Призма и параллелепипед

Стереометрия · Тема 44 / 46

Призма и параллелепипед

Этот урок пройдём через историю переезда: семья переезжает в новую квартиру. Уложить карниз в коробку, покрасить стены гостиной и наполнить аквариум — эти задачи приведут нас к главным формулам призмы: боковая поверхность, диагональ параллелепипеда и объём.

≈ 40 минутГлав: 4Заданий ДИМ: 7материал 10–11 классов

После урока ты сможешь

• распознавать элементы призмы, различать прямую и правильную призму;
• вычислять боковую и полную поверхность по формуле Sбок = P · H;
• находить диагональ прямоугольного параллелепипеда;
• вычислять объём призмы и составных тел, переводить единицы.

Перед началом вспомни

• Площади треугольника, прямоугольника, ромба; высота равностороннего треугольника a√3/2.
• Теорема Пифагора.
• Перпендикулярность в пространстве: прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой этой плоскости.

Содержание

1. ВведениеСитуация: поместится ли карниз в коробку?история и предположение
2. Глава 1Призма: элементы и видыоснование · боковая грань · прямая и правильная призма
3. Глава 2Боковая и полная поверхность призмыSбок = P · H · ДИМ 06.07.2025, 24.05.2026
4. Глава 3Параллелепипед и его диагональd² = a² + b² + c² · куб
5. Глава 4Объём призмыV = S · h · ДИМ 01.06.2025, 25.05.2025
6. ПрактикумТренировка на экзаменационных заданияхзаданий ДИМ: 3, с ответом и официальным пояснением
7. ИтогиЗапомникраткий итог и типичные ошибки
8. ИтогиСамостоятельная работазаданий: 6, от простых к сложным

Введение

Ситуация: поместится ли карниз в коробку?

История

Семья переезжает в новую квартиру. Вещи складывают в коробки. В конце остался карниз длиной 1,3 м, который не разбирается. Единственная свободная коробка имеет размеры 1,2 м × 0,4 м × 0,3 м.

Самая длинная сторона коробки — всего 1,2 м. Отец говорит, что карниз не поместится, а дочь предлагает «положить наискосок». Кто прав?

Размеры коробки 1,2 м, 0,4 м и 0,3 м; длина карниза 1,3 м.Сначала предположи

Как ты думаешь, поместится ли карниз в коробку? Выбери ответ — проверим вместе в 3-й главе.

Глава 1

Призма: элементы и виды

Коробка, комната, аквариум, кирпич — всё это призмы. Призма — один из простейших многогранников: её можно получить параллельным переносом многоугольника в пространстве.

Определение

Многогранник, две грани которого — конгруэнтные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней — параллелограммы, называется призмой. Конгруэнтные грани — основания, остальные — боковые грани, их общие стороны — боковые рёбра. Расстояние между основаниями — высота призмы.

Прямая и правильная призма

Призма, боковые рёбра которой перпендикулярны основанию, — прямая: её боковые грани — прямоугольники, а боковое ребро равно высоте. Иначе призма наклонная. Прямая призма, основание которой — правильный многоугольник, называется правильной.

Правильные призмы: основания — правильные многоугольники, боковые грани — равные прямоугольники.Подсчёт

У n-угольной призмы 2n вершин, 3n рёбер (n боковых и по n в каждом основании) и n + 2 граней.

Пример 1

У призмы 18 рёбер. Сколько у неё вершин и граней? Какой многоугольник лежит в основании?

1. Число рёбер 3n = 18, откуда n = 6.Почему так?

   Каждое боковое ребро соответствует вершине основания, а рёбер в основаниях 2n.

2. Вершины: 2n = 12; грани: n + 2 = 8.
3. Ответ: 12 вершин, 8 граней; в основании шестиугольник.

Проверь себя

У призмы 30 рёбер. Сколько у неё боковых граней?

Боковых граней n, рёбер 3n.

Глава 2

Боковая и полная поверхность призмы

История

Коробки перевезли в новую квартиру. Прежде чем распаковывать вещи, семья решает покрасить стены гостиной. Размеры комнаты 5 м × 4 м, высота 2,7 м.

