Окружность и круг: углы, касательная и секущая

Планиметрия · Тема 38 / 46

Окружность и круг: углы, касательная и секущая

Этот урок пройдём в парке: фонари на берегу круглого пруда, дорожка от скамейки и мостик через воду приведут нас к главным углам и отрезкам окружности: центральному и вписанному углу, касательной, секущей и связи между их отрезками.

≈ 50 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 13материал 8–9 классов

После урока ты сможешь

• использовать связь между хордой, радиусом и расстоянием от центра до хорды;
• вычислять центральные и вписанные углы через дуги;
• применять свойства касательной и теорему ET² = EA·EB;
• находить угол между секущими и записывать несложное доказательство.

Перед началом вспомни

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• Сумма углов треугольника 180°, внешний угол равен сумме двух несмежных с ним.
• Теорема Пифагора и катет против угла 30°.

Содержание

1. ВведениеСитуация: под каким углом видны фонари?история и предположение
2. Глава 1Окружность, круг, хорда и дугахорда · центральный угол · ДИМ 02.03.2025
3. Глава 2Вписанный уголодна дуга · диаметр · лаборатория · ДИМ 13.07.2025
4. Глава 3Касательнаярадиус ⊥ касательная · ДИМ 05.07.2026, 19.04.2026
5. Глава 4Секущие: углы и отрезкиET² = EA·EB · дуги · ДИМ 15.03.2026
6. Глава 5Задачи на доказательстворавнобедренные треугольники · внешний угол · ДИМ 07.06.2026
7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 7, с ответом и официальным пояснением
8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: под каким углом видны фонари?

История

В центре парка круглый пруд, посередине бьёт фонтан. На дальнем берегу стоят два фонаря — A и B. На плане парка написано: из фонтана фонари видны под углом 80°.

Ребёнок идёт вдоль ближнего берега и на каждом шаге смотрит на оба фонаря: как меняется угол между направлениями на них?

Из фонтана фонари видны под углом 80°. Ребёнок идёт вдоль берега.Сначала предположи

Как ты думаешь, под каким углом ребёнок видит фонари, идя вдоль берега? Выбери ответ — проверим вместе во 2-й главе.

Глава 1

Окружность, круг, хорда и дуга

Берег пруда — пример окружности, а водная гладь — круга. Сначала уточним слова, которыми будем пользоваться.

Определение

Все точки плоскости, находящиеся на одном расстоянии R от данной точки O, образуют окружность; O — центр, R — радиус. Окружность вместе с её внутренней областью — это круг. Отрезок, соединяющий две точки окружности, — хорда, хорда через центр — диаметр: d = 2R. Угол с вершиной в центре — центральный угол; он равен градусной мере дуги, на которую опирается.

Вся окружность — 360°; длина окружности C = 2πR.Теорема о хорде

Перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делит её пополам. Поэтому радиус R, хорда a и расстояние d от центра до хорды связаны:

(a/2)² + d² = R²

Пример 1

В окружности радиуса 13 хорда находится на расстоянии 5 от центра. Найдите длину хорды.

1. Опускаем из центра перпендикуляр на хорду; он делит её пополам.Почему так?

   Если соединить центр с концами хорды, получится равнобедренный треугольник (две стороны — радиусы), его высота одновременно медиана.

2. В прямоугольном треугольнике: a/2 = √(13² − 5²) = √144 = 12.
3. a = 2·12 = 24.
4. Ответ: 24.

Проверь себя

В окружности радиуса 10 проведена хорда длиной 16. На каком расстоянии от центра она находится?

d² = 10² − 8².

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 02.03.2025

Хорда AB окружности с центром в точке O равна половине диаметра AC. Найдите ∠BAO.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 50°B) 60°C) 45°D) 35°E) 30°

1. Соединяем O с B. OA = OB = R — радиусы.Почему так?

   Соединить центр с концами хорды — самый полезный первый шаг в задачах на окружность.

