ВойтиЗарегистрироваться
Регистрация

Квадратный корень, корень n-й степени и степень с действительным показателем

МатематикаКорень и степень с действительным показателем

Текст урока
Корень и степень с действительным показателем · Тема 9 / 46

Квадратный корень, корень n-й степени и степень с действительным показателем

Этот урок пройдём через историю о даче: летом семья благоустраивает двор. Квадратный газон, кубический бак для воды и кувшинки в пруду приведут нас к квадратному корню, корню n-й степени и степени с дробным показателем. В конце решим все задания ДИМ этого раздела.

≈ 50 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 11материал 8–10 классов

После урока ты сможешь

  • оценивать квадратный корень между двумя целыми и применять свойство √(x²) = |x|;
  • вычислять произведения и частные корней, работать с сопряжёнными выражениями;
  • выделять полный квадрат под корнем и упрощать сложный радикал;
  • различать свойства корней чётной и нечётной степени;
  • решать задания ДИМ на свойства степени с рациональным и действительным показателем.

Перед началом вспомни

  • Модуль: |x| = x при x ≥ 0 и |x| = −x при x < 0.
  • Формулы сокращённого умножения: (x ± y)² = x² ± 2xy + y², (x − y)(x + y) = x² − y².
  • Степень с натуральным показателем: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.

Содержание

  1. ВведениеСитуация: сторона квадратного участкаистория и предположение
  2. Глава 1Арифметический квадратный кореньопределение · √(x²) = |x| · оценка · ДИМ 02.03.2025
  3. Глава 2Свойства квадратных корнейпроизведение, частное, сопряжённые · ДИМ 09.03.2025
  4. Глава 3Сложный радикал: полный квадрат и модульa ± 2√(ab) + b · модуль · ДИМ 01.06.2025
  5. Глава 4Корень n-й степеничётная и нечётная степень · неотрицательные выражения · ДИМ 05.07.2026, 13.07.2025
  6. Глава 5Степень с рациональным и действительным показателемa^(m/n) · свойства · ДИМ 24.05.2026
  7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 5, с ответом и официальным пояснением
  8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
  9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным
Введение

Ситуация: сторона квадратного участка

История

Летом семья благоустраивает двор дачи. Ученик помогает отцу. Сначала посреди двора разобьют квадратный газон: земля подготовлена, рулоны газона привезены. Рулоны покрывают ровно 30 м².

Участок нужно разметить колышками и верёвкой, а для этого надо знать сторону квадрата. Отец спрашивает: сколько метров должна быть сторона?

Площадь квадратного участка 30 м², а сторона пока неизвестна.Сначала предположи

Как ты думаешь, какова сторона квадрата? Выбери ответ — посчитаем вместе в 1-й главе.

Глава 1

Арифметический квадратный корень

Площадь квадрата со стороной a равна S = a². Отец и ученик решают обратную задачу: площадь известна, ищем сторону. Нахождение неотрицательного числа, квадрат которого равен S, называется извлечением квадратного корня.

Определение

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, квадрат которого равен a. Обозначение: √a. Значит, √a ≥ 0 и (√a)² = a. Арифметического квадратного корня из отрицательного числа не существует: выражение √(−9) не имеет смысла.

Например, √49 = 7, так как 7² = 49 и 7 ≥ 0; но не √49 = −7, ведь корень не может быть отрицательным. Возведение в квадрат «стирает» знак: (−3)² = 9 и 3² = 9. Поэтому, вынося квадрат из-под корня, получаем модуль:

Основное свойство

Для любого числа x корень из квадрата равен модулю:

√(x²) = |x|

Пример 1

Найдите значение выражения √((1 − √2)²).

  1. По свойству √((1 − √2)²) = |1 − √2|.Почему так?

    Под корнем квадрат, а корень не может быть отрицательным — результат должен быть модулем.

  2. Так как √2 ≈ 1,41 > 1, число 1 − √2 отрицательно.Почему так?

    Чтобы раскрыть модуль, всегда сначала определи знак выражения.

  3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу: |1 − √2| = √2 − 1.
  4. Ответ: √2 − 1.

Большинство корней — не целые числа. Чтобы их оценить, используем ближайшие полные квадраты: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …. Корень из большего числа больше, поэтому:

Оценка корня

n² < a < (n + 1)² ⇒ n < √a < n + 1

В лаборатории меняй площадь квадрата: точка √S на числовой оси всегда оказывается между двумя соседними целыми числами, а полные квадраты сверху подсказывают, какими именно. Начни с S = 30.

