Статистические характеристики: среднее, медиана, мода, размах

Среднее арифметическое — сумма всех чисел ряда, делённая на их количество: x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) : n. Медиана — число, стоящее точно посередине ряда, упорядоченного по возрастанию; если чисел чётное количество — среднее арифметическое двух средних чисел. Мода — число, которое встречается в ряду чаще всего; мод может быть несколько или не быть вовсе. Размах — разность наибольшего и наименьшего чисел: R = max − min.

Среднее учитывает все значения, поэтому один выброс (очень большое или очень маленькое число) сильно его меняет. Медиана смотрит только на место в ряду — она мало чувствительна к выбросам, поэтому о зарплатах и ценах на жильё часто говорят именно медиану. Полезная связь: сумма = среднее · количество. Если добавить или убрать число, можно найти новую сумму и пересчитать среднее.

x̄ = сумма : nсреднее арифметическоеMe — число посерединесначала упорядочи ряд!R = max − minразмахвыбери характеристику, меняй количество чисел и x ↓Среднее арифметическое: 490 : 7 = 70

Столбцы — баллы за тест (оранжевый столбец — изменяемое число x). Красная пунктирная линия — среднее, зелёная точечная — медиана. Справа те же числа выстраиваются по возрастанию: медиана — средняя клетка.

ХарактеристикаКоличество чисел, nПоследнее число, x

• Среднее
• Медиана
• Мода
• Размах

Задание 1 / 3○○○

Возьми 5 чисел так, чтобы среднее было 75.

Настрой ползунки и кнопки…

Что ты видишь в симуляции?

языком ползунков

• Если меняется одно число, меняется и среднее — оно зависит от всех чисел.
• Медиана стоит точно посередине упорядоченного ряда; когда x меняет место, ряд перестраивается.
• При чётном количестве чисел медиана — среднее двух средних чисел.
• Мода — самое частое значение; если все числа разные, моды нет.
• Выброс (0) сильно тянет среднее вниз, а медиана меняется мало.

Характеристики на примере

ряд: 2, 3, 3, 5, 7

Характеристика	Как найти	Результат
Среднее	(2 + 3 + 3 + 5 + 7) : 5	20 : 5 = 4
Медиана	3-е число упорядоченного ряда	3
Мода	самое частое	3 (2 раза)
Размах	7 − 2	5

Самые частые ошибки

красной ручкой«Для медианы ряд упорядочивать не нужно»

Медиана — число посередине только упорядоченного (по возрастанию или убыванию) ряда. Сначала упорядочи!

«Мода всегда одна»

Если несколько чисел встречаются одинаково часто и чаще остальных — мод несколько; если все числа разные — моды нет.

«При чётном количестве медиана — одно из двух средних чисел»

Берётся среднее арифметическое двух средних чисел: для 3, 5, 8, 10 Me = (5 + 8) : 2 = 6,5.

Разобранные задачи

сначала реши сам

Задача 1

Найдите среднее, медиану, моду и размах ряда 5, 8, 3, 8, 6, 12.

Показать решениеСумма = 42, x̄ = 42 : 6 = 7Упорядоченный: 3, 5, 6, 8, 8, 12 → Me = (6 + 8) : 2 = 7Mo = 8; R = 12 − 3 = 9

Ответ: 7; 7; 8; 9.

Задача 2

Среднее арифметическое 5 чисел равно 12. Когда одно число убрали, среднее оставшихся 4 чисел стало 10. Какое число убрали?

Показать решениеСумма = 5 · 12 = 60Оставшаяся сумма = 4 · 10 = 40Убранное число = 60 − 40 = 20

Ответ: 20.

В реальной жизни: почему «средняя зарплата» может обманывать?

среднее и медианаВ фирме 9 работников и директор: зарплаты 600–1000 ₼, среднее ≈ 790 ₼

Выбросы «тянут» среднее арифметическое. Поэтому статистические службы и экономисты, анализируя доходы, зарплаты и цены на жильё, рядом со средним приводят и медиану. Читая объявление, спрашивай: это среднее или медиана?

Проверь себя: 5 тестовых заданий

5 вопросов

1Чему равна медиана ряда 4, 7, 7, 9, 13?

2Чему равна мода ряда 2, 5, 5, 6, 8, 8, 8?

3Чему равен размах ряда 3, 10, 6, 1?

4Среднее арифметическое 6 чисел равно 5. Чему равна их сумма?

5Открытый вопрос: найдите медиану ряда 1, 3, 4, 8, 9, 11.

Источник

Программа вступительного экзамена ДИМ 2026: Математика → Элементы статистики: сбор и представление данных, среднее арифметическое, медиана, мода, размах.