Ədədi ardıcıllıq. Ədədi və həndəsi silsilə

div class="hero">Ardıcıllıqlar və silsilələr · Mövzu 21 / 46

Ədədi ardıcıllıq. Ədədi və həndəsi silsilə

Bu dərsi bir hekayə ilə keçəcəyik: məktəbdə idman bayramına hazırlaşırlar. Tribunanın sıraları, qaçış planı və sıçrayan top bizi ardıcıllıqlara, ədədi və həndəsi silsiləyə aparacaq: n-ci hədd, silsilə fərqi və vuruğu, cəm düsturu və DİM-də tez-tez işlənən xassələr.

≈ 45 dəqiqə4 fəsil13 DİM tapşırığı9-cu sinif materialı

Bu dərsdən sonra bacaracaqsan

• ardıcıllığın həddini ümumi həddin düsturu ilə tapmağı və verilmiş ədədin nömrəsini müəyyən etməyi;
• ədədi silsilənin n-ci həddini, fərqini və ilk n həddinin cəmini hesablamağı;
• həndəsi silsilənin n-ci həddini və vuruğunu tapmağı;
• nömrələrin cəmi bərabər olan hədlərin xassəsi ilə DİM tapşırıqlarını qısa yolla həll etməyi.

Başlamazdan əvvəl xatırla

• Kvadrat tənliyin həlli və Viyet teoremi.
• Qüvvətin xassələri: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (1/3)⁴ = 1/81.
• Modul: |x| = 2 olarsa, x = 2 və ya x = −2.

Mündəricat

1. GirişSituasiya: tribunaya neçə tamaşaçı sığar?hekayə və təxmin
2. Fəsil 1Ədədi ardıcıllıq və onun ümumi hədditərif · ümumi hədd · həddin nömrəsi
3. Fəsil 2Ədədi silsilə: n-ci hədd və silsilə fərqiaₙ = a₁ + (n − 1)d · orta hədd · DİM 05.07.2026, 09.03.2025
4. Fəsil 3Ədədi silsilənin ilk n həddinin cəmiSₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n · DİM 06.07.2025, 15.03.2026
5. Fəsil 4Həndəsi silsiləbₙ = b₁·qⁿ⁻¹ · orta həndəsi · DİM 07.06.2026, 19.04.2026
6. Məşqİmtahan tapşırıqları ilə məşq7 DİM tapşırığı: cavab və rəsmi izah
7. YekunYadda saxlaqısa xülasə və tipik səhvlər
8. YekunMüstəqil iş6 tapşırıq, asandan çətinə

Giriş

Situasiya: tribunaya neçə tamaşaçı sığar?

Hekayə

Məktəbdə idman bayramına hazırlıq gedir. Stadionda yeni tribuna tikilib: birinci sırada 18 yer var, hər növbəti sırada isə əvvəlkindən 3 yer çoxdur. Tribunada cəmi 12 sıra var.

Direktor bilmək istəyir ki, bayrama neçə qonaq dəvət etmək olar. Yerləri bir-bir saymaq çox vaxt aparar. Tribunada cəmi neçə yer var?

Tribunanın 12 sırası: birincidə 18 yer, hər növbəti sırada 3 yer artıq.Əvvəlcə təxmin et

Sənin fikrincə, tribunada neçə yer var? Təxminini seç: 3-cü fəsildə birlikdə hesablayacağıq.

Fəsil 1

Ədədi ardıcıllıq və onun ümumi həddi

Tribunanın sıralarındakı yerlərin sayını ardıcıl yazaq: 18, 21, 24, 27, … Burada hər ədədin öz yeri — nömrəsi var: birinci sıra, ikinci sıra və s. Ədədlərin yerini dəyişsək, artıq başqa düzüm alınar.

Tərif

Hər n natural ədədinə müəyyən bir aₙ ədədi uyğun qoyulubsa, deyirlər ki, ədədi ardıcıllıq verilib: a₁, a₂, a₃, …, aₙ, …. Burada aₙ ardıcıllığın n-ci həddi, n isə həddin nömrəsidir. Ardıcıllıq (aₙ) kimi işarə olunur.

Başqa sözlə, ardıcıllıq natural ədədlər çoxluğunda təyin olunmuş funksiyadır: arqument — həddin nömrəsi n, funksiyanın qiyməti — həddin özü aₙ. Ona görə ardıcıllığın qrafiki xətt deyil, ayrı-ayrı nöqtələrdir.

aₙ = 3n − 1 ardıcıllığının ilk altı həddi: qrafik ayrı-ayrı nöqtələrdən ibarətdir.