Лаборатория · меняй площадь, зажми сторону между двумя целымиплощадь квадрата S30История

Ученик считает: 5² = 25 < 30 < 36 = 6², значит 5 < √30 < 6. Точнее: 5,4² = 29,16 < 30 < 30,25 = 5,5², т. е. сторона примерно √30 ≈ 5,48 м. Отец отрезает верёвки по 5,5 м. Ответ «7,5 м» получается делением площади на 4 — это путаница с периметром.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 02.03.2025

Между какими двумя последовательными целыми числами находится число √19,4?

A) 8 и 9B) 3 и 4C) 4 и 5D) 9 и 10E) 5 и 6
  1. Находим ближайшие к 19,4 полные квадраты: 4² = 16 и 5² = 25.Почему так?

    Вычислять корень не нужно — достаточно двух соседних полных квадратов.

  2. 16 < 19,4 < 25 ⇒ √16 < √19,4 < √25.Почему так?

    Корень из большего числа больше.

  3. Значит, 4 < √19,4 < 5. Ловушка: «9 и 10» — корень не равен половине числа (19,4 : 2 = 9,7).
  4. Ответ: 4 и 5 (вариант C).
Официальное пояснение ДИМ (02.03.2025)
√16 < √19,4 < √25 ⇒ 4 < √19,4 < 5Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)
Проверь себя

Между какими двумя последовательными целыми числами находится √57? Запиши меньшее.

49 < 57 < 64.

Глава 2

Свойства квадратных корней

Главные инструменты при вычислениях с корнями — два свойства. Они работают для умножения и деления, но не работают для сложения и вычитания.

Корень из произведения и частного

При a ≥ 0, b ≥ 0√(ab) = √a · √b;  при a ≥ 0, b > 0√(a/b) = √a / √b.

Из этих свойств следуют два приёма. Вынесение множителя из-под корня: √50 = √(25·2) = 5√2. Внесение множителя под корень: 3√2 = √(9·2) = √18. Внимание: √(9 + 16) ≠ √9 + √16, потому что √25 = 5, а 3 + 4 = 7.

Пример 2

Упростите: а) (√75 · √3)/√25; б) √50 + √18 − √8.

  1. а) Произведение корней равно корню из произведения: √75 · √3 = √225 = 15.Почему так?

    По отдельности √75 и √3 не целые, но произведение — полный квадрат: 75·3 = 225 = 15².

  2. 15 : √25 = 15 : 5 = 3, ответ к пункту а) — 3.
  3. б) Выносим множитель из-под каждого корня: √50 = 5√2, √18 = 3√2, √8 = 2√2.Почему так?

    Теперь во всех трёх слагаемых один и тот же √2 — их можно складывать как подобные члены.

  4. 5√2 + 3√2 − 2√2 = 6√2.
  5. Ответ: а) 3; б) 6√2.

Формула разности квадратов особенно полезна с корнями: (√a − √b)(√a + √b) = a − b. Выражения x − √y и x + √y называются сопряжёнными; в их произведении корень исчезает. Это помогает и избавиться от иррациональности в знаменателе: 1/(√3 − 1) = (√3 + 1)/((√3 − 1)(√3 + 1)) = (√3 + 1)/2.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2025

Найдите значение выражения √(11 − √21) · √(11 + √21).

A) 10B) 100C) 4√2D) √10E) √142
  1. Оба подкоренных выражения положительны: √21 < 5, поэтому 11 − √21 > 0. Записываем произведение корней под одним корнем.Почему так?

    Свойство √a·√b = √(ab) верно только при a, b ≥ 0.

  2. Под корнем произведение сопряжённых выражений: (11 − √21)(11 + √21) = 11² − (√21)² = 121 − 21 = 100.Почему так?

    Формула разности квадратов: (x − y)(x + y) = x² − y².

  3. √100 = 10. Ловушка: 100 из варианта B — подкоренное число, а не значение выражения.
  4. Ответ: 10 (вариант A).
Официальное пояснение ДИМ (09.03.2025)
√(11 − √21) · √(11 + √21) = √((11 − √21)(11 + √21)) == √(11² − (√21)²) = √(121 − 21) = √100 = 10Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)
Проверь себя

Найдите значение выражения √(7 − √13) · √(7 + √13).

Под корнем: 49 − 13.

