ВойтиЗарегистрироваться
Регистрация

Числовая последовательность. Арифметическая и геометрическая прогрессии

МатематикаПоследовательности и прогрессии

Текст урока
Последовательности и прогрессии · Тема 21 / 46

Числовая последовательность. Арифметическая и геометрическая прогрессии

Этот урок пройдём через историю: школа готовится к спортивному празднику. Ряды трибуны, план пробежек и прыгающий мяч приведут нас к последовательностям, арифметической и геометрической прогрессиям: n-й член, разность и знаменатель, формула суммы и свойства, которые часто нужны на экзамене ДИМ.

≈ 45 минутГлав: 4Заданий ДИМ: 13материал 9 класса

После урока ты сможешь

  • находить член последовательности по формуле общего члена и определять номер данного числа;
  • вычислять n-й член, разность и сумму первых n членов арифметической прогрессии;
  • находить n-й член и знаменатель геометрической прогрессии;
  • коротко решать задания ДИМ с помощью свойства членов с равными суммами номеров.

Перед началом вспомни

  • Решение квадратного уравнения и теорема Виета.
  • Свойства степени: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (1/3)⁴ = 1/81.
  • Модуль: если |x| = 2, то x = 2 или x = −2.

Содержание

  1. ВведениеСитуация: сколько зрителей вместит трибуна?история и предположение
  2. Глава 1Числовая последовательность и её общий членопределение · общий член · номер члена
  3. Глава 2Арифметическая прогрессия: n-й член и разностьaₙ = a₁ + (n − 1)d · средний член · ДИМ 05.07.2026, 09.03.2025
  4. Глава 3Сумма первых n членов арифметической прогрессииSₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n · ДИМ 06.07.2025, 15.03.2026
  5. Глава 4Геометрическая прогрессияbₙ = b₁·qⁿ⁻¹ · среднее геометрическое · ДИМ 07.06.2026, 19.04.2026
  6. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 7, с ответом и официальным пояснением
  7. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
  8. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным
Введение

Ситуация: сколько зрителей вместит трибуна?

История

В школе готовятся к спортивному празднику. На стадионе построили новую трибуну: в первом ряду 18 мест, а в каждом следующем — на 3 места больше, чем в предыдущем. Всего на трибуне 12 рядов.

Директор хочет знать, сколько гостей можно пригласить на праздник. Считать места по одному слишком долго. Сколько всего мест на трибуне?

12 рядов трибуны: в первом 18 мест, в каждом следующем на 3 места больше.Сначала предположи

Как ты думаешь, сколько мест на трибуне? Выбери ответ — посчитаем вместе в 3-й главе.

Глава 1

Числовая последовательность и её общий член

Выпишем подряд числа мест в рядах трибуны: 18, 21, 24, 27, … Здесь у каждого числа есть своё место — номер: первый ряд, второй ряд и т. д. Если переставить числа, получится уже другой набор.

Определение

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое число aₙ, говорят, что задана числовая последовательность: a₁, a₂, a₃, …, aₙ, …. Здесь aₙ — n-й член последовательности, а n — номер члена. Последовательность обозначают (aₙ).

Иначе говоря, последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел: аргумент — номер члена n, значение — сам член aₙ. Поэтому график последовательности — не линия, а отдельные точки.

Первые шесть членов последовательности aₙ = 3n − 1: график состоит из отдельных точек.

Чаще всего последовательность задают формулой общего члена, например aₙ = 3n − 1. Чтобы найти любой член, вместо n подставляем его номер: a₅ = 3·5 − 1 = 14. Иногда последовательность задают рекуррентно: указывают первый член и правило, по которому каждый член находится через предыдущий. Например, при a₁ = 2, aₙ₊₁ = 2aₙ − 1 получаем: 2, 3, 5, 9, 17, …

Пример 1

Найдите 7-й член последовательности aₙ = (n + 9)/(4 − n).

  1. Подставляем в формулу 7 вместо n: a₇ = (7 + 9)/(4 − 7).Почему так?

    Формула общего члена отвечает на вопрос «какое число стоит на n-м месте?»: вместо n подставляют номер.

  2. a₇ = 16/(−3) = −16/3.Почему так?

    Знаменатель отрицательный: следи за знаком дроби.