Одной банки краски хватает на 10 м² стены. Сколько банок нужно купить для четырёх стен? (Дверь и окно не учитываем.)

Комната — прямоугольный параллелепипед: четыре стены — его боковая поверхность.

Комната — прямая призма: пол — основание, стены — боковые грани, высота комнаты — высота призмы. Если разрезать стены и развернуть их на плоскость, получится один большой прямоугольник: его ширина — периметр комнаты, а высота — высота комнаты.

Развёртка боковой поверхности прямой призмы — прямоугольник шириной P и высотой H.Теорема

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту. Полная поверхность — сумма боковой поверхности и площадей двух оснований:

Sбок = Pосн · H,   Sполн = Sбок + 2Sосн

История

Периметр комнаты P = 2(5 + 4) = 18 м, площадь стен S = 18 · 2,7 = 48,6 м². 48,6 : 10 = 4,86, значит, 4 банок не хватит — нужно купить 5 банок. Пол и потолок (основания) не красим, поэтому считаем не полную, а только боковую поверхность.

Пример 2

Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 5, высота — 8. Найдите площадь полной поверхности призмы.

1. Основание — квадрат: P = 4 · 5 = 20, Sосн = 5² = 25.Почему так?

   Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат.

2. Боковая поверхность: Sбок = 20 · 8 = 160.
3. Полная поверхность: Sполн = 160 + 2 · 25 = 210.
4. Ответ: 210.

Проверь себя

Ребро основания правильной шестиугольной призмы равно 4, высота — 10. Найдите площадь боковой поверхности.

P = 6 · 4.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 06.07.2025

Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, высота основания которой равна 3√3, а диагональ боковой грани — 10.

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Основание — равносторонний треугольник, его высота (√3/2)a = 3√3. Отсюда a = 6.Почему так?

   Высота равностороннего треугольника со стороной a равна a√3/2.

2. Боковая грань BCC₁B₁ — прямоугольник, BC₁ — её диагональ: CC₁ = √(10² − 6²) = 8.Почему так?

   Правильная призма — прямая: боковое ребро равно высоте и перпендикулярно ребру основания.

3. Боковая поверхность: Sбок = P · H = 3 · 6 · 8 = 144.
4. Ответ: 144.

Официальное пояснение ДИМ (06.07.2025)

Так как основание призмы — равносторонний треугольник, его высота равна (√3/2)a, где a — сторона этого равностороннего треугольника. По условию можно записать (√3/2)a = 3√3. Отсюда получаем a = 6. Так как BC₁ = 10 и BC = a = 6, высоту призмы можно найти из △BCC₁ с помощью теоремы Пифагора: CC₁ = √(10² − 6²) = 8. Тогда площадь боковой поверхности призмы S_бок = 3a·CC₁ = 3·6·8 = 144.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 06.07.2025, II группа специальностей (PDF)

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 24.05.2026

Основание прямой призмы — ромб с диагоналями 12 см и 16 см. Если площадь боковой поверхности призмы равна 320 см², найдите её высоту.

Рисунок меняется вместе с шагами.A) 9 смB) 8 смC) 4 смD) 6 смE) 3 см

1. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам: полудиагонали 8 и 6.
2. Сторона ромба: a = √(8² + 6²) = 10, периметр P = 4 · 10 = 40.Почему так?

   Это и есть формула d₁² + d₂² = 4a²: 144 + 256 = 400.

3. Sбок = P · h = 40h = 320, откуда h = 8 см.
4. Ответ: 8 см (вариант B).

Официальное пояснение ДИМ (24.05.2026)

Обозначив диагонали ромба d₁, d₂, а сторону — a, из d₁² + d₂² = 4a² получаем a=10, периметр P_осн=40. Тогда из формулы S_бок=P_осн·h: 320 = 40·h, h = 8 см.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 24.05.2026, II группа специальностей (PDF)

Глава 3

Параллелепипед и его диагональ

Определение

Призма, основание которой — параллелограмм, называется параллелепипедом; все шесть его граней — параллелограммы. Прямой параллелепипед с прямоугольником в основании — прямоугольный параллелепипед; длины трёх рёбер a, b, c, выходящих из одной вершины, — его измерения. Прямоугольный параллелепипед с равными измерениями — куб.

Отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани, — диагональ параллелепипеда. Четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. В прямоугольном параллелепипеде все четыре диагонали равны.

Теорема

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. Для куба d = a√3.

d² = a² + b² + c²

Теорема Пифагора дважды: сначала в ABC (основание), затем в ACC₁ (CC₁ ⊥ AC).

Доказательство видно по рисунку: диагональ основания AC² = a² + b²; ребро CC₁ перпендикулярно основанию, поэтому ACC₁ — прямоугольный треугольник и AC₁² = AC² + c² = a² + b² + c².

История

Вернёмся к коробке. Диагональ дна √(1,2² + 0,4²) = √1,6 ≈ 1,26 м — короче 1,3 м, поэтому наискосок по дну карниз тоже не помещается. А диагональ коробки d = √(1,44 + 0,16 + 0,09) = √1,69 = 1,3 м. Карниз ровно помещается от верхнего угла коробки до противоположного нижнего. Дочь была права!

В лаборатории меняй размеры коробки и смотри, как меняются диагональ, поверхность и объём. Начальные размеры — как у коробки из истории. Сделай три измерения равными — получится куб.

Лаборатория · меняй размеры коробкиa1.2b0.4c0.3Пример 3

Диагональ куба равна 6√3. Найдите площадь полной поверхности куба.

1. d = a√3 = 6√3, откуда a = 6.Почему так?

   Для куба d² = a² + a² + a² = 3a².

2. У куба 6 равных квадратных граней: S = 6a² = 6 · 36 = 216.
3. Ответ: 216.

Проверь себя

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3, 4 и 12. Найдите его диагональ.

d² = 9 + 16 + 144.

Глава 4

Объём призмы

История

Стены покрашены, мебель расставлена. Напоследок семья ставит на тумбу старый аквариум. Его размеры 100 см × 40 см × 50 см. Для рыбок воду нужно налить на 5 см ниже верхнего края, то есть до высоты 45 см.

Воду носят ведром на 10 литров. Сколько вёдер понадобится?

Вода в аквариуме имеет форму прямоугольного параллелепипеда: основание 100 × 40 см, высота 45 см.Теорема

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту. В частности, для прямоугольного параллелепипеда V = abc, для куба V = a³.

V = Sосн · h

Формула верна и для прямой, и для наклонной призмы (в наклонной призме h — не боковое ребро, а расстояние между основаниями). Единицы объёма: 1 м³ = 1000 дм³ = 1 000 000 см³, 1 л = 1 дм³ = 1000 см³.

История

Объём воды: 100 · 40 · 45 = 180 000 см³. Значит, нужно 180 л воды — 180 : 10 = 18, то есть 18 вёдер. Проще всего сразу перевести сантиметры в дециметры: 10 · 4 · 4,5 = 180 дм³.

Проверь себя

Ребро основания правильной треугольной призмы равно 4, высота — 5√3. Найдите объём призмы.

Sосн = (√3/4) · 16 = 4√3.

На экзамене встречаются задания, где призму сравнивают с другими телами. Для них нужен объём пирамиды: V = (1/3) · Sосн · h (подробно — в следующем уроке). Объём призмы в 3 раза больше объёма пирамиды с тем же основанием и той же высотой.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 01.06.2025

Основания прямоугольного параллелепипеда, пирамиды и куба — конгруэнтные квадраты. Объём прямоугольного параллелепипеда равен сумме объёмов пирамиды и куба. Если высоты прямоугольного параллелепипеда и пирамиды равны 6 см, найдите сторону их основания.

1. Обозначим сторону общего квадратного основания через a. Объёмы: параллелепипед 6a², пирамида (1/3) · a² · 6 = 2a², куб a³.Почему так?