Ardıcıllıq çox vaxt ümumi həddin düsturu ilə verilir, məsələn, aₙ = 3n − 1. İstənilən həddi tapmaq üçün n əvəzinə onun nömrəsini yazırıq: a₅ = 3·5 − 1 = 14. Bəzən ardıcıllıq rekurrent üsulla verilir: birinci hədd və hər həddin əvvəlkinə görə tapılma qaydası göstərilir. Məsələn, a₁ = 2, aₙ₊₁ = 2aₙ − 1 olarsa, ardıcıllıq belədir: 2, 3, 5, 9, 17, …

Nümunə 1

aₙ = (n + 9)/(4 − n) ardıcıllığının 7-ci həddini tapın.

1. Düsturda n əvəzinə 7 yazırıq: a₇ = (7 + 9)/(4 − 7).Niyə belədir?

   Ümumi həddin düsturu “n-ci yerdə hansı ədəd durur?” sualına cavab verir: n yerinə nömrə yazılır.

2. a₇ = 16/(−3) = −16/3.Niyə belədir?

   Məxrəc mənfidir: kəsrin işarəsinə diqqət et.

3. Cavab: −16/3.

Tərs sual da tez-tez soruşulur: verilmiş ədəd ardıcıllığın neçənci həddidir? Bunun üçün aₙ = verilən ədəd tənliyini həll edirik və yalnız natural kökü götürürük, çünki nömrə natural ədəddir.

Nümunə 2

aₙ = n² − 5n + 8 ardıcıllığının neçənci həddi 14-ə bərabərdir?

1. Tənlik qururuq: n² − 5n + 8 = 14, yəni n² − 5n − 6 = 0.
2. Köklər: n = 6 və n = −1.Niyə belədir?

   Viyet teoremi: köklərin cəmi 5, hasili −6-dır.

3. Nömrə natural ədəddir, ona görə n = 6. Yoxlama: 36 − 30 + 8 = 14.Niyə belədir?

   Mənfi nömrəli hədd olmur: n = −1 kökü atılır.

4. Cavab: 6-cı hədd.

Özün yoxla

aₙ = n² − 3n ardıcıllığının 7-ci həddini tapın.

n əvəzinə 7 yaz: 49 − 21.

Özün yoxla

aₙ = 4n + 1 ardıcıllığının neçənci həddi 45-ə bərabərdir?

4n + 1 = 45 tənliyini həll et.

Fəsil 2

Ədədi silsilə: n-ci hədd və silsilə fərqi

Hekayə

Tribuna hazırdır, indi növbə idmançılarındır. Bayramın əsas yarışı 4,8 km məsafəyə qaçışdır. Bir şagird hazırlıq planı tutur: birinci gün 1,2 km qaçacaq, sonra hər gün əvvəlki gündən 0,3 km çox.

Planı stadionun kənarındakı lövhəyə yazıb. Neçənci gün o, yarışın bütün məsafəsini — 4,8 km qaçacaq?

Qaçış zolağı və hazırlıq planı: 1,2 km, sonra hər gün 0,3 km artıq.

Tribunadakı yerlərin sayı (18, 21, 24, …) və plandakı məsafələr (1,2; 1,5; 1,8; …) eyni qayda ilə dəyişir: hər hədd əvvəlkindən eyni ədəd qədər fərqlənir. Belə ardıcıllıqlar xüsusi ad daşıyır.

Tərif

İkincidən başlayaraq hər həddi özündən əvvəlki həddə eyni d ədədini əlavə etməklə alınan ardıcıllıq ədədi silsilə adlanır: aₙ₊₁ = aₙ + d. d ədədi silsilə fərqidir: d = aₙ₊₁ − aₙ. d > 0 olduqda silsilə artan, d < 0 olduqda azalan olur.

Ədədi silsilənin n-ci həddi

a₁-dən aₙ-ə qədər n − 1 addım var və hər addımda d əlavə olunur. Ona görə:

aₙ = a₁ + (n − 1)d

Eyni fikirlə istənilən iki hədd arasında: aₘ = aₖ + (m − k)d. Buradan iki hədd məlum olanda silsilə fərqi tapılır: d = (aₘ − aₖ)/(m − k).

Hekayə

Şagirdin planında a₁ = 1,2, d = 0,3. Axtarılan gün üçün 1,2 + 0,3(n − 1) = 4,8, yəni 0,3(n − 1) = 3,6, n − 1 = 12, n = 13. Deməli, şagird 13-cü gün 4,8 km qaçacaq.

Nümunə 3

Ədədi silsilədə a₂ = 7, a₆ = 19. a₁₀-u tapın.

1. a₂-dən a₆-ya 4 addım var: a₆ − a₂ = 4d = 12, buradan d = 3.Niyə belədir?

   aₘ − aₖ = (m − k)d: nömrələrin fərqi qədər d toplanır.