  3. Ответ: −16/3.

Часто спрашивают и обратное: каким по номеру членом последовательности является данное число? Для этого решаем уравнение aₙ = данное число и берём только натуральный корень, ведь номер — натуральное число.

Пример 2

Каким по номеру членом последовательности aₙ = n² − 5n + 8 является число 14?

  1. Составляем уравнение: n² − 5n + 8 = 14, т. е. n² − 5n − 6 = 0.
  2. Корни: n = 6 и n = −1.Почему так?

    Теорема Виета: сумма корней 5, произведение −6.

  3. Номер — натуральное число, поэтому n = 6. Проверка: 36 − 30 + 8 = 14.Почему так?

    Членов с отрицательным номером не бывает: корень n = −1 отбрасываем.

  4. Ответ: 6-й член.
Проверь себя

Найдите 7-й член последовательности aₙ = n² − 3n.

Подставь 7 вместо n: 49 − 21.

Проверь себя

Каким по номеру членом последовательности aₙ = 4n + 1 является число 45?

Реши уравнение 4n + 1 = 45.

Глава 2

Арифметическая прогрессия: n-й член и разность

История

Трибуна готова, теперь очередь спортсменов. Главный забег праздника — на 4,8 км. Ученик составляет план подготовки: в первый день он пробежит 1,2 км, а затем каждый день на 0,3 км больше, чем накануне.

План он написал на щите у края стадиона. В какой по счёту день он пробежит всю дистанцию забега — 4,8 км?

Беговая дорожка и план подготовки: 1,2 км, затем каждый день на 0,3 км больше.

Числа мест на трибуне (18, 21, 24, …) и дистанции в плане (1,2; 1,5; 1,8; …) меняются по одному правилу: каждый член отличается от предыдущего на одно и то же число. У таких последовательностей есть особое название.

Определение

Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией: aₙ₊₁ = aₙ + d. Число d — разность прогрессии: d = aₙ₊₁ − aₙ. При d > 0 прогрессия возрастает, при d < 0 — убывает.

n-й член арифметической прогрессии

От a₁ до aₙ ровно n − 1 шаг, и на каждом шаге прибавляется d. Поэтому:

aₙ = a₁ + (n − 1)d

Так же для любых двух членов: aₘ = aₖ + (m − k)d. Отсюда, зная два члена, находим разность: d = (aₘ − aₖ)/(m − k).

История

В плане ученика a₁ = 1,2, d = 0,3. Для искомого дня 1,2 + 0,3(n − 1) = 4,8, т. е. 0,3(n − 1) = 3,6, n − 1 = 12, n = 13. Значит, ученик пробежит 4,8 км на 13-й день.

Пример 3

В арифметической прогрессии a₂ = 7, a₆ = 19. Найдите a₁₀.

  1. От a₂ до a₆ четыре шага: a₆ − a₂ = 4d = 12, откуда d = 3.Почему так?

    aₘ − aₖ = (m − k)d: прибавляется столько d, какова разность номеров.

  2. От a₆ до a₁₀ снова 4 шага: a₁₀ = a₆ + 4d = 19 + 12 = 31.
  3. Ответ: 31.
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 05.07.2026

В арифметической прогрессии (aₙ) a₁ = 3, a₇ = −9. Найдите номер члена этой прогрессии, для которого aₙ = −27.

A) 19B) 18C) 13D) 16E) 17
  1. Разность прогрессии: d = (a₇ − a₁)/(7 − 1) = (−9 − 3)/6 = −2.Почему так?

    От a₁ до a₇ шесть шагов; на каждом шаге прибавляется d.

  2. Формула n-го члена: aₙ = 3 + (n − 1)·(−2).
  3. 3 − 2(n − 1) = −27, n − 1 = 15, n = 16.Почему так?

    Проверка: a₁₆ = 3 + 15·(−2) = −27.

  4. Ответ: 16 (вариант D).
Официальное пояснение ДИМ (05.07.2026)
Если в арифметической прогрессии (aₙ) даны члены a_k и a_m, разность прогрессии можно найти по формуле d = (a_m − a_k)/(m − k). Тогда d = (a₇ − a₁)/(7 − 1) = −2. Так как общий член этой прогрессии aₙ = a₁ + (n − 1)·d, получим −27 = 3 − 2(n − 1), n = 16.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 05.07.2026, II группа специальностей (PDF)
Свойство

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних членов: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2. Обратно, если 2b = a + c, то числа a, b, c (в этом порядке) — последовательные члены арифметической прогрессии.