   Высота куба равна его ребру, т. е. a.

2. Условие: 6a² = 2a² + a³, т. е. a³ = 4a².
3. Так как a ≠ 0, делим обе части на a²: a = 4 см.Почему так?

   Проверка: 6 · 16 = 96, 2 · 16 + 64 = 96.

4. Ответ: 4 см.

Официальное пояснение ДИМ (01.06.2025)

Обозначим через a сторону конгруэнтных квадратов, являющихся основаниями прямоугольного параллелепипеда, пирамиды и куба. Так как объём прямоугольного параллелепипеда равен сумме объёмов пирамиды и куба, а высоты прямоугольного параллелепипеда и пирамиды равны 6 см, V_п.п = V_пирамиды + V_куба; a · a · 6 = (1/3)a² · 6 + a³; 6a² = 2a² + a³; 4a² = a³; a = 4Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 01.06.2025, I группа специальностей (PDF)

Чтобы найти объём составного тела, разбиваем его на простые части и складываем объёмы. В следующем задании участвует полуцилиндр: объём цилиндра равен V = πR²h, у полуцилиндра — половина этого.

Так спрашивают на экзаменеДИМ · 25.05.2025

Найдите объём сундука (π=3).

Ситуация (ДИМ, перевод): Крышка сундука имеет форму полуцилиндра, а нижняя часть — форму прямоугольного параллелепипеда шириной 0,6 м, длиной 1 м и высотой 0,8 м. Если положить в сундук 10 предметов одинаковой массы, масса сундука будет 24 кг. Если же положить в сундук 15 предметов одинаковой массы, масса каждого из которых на 20% больше массы одного из предметов, положенных в первый раз, то его масса будет 30 кг. Для открытия крышки сундука установили четырёхзначный пароль.

Рисунок меняется вместе с шагами.

1. Разбиваем сундук на две части: внизу прямоугольный параллелепипед (1 м × 0,6 м × 0,8 м), сверху крышка в форме полуцилиндра.
2. Нижняя часть: V₁ = 1 · 0,6 · 0,8 = 0,48 м³.
3. Радиус крышки — половина ширины сундука: R = 0,3 м, длина 1 м. V₂ = (1/2) · 3 · 0,3² · 1 = 0,135 м³.Почему так?

   Осевое сечение полуцилиндра совпадает с верхней гранью параллелепипеда, поэтому диаметр 0,6 м.

4. Объём сундука: V = 0,48 + 0,135 = 0,615 м³.
5. Ответ: 0,615 м³.

Официальное пояснение ДИМ (25.05.2025)

Для решения задания сундук делится на две части: нижнюю часть в форме прямоугольного параллелепипеда и крышку в форме полуцилиндра. По условию длина прямоугольного параллелепипеда b= 1м, ширина a= 0,6 м, а высота h= 0,8м, поэтому его объём V_нижн = abh = 0,6·0,8·1 = 0,48 … Так как крышка сундука имеет форму половины цилиндра, осевое сечение которого совпадает с верхним основанием прямоугольного параллелепипеда, радиус основания полуцилиндра R = 0,6/2 = 0,3м, а высота b= 1м. Поэтому V_п.ц. = (1/2)πR²b = (1/2)·3·0,3²·1 = 0,135 … Таким образом, объёмы прямоугольного параллелепипеда и полуцилиндра складываются и находится объём сундука: V = V_нижн + V_п.ц. = abh + (1/2)πR²b = 0,48 … + 0,135 … = 0,615 …Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 25.05.2025, II группа специальностей (PDF)

Практикум

Тренировка на экзаменационных заданиях

ДИМ · 15.03.2026

Найдите площадь боковой поверхности прямой призмы, периметр основания которой равен 15, а боковое ребро — 9.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 135.

По формуле площади боковой поверхности призмы S_бок = P_осн · H = 15·9 = 135Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

ДИМ · 02.03.2025

Найдите периметр основания прямой призмы, площадь боковой поверхности которой равна 72, а высота — 6.

