то OM = 2√3, AM = 2√3·√3 = 6. Тогда AC=2AM=12. Тогда в трапеции AOO₁E OO₁=MM₁=12, AE = 2·12 = 24, средняя линия равна (12 + 24)/2 = 18. …Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)

Итоги

Запомни

• Параллелограмм: противоположные стороны и углы равны, сумма соседних углов 180°, диагонали делятся пополам; P = 2(a + b).
• Параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник; с перпендикулярными — ромб; и то и другое — квадрат.
• Ромб: d₁² + d₂² = 4a²; в параллелограмме вообще d₁² + d₂² = 2(a² + b²).
• Средняя линия трапеции (a + b)/2; расстояние между серединами диагоналей (a − b)/2.
• В равнобедренной трапеции высота отсекает от большего основания (a − b)/2.
• Биссектриса между параллельными сторонами отсекает равнобедренный треугольник: BE = AB.
• Отрезок, параллельный боковой стороне, делит трапецию на параллелограмм и треугольник.

Типичные ошибки

«Средняя линия трапеции равна сумме оснований»

Средняя линия равна полусумме оснований: (a + b)/2. А полуразность оснований — расстояние между серединами диагоналей.

«Диагонали ромба равны»

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам; равные диагонали бывают только у квадрата (прямоугольника).

«Четырёхугольник с равными противоположными сторонами — прямоугольник»

Это лишь параллелограмм. Чтобы он был прямоугольником, нужно ещё равенство диагоналей (рамка мастера).

«Биссектриса делит противоположную сторону пополам»

В параллелограмме биссектриса отсекает равнобедренный треугольник: BE = AB. Точка E — середина, только если BC = 2AB.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Один угол параллелограмма равен 65°. Чему равен его наибольший угол?

Сумма соседних углов 180°: 180° − 65° = 115°.

2 · Уровень 1

Основания трапеции равны 6 и 14. Найдите среднюю линию.

(6 + 14)/2 = 10.

3 · Уровень 2

Диагонали ромба равны 6 и 8. Найдите периметр ромба.

Половины 3 и 4, сторона 5, P = 4·5 = 20.

4 · Уровень 2

Основания равнобедренной трапеции 6 и 16, боковая сторона 13. Найдите высоту.

(16 − 6)/2 = 5; h = √(169 − 25) = 12.

5 · Уровень ДИМ

В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает BC в точке E, BE : EC = 2 : 1, периметр 40. Найдите AB.

AB = BE = 2x, BC = 3x; 2(2x + 3x) = 40, x = 4, AB = 8.

6 · Уровень ДИМ

Средняя линия трапеции 10, расстояние между серединами диагоналей 4. Найдите меньшее основание.

a + b = 20, a − b = 8 → b = 6.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 83; B-83, C-83, D-83
2. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 6; B-6, C-6, D-21
3. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 20; B-17, C-3, D-6
4. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 71; B-66, C-70, D-64
5. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 13; B-17, C-20, D-4
6. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 14; B-22, C-13, D-15
7. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 5; B-17, C-5, D-4
8. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 11; B-12, C-18, D-19

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.