ВойтиЗарегистрироваться
Регистрация

Отношение, пропорция и процент: решение задач

МатематикаОтношение. Пропорция. Проценты

Текст урока
Отношение. Пропорция. Проценты · Тема 5 / 46

Отношение, пропорция и процент: решение задач

Этот урок пройдём через историю одной семьи и её абрикосов: летом в саду сушат абрикосы, на кухне варят варенье, осенью курага появляется на рынке. Вопросы, которые возникают по ходу, приведут нас ко всем основным задачам на отношения, пропорции и проценты.

≈ 50 минутГлав: 5Заданий ДИМ: 14материал 5–6 классов

После урока ты сможешь

  • делить число в данном отношении и находить неизвестный член пропорции;
  • решать три основные задачи на проценты;
  • переводить отношения в процентах в уравнения и вычислять последовательные процентные изменения;
  • решать задачи на смеси и сушку.

Перед началом вспомни

  • Действия с обыкновенными и десятичными дробями; смешанное число: 1(2/3) = 5/3.
  • Решение линейного уравнения с одним неизвестным.
  • Периметр и площадь прямоугольника.

Содержание

  1. ВведениеСитуация: сколько кураги получится из 20 кг абрикосов?история и предположение
  2. Глава 1Отношение и пропорцияa : b · части · a·d = b·c · ДИМ 02.03.2025
  3. Глава 2Процент и три основные задачи1% = 0,01 · три задачи · ДИМ 24.05.2026
  4. Глава 3Отношения в процентах: составляем уравнениеa = (p/100)·b · на сколько процентов больше/меньше · ДИМ 12.07.2026
  5. Глава 4Увеличение и уменьшение на проценты(1 ± p/100) · последовательные изменения · лаборатория · ДИМ 06.07.2025
  6. Глава 5Смеси и сушкамасса · процент · сухое вещество · ДИМ 19.04.2026, 01.06.2025
  7. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 8, с ответом и официальным пояснением
  8. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
  9. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным
Введение

Ситуация: сколько кураги получится из 20 кг абрикосов?

История

Летом семья собирает абрикосы в саду в деревне. Бабушка хочет высушить их на зиму, а часть продать на рынке. Сегодня собрали 20 кг свежих абрикосов. В свежих абрикосах 90% массы — вода.

Абрикосы сушат на солнце, вода испаряется. В готовой кураге остаётся только 20% воды. Бабушка спрашивает: сколько килограммов кураги получится из этих 20 кг?

Сушильные лотки в саду: сушат 20 кг свежих абрикосов (90% воды), в кураге остаётся 20% воды.Сначала предположи

Как ты думаешь, сколько килограммов кураги получится? Выбери ответ — посчитаем вместе в 5-й главе.

Глава 1

Отношение и пропорция

История

Из части абрикосов варят варенье. По бабушкиному рецепту абрикосы и сахар берут в отношении 3 : 2. На кухонном столе 7,5 кг абрикосов.

Сколько сахара нужно взять из мешка?

На кухне 7,5 кг абрикосов; абрикосы и сахар должны быть в отношении 3 : 2.Определение

Частное двух чисел называют их отношением: a : b = a/b. Оба члена отношения можно умножить (разделить) на одно и то же ненулевое число: 3 : 2 = 6 : 4 = 1,5 : 1. «Абрикосы : сахар = 3 : 2» значит, что на каждые 3 части абрикосов приходится 2 такие же части сахара.

Пропорция

Равенство двух отношений называется пропорцией: a : b = c : d. a и d — крайние члены пропорции, b и c — средние члены.

Основное свойство пропорции

В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних:

a : b = c : d ⇔ a · d = b · c

История

Записываем рецепт пропорцией: 3 : 2 = 7,5 : x. По основному свойству 3 · x = 2 · 7,5, т. е. 3x = 15, x = 5 кг. Другой путь — через части: 7,5 кг абрикосов — это 3 части, 1 часть — 7,5 : 3 = 2,5 кг, а сахар — 2 части, т. е. 5 кг.

Отношение через части: сначала найди одну часть.Пример 1

Разделите 120 манат между двумя братьями в отношении 3 : 5.

  1. Число частей: 3 + 5 = 8; одна часть 120 : 8 = 15.Почему так?

    При отношении 3 : 5 целое состоит из 3 + 5 равных частей.

