Правильные и неправильные дроби. Периодические дроби

Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, — правильная (3/4 < 1). Если числитель равен знаменателю или больше его, дробь неправильная (7/3 ≥ 1); её можно записать смешанным числом, выделив целую часть: 7/3 = 2 1/3.

При делении числителя на знаменатель «уголком» остатки могут начать повторяться. Если повторился остаток, повторятся и цифры — это периодическая дробь: 1/3 = 0,333… = 0,(3). Часть в скобках — период.

a < bправильная дробь: меньше 17/3 = 2 1/3неправильная дробь → смешанное число2/7 = 0,(285714)периодическая дробь: остаток повторяетсяменяй числитель и знаменатель, смотри на цепочку остатков ↓7/3 = 2 1/3 = 2,(3): остаток 1 повторяется

Вверху: полные круги — целая часть, неполный круг — оставшаяся дробь. Внизу: остатки при делении (в коробках) и десятичные цифры (под ними). Красная коробка — первый повторившийся остаток, с него начинается период.

Числитель, a7Знаменатель, b3

• Десятичная запись2,(3)
• Период3

Задание 1 / 3○○○

Набери смешанное число 3 1/4 как неправильную дробь.

Настрой ползунки и кнопки…

Что показывает симуляция?

языком ползунков

• 7/3: два полных круга и треть круга — 7/3 = 2 1/3. Числитель больше знаменателя — дробь неправильная.
• У 1/3 остаток всегда 1, цифра всегда 3 — поэтому 0,(3).
• Сделай знаменатель 7: остатки 1, 3, 2, 6, 4, 5 и снова 1 — период из 6 цифр: 0,(142857).
• Сделай знаменатель 8: остаток доходит до 0, и деление заканчивается — конечная десятичная дробь.
• Сделай знаменатель 6: 1/6 = 0,1(6). Период может начаться не сразу — такую дробь называют смешанной периодической.

Как перевести периодическую дробь в обыкновенную

простое правило

Периодическая дробь	Правило	Обыкновенная дробь
0,(3)	период / 9	3/9 = 1/3
0,(27)	период / 99	27/99 = 3/11
0,(142857)	период / 999999	1/7
0,1(6)	(16 − 1) / 90	15/90 = 1/6
0,(9)	9/9	1

Самые частые ошибки

красной ручкой«Неправильная дробь — неправильно записанная дробь»

«Неправильная» означает лишь, что числитель не меньше знаменателя. 7/3 — вполне корректная запись, просто дробь больше 1.

Неверно переводить смешанное число

2 1/3 = (2 · 3 + 1)/3 = 7/3. Целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель, а не 2 · 1 + 3.

«0,(9) меньше 1»

0,(9) = 9/9 = 1. Это другая запись единицы: 1/3 = 0,(3), трижды: 3/3 = 0,(9) = 1.

Разобранные задачи

сначала реши сам

Задача 1

Запишите неправильную дробь 17/5 в виде смешанного числа.

Показать решение17 = 5 · 3 + 217/5 = 3 2/5

Ответ: 3 2/5.

Задача 2

Переведите периодическую дробь 0,(45) в обыкновенную.

Показать решениеПериод из двух цифр: 45/99Сокращаем на 9: 5/11

Ответ: 5/11. Проверь: 5 : 11 = 0,4545…

В реальной жизни: как калькулятор «обрезает» периодическую дробь

бесконечность не помещается на экранСчитаем на калькуляторе 1 ÷ 3

Калькулятор и компьютер хранят лишь конечное число цифр, поэтому периодические дроби «обрезаются». Если 1/3 сохранить как 0,33333333 и умножить на 3, получится 0,99999999 вместо 1. Поэтому в бухгалтерии и инженерных расчётах по возможности считают в обыкновенных дробях, а округляют только в конце.

Проверь себя: 5 тестовых заданий

5 вопросов

1Какая дробь правильная?

2Какой неправильной дроби равно смешанное число 3 2/5?

3Какова десятичная запись дроби 1/3?

4Какой обыкновенной дроби равна 0,(27)?

5Открытый вопрос: сколько цифр в периоде десятичной записи дроби 2/7? Запиши ответ числом.

Источник

Программа вступительных экзаменов ДИМ 2026: Математика → Обыкновенные и десятичные дроби: правильные и неправильные дроби, смешанные числа, бесконечные периодические десятичные дроби.