2. a₆-dan a₁₀-a yenə 4 addım: a₁₀ = a₆ + 4d = 19 + 12 = 31.
3. Cavab: 31.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 05.07.2026

(aₙ) ədədi silsiləsində a₁ = 3, a₇ = −9 olarsa, bu silsilənin aₙ = −27 olan həddinin nömrəsini tapın.

A) 19B) 18C) 13D) 16E) 17

1. Silsilə fərqi: d = (a₇ − a₁)/(7 − 1) = (−9 − 3)/6 = −2.Niyə belədir?

   a₁-dən a₇-yə 6 addım var; hər addımda d əlavə olunur.

2. n-ci həddin düsturu: aₙ = 3 + (n − 1)·(−2).
3. 3 − 2(n − 1) = −27, n − 1 = 15, n = 16.Niyə belədir?

   Yoxlama: a₁₆ = 3 + 15·(−2) = −27.

4. Cavab: 16 (D variantı).

DİM-in rəsmi izahı (05.07.2026)

(aₙ) ədədi silsiləsində a_k və a_m hədləri verildikdə silsilə fərqini d = (a_m − a_k)/(m − k) düsturu ilə tapmaq olar. Onda d = (a₇ − a₁)/(7 − 1) = −2 Bu silsilənin ümumi həddi aₙ = a₁ + (n − 1)·d olduğundan −27 = 3 − 2(n − 1) n = 16 alarıq.Mənbə: DİM izahı — 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF)

Xassə

Ədədi silsilənin ikincidən başlayaraq hər həddi qonşu hədlərin ədədi ortasıdır: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2. Tərsinə, 2b = a + c olarsa, a, b, c ədədləri (bu ardıcıllıqla) ədədi silsilənin ardıcıl hədləridir.

Səbəb: aₙ − aₙ₋₁ = aₙ₊₁ − aₙ, hər iki fərq d-yə bərabərdir. Buradan 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 09.03.2025

y-in hansı qiymətlərində y–2; |3 − y|; 6–y ədədləri ədədi silsilənin ardıcıl hədləri olar?

A) 2 və 3B) 1 və 5C) 1 və –1D) –1 və 5E) –3 və –2

1. Orta hədd qonşuların ədədi ortasıdır: 2·|3 − y| = (y − 2) + (6 − y) = 4.Niyə belədir?

   y − 2 və 6 − y toplananda y ixtisar olunur — tapşırığın açarı budur.

2. |3 − y| = 2: 3 − y = 2 və ya 3 − y = −2, yəni y = 1 və ya y = 5.
3. Yoxlama: y = 1 olduqda −1; 2; 5 (d = 3); y = 5 olduqda 3; 2; 1 (d = −1).Niyə belədir?

   Modullu tənlikdə hər iki halı yoxlamaq lazımdır: ikisi də uyğundur.

4. Cavab: 1 və 5 (B variantı).

DİM-in rəsmi izahı (09.03.2025)

Ədədi silsilənin xassəsinə görə aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2|3 − y| = (y − 2 + 6 − y)/2 ⇒ |3 − y| = 2 ⇒ [3 − y = −2 ; 3 − y = 2] ⇒ [y = 5 ; y = 1]Mənbə: DİM izahı — 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

Özün yoxla

Ədədi silsilədə a₁ = 40, d = −3. Silsilənin 11-ci həddini tapın.

a₁₁ = a₁ + 10d.

Özün yoxla

Ədədi silsilədə a₄ = 12, a₉ = 32. Silsilə fərqini tapın.

d = (a₉ − a₄)/(9 − 4).

Fəsil 3

Ədədi silsilənin ilk n həddinin cəmi

Tribunaya qayıdaq. Yerlərin sayı S = 18 + 21 + … + 48 + 51 cəmidir. Cəmi iki dəfə yazaq: bir dəfə əvvəldən, bir dəfə axırdan. Alt-alta duran hədlərin cəmi həmişə eynidir: 18 + 51 = 69, 21 + 48 = 69 və s., çünki yuxarıdakı hədd d qədər artanda aşağıdakı d qədər azalır.

Kiçik nümunə: 3 + 5 + 7 + 9 + 11. Pilləkən və onun tərs surəti 5 × 14 düzbucaqlısını doldurur, ona görə 2S = 14 · 5.Cəmin düsturu

Ədədi silsilənin ilk n həddinin cəmi:

Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n

aₙ-i a₁ və d ilə əvəz etsək: Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)/2 · n.

Hekayə

Tribunada n = 12, sonuncu sırada a₁₂ = 18 + 11·3 = 51 yer var. Yerlərin sayı: S₁₂ = (18 + 51)/2 · 12 = 69 · 6 = 414. Direktor bayrama 414 qonaq dəvət edə bilər. Səhv cavablar da öyrədicidir: 18·12 = 216 — bütün sıraları birinci sıra kimi saymaq, 51·12 = 612 — sonuncu sıra kimi saymaq, 69·12 = 828 isə 2-yə bölməyi unutmaqdır.