  2. Первый брат: 3 · 15 = 45, второй: 5 · 15 = 75. Проверка: 45 + 75 = 120, 45 : 75 = 3 : 5.
  3. Ответ: 45 манат и 75 манат.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 02.03.2025

Найдите x из пропорции 7/9 : 3,1 = x : 9,3.

A) 1/3B) 7/9C) 7/3D) 2/9E) 4/3
  1. Крайние члены: 7/9 и 9,3; средние: 3,1 и x.Почему так?

    В записи a : b = c : d члены a и d стоят по краям, b и c — в середине.

  2. Основное свойство: x · 3,1 = 9,3 · 7/9.
  3. Так как 9,3 : 3,1 = 3, то x = 3 · 7/9 = 7/3.Почему так?

    Удобнее сначала разделить 9,3 на 3,1, чем перемножать десятичные дроби.

  4. Ответ: 7/3 (вариант C).
Официальное пояснение ДИМ (02.03.2025)
Известно, что произведение средних членов пропорции равно произведению её крайних членов, т. е. x·3,1 = 9,3·(7/9) ⇒ x = 7/3.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)
Проверь себя

Найдите x из пропорции x : 4 = 15 : 6.

6x = 4 · 15.

Проверь себя

Сколько килограммов сахара нужно по тому же рецепту (абрикосы : сахар = 3 : 2) на 12 кг абрикосов?

1 часть = 12 : 3.

Глава 2

Процент и три основные задачи

Определение

Сотая часть числа называется его процентом: 1% = 1/100 = 0,01. Значит, p% = p/100, 20% = 0,2 = 1/5, 125% = 1,25.

Почти все задачи на проценты сводятся к трём основным. В каждой есть «целое» — величина, принятая за 100%; сначала определи её.

Три основные задачи

1) p% от числа a: a · p/100.2) число, p% которого равны b: b : (p/100) = b · 100/p.3) сколько процентов число a составляет от b: (a/b) · 100%.

Двойная числовая прямая: проценты и числа меняются в одном отношении — это пропорция.Пример 2

Ответьте на три вопроса по рисунку: сколько составляют 35% от 60? 35% какого числа равны 21? Сколько процентов составляет 21 от 60?

  1. 1-я задача: 60 · 0,35 = 21.Почему так?

    Целое — 60; берём 35 его сотых долей.

  2. 2-я задача: 21 : 0,35 = 60.Почему так?

    Целое неизвестно, известна его часть — делим.

  3. 3-я задача: (21/60) · 100% = 35%.
  4. Ответ: 21; 60; 35%.
Проверь себя

Найдите 12% от 250.

250 · 0,12.

Проверь себя

15% какого числа равны 45?

45 : 0,15.

В 3-й задаче будь внимателен: делимое — «часть», делитель — «целое». Например, если в классе 12 мальчиков и 18 девочек, то мальчики составляют 12/30 · 100% = 40% всех учеников, а не 12/18.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 24.05.2026

(по общему тексту) После того как было использовано 150 кг смешанной краски, для дополнительных работ израсходовали ещё 75 кг только белой краски. Сколько процентов всей использованной для покраски краски составила синяя краска?

Ситуация (ДИМ, перевод): «Для проведения строительных работ во дворе жилого комплекса стройматериалы привезли на грузовиках четырёх типов. … Для покраски некоторых частей двора белую и синюю краски смешали соответственно в отношении 2:3. …»

  1. Белая и синяя краска в отношении 2 : 3: белой 2x, синей 3x, 2x + 3x = 150, откуда x = 30 кг.Почему так?

    Одна часть равна 150 : 5 = 30 кг.

  2. В смеси 60 кг белой и 90 кг синей краски.
  3. Затем добавили только белую краску: всего краски 150 + 75 = 225 кг, а синей по-прежнему 90 кг.Почему так?

    Целое — вся использованная краска (225 кг), а не только смесь.