Причина: aₙ − aₙ₋₁ = aₙ₊₁ − aₙ, обе разности равны d. Отсюда 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 09.03.2025

При каких значениях y числа y–2; |3 − y|; 6–y будут последовательными членами арифметической прогрессии?

A) 2 и 3B) 1 и 5C) 1 и –1D) –1 и 5E) –3 и –2
  1. Средний член равен среднему арифметическому соседних: 2·|3 − y| = (y − 2) + (6 − y) = 4.Почему так?

    При сложении y − 2 и 6 − y переменная y сокращается — в этом ключ задания.

  2. |3 − y| = 2: 3 − y = 2 или 3 − y = −2, т. е. y = 1 или y = 5.
  3. Проверка: при y = 1 получаем −1; 2; 5 (d = 3); при y = 5 — 3; 2; 1 (d = −1).Почему так?

    В уравнении с модулем нужно проверить оба случая: подходят оба.

  4. Ответ: 1 и 5 (вариант B).
Официальное пояснение ДИМ (09.03.2025)
По свойству арифметической прогрессии aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2|3 − y| = (y − 2 + 6 − y)/2 ⇒ |3 − y| = 2 ⇒ [3 − y = −2 ; 3 − y = 2] ⇒ [y = 5 ; y = 1]Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF)
Проверь себя

В арифметической прогрессии a₁ = 40, d = −3. Найдите 11-й член прогрессии.

a₁₁ = a₁ + 10d.

Проверь себя

В арифметической прогрессии a₄ = 12, a₉ = 32. Найдите разность прогрессии.

d = (a₉ − a₄)/(9 − 4).

Глава 3

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Вернёмся к трибуне. Число мест — это сумма S = 18 + 21 + … + 48 + 51. Запишем сумму дважды: один раз с начала, один раз с конца. Суммы членов, стоящих друг под другом, всегда одинаковы: 18 + 51 = 69, 21 + 48 = 69 и т. д., потому что верхний член растёт на d, а нижний на d уменьшается.

Небольшой пример: 3 + 5 + 7 + 9 + 11. «Лесенка» и её перевёрнутая копия заполняют прямоугольник 5 × 14, поэтому 2S = 14 · 5.Формула суммы

Сумма первых n членов арифметической прогрессии:

Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n

Если заменить aₙ через a₁ и d: Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)/2 · n.

История

На трибуне n = 12, в последнем ряду a₁₂ = 18 + 11·3 = 51 мест. Число мест: S₁₂ = (18 + 51)/2 · 12 = 69 · 6 = 414. Директор может пригласить на праздник 414 гостей. Поучительны и неверные ответы: 18·12 = 216 — считать все ряды как первый, 51·12 = 612 — как последний, а 69·12 = 828 — забыть разделить на 2.

Проверь себя

Вернёмся к плану бега: a₁ = 1,2, a₁₃ = 4,8. Сколько всего километров пробежит ученик за 13 дней?

S₁₃ = (1,2 + 4,8)/2 · 13.

Идея, которую мы использовали при выводе формулы, даёт более общее свойство. И запомни: в любой последовательности aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n ≥ 2), ведь Sₙ и Sₙ₋₁ отличаются только последним членом.

Члены с равными суммами номеров

Если k + m = p + l, то в арифметической прогрессии aₖ + aₘ = aₚ + aₗ. В частности, a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = a₃ + aₙ₋₂ = ….

Причина: aₖ + aₘ = 2a₁ + (k + m − 2)d, aₚ + aₗ = 2a₁ + (p + l − 2)d — при равных суммах номеров результаты совпадают.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 06.07.2025

В арифметической прогрессии (aₙ) a₅ + a₉ = 16. Найдите сумму её первых 13 членов.

Рисунок меняется вместе с шагами.
  1. Сравниваем суммы номеров: 1 + 13 = 5 + 9 = 14, значит a₁ + a₁₃ = a₅ + a₉ = 16.Почему так?

    a₁ и d по отдельности не найти, но для суммы они и не нужны: в формулу входит только a₁ + a₁₃.