2. По условию AB = AC/2 = R, значит, треугольник AOB равносторонний.Почему так?

   Половина диаметра — радиус.

3. Все углы равностороннего треугольника равны 60°; ∠BAO — один из них.
4. Ответ: 60° (вариант B).

Официальное пояснение ДИМ (02.03.2025)

Соединив точку O с точкой B, получим равносторонний треугольник AOB, поэтому ∠BAO = 60°.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

Та же идея работает в правильном шестиугольнике: если соединить его центр с вершинами, получится шесть равносторонних треугольников. Поэтому радиус описанной окружности равен стороне (R = a), а радиус вписанной окружности — высоте такого треугольника: r = a√3/2.

Глава 2

Вписанный угол

Определение

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным.

Теорема (вписанный угол)

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, т. е. половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

∠ACB = ½ ◡AB = ½ ∠AOB

Слева: углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Справа: угол, опирающийся на диаметр, прямой.Следствия

1) вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны;2) вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой (90°);3) в четырёхугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.

История

Дуга между фонарями равна 80° (центральный угол из фонтана). Где бы ни стоял ребёнок на переднем берегу, он смотрит на фонари под вписанным углом, а он всегда равен 80° : 2 = 40°. (С короткой дуги берега между фонарями угол был бы 180° − 40° = 140°.) Угол не меняется.

Проверь это сам в лаборатории: двигай точку C по окружности — угол остаётся прежним. Затем доведи дугу до 180°: AB станет диаметром, а угол — прямым.

Лаборатория · двигай точку C по окружностидуга AB (∠AOB)80°положение точки C30%Пример 2

В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, ∠A = 70°, ∠B = 95°. Найдите ∠C и ∠D.

1. Сумма противоположных углов 180°: ∠C = 180° − 70° = 110°.Почему так?

   ∠A и ∠C вместе опираются на всю окружность (360°), поэтому их сумма — половина 360°.

2. ∠D = 180° − 95° = 85°.
3. Ответ: ∠C = 110°, ∠D = 85°.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

Около четырёхугольника ABCD описана окружность. Найдите ∠ACB, если ∠ABD=40°, ∠DAB=120°.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 40°B) 20°C) 25°D) 30°E) 35°

1. В треугольнике ADB: ∠ADB = 180° − (120° + 40°) = 20°.
2. ∠ACB и ∠ADB опираются на одну дугу AB, значит, ∠ACB = ∠ADB = 20°.Почему так?

   Оба равны половине ◡AB: ◡AB = 40°.

3. Ответ: 20° (вариант B).

Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)

Из треугольника ADB ∠ADB = 180⁰ − (120⁰ + 40⁰) = 20⁰. ∠ACB и ∠ADB — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны. Тогда ∠ACB = 20⁰.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Вписанный угол опирается на дугу 130°. Найдите угол (в градусах).

Половина дуги.

Глава 3

Касательная

История

В 10 м от фонтана стоит скамейка (OA = 10 м). От неё хотят проложить прямую дорожку, которая лишь касается берега в одной точке B и не заходит в воду. Радиус пруда 6 м.

Какой длины будет дорожка?

Дорожка AB касается пруда в точке B; OB — радиус.Определение

Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной, а общая точка — точкой касания. Прямая, пересекающая окружность в двух точках, — секущая.

Свойства касательной

1) радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: OB ⊥ AB;2) отрезки двух касательных, проведённых из одной точки, равны: AB = AB₁, а центр лежит на биссектрисе угла;3) угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, равен половине дуги, заключённой внутри этого угла.

Треугольник OBA прямоугольный: гипотенуза OA, катеты R и AB.История

В треугольнике OBA угол B прямой, поэтому AB = √(10² − 6²) = √64 = 8 м. Это снова тройка 3, 4, 5, увеличенная в 2 раза.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 05.07.2026

Из точки A к окружности радиуса 4 см проведены касательная AB и секущая AC, проходящая через центр окружности. Найдите длину отрезка AC, если ∠A=30°.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 11 смB) 9 смC) 14 смD) 10 смE) 12 см

1. Проводим радиус OB: OB ⊥ AB, OB = OC = 4.Почему так?