Özün yoxla

Qaçış planına qayıdaq: a₁ = 1,2, a₁₃ = 4,8. Şagird 13 gün ərzində cəmi neçə km qaçacaq?

S₁₃ = (1,2 + 4,8)/2 · 13.

Düsturun çıxarılışında istifadə etdiyimiz fikir daha ümumi xassə verir. Həmçinin unutma: istənilən ardıcıllıqda aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n ≥ 2), çünki Sₙ ilə Sₙ₋₁ yalnız sonuncu hədd qədər fərqlənir.

Nömrələrin cəmi bərabər olan hədlər

Əgər k + m = p + l olarsa, ədədi silsilədə aₖ + aₘ = aₚ + aₗ. Xüsusən, a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = a₃ + aₙ₋₂ = ….

Səbəb: aₖ + aₘ = 2a₁ + (k + m − 2)d, aₚ + aₗ = 2a₁ + (p + l − 2)d — nömrələrin cəmi eyni olduqda nəticə də eynidir.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 06.07.2025

(aₙ) ədədi silsiləsində a₅ + a₉ = 16 olarsa, onun ilk 13 həddinin cəmini tapın.

Şəkil addımlarla birlikdə dəyişir.

1. Nömrələrin cəmini müqayisə edirik: 1 + 13 = 5 + 9 = 14, deməli a₁ + a₁₃ = a₅ + a₉ = 16.Niyə belədir?

   a₁ və d ayrı-ayrılıqda tapılmır, amma cəm üçün onlara ehtiyac yoxdur: düstura yalnız a₁ + a₁₃ lazımdır.

2. Cəmin düsturu: S₁₃ = (a₁ + a₁₃)/2 · 13 = 16/2 · 13 = 104.
3. Cavab: 104.

DİM-in rəsmi izahı (06.07.2025)

Məlumdur ki, a₁ + a₁₃ = a₅ + a₉ .Ona görə də S₁₃ = (a₁ + a₁₃)/2 ·13 = (a₅ + a₉)/2 ·13 = 16/2 ·13 = 8·13 = 104 .Mənbə: DİM izahı — 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

Mətn məsələlərində əvvəlcə ədədi silsiləni “görmək” lazımdır: hər gün, hər sıra, hər addım eyni miqdarda artım varsa, deməli, ədədi silsilə var.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 15.03.2026

Aqil boş daxıla birinci gün 1 ədəd 50 qəpiklik, 2 ədəd 20 qəpiklik, 3 ədəd 10 qəpiklik metal pul atdı. O, növbəti günlərdə daxıla atdığı hər növ qəpiyin sayını əvvəlki günə nəzərən bir ədəd artırdı. Neçə gündən sonra daxılda cəmi 48 manat pul olacaq?

1. Birinci gün: 50 + 2·20 + 3·10 = 120 qəpik.
2. Hər gün hər növdən bir qəpik artıq atılır, yəni məbləğ hər gün 50 + 20 + 10 = 80 qəpik artır: 120, 200, 280, … — ədədi silsilə, a₁ = 120, d = 80.Niyə belədir?

   Artım hər gün eynidir — ədədi silsilənin əlaməti budur.

3. 48 manat = 4800 qəpik. Sₙ = (2·120 + 80(n − 1))/2 · n = (40n + 80)n = 4800, yəni n² + 2n − 120 = 0.Niyə belədir?

   Bütün məbləğləri eyni vahidlə — qəpiklə yazırıq.

4. Köklər: n = 10 və n = −12. Günlərin sayı natural ədəddir: n = 10. Yoxlama: a₁₀ = 120 + 9·80 = 840, (120 + 840)/2 · 10 = 4800.Niyə belədir?

   Mənfi kök məsələnin mənasına uyğun gəlmir.

5. Cavab: 10 gün (10-cu günün sonunda daxılda 48 manat olur).

DİM-in rəsmi izahı (15.03.2026)