  4. Доля синей краски: (90/225) · 100% = 40%.
  5. Ответ: 40%.
Официальное пояснение ДИМ (24.05.2026)
Так как белая и синяя краски взяты соответственно в отношении 2:3, в 150 кг смешанной краски масса белой краски равна 2x, синей — 3x, и 2x+3x=150 . x= 30 кг. Отсюда получаем, что в смеси 60 кг белой и 90 кг синей краски. Так как дополнительно израсходовали 75 кг только белой краски, всего краски стало 225 кг. Поэтому синяя краска составляет (90/225)·100% = 40% всей краски.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)
Глава 3

Отношения в процентах: составляем уравнение

В трудных задачах процент связывает две неизвестные. Такую фразу сразу переводи в уравнение:

От слов к формулам

«a составляет p% от b» → a = (p/100) · b;«a больше b на p%» → a = (1 + p/100) · b;«a меньше b на p%» → a = (1 − p/100) · b.

Процент всегда считают от того числа, с которым сравнивают. 10 больше 8 на 25%, потому что разность 2 составляет 25% от 8. А 8 меньше 10 на 20%, потому что теперь 2 берут от 10.

Пример 3

Одно число составляет 60% другого, а их сумма равна 64. Найдите эти числа.

  1. Пусть большее число b, тогда меньшее a = 0,6b.Почему так?

    «60% другого» — целое здесь второе число.

  2. 0,6b + b = 64, 1,6b = 64, b = 40.
  3. a = 0,6 · 40 = 24. Проверка: 24 + 40 = 64.
  4. Ответ: 24 и 40.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 12.07.2026

Длина прямоугольника равна 125% его ширины. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 36.

A) 54B) 80C) 72D) 60E) 90
  1. Пусть ширина b. Длина: a = 1,25b = (5/4)b.Почему так?

    125% = 1,25 = 5/4: длина больше ширины на 25%.

  2. Периметр: 2(a + b) = 2 · (9/4)b = (9/2)b = 36, откуда b = 8.
  3. a = 1,25 · 8 = 10, площадь S = 10 · 8 = 80.
  4. Ответ: 80 (вариант B).
Официальное пояснение ДИМ (12.07.2026)
Если обозначить длину прямоугольника a, а ширину b, то по условию можно записать a = (b/100)·125 = (5/4)b. С другой стороны, так как периметр прямоугольника P = 2(a + b) = 2((5/4)b + b) = (9/2)b = 36, находим b = 8 , a = 10. Тогда S = ab = 80.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Число a составляет 125% числа b, и a − b = 6. Найдите b.

1,25b − b = 0,25b = 6.

Проверь себя

Цена килограмма абрикосов выросла с 4 до 5 манат. На сколько процентов выросла цена?

Рост — 1 манат; делим его на старую цену (4).

Глава 4

Увеличение и уменьшение на проценты

История

Осенью бабушкина курага появилась на рынке. Летом 1 кг кураги стоил 10 манат. Осенью цены выросли на 20%, а перед праздником продавцы объявили скидку 20%.

Продавец говорит: «Рост на 20%, скидка на 20% — значит, цена снова 10 манат». Так ли это? Сколько теперь стоит 1 кг кураги?

Прилавок на рынке и табличка цен: 10 манат, затем +20%, затем −20%.Правило

При увеличении величины на p% её умножают на (1 + p/100), при уменьшении на p% — на (1 − p/100). При нескольких последовательных изменениях множители перемножаются, а проценты не складываются.

История

Осенью цена стала 10 · 1,2 = 12 манат. Скидку считают уже от 12 манат: 12 · 0,8 = 9,6 манат. Значит, продавец ошибается: цена 9,6 манат, на 0,4 манат, т. е. на 4%, дешевле летней, потому что 1,2 · 0,8 = 0,96.

В лаборатории выбери два последовательных изменения: первый столбик — 100, второй — после первого изменения, третий — после второго. Попробуй +20% и −20%, +50% и −50%: результат всегда меньше 100.

Лаборатория · два последовательных процентных изменения1-е изменение20%2-е изменение-20%Пример 4

После скидки 20% товар стоит 64 манат. Сколько он стоил до скидки?

  1. Пусть прежняя цена x: x · (1 − 0,2) = 0,8x = 64.Почему так?

    Скидку считают от прежней цены, поэтому целое — x, а не 64.

  2. x = 64 : 0,8 = 80. Проверка: 80 − 16 = 64.
  3. Ответ: 80 манат (ответ 64 + 20% = 76,8 неверен).
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 06.07.2025

Сначала израсходовали 30% топлива, находившегося в баке, а затем 20% оставшегося топлива. Какая часть первоначального топлива осталась в баке?