   Радиус в точку касания перпендикулярен касательной.

2. В прямоугольном треугольнике ABO катет OB лежит против угла 30°: AO = 2·OB = 8.Почему так?

   Катет против угла 30° равен половине гипотенузы.

3. Секущая проходит через центр: AC = AO + OC = 8 + 4 = 12.
4. Ответ: 12 см (вариант E).

Официальное пояснение ДИМ (05.07.2026)

Известно, что радиус (OB), проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. OB ⊥ AB, OB = OC = 4. Так как катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы: AO = 2·OB = 2·4 = 8, AC = AO + OC = 8 + 4 = 12Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 19.04.2026

CD — касательная к окружности, CA — секущая. Найдите ∠CAD, если хорда DB — биссектриса угла ADC и ∠ACD = 36°.

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Биссектриса делит угол ADC пополам: обозначим ∠CDB = ∠ADB = x.
2. ∠CDB — угол между касательной и хордой DB: ∠CDB = ½◡DB. ∠DAB — вписанный угол на ту же дугу: ∠DAB = ½◡DB. Значит, ∠DAB = x.Почему так?

   Угол между касательной и хордой и вписанный угол — оба равны половине одной и той же дуги.

3. Углы треугольника ACD: ∠A = x, ∠D = 2x, ∠C = 36°. Сумма: x + 2x + 36° = 180°, x = 48°.Почему так?

   Проверка: 48° + 96° + 36° = 180°.

4. Ответ: ∠CAD = 48°.

Официальное пояснение ДИМ (19.04.2026)

∠CDB = ∠ADB = x; { ∠CDB = (1/2)∪DB; ∠DAB = (1/2)∪DB } ⇒ ∠DAB = x; ΔACD ⇒ x + 2x + 36⁰ = 180⁰; 3x = 144⁰; x = 48⁰Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)

Проверь себя

Длина касательной, проведённой из точки A вне окружности, равна 12, расстояние от A до центра — 13. Найдите радиус.

R² = 13² − 12².

Глава 4

Секущие: углы и отрезки

История

От калитки E у пруда через воду переброшен прямой деревянный мостик. От калитки до берега (точки C) 4 м, а часть мостика над водой CD — 5 м.

От калитки вдоль берега идёт ещё одна прямая дорожка, касающаяся пруда в точке T. Можно ли найти длину дорожки ET, не зная радиуса пруда?

EC = 4 м, CD = 5 м; ET — касательная.Теорема (касательная и секущая)

Если из точки E вне окружности проведены касательная ET и секущая, пересекающая окружность в A и B, то квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть. Для двух секущих произведения тоже равны:

ET² = EA · EB = EC · ED

EA — внешняя часть секущей, EB — вся секущая.История

По мостику: внешняя часть секущей EC = 4, вся секущая ED = 4 + 5 = 9. Тогда ET² = 4 · 9 = 36, ET = 6 м. Радиус не понадобился!

Угол между секущими

Угол между двумя секущими с вершиной вне окружности равен половине разности дуг, заключённых между ними; с вершиной внутри окружности (пересекаются две хорды) — половине суммы дуг:

∠E = (◡AB − ◡CD)/2,   ∠E = (◡AB + ◡CD)/2

Пример 3

Две секущие, проведённые из точки вне окружности, высекают на ней дуги 140° и 40°. Найдите угол между секущими.

1. Вершина вне окружности, поэтому берём полуразность дуг.Почему так?

   Большая дуга «раскрывает» угол, а малая его «закрывает» — отсюда разность.

