Уравнение прямой: угловой коэффициент, параллельные и перпендикулярные прямые

Уравнение прямой: y = kx + b. k — угловой коэффициент: тангенс угла между прямой и осью Ox, k = tg α. При увеличении x на 1 y меняется на k. k > 0 — возрастает, k < 0 — убывает, k = 0 — параллельна Ox. b — ордината точки пересечения прямой с осью Oy: (0; b).

Прямая через две точки: k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), затем находят b. Прямые параллельны, если k₁ = k₂ (b₁ ≠ b₂); перпендикулярны, если k₁ · k₂ = −1. Пересечение с осью Ox: y = 0 → x = −b/k.

y = kx + bk — угловой коэффициент, b — пересечение с Oyk₁ = k₂параллельные прямыеk₁ · k₂ = −1перпендикулярные прямыеменяй k и b, покажи вторую прямую ↓k растёт — прямая круче

Синяя прямая — y = kx + b, синие точки — пересечения с осями. Оранжевая «ступенька»: при увеличении x на 1 y меняется на k. Пунктир — параллельная (зелёная) или перпендикулярная (красная) прямая.

Угловой коэффициент, k1Свободный член, b2Вторая прямая

• Угол наклона
• Пересечение с осями
• Вторая прямая

Задание 1 / 3○○○

Построй прямую через (0; 2) и (1; 5).

Настрой ползунки и кнопки…

Что показывает симуляция?

языком ползунков

• Увеличивай k: прямая становится круче; при изменении b прямая сдвигается вверх-вниз.
• k = 0: прямая параллельна Ox, y = b.
• При отрицательном k прямая убывает.
• У параллельной прямой тот же угловой коэффициент, отличается только b.
• К прямой с k = 2 перпендикулярна прямая с k = −1/2.

Уравнение прямой

формы

Форма	Уравнение
С угловым коэффициентом	y = kx + b
Через точку и угловой коэффициент	y − y₀ = k(x − x₀)
Через две точки	(y − y₁)/(y₂ − y₁) = (x − x₁)/(x₂ − x₁)
Общее	Ax + By + C = 0
Параллельная Oy	x = a

Самые частые ошибки

красной ручкойПисать условие перпендикулярности k₁ = −k₂

Верное условие: k₁ · k₂ = −1, то есть k₂ = −1/k₁. k₁ = 2 → k₂ = −1/2.

Считать b пересечением с Ox

b — пересечение с осью Oy: (0; b). Пересечение с Ox — (−b/k; 0).

Считать угловой коэффициент как Δx / Δy

k = Δy / Δx = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).

Разобранные задачи

сначала реши сам

Задача 1

Запишите уравнение прямой через точки (0; 2) и (1; 5).

Показать решениеk = (5 − 2)/(1 − 0) = 3b = 2 → y = 3x + 2

Ответ: y = 3x + 2.

Задача 2

Найдите прямую, перпендикулярную y = 2x − 1 и проходящую через (0; 3).

Показать решениеk₂ = −1/2b = 3 → y = −x/2 + 3

Ответ: y = −0,5x + 3.

В реальной жизни: тариф такси — линейная функция

y = kx + bПример тарифа: посадка — 1 AZN, каждый км — 0,5 AZN

Многие бытовые зависимости линейны: мобильный тариф (абонплата + цена минуты), счёт за воду, путь автомобиля при постоянной скорости. Тариф здесь только пример, реальные цены могут отличаться.

Проверь себя: 5 тестовых заданий

5 вопросов

1Каков угловой коэффициент прямой y = 3x − 4?

2В какой точке прямая y = −2x + 5 пересекает ось Oy?

3Какая прямая параллельна y = 2x + 1?

4Каков угловой коэффициент прямой, перпендикулярной y = 4x?

5Открытый вопрос: каков угловой коэффициент прямой через (1; 3) и (3; 7)? Запиши ответ числом.

Источник

Программа вступительных экзаменов ДИМ 2026: Математика → Метод координат: уравнение прямой, угловой коэффициент, условия параллельности и перпендикулярности прямых.