  2. Формула суммы: S₁₃ = (a₁ + a₁₃)/2 · 13 = 16/2 · 13 = 104.
  3. Ответ: 104.
Официальное пояснение ДИМ (06.07.2025)
Известно, что a₁ + a₁₃ = a₅ + a₉. ПоэтомуS₁₃ = (a₁ + a₁₃)/2 ·13 = (a₅ + a₉)/2 ·13 = 16/2 ·13 = 8·13 = 104.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)

В текстовых задачах сначала нужно «увидеть» арифметическую прогрессию: если каждый день, каждый ряд, каждый шаг прибавляется одно и то же, значит, перед нами арифметическая прогрессия.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 15.03.2026

Агиль в первый день опустил в пустую копилку 1 монету в 50 гяпиков, 2 монеты по 20 гяпиков и 3 монеты по 10 гяпиков. В следующие дни он увеличивал количество монет каждого вида на одну по сравнению с предыдущим днём. Через сколько дней в копилке будет всего 48 манатов?

  1. Первый день: 50 + 2·20 + 3·10 = 120 гяпиков.
  2. Каждый день монет каждого вида на одну больше, т. е. сумма каждый день растёт на 50 + 20 + 10 = 80 гяпиков: 120, 200, 280, … — арифметическая прогрессия, a₁ = 120, d = 80.Почему так?

    Прибавка каждый день одна и та же — это признак арифметической прогрессии.

  3. 48 манатов = 4800 гяпиков. Sₙ = (2·120 + 80(n − 1))/2 · n = (40n + 80)n = 4800, т. е. n² + 2n − 120 = 0.Почему так?

    Все суммы записываем в одних единицах — в гяпиках.

  4. Корни: n = 10 и n = −12. Число дней — натуральное: n = 10. Проверка: a₁₀ = 120 + 9·80 = 840, (120 + 840)/2 · 10 = 4800.Почему так?

    Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи.

  5. Ответ: 10 дней (к концу 10-го дня в копилке будет 48 манатов).
Официальное пояснение ДИМ (15.03.2026)
Если Агиль в первый день опустит в пустую копилку 1 монету в 50 гяпиков, 2 монеты по 20 гяпиков и 3 монеты по 10 гяпиков, в копилке соберётся 50 + 2· 20 + 3· 10 = 120 гяпиков. Если во второй день он опустит монет каждого вида на 1 больше, чем в первый, то во второй день в копилку попадёт 200 гяпиков, в третий — 280 гяпиков и т. д. Суммы, опускаемые в копилку по дням, равны 120, 200, 280, ..... и т. д. Так как эти числа образуют арифметическую прогрессию, используется формула суммы первых n членов арифметической прогрессии. Если учесть a₁ = 120, d = 200−120 = 80, Sₙ = 4800 в формуле Sₙ = ((2a₁ + d(n − 1))/2)·n, можно записать следующее квадратное уравнение: ((2·120 + 80(n − 1))/2)·n = 4800 → n·(40n + 80) = 4800 → → 40n² + 80n − 4800 = 0 → n² + 2n − 120 = 0. Решаем квадратное уравнение n² + 2n − 120 = 0: n² + 2n − 120 = 0 → D = 484, n₁ = −12, n₂ = 10. Агиль соберёт 4800 гяпиков за 10 дней.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)
Глава 4

Геометрическая прогрессия

История

Последнее соревнование праздника — баскетбол в спортзале. Учитель физкультуры проверяет мячи: отпускает мяч с высоты 3,2 м. После каждого удара о пол этот мяч поднимается ровно на половину прежней высоты: 1,6 м, 0,8 м, 0,4 м, …

Ученики спрашивают: на какую высоту поднимется мяч после пятого удара о пол?

Мяч каждый раз поднимается на половину прежней высоты: 1,6 м, 0,8 м, 0,4 м, …

На этот раз члены меняются не на одно и то же число, а в одно и то же число раз: каждый член вдвое меньше предыдущего, т. е. получается умножением предыдущего на 1/2.