2. (140° − 40°)/2 = 50°.
3. Ответ: 50°.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 15.03.2026

Из точки A вне окружности проведены касательная AB и секущая AD. Найдите радиус окружности, если ∠BAD = 90°, AB = √5 см, AC = 1 см.

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Теорема о касательной и секущей: AB² = AC · AD, откуда 5 = 1·(1 + CD).Почему так?

   AC — внешняя часть секущей, AD — вся секущая.

2. CD = 4. Опускаем из центра перпендикуляр OM на хорду: CM = MD = 2.
3. OBAM — прямоугольник, поэтому OM = AB = √5.Почему так?

   При B, A и M прямые углы: OB ⊥ AB (касательная), ∠BAD = 90° (условие), OM ⊥ AD (построили).

4. В треугольнике OMD: R² = OM² + MD² = 5 + 4 = 9, R = 3.
5. Ответ: 3 см.

Официальное пояснение ДИМ (15.03.2026)

I способ: По свойству отрезков касательной AB и секущей AD, проведённых к окружности из точки A вне её, AB² = AC · AD. Учитывая, что по условию AB = √5 см, AC = 1 см, по известному свойству (√5)² = 1·(1 + CD) → 5 = 1 + CD → CD = 4 (см). Если из центра окружности провести перпендикуляр к хорде CD, хорда CD делится пополам: CM = MD = 2 см. Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, четырёхугольник OBAM — прямоугольник. Поэтому OM ≅ BA, т. е. OM = √5 см. В треугольнике OMD по теореме Пифагора OD² = OM² + MD² = (√5)² + 2² = 9 → OD = 3 (см). Значит, радиус окружности равен 3 см. …Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

Проверь себя

Внешняя часть секущей, проведённой из точки E, равна 4, вся секущая — 25. Найдите длину касательной из E.

ET² = 4 · 25.

Глава 5

Задачи на доказательство

В письменной части экзамена ДИМ бывают задачи на доказательство про окружность. Доказательство — это шаг за шагом логический вывод из известных фактов (определений, теорем, условия). Полезный план: 1) сделай рисунок и обозначь неизвестный угол одной буквой; 2) ищи равные радиусы — они дают равнобедренные треугольники; 3) с помощью внешнего угла, вписанного угла и свойств дуг вырази каждый угол через эту букву; 4) запиши требуемое равенство.

Вспомни

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Пример доказательстваДИМ · 07.06.2026

Из точки C вне окружности с центром в точке O проведены секущие CA и CE. Докажите, что ∠ACE = (1/3)·∠AOE, если CD = AO.

На рисунке диаметр AB продолжен до точки C; точка D ближе к C.

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Обозначим ∠ACE = γ. Так как OD = AO = CD, треугольник ODC равнобедренный: ∠DOC = ∠DCO = γ.Почему так?

   OD — радиус, поэтому OD = AO; а по условию CD = AO.

2. ∠EDO — внешний угол треугольника ODC: ∠EDO = γ + γ = 2γ.Почему так?

   Внешний угол равен сумме двух несмежных с ним внутренних углов.

3. Треугольник EOD тоже равнобедренный (OE = OD): ∠OED = ∠ODE = 2γ.
4. ∠AOE — внешний угол треугольника EOC: ∠AOE = ∠OEC + ∠OCE = 2γ + γ = 3γ.Почему так?

   A, O, C лежат на одной прямой, поэтому ∠AOE смежен с ∠EOC.

5. Итог: ∠AOE = 3·∠ACE, т. е. ∠ACE = (1/3)·∠AOE, что и требовалось доказать.

Официальное пояснение ДИМ (07.06.2026)

Доказательство: I способ: Обозначим ∠ACE = α, ∠AOE = β. Так как △ODC равнобедренный, ∠DOB = α ⇒ ◡BmD = α; так как ∠AOE = β, то ◡AnE = β. Известно, что ∠ACE = (◡AnE − ◡BmD)/2, т. е. α = (β − α)/2. Отсюда α = (1/3)β ⇒ ∠ACE = (1/3)∠AOE. …Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)

Проверь себя

Если на рисунке выше ∠AOE = 75°, чему равен ∠ACE (в градусах)?