Aqil boş daxıla birinci gün 1 ədəd 50 qəpiklik, 2 ədəd 20 qəpiklik, 3 ədəd 10 qəpiklik metal pul atdıqda daxılda 50 + 2· 20 + 3· 10 = 120 qəpik pul yığılar. İkinci gün hər növ qəpiyin sayını birinci gündəkindən 1 ədəd çox atarsa, ikinci gün daxıla atılan pulun miqdarı 200 qəpik, üçüncü gün 280 qəpik və s. olar. Günlər üzrə daxıla atılan pulların miqdarı 120, 200, 280, ..... və s. olur. Bu ədədlər ədədi silsilə əmələ gətirdiyindən ədədi silsilənin ilk n həddinin cəmi düsturu istifadə olunur. a₁ = 120, d = 200−120 = 80, Sₙ = 4800 olduğu Sₙ = ((2a₁ + d(n − 1))/2)·n düsturunda nəzərə alınarsa, aşağıdakı kvadrat tənliyi yazmaq olar: ((2·120 + 80(n − 1))/2)·n = 4800 → n·(40n + 80) = 4800 → → 40n² + 80n − 4800 = 0 → n² + 2n − 120 = 0. n² + 2n − 120 = 0 kvadrat tənliyi həll edilir: n² + 2n − 120 = 0 → D = 484, n₁ = −12, n₂ = 10. Aqil 4800 qəpiyi 10 gün ərzində toplamış olur.Mənbə: DİM izahı — 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

Fəsil 4

Həndəsi silsilə

Hekayə

Bayramın son yarışı idman zalında — basketbol. Bədən tərbiyəsi müəllimi topları yoxlayır: topu 3,2 m hündürlükdən buraxır. Bu top döşəməyə hər dəyəndən sonra əvvəlki hündürlüyün düz yarısına qalxır: 1,6 m, 0,8 m, 0,4 m, …

Şagirdlər soruşur: döşəməyə beşinci dəyəndən sonra top hansı hündürlüyə qalxacaq?

Top hər dəfə əvvəlki hündürlüyün yarısına qalxır: 1,6 m, 0,8 m, 0,4 m, …

Bu dəfə hədlər eyni ədəd qədər yox, eyni ədəd dəfə dəyişir: hər hədd əvvəlkinin yarısıdır, yəni əvvəlkini 1/2 ədədinə vurmaqla alınır.

Tərif

Birinci həddi sıfırdan fərqli olan və ikincidən başlayaraq hər həddi özündən əvvəlki həddi sıfırdan fərqli eyni q ədədinə vurmaqla alınan ardıcıllıq həndəsi silsilə adlanır: bₙ₊₁ = bₙ · q. q ədədi silsilə vuruğudur: q = bₙ₊₁ : bₙ.

Həndəsi silsilənin n-ci həddi

b₁-dən bₙ-ə qədər n − 1 addım var və hər addımda q-ya vurulur:

bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹

İki hədd arasında: bₘ = bₖ · qᵐ⁻ᵏ.

Hekayə

Dəyəndən sonrakı hündürlüklər həndəsi silsilədir: b₁ = 1,6, q = 1/2. Beşinci dəyəndən sonra: b₅ = 1,6 · (1/2)⁴ = 1,6 : 16 = 0,1 m. Top cəmi 10 sm qalxacaq — başlanğıc hündürlükdən 2⁵ = 32 dəfə az.

İki silsiləni laboratoriyada müqayisə et. Ədədi silsilədə sütunlar hər addımda eyni qədər uzanır (pilləkən kimi), həndəsi silsilədə isə eyni dəfə böyüyür: q > 1 olduqda sürətlə artır, 0 < q < 1 olduqda sıfıra yaxınlaşır — sıçrayan top kimi.

Laboratoriya · silsilənin hədləri sütunlarlabirinci hədd1fərq d2Nümunə 4

Həndəsi silsilədə b₂ = 6, b₅ = 162. q və b₁-i tapın.

1. b₂-dən b₅-ə 3 addım: b₅ = b₂ · q³, buradan q³ = 162 : 6 = 27.Niyə belədir?

   Həndəsi silsilədə hədləri çıxmırıq, bölürük: nisbət q-nun qüvvətidir.

2. q = 3, b₁ = b₂ : q = 2.
3. Cavab: q = 3, b₁ = 2.

Xassə

Müsbət hədli həndəsi silsilədə hər hədd qonşu hədlərin orta həndəsisidir: bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁. Ümumiyyətlə, k + m = p + l olarsa, bₖ · bₘ = bₚ · bₗ.

Səbəb: bₖ · bₘ = b₁² · qᵏ⁺ᵐ⁻², bₚ · bₗ = b₁² · qᵖ⁺ˡ⁻². Bu, ədədi silsilədəki xassənin “vurma” variantıdır: orada cəmlər, burada hasillər bərabərdir.

İmtahanda belə soruşulurDİM · 07.06.2026

(bₙ) həndəsi silsiləsində b₍ₙ₊₁₀₎ · b₍ₙ₊₁₁₎ · b₍ₙ₊₁₂₎ = 64 · 3^(3n) olarsa, b₁₃-ü tapın.