Глава 3

Сложный радикал: полный квадрат и модуль

На экзамене ДИМ часто встречается выражение вида a ± 2√(ab) + b под корнем. Чтобы упростить его, нужно увидеть под корнем полный квадрат. Запишем формулу сокращённого умножения с корнями:

Полный квадрат

При a ≥ 0, b ≥ 0:

a ± 2√(ab) + b = (√a ± √b)²

Отсюда √(a + 2√(ab) + b) = √a + √b и √(a − 2√(ab) + b) = |√a − √b|.

В случае со знаком минус остаётся модуль, и чтобы его раскрыть, нужно знать, какой из корней больше. Ограничения вроде b ≥ 5, a > b > 0 даются в условии именно для этого.

Пример 3

Упростите выражение √(7 − 4√3).

  1. Записываем средний член в виде 2·√a·√b: 4√3 = 2·2·√3, значит √a = 2, √b = √3.Почему так?

    Затем проверяем: сумма квадратов 2² + (√3)² = 4 + 3 = 7 — совпадает с целой частью под корнем.

  2. 7 − 4√3 = (2 − √3)².
  3. √((2 − √3)²) = |2 − √3| = 2 − √3, так как 2 = √4 > √3.Почему так?

    Выражение под модулем положительно, поэтому модуль снимается без смены знака.

  4. Ответ: 2 − √3.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 01.06.2025

Если b ≥ 5, упростите выражение √b − √(b + 5 − √(20b)).

Рисунок меняется вместе с шагами.A) −√5B) 0C) √bD) √5E) 1
  1. Раскладываем корень: √(20b) = √(4·5b) = 2√(5b). Подкоренное выражение принимает вид b − 2√(5b) + 5.Почему так?

    Должен появиться средний член вида 2√(...) — это «подпись» полного квадрата.

  2. Полный квадрат: b − 2√b·√5 + 5 = (√b − √5)².
  3. √((√b − √5)²) = |√b − √5|. По условию b ≥ 5, поэтому √b − √5 ≥ 0 и модуль снимается без смены знака.Почему так?

    Условие b ≥ 5 дано именно для того, чтобы определить знак под модулем.

  4. √b − (√b − √5) = √5.
  5. Ответ: √5 (вариант D).
Официальное пояснение ДИМ (01.06.2025)
√b − √(b + 5 − √(20b)) = √b − √(b − 2√(5b) + 5) = = √b − √((√b)² − 2√(5b) + (√5)²) = = √b − √((√b − √5)²) = √b − |√b − √5| = = √b − (√b − √5) = √5Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)
Пример 4

Упростите выражение √(a − 2√(ab) + b) / (√a − √b), если 0 < a < b.

  1. √(a − 2√(ab) + b) = √((√a − √b)²) = |√a − √b|.
  2. Так как a < b, то √a − √b < 0, значит |√a − √b| = −(√a − √b).Почему так?

    Модуль отрицательного выражения равен противоположному. При a > b ответ был бы 1 — ДИМ проверяет именно это.

  3. −(√a − √b) / (√a − √b) = −1.
  4. Ответ: −1.
Проверь себя

Найдите значение выражения √(6 − 2√5) − √5.

6 − 2√5 = (√5 − 1)², √5 > 1.

Глава 4

Корень n-й степени

История

Газон уложен, теперь его нужно поливать. Отец поставил у угла дома кубический бак для дождевой воды: водосток с крыши сливает воду прямо в бак. На баке написано: 1728 литров.

Ученик хочет сделать для бака крышку. Сколько метров ребро бака?

Объём куба известен, а ребро нет: теперь нужен не квадратный, а кубический корень.

Объём куба с ребром a равен V = a³. Чтобы по объёму найти ребро, нужно найти число, куб которого равен данному. Это кубический корень. В общем виде:

Определение

Пусть n ≥ 2 — натуральное число. Корнем n-й степени из числа a называется число, n-я степень которого равна a: (ⁿ√a)ⁿ = a. При чётном n корень определён только для a ≥ 0 и берётся неотрицательное значение (арифметический корень). При нечётном n корень существует для любого a и единственен: ∛(−8) = −2.

История

Объём бака 1728 л = 1,728 м³. Ученик проверяет: 1,2³ = 1,728, значит a = ∛1,728 = 1,2 м. Крышка будет размером 1,2 м × 1,2 м.

Аналог свойства √(x²) = |x| для корня n-й степени зависит от того, чётна степень или нечётна:

Свойства

ⁿ√(xⁿ) = |x| при чётном n;  ⁿ√(xⁿ) = x при нечётном n. Кроме того, при a ≥ 0, b ≥ 0ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b.