∠ACE = ∠AOE : 3.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 24.05.2026

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник с периметром 24 см.

A) 3 смB) 4 смC) √3 смD) 2√3 смE) 2 смОтвет и пояснение ДИМ

Ответ: 2√3 см (вариант D).

Длина стороны правильного шестиугольника a = 24/6 = 4. ∠AOB = 60° … Тогда △AOB равносторонний и OK — высота этого треугольника. OK = h = a√3/2 = r. Тогда радиус вписанной окружности r = a√3/2 = 4√3/2 = 2√3Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)

ДИМ · 09.03.2026

Найдите угол α по данным на рисунке.

A) 30°B) 20°C) 40°D) 60°E) 50°Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 40° (вариант C).

Так как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, α=40°.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

ДИМ · 09.03.2025

Стороны AB и AC треугольника ABC касаются окружности с центром в точке O соответственно в точках K и C. Найдите градусную меру дуги KmC, если ∠ABC=40°.

На рисунке центр O лежит на BC (пояснение этим пользуется); m — часть дуги KC со стороны A.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 130°

I способ: Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: OK ⊥ AB. Из прямоугольного треугольника BKO∠BOK = 50°, ∠KOC = 180° − 50° = 130°Так как ∠KOC — центральный угол, соответствующий дуге KmC, градусная мера дуги KmC равна 130°. …Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

ДИМ · 12.07.2026

Из точки E вне окружности к окружности проведены секущая EB и касательная EC. Найдите длину отрезка EC, если EB=16 см, EA=8 см.

A) 6 смB) 16√2 смC) 8 смD) 8√2 смE) 4√2 смОтвет и пояснение ДИМ

Ответ: 8√2 см (вариант D).

По теореме об отрезках секущей и касательной, проведённых к окружности из точки вне её, по данным задачи можно записать EC² = EB·EA = 16·8. Отсюда EC = 8√2.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)

ДИМ · 25.05.2025

Найдите градусную меру угла AEB, если ◡AB : ◡BC : ◡CD : ◡DA = 12 : 8 : 2 : 3.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 72°

◡AB : ◡BC : ◡CD : ◡DA = 12 : 8 : 2 : 3◡AB = 12k, ◡BC = 8k, ◡CD = 2k, ◡DA = 3k.Так как сумма градусных мер дуг равна 360°,12k + 8k + 2k + 3k = 360⁰ → 25k = 360⁰ → k = 360⁰/25 = 72⁰/5∠AEB = (◡AB − ◡CD)/2 = (12k − 2k)/2 = 10k/2 = 5k = 5·72⁰/5 = 72⁰Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)

ДИМ · 06.07.2025

Из точки A к окружности проведены касательная AB и секущая AC. Найдите радиус окружности, если AM = 3√3 см, ◡BnM : ◡MkC = 1 : 2 и AB ⊥ BC.

A) 3√3 смB) 6√3 смC) 9 смD) 9√3 смE) 6 смОтвет и пояснение ДИМ

Ответ: 9 см (вариант C).

По условию AB ⊥ BC. Известно, что радиус, проведённый в точку касания B, тоже перпендикулярен AB. Отсюда следует, что этот радиус лежит на BC, т. е. центр O окружности — середина BC. Значит, BC — диаметр окружности. Тогда ◡BnM + ◡MkC = 180⁰. По условию ◡BnM : ◡MkC = 1 : 2. Обозначив ◡BnM = x, получим ◡MkC = 2x. Подставив это в равенство ◡BnM + ◡MkC = 180⁰, получим x + 2x = 180⁰ и x = ◡BnM = 60⁰. Тогда, так как это вписанный угол, ∠ACB = 30⁰ и ∠CAB = 60⁰. Обозначив CB = 2R, в △ACB получим AB = 2R/√3 и AC = 4R/√3. Учитывая метрическое соотношение между секущей и касательной (AB² = AM·AC),(2R/√3)² = 3√3·(4R/√3). Отсюда R = 9.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)

ДИМ · 01.06.2025

В окружности с центром в точке O AB ∥ CD, BO ⊥ OC. Докажите, что расстояние от хорды CD до центра равно половине хорды AB.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: задача на доказательство — полное доказательство в пояснении ДИМ ниже.

