Вероятность события: классическое определение и эксперимент

В испытании с равновозможными исходами вероятность события A — это отношение числа благоприятных исходов к числу всех исходов: P(A) = m / n. Всегда 0 ≤ P(A) ≤ 1, а для противоположного события P(Ā) = 1 − P(A).

При многократном повторении испытания относительная частота события (отношение числа его появлений к числу испытаний) приближается к его вероятности.

nчисло всех равновозможных исходовmчисло исходов, благоприятных для AP(A)вероятность события A, от 0 до 1выбери событие и бросай кубик ↓Один кубик, «выпало 6»: P = 1/6. За 10 бросков частота ещё сильно скачет

Слева все возможные исходы, зелёные благоприятны для выбранного события. Справа видно, как с ростом числа бросков относительная частота (зелёная линия) приближается к вероятности (красная линия).

СобытиеВероятность, P1/6 ≈ 0,167

• Число бросков, n0
• Событие произошло, m0
• Относительная частота, m/n—

Задание 1 / 2○○

Выбери событие «две кости: сумма 7» и сделай больше 1000 бросков.

Настрой ползунки и кнопки…

Что показывает симуляция?

языком кубика

• Для события «выпало 6» после 10 бросков относительная частота «прыгает» между 0 и 0,4, а после 1000 бросков очень близка к 0,167.
• Для суммы двух кубиков есть 36 равновозможных исходов. Исходов с суммой 7 больше всего — 6, поэтому 7 — самая вероятная сумма (1/6).
• Сумму 12 даёт лишь один исход (6 и 6), вероятность 1/36 — в среднем около 28 раз за 1000 бросков.
• События «чётное число» и «нечётное число» противоположны: сумма их вероятностей равна 1.
• В короткой серии (например, 10 бросков) результат может сильно отличаться от вероятности; это не значит, что вероятность неверна.

Примеры

посчитай, потом раздели

Событие	n	m	P = m / n
Один кубик: выпало 6	6	1	1/6
Один кубик: чётное число	6	3	1/2
Два кубика: сумма 7	36	6	1/6
Два кубика: сумма 12	36	1	1/36
Монета: герб	2	1	1/2

Самые частые ошибки

красной ручкой«У суммы двух кубиков 11 исходов: от 2 до 12»

Суммы не равновозможны. Равновозможные исходы — пары очков (1;6), (6;1) и т. д., всего 36. Сумму 7 дают 6 пар, а сумму 2 — только одна.

«Герб выпал 5 раз подряд, теперь решка вероятнее»

У монеты нет памяти: каждый бросок не зависит от предыдущих, и вероятность герба снова 1/2.

Вероятность получилась больше 1

m никогда не бывает больше n, поэтому P ≤ 1. Если ответ больше 1, какой-то исход посчитан дважды или n найдено неверно.

Разобранные задачи

сначала реши сам

Задача 1

В коробке 3 красных и 5 синих шаров. Наугад берут один шар. Найдите вероятность того, что он красный.

Показать решениеn = 3 + 5 = 8, m = 3P = 3 / 8

Ответ: 3/8 = 0,375.

Задача 2

Бросают два кубика. Найдите вероятность того, что сумма очков равна 8.

Показать решениеБлагоприятные пары: (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2) → m = 5n = 6 · 6 = 36, P = 5 / 36

Ответ: 5/36. Пару (4;4) считай один раз.

В реальной жизни: что значит «завтра 70% дождя»?

вероятность каждый деньПрогноз: «вероятность дождя 70%». Это не значит «дождь будет точно»

Прогноз погоды, страхование, клинические испытания лекарств построены на вероятности. «70% дождя» не означает, что завтра дождь будет обязательно: в похожих условиях дождь шёл примерно в 70% дней. Исход одного дня заранее не известен, но на многих днях частота приближается к вероятности.

Проверь себя: 5 тестовых заданий

5 вопросов

1Бросают кубик. Какова вероятность выпадения нечётного числа?

2Бросают два кубика. Какова вероятность того, что сумма очков равна 12?

3P(A) = 0,3. Чему равна вероятность противоположного события P(Ā)?

4Монету бросили 5 раз подряд, и каждый раз выпадал герб. Какова вероятность герба при 6-м броске?

5Открытый вопрос: из чисел от 1 до 20 наугад выбирают одно. Найдите вероятность того, что оно делится на 4; ответ запиши десятичной дробью.

Источник

Программа вступительных экзаменов ДИМ 2026: Математика → Элементы теории вероятностей: событие, вероятность события, противоположное событие, относительная частота.

/section>