Определение

Последовательность с отличным от нуля первым членом, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0, называется геометрической прогрессией: bₙ₊₁ = bₙ · q. Число q — знаменатель прогрессии: q = bₙ₊₁ : bₙ.

n-й член геометрической прогрессии

От b₁ до bₙ ровно n − 1 шаг, и на каждом шаге умножаем на q:

bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹

Между двумя членами: bₘ = bₖ · qᵐ⁻ᵏ.

История

Высоты после ударов образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 1,6, q = 1/2. После пятого удара: b₅ = 1,6 · (1/2)⁴ = 1,6 : 16 = 0,1 м. Мяч поднимется всего на 10 см — в 2⁵ = 32 раза ниже начальной высоты.

Сравни две прогрессии в лаборатории. В арифметической столбики на каждом шаге удлиняются на одно и то же (как лесенка), а в геометрической растут в одно и то же число раз: при q > 1 — быстро растут, при 0 < q < 1 — приближаются к нулю, как прыгающий мяч.

Лаборатория · члены прогрессии столбикамипервый член1разность d2Пример 4

В геометрической прогрессии b₂ = 6, b₅ = 162. Найдите q и b₁.

  1. От b₂ до b₅ три шага: b₅ = b₂ · q³, откуда q³ = 162 : 6 = 27.Почему так?

    В геометрической прогрессии члены не вычитаем, а делим: отношение — степень q.

  2. q = 3, b₁ = b₂ : q = 2.
  3. Ответ: q = 3, b₁ = 2.
Свойство

В геометрической прогрессии с положительными членами каждый член — среднее геометрическое соседних: bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁. Вообще, если k + m = p + l, то bₖ · bₘ = bₚ · bₗ.

Причина: bₖ · bₘ = b₁² · qᵏ⁺ᵐ⁻², bₚ · bₗ = b₁² · qᵖ⁺ˡ⁻². Это «мультипликативный» вариант свойства арифметической прогрессии: там равны суммы, здесь — произведения.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 07.06.2026

В геометрической прогрессии (bₙ) b₍ₙ₊₁₀₎ · b₍ₙ₊₁₁₎ · b₍ₙ₊₁₂₎ = 64 · 3^(3n). Найдите b₁₃.

A) 18B) 48C) 24D) 36E) 32
  1. Номера: (n + 10) + (n + 12) = 2(n + 11), значит bₙ₊₁₀ · bₙ₊₁₂ = (bₙ₊₁₁)².Почему так?

    Произведение крайних членов равно квадрату среднего.

  2. Условие принимает вид (bₙ₊₁₁)³ = 64 · 3³ⁿ = (4 · 3ⁿ)³, откуда bₙ₊₁₁ = 4 · 3ⁿ.Почему так?

    64 = 4³ и 3³ⁿ = (3ⁿ)³: оба множителя — кубы.

  3. Для b₁₃ n + 11 = 13, т. е. n = 2: b₁₃ = 4 · 3² = 36.
  4. Ответ: 36 (вариант D).
Официальное пояснение ДИМ (07.06.2026)
Так как (n+10) + (n+12) = 2·(n+11), по известному свойству b₍ₙ₊₁₀₎ · b₍ₙ₊₁₂₎ = b₍ₙ₊₁₁₎ · b₍ₙ₊₁₁₎. Поэтому получим (b₍ₙ₊₁₁₎)³ = 64 · 3^(3n). Отсюда b₍ₙ₊₁₁₎ = ∛(64 · 3^(3n)) = 4 · 3ⁿ. Подставив n=2, получим b₁₃ = 4 · 3² = 36.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 07.06.2026, I группа специальностей (PDF)
Так спрашивают на экзаменеДИМ · 19.04.2026

Во сколько раз разность девятого и шестого членов геометрической прогрессии со знаменателем 1/3 больше разности тринадцатого и десятого членов?

  1. Выносим общий множитель: b₉ − b₆ = b₆q³ − b₆ = b₆(q³ − 1), b₁₃ − b₁₀ = b₁₀(q³ − 1).Почему так?

    В обеих разностях номера отличаются на 3, поэтому получается одна и та же скобка (q³ − 1).

  2. Отношение: (b₉ − b₆)/(b₁₃ − b₁₀) = b₆/b₁₀ = 1/q⁴.
  3. 1/q⁴ = 1/(1/3)⁴ = 3⁴ = 81.Почему так?