Корень чётной степени даёт модуль и накладывает условие, корень нечётной степени сохраняет знак.Пример 5

Вычислите: ⁴√((−3)⁴) + ∛((−3)³).

  1. Степень чётная: ⁴√((−3)⁴) = |−3| = 3.Почему так?

    (−3)⁴ = 81 и ⁴√81 = 3 — минус теряется при возведении в степень.

  2. Степень нечётная: ∛((−3)³) = −3.Почему так?

    (−3)³ = −27 и ∛(−27) = −3.

  3. 3 + (−3) = 0.
  4. Ответ: 0.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 05.07.2026

Упростите выражение ⁴√((a − 1)⁴) + ∛((3a − 4)³) + (⁴√(1 − 2a))⁴.

A) 5B) 4a − 4C) −2D) 0E) 2a − 4
  1. Сначала находим условие: выражение ⁴√(1 − 2a) существует только при 1 − 2a ≥ 0, т. е. a ≤ 1/2.Почему так?

    В условии об a ничего не сказано, но корень чётной степени сам накладывает ограничение.

  2. Первое слагаемое: ⁴√((a − 1)⁴) = |a − 1|. Так как a ≤ 1/2, то a − 1 < 0, значит |a − 1| = 1 − a.Почему так?

    Чётная степень — модуль; а знак под модулем определяет условие из 1-го шага.

  3. Второе слагаемое — нечётной степени: ∛((3a − 4)³) = 3a − 4. Третье: (⁴√(1 − 2a))⁴ = 1 − 2a.
  4. Сумма: (1 − a) + (3a − 4) + (1 − 2a) = −2.
  5. Ответ: −2 (вариант C).
Официальное пояснение ДИМ (05.07.2026)
Учитывая, что по свойствам арифметического корня n-й степени 1 − 2a ≥ 0 ⇔ a ≤ 1/2, получим a − 1 ≤ −1/2 < 0. Тогда ⁴√((a − 1)⁴) + ∛((3a − 4)³) + (⁴√(1 − 2a))⁴ = = |a − 1| + (3a − 4) + (1 − 2a) = = 1 − a + 3a − 4 + 1 − 2a = −2Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)

Некоторые выражения всегда неотрицательны: x², |x|, √x, ⁴√x. Сумма таких выражений не может быть меньше нуля; если она равна нулю (или дано ≤ 0), то каждое слагаемое равно нулю.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 13.07.2025

Если ∜(4x − 16) + |2y + 6| + (z − 5)² ≤ 0, найдите сумму x + y + z.

A) –6B) 6C) 15D) –15E) 0
  1. Каждое слагаемое неотрицательно: корень чётной степени, модуль и квадрат.Почему так?

    Сумма неотрицательных чисел не может быть ≤ 0, кроме одного случая: все они равны 0.

  2. Приравниваем каждое к нулю: 4x − 16 = 0 ⇒ x = 4, 2y + 6 = 0 ⇒ y = −3, z − 5 = 0 ⇒ z = 5.
  3. x + y + z = 4 + (−3) + 5 = 6.
  4. Ответ: 6 (вариант B).
Официальное пояснение ДИМ (13.07.2025)
Так как каждое из данных слагаемых неотрицательно, их сумма по условию может быть равна только нулю. Тогда каждое из слагаемых одновременно должно быть равно нулю. То есть ∜(4x − 16) = 0, |2y + 6| = 0, (z − 5)² = 0; 4x − 16 = 0, 2y + 6 = 0, z − 5 = 0; x = 4, y = −3, z = 5; x + y + z = 4 + (−3) + 5 = 6Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Найдите произведение xyz, если |x − 3| + √(y + 2) + (z − 1)² ≤ 0.

x = 3, y = −2, z = 1.

Глава 5

Степень с рациональным и действительным показателем

История

К концу лета в маленьком пруду в саду стали разрастаться кувшинки. Отец заметил: площадь, покрытая кувшинками, каждые 4 дня увеличивается в 2 раза. Сегодня они покрывают 1 м².

Ученик говорит: «Если за 4 дня прибавляется 1 м², то за 2 дня — половина, 0,5 м², и площадь станет 1,5 м²». Верно ли это? Какой будет площадь через 2 дня?

Площадь растёт не прибавлением, а умножением: каждые 4 дня — умножение на 2.