A) 18B) 48C) 24D) 36E) 32

1. Nömrələr: (n + 10) + (n + 12) = 2(n + 11), deməli bₙ₊₁₀ · bₙ₊₁₂ = (bₙ₊₁₁)².Niyə belədir?

   Kənar hədlərin hasili orta həddin kvadratına bərabərdir.

2. Şərt belə olur: (bₙ₊₁₁)³ = 64 · 3³ⁿ = (4 · 3ⁿ)³, buradan bₙ₊₁₁ = 4 · 3ⁿ.Niyə belədir?

   64 = 4³ və 3³ⁿ = (3ⁿ)³: hər iki vuruq kubdur.

3. b₁₃ üçün n + 11 = 13, yəni n = 2: b₁₃ = 4 · 3² = 36.
4. Cavab: 36 (D variantı).

DİM-in rəsmi izahı (07.06.2026)

(n+10) + (n+12) = 2·(n+11) olduğundan məlum xassəyə görə b₍ₙ₊₁₀₎ · b₍ₙ₊₁₂₎ = b₍ₙ₊₁₁₎ · b₍ₙ₊₁₁₎ olar. Odur ki, (b₍ₙ₊₁₁₎)³ = 64 · 3^(3n) alınar. Buradan b₍ₙ₊₁₁₎ = ∛(64 · 3^(3n)) = 4 · 3ⁿ olar. n=2 yazdıqda, b₁₃ = 4 · 3² = 36 alınar.Mənbə: DİM izahı — 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

İmtahanda belə soruşulurDİM · 19.04.2026

Silsilə vuruğu 1/3 olan həndəsi silsilədə doqquzuncu və altıncı hədlərin fərqi on üçüncü və onuncu hədlərin fərqindən neçə dəfə böyükdür?

1. Fərqləri ortaq vuruğa ayırırıq: b₉ − b₆ = b₆q³ − b₆ = b₆(q³ − 1), b₁₃ − b₁₀ = b₁₀(q³ − 1).Niyə belədir?

   Hər iki fərqdə nömrələr 3 qədər fərqlənir, ona görə eyni (q³ − 1) mötərizəsi alınır.

2. Nisbət: (b₉ − b₆)/(b₁₃ − b₁₀) = b₆/b₁₀ = 1/q⁴.
3. 1/q⁴ = 1/(1/3)⁴ = 3⁴ = 81.Niyə belədir?

   q = 1/3 < 1 olduğundan hədlər azalır: əvvəlki fərq sonrakından böyükdür.

4. Cavab: 81 dəfə.

DİM-in rəsmi izahı (19.04.2026)

Həndəsi silsilədə silsilə vuruğu q = 1/3, ümumi hədd bₙ = b₁·qⁿ⁻¹-dir. b₆, b₉, b₁₀, b₁₃ hədləri üçün (b₉ − b₆)/(b₁₃ − b₁₀) = (b₆·(q³ − 1))/(b₁₀·(q³ − 1)) = b₆/(b₆·q⁴) = 1/q⁴ = 1/(1/3)⁴ = 81Mənbə: DİM izahı — 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF)

Həndəsi silsilənin ilk n həddinin cəmi də düsturla tapılır (q ≠ 1): Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1). Məsələn, b₁ = 3, q = 2 olarsa: S₅ = 3(2⁵ − 1)/(2 − 1) = 93 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48.

Özün yoxla

Həndəsi silsilədə b₁ = 5, q = 3. b₄-ü tapın.

b₄ = b₁ · q³.

Özün yoxla

Müsbət hədli həndəsi silsilədə b₃ = 4, b₇ = 64. b₅-i tapın.

3 + 7 = 5 + 5, ona görə b₅² = b₃ · b₇.

Məşq

İmtahan tapşırıqları ilə məşq

DİM · 02.03.2025

aₙ = 3n − 1 düsturu ilə verilmiş ardıcıllığın beşinci həddini tapın.

A) 5B) 9C) 4D) 12E) 14Cavab və DİM izahı

Cavab: 14 (E variantı).

a₅ = 3·5 − 1 = 14Mənbə: DİM izahı — 02.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF)

DİM · 24.05.2026

Ümumi həddi aₙ = (5n + 3)/(3 − 2n) olan (aₙ) ardıcıllığının 9-cu həddini hesablayın.

A) −16/5B) 8C) 16/5D) 5/3E) −8Cavab və DİM izahı

Cavab: −16/5 (A variantı).

a₉ = (5·9 + 3)/(3 − 2·9) = 48/(−15) = −16/5Mənbə: DİM izahı — 24.05.2026, II ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 09.03.2026

(aₙ) ədədi silsiləsində a₁₃=58 və a₂₈=28 olarsa, silsilə fərqini tapın.

A) –6B) –3C) 2D) 5E) –2Cavab və DİM izahı

Cavab: −2 (E variantı).