    Так как q = 1/3 < 1, члены убывают: прежняя разность больше последующей.

  4. Ответ: в 81 раз.
Официальное пояснение ДИМ (19.04.2026)
В геометрической прогрессии знаменатель q = 1/3, общий член bₙ = b₁·qⁿ⁻¹. Для членов b₆, b₉, b₁₀, b₁₃ (b₉ − b₆)/(b₁₃ − b₁₀) = (b₆·(q³ − 1))/(b₁₀·(q³ − 1)) = b₆/(b₆·q⁴) = 1/q⁴ = 1/(1/3)⁴ = 81Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF)

Сумма первых n членов геометрической прогрессии тоже находится по формуле (q ≠ 1): Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1). Например, при b₁ = 3, q = 2: S₅ = 3(2⁵ − 1)/(2 − 1) = 93 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48.

Проверь себя

В геометрической прогрессии b₁ = 5, q = 3. Найдите b₄.

b₄ = b₁ · q³.

Проверь себя

В геометрической прогрессии с положительными членами b₃ = 4, b₇ = 64. Найдите b₅.

3 + 7 = 5 + 5, поэтому b₅² = b₃ · b₇.

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 02.03.2025

Найдите пятый член последовательности, заданной формулой aₙ = 3n − 1.

A) 5B) 9C) 4D) 12E) 14Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 14 (вариант E).

a₅ = 3·5 − 1 = 14Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)
ДИМ · 24.05.2026

Вычислите 9-й член последовательности (aₙ) с общим членом aₙ = (5n + 3)/(3 − 2n).

A) −16/5B) 8C) 16/5D) 5/3E) −8Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: −16/5 (вариант A).

a₉ = (5·9 + 3)/(3 − 2·9) = 48/(−15) = −16/5Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)
ДИМ · 09.03.2026

В арифметической прогрессии (aₙ) a₁₃=58 и a₂₈=28. Найдите разность прогрессии.

A) –6B) –3C) 2D) 5E) –2Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: −2 (вариант E).

Разность арифметической прогрессии d = (a₂₈ − a₁₃)/(28 − 13) = (28 − 58)/15 = −2Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)
ДИМ · 12.07.2026

Для последовательностей с общими членами aₙ = 2n + 5 и bₙ = n² − n − 5 выполняется условие a_k = b_k. Найдите сумму первых k членов последовательности aₙ.

Номер — натуральное число: отрицательный корень квадратного уравнения отбрасывается (глава 1).

A) 42B) 52C) 55D) 48E) 65Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 55 (вариант C).

Из условия a_k = b_k можно записать равенство 2k + 5 = k² − k − 5 или уравнение k² − 3k − 10 = 0. Отсюда находим k₁ = 5, k₂ = −2. Так как k ∈ N, то k = 5. Так как последовательность aₙ = 2n + 5 — арифметическая прогрессия (a₁ = 7, d = 2), сумма её первых 5 членов S₅ = (a₁ + a₅)/2 · 5 = 5a₃ = 5(2·3 + 5) = 55.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 12.07.2026, I группа специальностей (PDF)
ДИМ · 01.06.2025

В арифметической прогрессии (aₙ) с положительными членами a₁₁ + a₁₂ + a₁₃ = a₁₁ · a₁₂. Найдите сумму первых 21 члена прогрессии.

A) 56B) 70C) 63D) 77E) 42Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 63 (вариант C).

a₁₂ = (a₁₁ + a₁₃)/2 ⇒ a₁₁ + a₁₃ = 2a₁₂; a₁₁ + a₁₂ + a₁₃ = a₁₁ · a₁₂; 3a₁₂ = a₁₁ · a₁₂; a₁₁ = 3. По формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии S₂₁ = (a₁ + a₂₁)/2 · 21 = 2a₁₁/2 · 21 = a₁₁ · 21 = 3 · 21 = 63Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)
ДИМ · 25.05.2025

Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии больше 220, но меньше 260. Найдите разность прогрессии, если её первый член равен 7, а все члены — натуральные числа.

A) 3B) 6C) 4D) 8E) 5Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 4 (вариант C).