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 22/25B) 14/25C) 39/50D) 27/50E) 19/50
  1. Пусть топлива сначала a. После расхода 30% остаётся 0,7a.Почему так?

    Уменьшение на 30%: множитель 1 − 0,3 = 0,7.

  2. Затем расходуют 20% остатка: 0,2 · 0,7a = 0,14a; остаётся 0,7a · 0,8 = 0,56a.Почему так?

    Второй процент считают не от первоначального топлива, а от остатка. Сказать 30% + 20% = 50% — ошибка.

  3. Оставшаяся часть: 0,56 = 56/100 = 14/25.
  4. Ответ: 14/25 (вариант B).
Официальное пояснение ДИМ (06.07.2025)
Обозначим объём топлива в баке через a (литров). По условию сначала израсходовали 30% топлива, т. е. 0,3a (литра). После этого израсходовали 20% оставшихся в баке 0,7a (литра), т. е. 0,14a (литра) топлива. Таким образом, в баке осталось 0,7a – 0,14a = 0,56a (литра) топлива. А это составляет 56/100 = 14/25 первоначального топлива.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)
Проверь себя

Цену сначала повысили на 25%, затем снизили на 20%. На сколько процентов итоговая цена отличается от первоначальной? (Если не изменилась, впишите 0.)

1,25 · 0,8.

Глава 5

Смеси и сушка

В задачах на растворы, сплавы, смеси и сушку работает одна простая идея: количество вещества = масса · процент. При смешивании складываются и количества вещества, и массы; а проценты не складываются.

Процент смеси

p = (всё вещество / масса смеси) · 100%

Пример 5

В 400 г сиропа 25% сахара. В него добавили 100 г воды. Сколько процентов сахара в новом сиропе?

  1. Сахар: 400 · 0,25 = 100 г — при добавлении воды не меняется.Почему так?

    Добавляется вода, а не сахар.

  2. Новая масса: 400 + 100 = 500 г; процент: 100/500 · 100% = 20%.
  3. Ответ: 20%.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 19.04.2026

В таблице приведены данные о процентном составе двух растворов из соли и воды. Если взять 150 г раствора I и 350 г раствора II и смешать их, получится раствор III. По таблице найдите разность q − p.

Здесь «q» в азербайджанском оригинале — и грамм (qram), и неизвестный процент q%; в переводе граммы обозначены «г».

Рисунок меняется вместе с шагами.
  1. Дополняем таблицу: в каждом растворе соль + вода = 100%. В растворе I воды 80%, в растворе II соли 10%.Почему так?

    Раствор состоит только из соли и воды.

  2. Количество соли: 0,2 · 150 = 30 г, 0,1 · 350 = 35 г.
  3. Раствор III: p = (30 + 35)/(150 + 350) · 100 = 65/500 · 100 = 13, q = 100 − 13 = 87, значит q − p = 74.Почему так?

    Среднее процентов (20 + 10)/2 = 15 — неверно: раствора II больше, поэтому результат ближе к 10.

  4. Ответ: 74.
Официальное пояснение ДИМ (19.04.2026)
Заполним таблицу по условию. Так как в первом растворе 20% соли, в 150 г этого раствора содержится 30 г соли; так как во втором растворе 10% соли, в 350 г раствора содержится 35 г соли. Чтобы найти процентное содержание соли в смеси, отношение всей соли к массе смеси выражают в процентах. Отсюда находят p и q и записывают разность. 0,2·150 = 30(г); 0,1·350 = 35(г); ((30 + 35)/(150 + 350))·100% = (65/500)·100% = 13% = p%; 100% − 13% = 87% = q%; q − p = 87 − 13 = 74Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)

В задачах на сушку испаряется только вода, сухое вещество не меняется. Поэтому сначала находим сухое вещество, затем по его новому проценту — новую массу.

История

Вернёмся к бабушкиным абрикосам. В свежих абрикосах воды 90%, сухого вещества 10%, т. е. 20 · 0,1 = 2 кг. В кураге воды 20%, значит, эти 2 кг сухого вещества составляют 80% массы: 2 : 0,8 = 2,5 кг. Ответ 6 кг неверен: «вода упала с 90% до 20%» — это не вычитание процентов.