Ədədi silsilənin silsilə fərqi d = (a₂₈ − a₁₃)/(28 − 13) = (28 − 58)/15 = −2Mənbə: DİM izahı — 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF)

DİM · 12.07.2026

Ümumi həddi aₙ = 2n + 5 və bₙ = n² − n − 5 olan ardıcıllıqlar üçün a_k = b_k şərti ödənir. aₙ ardıcıllığının ilk k həddinin cəmini tapın.

Nömrə natural ədəddir: kvadrat tənliyin mənfi kökü atılır (1-ci fəsil).

A) 42B) 52C) 55D) 48E) 65Cavab və DİM izahı

Cavab: 55 (C variantı).

a_k = b_k şərtindən 2k + 5 = k² − k − 5 bərabərliyini və ya k² − 3k − 10 = 0 tənliyini yaza bilərik. Buradan k₁ = 5, k₂ = −2 tapılır. k ∈ N olduğundan k = 5 olar. aₙ = 2n + 5 ardıcıllığı ədədi silsilə (a₁ = 7, d = 2) olduğundan bu ardıcıllığın ilk 5 həddinin cəmi S₅ = (a₁ + a₅)/2 · 5 = 5a₃ = 5(2·3 + 5) = 55 olar.Mənbə: DİM izahı — 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 01.06.2025

Müsbət hədli (aₙ) ədədi silsiləsində a₁₁ + a₁₂ + a₁₃ = a₁₁ · a₁₂ olarsa, silsilənin ilk 21 həddinin cəmini tapın.

A) 56B) 70C) 63D) 77E) 42Cavab və DİM izahı

Cavab: 63 (C variantı).

a₁₂ = (a₁₁ + a₁₃)/2 ⇒ a₁₁ + a₁₃ = 2a₁₂; a₁₁ + a₁₂ + a₁₃ = a₁₁ · a₁₂; 3a₁₂ = a₁₁ · a₁₂; a₁₁ = 3. Ədədi silsilənin ilk n həddinin cəmi düsturuna əsasən S₂₁ = (a₁ + a₂₁)/2 · 21 = 2a₁₁/2 · 21 = a₁₁ · 21 = 3 · 21 = 63Mənbə: DİM izahı — 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 25.05.2025

Ədədi silsilənin ilk on həddinin cəmi 220-dən böyük, 260-dan isə kiçikdir. Bu silsilənin birinci həddi 7 və bütün hədləri natural ədədlər olarsa, silsilə fərqini tapın.

A) 3B) 6C) 4D) 8E) 5Cavab və DİM izahı

Cavab: 4 (C variantı).

Tapşırığın həlli üçün əvvəlcə ədədi silsilənin ilk n həddinin cəmi düsturuna görə S₁₀ tapılır.S_n = (2a₁ + (n − 1)d)/2 · n → S_n = (2a₁ + 9d)/2 · 10 = (14 + 9d)·5Şərtə görə S₁₀ aşağıdakı ikiqat bərabərsizliyi ödəyir:220 < S₁₀ < 260220 < (14 + 9d)·5 < 260Bərabərsizlik həll edilir və d-nin qiyməti tapıldıqda şərtə görə bütün hədlərin natural olması nəzərə alınır.44 < 14 + 9d < 5230 < 9d < 383 1/3 < d < 4 2/9d = 4Mənbə: DİM izahı — 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF)

DİM · 13.07.2025

2; 4; 8; 16;… ardıcıllığının n-ci həddini tapın.

A) 2ⁿB) n²+2C) 2nD) n²E) 2n+2Cavab və DİM izahı

Cavab: 2ⁿ (A variantı).

Şərtdə verilənlərdən görünür ki, bu ardıcıllıq həndəsi silsilədir. Onda b₁ = 2; b₂ = 4; q = b₂/b₁ = 2; bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹; bₙ = 2 · 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿMənbə: DİM izahı — 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF)

Yekun

Yadda saxla

• Ardıcıllıq natural arqumentin funksiyasıdır; həddin nömrəsi natural ədəddir.
• Ədədi silsilə: aₙ = a₁ + (n − 1)d, d = (aₘ − aₖ)/(m − k).
• Orta hədd: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2; 2b = a + c → a, b, c ədədi silsilədir.
• Cəm: Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n = (2a₁ + (n − 1)d)/2 · n.
• k + m = p + l → aₖ + aₘ = aₚ + aₗ; xüsusən S₁₃ = (a₅ + a₉)/2 · 13.
• Həndəsi silsilə: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹, bₘ = bₖ · qᵐ⁻ᵏ; Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).
• k + m = p + l → bₖ · bₘ = bₚ · bₗ; müsbət hədlərdə bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁.

