Проценты: процент от числа, увеличение и уменьшение, сложные проценты

Процент — сотая часть числа: 1% = 0,01. Чтобы найти p процентов от числа, умножаем его на p/100: 15% от 200 = 200 · 0,15 = 30. Если число увеличить на p%, получится A · (1 + p/100), если уменьшить — A · (1 − p/100).

При сложных процентах каждый год процент начисляется на уже выросшую сумму: A · (1 + p/100)ⁿ. При простых процентах каждый год добавляется одна и та же сумма: A · (1 + n·p/100). На длинном сроке разница огромна.

p% = p/10015% = 0,15A · (1 ± p/100)увеличение или уменьшение на p%A · (1 + p/100)ⁿсложные проценты за n летменяй число и процент, потом переключись на вклад ↓15% от 200 = 200 · 0,15 = 30

В режиме процентов: закрашенные клетки из 100 — это процент, полосы справа — число, увеличенное и уменьшенное на p%. В режиме вклада: серые столбцы — простые проценты, зелёные — сложные.

РежимЧисло, A200Процент, p15 %Число лет, n5Задание 1 / 3○○○

Найди 35% от 400.

Настрой ползунки и кнопки…

Что показывает симуляция?

языком ползунков

• 15% — 15 клеток из 100. 15% от 200 — это 30: 200 · 0,15.
• Подними процент до 100%: число удваивается, а «−100%» даёт ноль.
• Увеличение на 20%, а потом уменьшение на 20% не возвращает исходное число: 100 · 1,2 · 0,8 = 96.
• В режиме вклада под 10% за 10 лет простые проценты дают 2000, а сложные ≈ 2594 — сложные считают и «проценты на проценты».
• В первые годы простые и сложные проценты почти одинаковы; разница быстро растёт с годами.

Виды задач на проценты

три вопроса — три формулы

Вопрос	Формула	Пример
Сколько составляет p% от A?	A · p / 100	15% от 200 = 30
p% какого числа равны B?	B · 100 / p	число, 15% которого 30, = 200
Сколько процентов B составляет от A?	B / A · 100	30 — это 15% от 200
Увеличение на p%	A · (1 + p/100)	200 + 15% = 230
Сложные проценты за n лет	A · (1 + p/100)ⁿ	1000, 10%, 2 года → 1210

Самые частые ошибки

красной ручкой«Увеличили на 20% и уменьшили на 20% — вернулись к исходному»

Второй процент считается от уже выросшего числа: 100 → 120 → 120 · 0,8 = 96. В итоге уменьшение на 4%.

Путать, от чего считается процент

«Увеличилось на 25% и стало 150» — исходное число не 150 · 0,75, а 150 / 1,25 = 120. Процент всегда считают от исходного.

Путать проценты и процентные пункты

Если ставка выросла с 10% до 12%, это рост на 2 процентных пункта, а относительный рост — 20%.

Разобранные задачи

сначала реши сам

Задача 1

Цену товара сначала повысили на 10%, затем снизили на 10%. На сколько процентов итоговая цена отличается от исходной?

Показать решениеx · 1,1 · 0,9 = 0,99x0,99x — на 1% меньше исходной

Ответ: дешевле на 1%.

Задача 2

В банк положили 1000 AZN под 10% годовых (сложные проценты). Сколько будет на счету через 2 года?

Показать решение1000 · 1,1² = 1000 · 1,21= 1210 AZN

Ответ: 1210 AZN (при простых процентах было бы 1200).

В реальной жизни: «скидка на скидку»

проценты в магазинеЦена товара — 100 AZN

Последовательные изменения в процентах не складываются, а перемножаются: скидки 50% и 20% вместе дают 0,5 · 0,8 = 0,4, то есть скидку 60%. Так же работают банковские проценты, инфляция и рост цен: два роста по 10% — это рост на 21%.

Проверь себя: 5 тестовых заданий

5 вопросов

1Чему равны 15% от 200?

2Цена выросла на 20%, затем снизилась на 20%. Как изменилась цена?

31000 AZN лежат 2 года под 10% годовых (сложные проценты). Сколько получится?

4После увеличения на 25% число стало равно 150. Каким было исходное число?

5Открытый вопрос: сколько процентов составляет 20 от 80? Запиши ответ числом.

Источник

Программа вступительных экзаменов ДИМ 2026: Математика → Проценты: нахождение процента от числа и числа по проценту, увеличение и уменьшение на процент, сложные проценты.

/section>