Каждые 4 дня площадь умножается на 2. Через x периодов площадь равна 2ˣ м². 2 дня — это полпериода, значит, нам нужно 2^(1/2). Что такое степень с дробным показателем? Определим её так, чтобы свойства степени сохранились: 2^(1/2) · 2^(1/2) = 2¹ = 2, т. е. 2^(1/2) — положительное число, квадрат которого равен 2, — это √2.

Степень с рациональным показателем

При a > 0, целом m и натуральном n ≥ 2: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ. В частности, a^(1/2) = √a, a^(1/n) = ⁿ√a. Отрицательный показатель: a^(−r) = 1/aʳ; нулевая степень: a⁰ = 1.

История

Через 2 дня площадь будет 2^(1/2) = √2 ≈ 1,41 м², а не 1,5 м². Через 6 дней (полтора периода) — 2^(3/2) = 2√2 ≈ 2,83 м². Ошибка ученика — в том, что он считал рост сложением: за 2 дня площадь умножается не на 2, а на такое число, которое при двукратном повторении даёт 2.

Дробные показатели заполняют «промежутки» графика: в точке x = 1/2 значение y = √2.Свойства степени

Для a > 0, b > 0 и любых действительных r, s: aʳ · aˢ = a^(r+s), aʳ : aˢ = a^(r−s), (aʳ)ˢ = a^(r·s), (ab)ʳ = aʳ · bʳ.

Иррациональный показатель тоже имеет смысл: 2^√2 — число, к которому приближается последовательность 2^1,4; 2^1,41; 2^1,414; … (≈ 2,665). Свойства верны и для него.

Пример 6

Вычислите: а) 27^(2/3); б) 16^(−3/4); в) 27^0,4 · 27^(−1/15).

  1. а) 27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9.Почему так?

    Сначала корень, потом степень: числа остаются маленькими.

  2. б) 16^(−3/4) = 1/(⁴√16)³ = 1/2³ = 1/8.
  3. в) Степени с одинаковым основанием перемножаются — показатели складываются: 0,4 − 1/15 = 6/15 − 1/15 = 1/3, 27^(1/3) = 3.Почему так?

    Приведи десятичную и обыкновенную дроби к одному виду: 0,4 = 2/5 = 6/15.

  4. Ответ: а) 9; б) 1/8; в) 3.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 24.05.2026

Если b^(3/5) = a^(1/4), выразите b^(6/5) через a.

A) a^(3/4)B) a^(2/9)C) a^(1/2)D) a^(2/5)E) a^(1/6)
  1. Искомый показатель 6/5 в два раза больше данного 3/5: 6/5 = 2 · 3/5.Почему так?

    Выражать b через a не нужно — достаточно записать b^(6/5) через b^(3/5).

  2. Степень степени: b^(6/5) = (b^(3/5))².Почему так?

    (aʳ)ˢ = a^(r·s): 3/5 · 2 = 6/5.

  3. Подставляем условие: (a^(1/4))² = a^(2/4) = a^(1/2).
  4. Ответ: a^(1/2) (вариант C).
Официальное пояснение ДИМ (24.05.2026)
b^(6/5) = (b^(3/5))² = (a^(1/4))² = a^(2/4) = a^(1/2)Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Найдите значение выражения (3^√3)^√3.

Показатели перемножаются: √3 · √3 = 3.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 19.04.2026

Упростите выражение (√162 · √2)/√16.

A) 9B) 5,5C) 4,5D) 18E) 3,6Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 4,5 (вариант C).

(√162 · √2)/√16 = √(81·2·2)/4 = (√81 · √4)/4 = (9·2)/4 = 4,5Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)
ДИМ · 06.07.2025

Если a > b > 0, упростите выражение 3√(a + 2√(ab) + b)/√(a − 2√(ab) + b) − 6√b/(√a − √b).

Подсказка: правило полного квадрата и модуля из 3-й главы.

A) 1B) 2C) 4D) 3E) 0Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 3 (вариант D).

Применяя формулы сокращённого умножения, известное свойство арифметического квадратного корня (√(x²) = |x|) и правило нахождения модуля, данное выражение можно упростить следующим образом: 3√(a + 2√(ab) + b)/√(a − 2√(ab) + b) − 6√b/(√a − √b) = 3√((√a + √b)²)/√((√a − √b)²) − 6√b/(√a − √b) = = 3|√a + √b|/|√a − √b| − 6√b/(√a − √b) = 3(√a + √b)/(√a − √b) − 6√b/(√a − √b) = = (3√a + 3√b − 6√b)/(√a − √b) = (3√a − 3√b)/(√a − √b) = 3(√a − √b)/(√a − √b) = 3Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)
ДИМ · 07.06.2026

Если a > b > 0, упростите выражение: 2√(a − 2√(ab) + b) / √(a + 2√(ab) + b) + 4√b / (√a + √b).