Tipik səhvlər

aₙ = a₁ + nd

a₁-dən aₙ-ə n − 1 addım var: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Məsələn, tribunanın 12-ci sırasında 18 + 11·3 = 51 yer var, 54 yox.

Sₙ = (a₁ + aₙ) · n

2-yə bölmək unudulub: cəm cütlərin sayı qədərdir, n/2 cüt var. Tribunada 828 yox, 414 yer var.

Kvadrat tənliyin hər iki kökü həddin nömrəsidir

Nömrə natural ədəddir: n² + 2n − 120 = 0 tənliyindən yalnız n = 10 götürülür, n = −12 atılır.

bₙ = b₁ · qⁿ

Üst n − 1-dir: 2; 4; 8; … üçün bₙ = 2 · 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ, 2 · 2ⁿ isə 4; 8; 16; … verərdi.

Yekun

Müstəqil iş

Tapşırıqlar asandan çətinə düzülüb. Əvvəl özün həll et, sonra variantı seç; izah cavabdan sonra açılır.

1 · 1-ci səviyyə

aₙ = n² − 2n ardıcıllığının altıncı həddini tapın.

a₆ = 36 − 12 = 24.

2 · 1-ci səviyyə

Həndəsi silsilədə b₁ = 2, q = 3. b₄ neçədir?

b₄ = 2 · 3³ = 54.

3 · 2-ci səviyyə

Ədədi silsilədə a₄ = 10, a₁₀ = 28. a₁-i tapın.

6d = 18 → d = 3; a₁ = a₄ − 3d = 1.

4 · 2-ci səviyyə

Ədədi silsilədə a₃ + a₁₅ = 20. İlk 17 həddin cəmini tapın.

a₁ + a₁₇ = a₃ + a₁₅ = 20; S₁₇ = 20/2 · 17 = 170.

5 · DİM səviyyəsi

Müsbət hədli həndəsi silsilədə b₂ · b₈ = 36. b₅-i tapın.

2 + 8 = 5 + 5 → b₅² = 36, b₅ = 6.

6 · DİM səviyyəsi

Ədədi silsilənin ilk n həddinin cəmi Sₙ = n² + 4n düsturu ilə verilir. a₁₀-u tapın.

a₁₀ = S₁₀ − S₉ = 140 − 117 = 23.

İmtahan tapşırıqları və rəsmi izahlar — DİM:

1. 02.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF) — Ardıcıllıq (A variantı, 65; B-66, C-71, D-70)
2. 09.03.2025, buraxılış imtahanı (PDF) — Ardıcıllıq. Silsilə (A variantı, 65; B-66, C-62, D-71)
3. 25.05.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — Ədədi ardıcıllıqlar. Silsilələr [orijinalda "Mövzu: :Ədədi ardıcıllıqlar. Silsilələr" — artıq iki nöqtə] (A variantı, 13; B-4, C-21, D-8)
4. 01.06.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Ədədi ardıcıllıqlar. Silsilələr (A variantı, 8; B-8, C-1, D-8)
5. 06.07.2025, II ixtisas qrupu (PDF) — Ədədi silsilələr (A variantı, 26; B-25, C-24, D-24)
6. 13.07.2025, I ixtisas qrupu (PDF) — Ədədi ardıcıllıqlar. Silsilələr (A variantı, 19; B-1, C-12, D-10)
7. 09.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — Ədədi silsilə (A variantı, 69; B-62, C-67, D-61)
8. 15.03.2026, buraxılış imtahanı (PDF) — Ədədi ardıcıllıqlar.Silsilələr (A variantı, 85; B-85, C-85, D-85)
9. 19.04.2026, buraxılış (eksternat) imtahanı (PDF) — Ədədi və həndəsi silsilənin n - ci həddinin və ilk n həddinin cəmi düsturları (A variantı, 81; B-81, C-81, D-81)
10. 24.05.2026, II ixtisas qrupu (PDF) — Ədədi ardıcıllıqlar. Silsilələr (A variantı, 16; B-7, C-18, D-16)
11. 07.06.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Ədədi ardıcıllıqlar. Silsilələr (A variantı, 1; B-6, C-11, D-1)
12. 05.07.2026, II ixtisas qrupu (PDF) — Ədədi ardıcıllıqlar.Silsilələr (A variantı, 8; B-2, C-12, D-21)
13. 12.07.2026, I ixtisas qrupu (PDF) — Ədədi ardıcıllıqlar. Silsilələr (A variantı, 5; B-18, C-7, D-2)

Hekayə, səhnələr, nümunələr, “Özün yoxla” və “Müstəqil iş” tapşırıqları bizimdir, DİM-ə aid deyil. DİM tapşırıqları və izahları mənbədəki kimi verilib; “…” işarəsi buraxılmış hissəni göstərir.