I способ: Проведём через точку O прямую, перпендикулярную хордам AB и CD, и обозначим точки её пересечения с хордами AB и CD соответственно E и F. Если в треугольнике EBO обозначить ∠B = α и ∠EOB = β, то так как α + β = 90°, в треугольнике FCO ∠C = β и ∠FOC = α. Так как OB ≅ OC = R, по признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) ΔEBO ≅ ΔFOC. Значит, OF ≅ EB. С другой стороны, перпендикуляр, опущенный из центра O окружности на хорду AB, делит эту хорду пополам, поэтому AE ≅ EB. Так как EB = AB/2 и OF ≅ EB, находим OF = AB/2. …Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Итоги

Запомни

• Центральный угол = дуга; вписанный угол = ½ дуги.
• Вписанные углы на одну дугу равны; угол на диаметр — 90°.
• Во вписанном четырёхугольнике ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°.
• Хорда: (a/2)² + d² = R²; перпендикуляр из центра делит хорду пополам.
• Радиус в точке касания перпендикулярен касательной; две касательные из одной точки равны.
• Касательная и секущая: ET² = EA · EB.
• Угол между секущими: вне круга (◡₁ − ◡₂)/2, внутри (◡₁ + ◡₂)/2.
• Правильный шестиугольник: R = a, r = a√3/2.

Типичные ошибки

«Вписанный угол равен дуге»

Дуге равен центральный угол; вписанный — его половина (фонари видны под 40°, а не 80°).

«ET² = EA · AB»

Внешняя часть умножается на всю секущую: ET² = EA · EB, где EB = EA + AB (на мостике 4 · 9, а не 4 · 5).

«Угол между секущими равен полусумме дуг»

Это верно, когда вершина внутри окружности. Если вершина снаружи — полуразность.

«Касательная и радиус могут образовывать любой угол»

В точке касания всегда 90°: этот прямой угол — ключ почти к каждой задаче на касательную.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Вписанный угол опирается на дугу 110°. Сколько в нём градусов?

Половина дуги: 110° : 2 = 55°.

2 · Уровень 1

Из точки на расстоянии 13 от центра к окружности радиуса 5 проведена касательная. Её длина:

√(169 − 25) = 12.

3 · Уровень 2

В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, ∠A = 75°. Найдите ∠C.

180° − 75° = 105°.

4 · Уровень 2

На каком расстоянии от центра находится хорда длиной 16 в окружности радиуса 10?

√(100 − 64) = 6.

5 · Уровень ДИМ

Секущая из точки E пересекает окружность в A и B (A ближе к E), EA = 4, AB = 5. Длина касательной из E:

ET² = EA · EB = 4 · 9 = 36.

6 · Уровень ДИМ

Две хорды пересекаются внутри окружности и высекают дуги 100° и 40°. Угол между хордами:

(100° + 40°)/2 = 70°.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 67; B-61, C-62, D-66
2. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 82; B-82, C-82, D-82
3. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 23; B-26, C-24, D-26
4. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 30; B-30, C-30, D-30
5. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 2; B-19, C-10, D-20
6. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 21; B-21, C-18, D-7
7. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 67; B-70, C-73, D-62
8. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 82; B-82, C-82, D-82
9. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 83; B-83, C-83, D-83
10. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 4; B-6, C-22, D-15
11. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 30; B-30, C-30, D-30
12. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 12; B-13, C-4, D-16
13. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 17; B-16, C-9, D-21

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.