Из 20 кг остаётся всего 2,5 кг кураги: испарилось 17,5 кг воды.Так спрашивают на экзаменеДИМ · 01.06.2025

При сушке свежие фрукты теряют 80% своей массы. Сколько свежих фруктов нужно взять, чтобы получить 32 кг сушёных?

A) 140 кгB) 165 кгC) 130 кгD) 160 кгE) 135 кг
  1. Пусть свежих фруктов x кг. Теряется 80% массы, остаётся 100% − 80% = 20%.Почему так?

    «Теряют 80% массы» — процент считается от массы свежих фруктов.

  2. Уравнение: x − 0,8x = 32, т. е. 0,2x = 32.
  3. x = 32 : 0,2 = 160 кг. Проверка: 160 · 0,2 = 32.Почему так?

    Считать 32 · 1,8 или 32 + 80% неверно: 32 кг — не целое, а 20% целого.

  4. Ответ: 160 кг (вариант D).
Официальное пояснение ДИМ (01.06.2025)
Пусть свежих фруктов x кг. Тогда по условию задачи можно записать уравнение: x − 0,8x = 32; 0,2x = 32; x = 160 кгИсточник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)
Проверь себя

В 300 г 10%-го раствора соли добавили 100 г воды. Сколько процентов соли в новом растворе?

Соль: 30 г; масса: 400 г.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 09.03.2025

Из сахарной свёклы получают сахар в количестве 20% её массы. Сколько тонн сахара получится из 80 т сахарной свёклы?

A) 8 тB) 12 тC) 18 тD) 16 тE) 14 тОтвет и пояснение ДИМ

Ответ: 16 т (вариант D).

Сахар — 20% — x тСвёкла — 100% — 80 тx = (80·20)/100 = 16 тИсточник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)
ДИМ · 09.03.2026

Найдите число, 40% которого равны значению выражения 4,5·1(2/3) + 2,5.

1(2/3) — смешанное число: одна целая две третьих.

A) 75B) 250C) 25D) 120E) 205Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 25 (вариант C).

Значение выражения 4,5·1(2/3) + 2,5 = (9/2)·(5/3) + 2,5 = 7,5 + 2,5 = 10. Тогда число, 40% которого равны 10, равно (10·100%)/(40%) = 25.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)
ДИМ · 25.05.2025

В школьной олимпиаде участвуют 200 мальчиков и 300 девочек. Сколько процентов всех участников составляют мальчики?

A) 40%B) 30%C) 20%D) 70%E) 60%Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 40% (вариант A).

Так как число участников олимпиады 200 + 300 = 500, мальчики составляют (200/500)·100% = 40% всех участников.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)
ДИМ · 24.05.2026

В соревновании участвуют 150 мальчиков и 50 девочек. Сколько процентов всех участников составляют мальчики?

A) 80%B) 75%C) 25%D) 45%E) 20%Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 75% (вариант B).

Так как в соревновании всего 150+50=200 участников, 150 мальчиков составляют (150/200)·100% = 75% из них.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)
ДИМ · 13.07.2025

Сумма цифр двузначного числа равна 5. Число его десятков равно 25% числа его единиц. Найдите это число.

A) 32B) 23C) 41D) 50E) 14Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 14 (вариант E).

Пусть искомое двузначное число ab … . Тогда { a = 25b/100; a + b = 5 } ⇒ { b = 4a; a + b = 5 } ⇒ { a = 1; b = 4 }; ab̅ = 14Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)
ДИМ · 07.06.2026

Найдите модуль разности квадратов двух последовательных чётных чисел, одно из которых составляет 80% другого.

A) 48B) 64C) 44D) 36E) 28Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 36 (вариант D).

Если обозначить последовательные чётные числа 2n и 2n+2, то по условию 2n = (2n + 2)·(80/100) = 0,8(2n + 2) ⇒ n = 0,8n + 0,8; 0,2n = 0,8 ⇒ n = 4. Значит, последовательные чётные числа — 8 и 10. Тогда получим |8² − 10²| = 36.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)
ДИМ · 05.07.2026

Число a = 3m − 5/n составляет 40% числа b = 5m + 10/n. Найдите произведение mn.

A) 9B) 6C) 14D) 12E) 25Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 9 (вариант A).