A) 0B) 3C) 2D) 1E) 4Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 2 (вариант C).

Так как a > b > 0, 2√(a − 2√(ab) + b)/√(a + 2√(ab) + b) + 4√b/(√a + √b) = 2√((√a − √b)²)/√((√a + √b)²) + 4√b/(√a + √b) = 2|√a − √b|/|√a + √b| + 4√b/(√a + √b) = (2√a − 2√b)/(√a + √b) + 4√b/(√a + √b) = (2√a − 2√b + 4√b)/(√a + √b) = 2(√a + √b)/(√a + √b) = 2Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)
ДИМ · 09.03.2026

Найдите значение выражения (2^√2)^√2.

A) 4B) 8C) 2D) 64E) 16Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 4 (вариант A).

(2^√2)^√2 = 2^(√2·√2) = 2² = 4Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)
ДИМ · 15.03.2026

Найдите значение выражения 16^0,36 · 16^0,14.

A) 8B) 0,5C) 0,25D) 4E) 2Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 4 (вариант D).

16^0,36 · 16^0,14 = 16^(0,36+0,14) = 16^0,5 = √16 = 4Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)
Итоги

Запомни

  • √a ≥ 0, (√a)² = a (a ≥ 0); √(x²) = |x|.
  • Оценка: n² < a < (n + 1)² ⇒ n < √a < n + 1.
  • √(ab) = √a·√b, √(a/b) = √a/√b; для сложения такого правила нет.
  • Сопряжённые выражения: (√a − √b)(√a + √b) = a − b.
  • Полный квадрат: √(a − 2√(ab) + b) = |√a − √b|; при знаке минус раскрывай модуль по условию.
  • Чётное n: ⁿ√(xⁿ) = |x| и подкоренное ≥ 0; нечётное n: ⁿ√(xⁿ) = x.
  • Сумма неотрицательных выражений ≤ 0 ⇒ каждое слагаемое равно 0.
  • a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ); aʳ·aˢ = a^(r+s), (aʳ)ˢ = a^(rs).

Типичные ошибки

√(a + b) = √a + √b

Корень не распределяется по сложению: √(9 + 16) = √25 = 5, а √9 + √16 = 7.

√(x²) = x

Верно √(x²) = |x|: √((1 − √2)²) = √2 − 1, а не 1 − √2.

aʳ · aˢ = a^(r·s)

При умножении показатели складываются: 16^0,36 · 16^0,14 = 16^0,5 = 4. Перемножаются они только при возведении степени в степень.

«√(11 − √21) · √(11 + √21) = 100»

100 — подкоренное произведение; значение выражения √100 = 10.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Между какими двумя последовательными целыми числами находится √45,3?

36 < 45,3 < 49.

2 · Уровень 1

Значение выражения (√98 · √2)/√49:

√196 = 14; 14 : 7 = 2.

3 · Уровень 2

Значение выражения 27^(−2/3):

27^(−2/3) = 1/(∛27)² = 1/9.

4 · Уровень 2

Упростите выражение √(9 − 4√5).

9 − 4√5 = (√5 − 2)², √5 > 2.

5 · Уровень ДИМ

Упростите выражение √a − √(a + 3 − √(12a)), если a ≥ 3.

a + 3 − 2√(3a) = (√a − √3)², a ≥ 3: √a − (√a − √3) = √3.

6 · Уровень ДИМ

Упростите выражение ⁶√((x − 3)⁶) + ⁵√((x + 1)⁵), если x ≤ 1.

|x − 3| = 3 − x (чётная степень), ⁵√((x + 1)⁵) = x + 1; сумма 4.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

  1. 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 68; B-67, C-66, D-62
  2. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 70; B-64, C-69, D-61
  3. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 4; B-3, C-16, D-2
  4. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 8; B-10, C-19, D-13
  5. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 14; B-12, C-9, D-21
  6. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 64; B-72, C-71, D-72
  7. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 68; B-72, C-66, D-70
  8. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 69; B-62, C-70, D-67
  9. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 10; B-11, C-8, D-11
  10. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 18; B-13, C-15, D-19
  11. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 13; B-18, C-8, D-15

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.

Похожие уроки

Все уроки