Арифметическая и геометрическая прогрессии: n-й член и сумма первых n членов
Текст урока
В арифметической прогрессии каждый следующий член больше предыдущего на одно и то же число — разность d: 2, 5, 8, 11… (d = 3). n-й член: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Сумма первых n членов: Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2.
В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число — знаменатель q: 3, 6, 12, 24… (q = 2). n-й член: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. Сумма: Sₙ = b₁(qⁿ − 1) / (q − 1), q ≠ 1. Арифметическая прогрессия растёт «лесенкой» равными шагами, геометрическая — «снежным комом», всё быстрее.
aₙ = a₁ + (n − 1)dn-й член арифметической прогрессииbₙ = b₁ · qⁿ⁻¹n-й член геометрической прогрессииSₙ = (a₁ + aₙ)n / 2сумма арифметической прогрессии (способ Гаусса)выбери вид прогрессии и меняй a₁, d (q), n ↓Арифметическая прогрессия: 2, 5, 8… — каждый шаг +3Каждый столбик — член прогрессии, под ним номер. Зелёные столбики — первые n членов, входящие в сумму. В арифметической прогрессии столбики меняются равными шагами, в геометрической — всё быстрее.
Прогрессияa₁2d3n8- Первые члены
Покажи 10-й член арифметической прогрессии с a₁ = 2, d = 3.
Настрой ползунки и кнопки…Что показывает симуляция?
языком ползунков- a₁ = 2, d = 3: столбики поднимаются лесенкой равными шагами — 2, 5, 8, 11…
- Сделай d отрицательным: прогрессия убывает, столбики опускаются и переходят через ноль.
- Выбери «Геометрическая», b₁ = 3, q = 2: 3, 6, 12, 24… — каждый шаг удваивает, 10-й член уже 1536.
- Сделай q = 0,5: члены уменьшаются вдвое и приближаются к нулю; при отрицательном q знаки чередуются.
- С тем же «стартом» геометрическая прогрессия скоро намного обгоняет арифметическую.
Две прогрессии рядом
формулы| Арифметическая | Геометрическая | |
|---|---|---|
| Правило | aₙ₊₁ = aₙ + d | bₙ₊₁ = bₙ · q |
| n-й член | aₙ = a₁ + (n − 1)d | bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹ |
| Сумма | Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2 | Sₙ = b₁(qⁿ − 1) / (q − 1) |
| Характеристическое свойство | aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2 | bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁ |
| Пример | 1 + 2 + … + 100 = 5050 | 1 + 2 + 4 + … + 512 = 1023 |
Самые частые ошибки
красной ручкойПисать n вместо n − 1 в формуле aₙК первому члену разность не прибавляется: a₁ = a₁ + 0·d. Поэтому к n-му члену разность прибавлена (n − 1) раз.
Ошибаться в степени в геометрической прогрессииb₅ = b₁ · q⁴, а не q⁵. Та же логика: к первому члену знаменатель не применяется.
Путать формулы сумм(a₁ + aₙ)n/2 — только для арифметической прогрессии. Для геометрической берут b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).
Разобранные задачи
сначала реши самЗадача 1
В арифметической прогрессии a₁ = 5, d = 3. Найдите a₁₀ и S₁₀.
Показать решениеa₁₀ = 5 + 9 · 3 = 32S₁₀ = (5 + 32) · 10 / 2 = 185Ответ: a₁₀ = 32, S₁₀ = 185.
Задача 2
В геометрической прогрессии b₁ = 2, q = 3. Найдите b₄ и S₄.
Показать решениеb₄ = 2 · 3³ = 54S₄ = 2(3⁴ − 1)/(3 − 1) = 2 · 80 / 2 = 80Ответ: b₄ = 54, S₄ = 80.
В реальной жизни: шахматная доска и зёрна пшеницы
сила геометрической прогрессииЛегенда: изобретатель шахмат попросил на первую клетку 1 зерно, на вторую 2, на третью 4…Геометрическая прогрессия — математическая модель «быстрого роста»: размножение бактерий, сложные проценты, начальная стадия распространения вируса. А арифметическая описывает равные шаги: ежемесячные одинаковые накопления, ступени лестницы, плату за каждый километр в такси.
Проверь себя: 5 тестовых заданий
5 вопросов1В арифметической прогрессии a₁ = 5, d = 3. Чему равен a₁₀?
2Чему равна сумма 1 + 2 + 3 + … + 100?
3В геометрической прогрессии b₁ = 2, q = 3. Чему равен b₄?
4Какая последовательность — геометрическая прогрессия?
5Открытый вопрос: найдите сумму 2 + 4 + 6 + … + 20. Запиши ответ числом.
ИсточникПрограмма вступительных экзаменов ДИМ 2026: Математика → Последовательности: арифметическая и геометрическая прогрессии, формулы n-го члена и суммы первых n членов.