Для решения задания сначала по формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии находят S₁₀.S_n = (2a₁ + (n − 1)d)/2 · n → S_n = (2a₁ + 9d)/2 · 10 = (14 + 9d)·5По условию S₁₀ удовлетворяет двойному неравенству:220 < S₁₀ < 260220 < (14 + 9d)·5 < 260Неравенство решают, а при нахождении d учитывают, что по условию все члены — натуральные числа.44 < 14 + 9d < 5230 < 9d < 383 1/3 < d < 4 2/9d = 4Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)
ДИМ · 13.07.2025

Найдите n-й член последовательности 2; 4; 8; 16;…

A) 2ⁿB) n²+2C) 2nD) n²E) 2n+2Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 2ⁿ (вариант A).

Из условия видно, что эта последовательность — геометрическая прогрессия. Тогда b₁ = 2; b₂ = 4; q = b₂/b₁ = 2; bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹; bₙ = 2 · 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿИсточник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 13.07.2025, I группа специальностей (PDF)
Итоги

Запомни

  • Последовательность — функция натурального аргумента; номер члена — натуральное число.
  • Арифметическая прогрессия: aₙ = a₁ + (n − 1)d, d = (aₘ − aₖ)/(m − k).
  • Средний член: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2; 2b = a + c → a, b, c — арифметическая прогрессия.
  • Сумма: Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n = (2a₁ + (n − 1)d)/2 · n.
  • k + m = p + l → aₖ + aₘ = aₚ + aₗ; в частности S₁₃ = (a₅ + a₉)/2 · 13.
  • Геометрическая прогрессия: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹, bₘ = bₖ · qᵐ⁻ᵏ; Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).
  • k + m = p + l → bₖ · bₘ = bₚ · bₗ; при положительных членах bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁.

Типичные ошибки

aₙ = a₁ + nd

От a₁ до aₙ n − 1 шаг: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Например, в 12-м ряду трибуны 18 + 11·3 = 51 место, а не 54.

Sₙ = (a₁ + aₙ) · n

Забыли разделить на 2: пар всего n/2. На трибуне не 828, а 414 мест.

Оба корня квадратного уравнения — номера членов

Номер — натуральное число: из n² + 2n − 120 = 0 берём только n = 10, а n = −12 отбрасываем.

bₙ = b₁ · qⁿ

Показатель n − 1: для 2; 4; 8; … bₙ = 2 · 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ, а 2 · 2ⁿ дало бы 4; 8; 16; …

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Найдите шестой член последовательности aₙ = n² − 2n.

a₆ = 36 − 12 = 24.

2 · Уровень 1

В геометрической прогрессии b₁ = 2, q = 3. Чему равен b₄?

b₄ = 2 · 3³ = 54.

3 · Уровень 2

В арифметической прогрессии a₄ = 10, a₁₀ = 28. Найдите a₁.

6d = 18 → d = 3; a₁ = a₄ − 3d = 1.

4 · Уровень 2

В арифметической прогрессии a₃ + a₁₅ = 20. Найдите сумму первых 17 членов.

a₁ + a₁₇ = a₃ + a₁₅ = 20; S₁₇ = 20/2 · 17 = 170.

5 · Уровень ДИМ

В геометрической прогрессии с положительными членами b₂ · b₈ = 36. Найдите b₅.

2 + 8 = 5 + 5 → b₅² = 36, b₅ = 6.

6 · Уровень ДИМ

Сумма первых n членов арифметической прогрессии задана формулой Sₙ = n² + 4n. Найдите a₁₀.

a₁₀ = S₁₀ − S₉ = 140 − 117 = 23.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

  1. 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 65; B-66, C-71, D-70
  2. 09.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 65; B-66, C-62, D-71
  3. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 13; B-4, C-21, D-8
  4. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 8; B-8, C-1, D-8
  5. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 26; B-25, C-24, D-24
  6. 13.07.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 19; B-1, C-12, D-10
  7. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 69; B-62, C-67, D-61
  8. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 85; B-85, C-85, D-85
  9. 19.04.2026, выпускной экзамен (экстернат) (PDF) — вариант A, 81; B-81, C-81, D-81
  10. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 16; B-7, C-18, D-16
  11. 07.06.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 1; B-6, C-11, D-1
  12. 05.07.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 8; B-2, C-12, D-21
  13. 12.07.2026, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 5; B-18, C-7, D-2

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.

Похожие уроки

Все уроки