Открытое задание: запиши ответ сам.

Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 12.

Известно, что для прямой призмы верна формула S_бок = P_осн · H, откуда P_осн = S_бок/H = 72/6 = 12.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF)

ДИМ · 09.03.2026

Объём призмы равен 120 см³, а высота — 8 см. Найдите площадь основания призмы.

A) 20 см²B) 10 см²C) 12 см²D) 16 см²E) 15 см²Ответ и пояснение ДИМ

Ответ: 15 см² (вариант E).

Так как объём призмы V=S_осн·h, то 8·S_осн=120, S_осн=15.Источник: пояснение ДИМ (перевод с азербайджанского) — 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF)

Итоги

Запомни

• n-угольная призма: 2n вершин, 3n рёбер, n + 2 граней.
• В прямой призме боковое ребро = высота, боковые грани — прямоугольники; основание правильной призмы — правильный многоугольник.
• Sбок = Pосн · H, Sполн = Sбок + 2Sосн.
• Прямоугольный параллелепипед: d² = a² + b² + c²; куб: d = a√3.
• V = Sосн · h; V = abc; V = a³.
• 1 л = 1 дм³ = 1000 см³; составное тело разбивай на части и складывай объёмы.

Типичные ошибки

«Боковая поверхность = площадь основания × высота»

S · h — это объём. Для боковой поверхности на высоту умножают периметр основания: Sбок = P · H.

«Самый длинный отрезок в коробке — её самое длинное ребро»

Самый длинный отрезок — диагональ: d = √(a² + b² + c²). Для коробки 1,2 × 0,4 × 0,3 м d = 1,3 м.

«180 000 см³ = 1800 л»

1 л = 1000 см³, поэтому 180 000 см³ = 180 л. Надёжнее всего сразу перевести размеры в дм.

«Полная поверхность = боковая + основание»

У призмы два основания: Sполн = Sбок + 2Sосн. А у коробки без крышки (аквариума) берут одно основание.

Итоги

Самостоятельная работа

Задания расположены от простых к сложным. Сначала реши сам, потом выбери вариант; пояснение откроется после ответа.

1 · Уровень 1

Измерения прямоугольного параллелепипеда 2, 3 и 6. Его диагональ:

√(4 + 9 + 36) = √49 = 7.

2 · Уровень 1

У призмы 24 ребра. Сколько у неё граней?

3n = 24 → n = 8; граней n + 2 = 10.

3 · Уровень 2

Сторона основания правильной четырёхугольной призмы 3, высота 5. Площадь полной поверхности:

12 · 5 + 2 · 9 = 60 + 18 = 78.

4 · Уровень 2

Диагональ куба равна 4√3. Объём куба:

a = 4, V = 4³ = 64.

5 · Уровень ДИМ

Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, площадь боковой поверхности 240. Объём призмы:

P = 6 + 8 + 10 = 24, h = 240 : 24 = 10, V = 24 · 10 = 240.

6 · Уровень ДИМ

Площади трёх граней прямоугольного параллелепипеда равны 6, 10 и 15. Его объём:

ab · bc · ac = (abc)² = 900, V = 30.

Экзаменационные задания и официальные пояснения — ДИМ (PDF на азербайджанском языке, в уроке — в переводе):

1. 02.03.2025, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 77; B-76, C-75, D-75
2. 25.05.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 28; B-28, C-28, D-28
3. 01.06.2025, I группа специальностей (PDF) — вариант A, 29; B-29, C-29, D-29
4. 06.07.2025, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 25; B-23, C-26, D-25
5. 09.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 63; B-65, C-68, D-67
6. 15.03.2026, выпускной экзамен (PDF) — вариант A, 74; B-75, C-77, D-78
7. 24.05.2026, II группа специальностей (PDF) — вариант A, 6; B-19, C-19, D-5

История, сцены, примеры, задания «Проверь себя» и «Самостоятельная работа» — наши, не из материалов ДИМ. Задания и пояснения ДИМ даны в переводе с азербайджанского; знак «…» обозначает пропущенную часть.