3m − 5/n = (5m + 10/n)·40/100; 3m − 5/n = (5m + 10/n)·2/5; 3m − 5/n = 2m + 4/n; 3m − 2m = 4/n + 5/n; m = 9/n; mn = 9Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)
ДИМ · 15.03.2026

Самир работает в магазине, где продаются фильтры для воды, цена каждого из которых 250 манат. Его постоянная зарплата — 1000 манат. Кроме того, за каждый проданный фильтр он получает бонус в размере 4% от его цены. В январе его зарплата составила 1400 манат, а в феврале — 1560 манат. На сколько больше фильтров он продал в феврале, чем в январе?

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 16.

I способ: … В январе он продал (1400 − 1000)/10 = 40 фильтров, а в феврале — (1560 − 1000)/10 = 56 фильтров. В феврале Самир продал на 56-40=16 фильтров больше, чем в январе. II способ: … С одного фильтра Самир получает бонус 250·(4/100) = 10 манат. Находим, что разница в заработке между февралём и январём равна 1560-1400=160 манат. Так как оклад постоянный, эта разница возникает за счёт бонусов от проданных фильтров. 160:10=16 фильтров.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)
Итоги

Запомни

  • Отношение a : b = a/b; при делении в отношении m : n одна часть = сумма : (m + n).
  • Пропорция: a : b = c : d ⇔ a·d = b·c.
  • 1% = 0,01; p процентов от a — a·p/100; число, p процентов которого равны b, — b·100/p; a составляет (a/b)·100% от b.
  • Процент всегда считают от того, с чем сравнивают (от целого): 10 больше 8 на 25%, а 8 меньше 10 на 20%.
  • Рост на p% — множитель 1 + p/100, уменьшение — 1 − p/100; при последовательных изменениях множители перемножают: 1,2 · 0,8 = 0,96.
  • Смесь: количество вещества = масса · процент; складываются количества и массы, а не проценты.
  • Сушка: сухое вещество не меняется.

Типичные ошибки

«Цена выросла на 20%, потом упала на 20% — вернулась к прежней»

Второй процент считают от новой цены: 1,2 · 0,8 = 0,96 — цена упала на 4%.

«Если 40% числа равны 10, то число 10 · 0,4 = 4»

Неизвестно целое: 10 : 0,4 = 25. Проверь: 40% от 25 равны 10.

«Если смешать 20%-й и 10%-й растворы, получится 15%-й»

Только если массы равны. В общем случае складывают количества вещества и делят на общую массу: (30 + 35)/500 = 13%.

«Воды стало не 90%, а 20%, значит, масса уменьшилась на 70%»

Не меняется сухое вещество: в 20 кг его 2 кг, и оно же — 80% кураги, масса 2,5 кг.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Найдите x из пропорции x : 20 = 3 : 5.

5x = 60, x = 12.

2 · Уровень 1

15% от 60:

60 · 0,15 = 9.

3 · Уровень 2

Цена товара выросла на 20% и стала 96 манат. Прежняя цена:

1,2x = 96, x = 80.

4 · Уровень 2

Число сначала увеличили на 10%, потом уменьшили на 10%. Сколько процентов от исходного числа составляет результат?

1,1 · 0,9 = 0,99.

5 · Уровень ДИМ

Смешали 200 г 15%-го и 300 г 5%-го раствора соли. Сколько процентов соли в смеси?

Соль: 30 + 15 = 45 г; 45/500 = 0,09.

6 · Уровень ДИМ

В свежих грибах 90% воды, в сушёных — 12%. Сколько килограммов сушёных грибов получится из 22 кг свежих?

Сухое вещество 22 · 0,1 = 2,2 кг; 2,2 : 0,88 = 2,5 кг.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

  1. 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 71; B-72, C-70, D-63
  2. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 63; B-65, C-61, D-73
  3. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 7; B-8, C-19, D-15
  4. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 7; B-17, C-21, D-3
  5. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 11; B-5, C-21, D-14
  6. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 4; B-11, C-20, D-2
  7. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 66; B-69, C-63, D-71
  8. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 80; B-80, C-80, D-80
  9. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 79; B-79, C-79, D-79
  10. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 28; B-28, C-28, D-28; вариант A, 9; B-2, C-15, D-13
  11. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 7; B-19, C-6, D-18
  12. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 19; B-20, C-22, D-8
  13. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 13; B-4, C-4, D-4

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.

Похожие уроки

Все уроки